14.
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Definition
N :頂点数(ノード数)
k :枝の数(リンク数)、次数と呼ぶ
p(k) :次数 が全頂点に占める割合
k
< k > :平均次数
N
1
k = ki
N i=1
d(vi , vj ) :2頂点 と 距離
vi vj
L :平均距離
2
L= d(vi , vj )
N (N − 1)
1≤i≤j≤N
2
※無向グラフで頂点対の最⼤大数は組合せで求める: N C2 =
N (N − 1)
※有向グラフで頂点対の最⼤大数は順列で求める: N P2 = N (N − 1)
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スモールワールド実験
-
平均距離
現実のネットワークでは、
Nが⼤大きくてもLがあまり⼤大きくない
= L ∝ log N 的である
ことが⾮非常に多い。
例)logの底を10とした場合、 Nの増加の割にLは増えにくい
N = 103 , L = 3 N = 104 , L = 4 N = 105 , L = 5
人間関係ネットワークでLが小さいことが実証されている
●ミリグラムらによる「スモールワールド実験」(1960年代)
→目標人物まで手紙を届ける実験。わずか平均L=6で到達(6次の隔たり)
●ワッツらによる「スモールワールド・プロジェクト」(2002年)
→目標人物までメールを届ける実験。目標人物と同じ国L=5, 違う国L=7
●mixiのスモールワールド性の検証(2008) http://alpha.mixi.co.jp/blog/?p=144
→調査員から1300万のmixiユーザまでの平均距離L=6が95.7%, L=7が98.2%
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Itʼ’s
a
small
world!
-
クラスター係数
クラスター(三⾓角形)の多寡は、クラスター係数 で求める。 Ci
vi ki (ki − 1)/2
の含む三⾓角形は最⼤大 個ある。
vi を含む三角形の数
Ci ≡ 0 ≤ Ci ≤ 1
ki (ki − 1)/2
クラスター係数の平均
N
1
C≡
N i=1
Ci 0≤C≤1
完全グラフでのみC=1、三⾓角形が⼀一つもないC=0。
現実のネットワークは「スモールワールド・ネットワーク」。
→世界中の誰とでも6次の隔たり程度でつながっていて(⼩小さいL)、
新しく出会った友⼈人との間にも共通の知り合いの1⼈人くらいは⾒見見つかりやすい(⼤大きいC)
v4 v7
v5 v1 の隣接点 = 4 3 2 4 1 1 1
C2 = , C3 = , C4 = , C5 = , C6 = , C7 =
v1 を含む三角形の最大数 = 6 6 3 10 1 3 3
v2 v1 v3 3 8
C1 = C=
v6 6 15
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次数相関
次数相関とは隣接する2点の次数が似る度合いを測るもの。
●正の次数相関
-
ハブの隣にはハブがいやすい
●負の次数相関
-
ハブの隣に次数の⼩小さい頂点がいやすい
次数相関の計測⽅方法は2つある
●隣接点の平均次数に基づく⽅方法
は⾃自分の次数が であるという条件のもとで、
P (k |k) k
隣接点の次数が になる割合である。
k
knn (k) = k P (k |k)
k
●ピアソン相関関係という1変数で次数相関を測る⽅方法
を横軸、 を縦軸にとり、最⼩小⼆二乗法で
k k
もっともあてはまる直線を決め、その傾きの正負で次数相関を判定
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似てる?似てない?
-
次数相関
負の次数関数になりやすいネットワーク
●⽣生物系(タンパク質、神経系、⾷食物網など)
●⼯工学系(インターネット、WWWなど)
正の次数関数になりやすいネットワーク
●⼈人間関係(知⼈人関係、共著ネットワーク)
※類は友を呼ぶ傾向を「ホモフィリー」という
knn (k) knn (k)
k k
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次数中⼼心性と近接中⼼心性
次数中⼼心性とは、ハブが中⼼心という指標。次数が多い⼈人が中⼼心。
ex)
Facebookで1000⼈人友達いる⼈人と10⼈人友達いる⼈人とでは、
1000⼈人の⽅方が中⼼心だと考える。
近接中⼼心性とは、ネットワーク全体に情報を広めやすいポジショ
ンにある頂点を中⼼心とみなす。⾃自分から他⼈人まで平均的にどれく
らい近いかどうかによって定義される。
N −1 1
N =
j=1;j=i d(vi , vj )
Li
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媒介中⼼心性
媒介中⼼心性は橋渡し役になっている頂点を中⼼心とみなす。
N is −1 (i i )
gi s t
is =1;is =i it =1;it =i Nis it
bi ≡
(N − 1)(N − 2)/2
p(bi ) p(k) ∝ k , 2 γ 3
の分布 について。 のとき
bi
−γ
p(b) ∝ b−δ (δ ≈ 2.0 または 2.2)
が⼤大きいハブはネットワークで重要な役割を果たすことが多く
ki
が⼤大きい頂点も同様である。
bi
と はずれやすいからこそ、 を計測する意義がある。
ki bi bi
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bibliography
増田直紀,今野紀雄:『複雑ネットワーク - 基礎から応用まで』,近代科学社(2010)
増田直紀,今野紀雄:『「複雑ネットワーク」とは何か』,ブルーバックス(2006)
北海道大学 工学研究科 応用物理学専攻の方の資料 http://www.topo.hokudai.ac.jp/education/SpecialLecture/090501.pdf
鈴木努さんのサイト http://www.tiu.ac.jp/~nakabasa/NetAnalysis/SNATsuzuki.html
Watts, D. J., Strogatz, S. H. : “Collective dynamics of 'small-world’”, Nature, Vol. 393(1998)
Barabasi, A. -L., Albert, R. : “Emergence of scaling in random networks”, Science, Vol. 286(1999)
2011年11月6日日曜日