This document provides an introduction to queue theory or line waiting theory. It discusses how queue theory studies waiting processes in different circumstances using queue models. The document gives examples of queue systems that can arise in practice. It explains that queue theory aims to study the organized waiting of customers to obtain a service from a server. The document also outlines the key components of a queue system, including arrivals, service times, and performance measures. It provides the example of a fast food restaurant, Burger Dome, to illustrate a single channel queue system and discusses modeling arrival and service time distributions.
Solving Of Waiting Lines Models in the Bank Using Queuing Theory Model the Pr...IOSR Journals
Waiting lines and service systems are important parts of the business world. In this article we describe several common queuing situations and present mathematical models for analyzing waiting lines following certain assumptions. Those assumptions are that (1) arrivals come from an infinite or very large population, (2) arrivals are Poisson distributed, (3) arrivals are treated on a FIFO basis and do not balk or renege, (4) service times follow the negative exponential distribution or are constant, and (5) the average service rate is faster than the average arrival rate. The model illustrated in this Bank for customers on a level with service is the multiple-channel queuing model with Poisson Arrival and Exponential Service Times (M/M/S). After a series of operating characteristics are computed, total expected costs are studied, total costs is the sum of the cost of providing service plus the cost of waiting time. Finally we find the total minimum expected cost.
International Journal of Mathematics and Statistics Invention (IJMSI) inventionjournals
This document summarizes a study on queuing processes and their application to customer service delivery at an ATM service point of Fidelity Bank in Maiduguri, Nigeria. Data was collected over 10 days on customer arrival times and service times. The study found that the traffic intensity (ρ) was 0.96, indicating the system was busy 95% of the time. This M/M/1 queuing model found a high utilization of the system. The document discusses queuing theory concepts like arrival patterns, service mechanisms, system capacity, and characteristics that can help banks minimize customer wait times.
The document provides an introduction to queue theory or waiting line theory. Some key points:
- Queue theory studies processes in waiting lines where arrivals and service times are typically assumed to be random.
- Common queue problems arise in manufacturing and service systems like banks, restaurants, etc.
- The M/M/1 queue model is analyzed using a birth-death process approach where the system state increases with arrivals and decreases with service completions.
- Performance measures like expected number of customers, waiting time, utilization can be calculated for the M/M/1 and M/M/c models.
- An example optimization problem shows how adding a server can reduce total costs from waiting and
This document analyzes the queueing issues at Electrocentro SA's payment office in Ayacucho, Peru. It aims to develop a solution to long wait times using queueing theory. Specifically, it will:
1) Collect information on wait times and service processes at Electrocentro.
2) Analyze the information using a queueing model to evaluate system performance.
3) Develop alternatives and a plan to implement solutions to reduce wait times for customers.
The document discusses waiting line management and queuing theory. It defines key concepts such as:
- Queuing systems have three main components: the source population where customers arrive from, the service system, and how customers exit the system.
- Customer arrivals can come from a finite or infinite population. Their distribution over time is usually exponential, while the number arriving in a time period follows a Poisson distribution.
- The central problem is balancing the costs of providing faster service against the inherent costs of waiting. Proper management of queues can help reduce customer frustration while waiting.
The document discusses queuing systems and simulation of queuing systems. It provides examples of real-world queuing situations and defines key elements of queuing systems including arrivals, queues, servers, and outputs. It also describes measures used to evaluate system performance such as average number of customers, average wait times, and system utilization. Simulation is presented as an important technique for analyzing queuing systems when theoretical analysis is difficult.
The document provides an introduction to queuing theory, which deals with problems involving waiting in lines or queues. It discusses key concepts such as arrival and service rates, expected queue length and wait times, and the utilization ratio. Common applications of queuing theory include determining the number of servers needed at facilities like banks, restaurants, and hospitals to minimize customer wait times. The summary provides the essential information about queuing theory and its use in analyzing waiting line systems.
Solving Of Waiting Lines Models in the Bank Using Queuing Theory Model the Pr...IOSR Journals
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International Journal of Mathematics and Statistics Invention (IJMSI) inventionjournals
This document summarizes a study on queuing processes and their application to customer service delivery at an ATM service point of Fidelity Bank in Maiduguri, Nigeria. Data was collected over 10 days on customer arrival times and service times. The study found that the traffic intensity (ρ) was 0.96, indicating the system was busy 95% of the time. This M/M/1 queuing model found a high utilization of the system. The document discusses queuing theory concepts like arrival patterns, service mechanisms, system capacity, and characteristics that can help banks minimize customer wait times.
The document provides an introduction to queue theory or waiting line theory. Some key points:
- Queue theory studies processes in waiting lines where arrivals and service times are typically assumed to be random.
- Common queue problems arise in manufacturing and service systems like banks, restaurants, etc.
- The M/M/1 queue model is analyzed using a birth-death process approach where the system state increases with arrivals and decreases with service completions.
- Performance measures like expected number of customers, waiting time, utilization can be calculated for the M/M/1 and M/M/c models.
- An example optimization problem shows how adding a server can reduce total costs from waiting and
This document analyzes the queueing issues at Electrocentro SA's payment office in Ayacucho, Peru. It aims to develop a solution to long wait times using queueing theory. Specifically, it will:
1) Collect information on wait times and service processes at Electrocentro.
2) Analyze the information using a queueing model to evaluate system performance.
3) Develop alternatives and a plan to implement solutions to reduce wait times for customers.
The document discusses waiting line management and queuing theory. It defines key concepts such as:
- Queuing systems have three main components: the source population where customers arrive from, the service system, and how customers exit the system.
