1. 1. Lịch sử
Các công trình đầu tiên này về các hàm l ư ợ n g g i á c đều được phát triển trong
nghiên cứu thiên văn. Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung nghiên cứu về l ư ợ n g
g i á c là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của
Regiomontanus (1436–1476). Quyển Tabulae directionum nói về hàm tang.
Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một học trò của Copernicus, là
quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm l ư ợ n g g i á c bằng tam giác vuông thay
vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm l ư ợ n g g i á c cơ bản. Công
trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin Otho năm 1596.
Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung miêu tả cách tiếp
cận giải tích đến các hàm l ư ợ n g g i á c , định nghĩa chúng theo các chuỗi vô tận
và giới thiệu "Công thức Euler" eix = cos(x) + i sin(x). Euler đã dùng các ký hiệu viết
tắt sin., cos., tang., cot., sec., và cosec. giống ngày nay.
2. Định nghĩa bằng tam giác vuông
Một tam giác vuông luôn chứa một góc 90° (π/2 radian), được ký hiệu là C trong hình
này. Góc A và B có thể thay đổi. Các hàm l ư ợ n g g i á c thể hiện mối liên hệ
chiều dài các cạnh và độ lớn các góc của tam giác vuông.
Có thể định nghĩa các hàm l ư ợ n g g i á c của góc A, bằng việc dựng nên một tam
giác vuông chứa góc A. Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:
Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất của tam giác vuông, h
trên hình vẽ.
Cạnh đối là cạnh đối diện với góc A, a trên hình vẽ.
Cạnh kề là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, b trên hình vẽ.
3. Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị
Các hàm l ư ợ n g g i á c cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị, một
vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ. Định nghĩa dùng
vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng có thể định nghĩa
cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và Pi/2 radian. Các góc lớn
hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.
3.1 Dùng đại số
2. Vòng tròn đơn vị và một số điểm đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt.
Vòng tròn đơn vị là mọi điểm (x, y) trên mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn:
x2 + y2 = 1
Gọi góc θ là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm (x,y) trên vòng tròn và
chiều dương của trục x của hệ tọa độ x-y, các hàm l ư ợ n g g i á c có thể được định
nghĩa là:
Khi các góc quay trên vòng tròn, hàm sin, cos, sec và cosec trở nên hàm tuần hoàn với
chu kỳ 2π radian hay 360 độ:
Ở đây θ là góc, một số thực bất kỳ; k là một số nguyên bất kỳ.
Tang và Cotang tuần hoàn với chu kỳ π radian hay 180 độ.
3.2 Dùng hình học
Mọi hàm l ư ợ n g g i á c đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình học
trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O.
Hình vẽ bên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm l ư ợ n g g i á c cho góc
bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O. Với θ là nửa cung AB:
Theo hình vẽ, dễ thấy sec và tang sẽ phân kỳ khi θ tiến tới π/2 (90 độ), cosec và
cotang phân kỳ khi θ tiến tới 0. Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiện
trên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm l ư ợ n g g i á c có thể được
chứng minh bằng hình học.
4. Định nghĩa bằng chuỗi
Hàm sin (xanh lam) được xấp xỉ bằng chuỗi Taylor bậc 7 (màu hồng).
Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minh rằng đạo hàm
của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu của hàm sin. Có thể dùng
chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi góc x đo bằng giá trị
radian thực. Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các hàm lượng dạng còn lại.
Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm l ư ợ n g g i á c .
Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm l ư ợ n g g i á c . Chúng được dùng
trong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thể được
3. xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học. Các tính chất như khả vi
hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi.
4. 5. Định nghĩa bằng phương trình vi phân
Các hàm này là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng.
Trong không gian vectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, sin là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện
biên y(0) = 0 và y′(0) = 1, còn cos là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y(0) = 1 và y′(0) = 0. Hai hàm này lại độc lập tuyến tính
trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.
Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler. Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định
nghĩa sin và cos mà còn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức l ư ợ n g g i á c cho các hàm này.
6. Tính chất và ứng dụng
Định luật sin và định luật cos có thể được chứng minh bằng việc chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông.
Các hàm l ư ợ n g g i á c có vị trí quan trọng trong l ư ợ n g g i á c học. Bên ngoài l ư ợ n g g i á c học, tính tuần hoàn của
chúng có ích cho việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành
tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; đây là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài
toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng.
Các tính chất quan trọng nhất của các hàm l ư ợ n g g i á c trong l ư ợ n g g i á c học được thể hiện ở ba định lý:
6.1 Định lý sin
Định lý sin phát biểu cho bất kỳ một tam giác nào:
5. Có thể chứng min định lý này bằng cách chia đôi tam giác thành hai tam giác vuông, rồi dùng định nghĩa của hàm sin. (sinA)/a là
nghịch đảo của đường kính đường tròn đi qua ba điểm A, B và C. Định lý sin có thể dùng để tính độ dài của một cạnh khi đã biết độ
dài hai cạnh còn lại của tam giác. Đây là bài toán hay gặp trong kỹ thuật tam giác, một kỹ thuật dùng để đo khoảng cách dựa vào việc
đo các góc và các khoảng cách dễ đo khác.
6.2 Định lý cos
Định lý cos là một kết quả mở rộng của định lý Pytago:
Định lý này cũng có thể được chứng minh bằng việc chia tam giác thành hai tam giác vuông. Định lý này có thể được dùng để tìm
các dữ liệu chưa biết về một tam giác nếu đã biết độ lớn hai cạnh và một góc.
Nếu góc trong biểu thức không được quy ước rõ ràng, ví dụ nhỏ hơn 90°, thì sẽ có hai tam giác thỏa mãn định lý cos, ứng với hai góc
C nằm trong khoảng từ 0 đến 180° cùng cho một giá trị cos C.
6.3 Định lý tang
Định lý tang phát biểu là:
6. 1. Lịch sử......................................................................................................1
2. Định nghĩa bằng tam giác vuông..............................................................1
3. Định nghĩa bằng vòng tròn đơn vị............................................................1
3.1 Dùng đại số ....................................................................................................................1
3.2 Dùng hình học................................................................................................................2
4. Định nghĩa bằng chuỗi .............................................................................2
5. Định nghĩa bằng phương trình vi phân....................................................4
6. Tính chất và ứng dụng .............................................................................4
6.1 Định lý sin ......................................................................................................................4
6.2 Định lý cos .....................................................................................................................5
6.3 Định lý tang....................................................................................................................5
