Đề thi vào 10 môn Toán chuyên Lạng Sơn năm 2013 - 2014. Đăng ký tài liệu 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên liên hệ cô Trang: 0948.228.325 (Zalo).

1. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề
thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
LẠNG SƠN
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên)
Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu
Câu 1 (2 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và
parabol (P): y = - x2
.
a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2);
b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1),
B(x2; y2).
Tìm m để (x1 – x2)2
+ (y1 – y2)2
= 25.
Câu 2 (2 điểm)
a. Giải hệ phương trình
3x 2y
2
x 1 y 1
2x 3y
10
x 1 y 1

 
  


  
  

;
b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x y x 2
   .
Câu 3 (2 điểm)
a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E
lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ
dài nhỏ nhất.
b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = 2
3x 4
x 1


Câu 4 (3 điểm)
Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C
khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC,
các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E.
a. Chứng minh tam giác EAI cân;
b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID;
c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.

2. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề
thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
ĐÁP ÁN
Câu Ý Nội dung trình bày Điểm
Câu 1
2 điểm
a
Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) <=> 2 = 2.1 – m + 1 0,5
Vậy: m = 1 0,5
b
Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt <=> x2
+ 2x –
m + 1 = 0
có hai nghiệm phân biệt <=> ' m 0
  
0,25
Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 0,25
Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2)
Nên: 25 = (x1 – x2)2
+ (y1 – y2)2
= 5(x1 – x2)2
=> (x1 – x2)2
= 5
0,25
Hay: (x1 + x2)2
- 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m) 0,25
Câu
2
2
điểm
a Đặt
x y
u ; v
x 1 y 1
 
 
0,25
Khi đó có hệ:
3u 2v 2 9u 6v 6 u 2
2u 3v 10 4u 6v 20 v 2
    
  
 
  
    
  
0,25
Từ:
x y
2 x 2; 2 y 2
x 1 y 1
      
 
0,25
Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25
b
Ta có: x – y + 1 = 2 x y x 2 x y 1 2 x y x 2 0
           . 0,25
Hay:  
2
x y 1 x 2 0
     . 0,25
Suy ra:  
2
x y 1 x 2 0 x y 1 x 2 0
           . 0,25
Vì vậy có: x = 2; y = 1. 0,25
Câu
3
2
điểm
a
E
D
B
A
C
M
Do: 0
ADM AEM DAE 90
   nên ADME
là hình chữ nhật
0,25
Nên : DE = AM 0,25
DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=>
AM BC

0,25
Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A 0,25
b
A = 2 2
2
3x 4
A(x 1) 3x 4 Ax 3x A 4 0
x 1

        

, (*) có nghiệm x 0,25
Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 0,25
Nếu A  0 có : 2 1 9
9 4A(A 4) 4(A 2) 25 0 A
2 2

            0,25

3. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề
thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)
Vậy :
1 b 9 1
min A khix 3; max A khi x
2 2a 2 3
 
     
0,25
Câu
4
3
điểm
a
I
F
E
D
O
A B
C
Vẽ hình để chứng minh a 0,25
Do AD, CE là các đường phân giác
nên :
DC DB, EB EA
 
0,25
Do đó: DC EA DB EB
   0,25
Suy ra: AIE IAE

Vậy: tam giác EAI cân tại E
0,25
b
Ta có: AIE CID
 (đối đỉnh) 0,25
EAI DCI
 (cùng chắn cung DE) 0,25
Do đó : ICD IAE
  . 0,25
Suy ra:
IC ID
IC.IE IA.ID
IA IE
   0,25
c
AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao
nên  ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0
0,25
Do: 0
DIB IBA IAB 45
   nên  BID vuông cân
suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2
0,25
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có:
BC2
= AB2
– AC2
= BF2
– CF2
hay: x2
– b2
= 2a2
– (x – b)2
<=> x2
-
bx - a2
= 0
0,25
Có: x =
2 2
b b 4a
2
 
(loại), x =
2 2
b b 4a
2
 
. Vậy AB =
2 2
b b 4a
2
 
0,25
Câu
5
1
điểm
Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ
2014. n N*
Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư.
0,25
Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai 2013
hay:
j sô 2014 i sô 2014 j í sô 2014 4i sô 0
20142014...2014 20142014...2014 20142014....20140000...0000 2013

  0,25
Số có dạng 20142014…2014 . 104i
 2013
Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n
, 2013) = 1 với mọi n  N*
0,25
Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25

4. Tuyển tập 19 chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 trường chuyên, tặng bộ đề
thi HSG Toán 9. Liên hệ tư vấn và đặt mua tài liệu: 0948.228.325 (Zalo – Cô Trang)