- Customer arrivals can come from a finite or infinite population. Their distribution over time is usually exponential, while the number arriving in a time period follows a Poisson distribution.
- The central problem is balancing the costs of providing faster service against the inherent costs of waiting. Proper management of queues can help reduce customer frustration while waiting.
The document discusses queuing systems and simulation of queuing systems. It provides examples of real-world queuing situations and defines key elements of queuing systems including arrivals, queues, servers, and outputs. It also describes measures used to evaluate system performance such as average number of customers, average wait times, and system utilization. Simulation is presented as an important technique for analyzing queuing systems when theoretical analysis is difficult.
The document provides an introduction to queuing theory, which deals with problems involving waiting in lines or queues. It discusses key concepts such as arrival and service rates, expected queue length and wait times, and the utilization ratio. Common applications of queuing theory include determining the number of servers needed at facilities like banks, restaurants, and hospitals to minimize customer wait times. The summary provides the essential information about queuing theory and its use in analyzing waiting line systems.
This document summarizes a study that uses discrete-event simulation to analyze the performance of single-channel and multiple-channel queuing systems. Data was collected from a bank (POSB) using a single queue and a fast food restaurant (McDonalds) using multiple queues. Simulation results found that converting McDonalds to a single queue reduced average queue length by 48% and wait time by 9 times, while converting POSB to multiple queues significantly increased wait times. Therefore, a single queue is more efficient for customer service.
Queuing theory: What is a Queuing system???
Waiting for service is part of our daily life….
Example:
we wait to eat in restaurants….
We queue up in grocery stores…
Jobs wait to be processed on machine…
Vehicles queue up at traffic signal….
Planes circle in a stack before given permission to land at an airport….
Unfortunately, we can not eliminate waiting time without incurring expenses…
But, we can hope to reduce the queue time to a tolerable levels… so that we can avoid adverse impact….
Why study???? What analytics can be drawn??? Analytics means ---- measures of performance such as
1. Average queue length
2. Average waiting time in the queue
3. Average facility utilization….
The document discusses waiting line (queue) management. It defines key concepts in queuing systems including the three main components: customer arrivals from a population, the servicing system, and customers exiting the system. Customer arrivals can come from a finite or infinite population and may have an exponential or Poisson distribution. The optimal cost of a queuing system balances the cost of providing service capacity against the inherent cost of waiting. Queuing theory provides standard formulas to analyze service requirements and establish appropriate facilities given conditions.
Queuing theory is used to model systems involving waiting in lines. It can predict and evaluate the performance of systems like telecommunications, traffic control, and manufacturing layouts. A queuing system has arrivals, servers, queues, and exits. Key elements are customers who require service and servers that provide it. Characteristics include the arrival process, queue structure, and service process. Queuing models can be deterministic or probabilistic. The single channel model calculates values like average time in the system and probability of idle servers using the arrival and service rates. Queuing theory provides insights to manage queues through approaches like informing customers and balancing arrivals and service capacity.
Queuing theory is the mathematical study of waiting lines in systems like transportation, banks, and stores. It was developed in 1903 and is used to predict system performance and determine costs. Queuing models make assumptions like customers arriving randomly and service times being exponentially distributed. They can be applied to situations involving customers like restaurants or manufacturing. The models provide metrics like expected wait times that are used to optimize staffing and inventory levels.
The document discusses using simulation to model queuing problems with random numbers. It describes queuing systems as having arrivals, a waiting line, service, and departure components. A single queue-single service point queuing structure is examined, with first-come, first-served queue discipline and random inter-arrival and service times. An example problem simulates 10 customer arrivals at a retail store using random numbers to estimate average waiting time and server idle time percentage. The solution shows calculating arrival and service time probabilities, simulating customer service, and finding total 4 minutes of waiting time and 12 minutes of idle time over 53 minutes.
Simulation is the imitation of a real-world process or system over time. A simulation model uses mathematical models and random numbers to represent inputs and decisions that impact outcomes. Simulation can help with management decision-making for problems that are difficult to model analytically, such as inventory control, production planning, and queuing. Queuing systems have four key components: arrivals, queues, service, and departure. Simulation is useful for analyzing queuing problems where customers arrive randomly and service times vary. An example problem simulates 10 customer arrivals to estimate average waiting time and server idle time.
Waiting Line Model is one of the decision line model.Waiting Line Model is one of the decision line model.Waiting Line Model is one of the decision line model.Waiting Line Model is one of the decision line model.
A Study on Queuing Theory and its real Life Applications.pptxmathematicssac
This document discusses the application of queuing theory to traffic management. It presents results from a study of traffic intensity at four intersections in Victoria Island, Lagos during morning, afternoon and evening peak periods. Queuing models were used to determine arrival and service rates, from which traffic intensity was calculated. Morning and evening sessions saw the highest intensities, especially on two roads. The analysis confirms queuing theory can help minimize congestion by optimizing traffic light times during peak periods. Proper road design considering separate lanes, flyovers and parking restrictions can also help ensure smooth traffic flow.
Talks about what is Queuing and its application, practical life usage, with a complex problem statement with its solution. Pre-emptive and non-preemptive queue models and its algorithm.
Queuing is the common activity of customers or people to avail the desired service, which could be processed or distributed one at a time. Bank ATMs would avoid losing their customers due to a long wait on the line. The bank initially provides one ATM in every branch. But, one ATM would not serve a purpose when customers withdraw to use ATM and try to use other bank ATM. Thus the service time needs to be improved to maintain the customers. This paper shows that the queuing theory used to solve this problem. We obtain the data from a bank ATM in a city. We then derive the arrival rate, service rate, utilization rate, waiting time in the queue and the average number of customers in the queue based on the data using Little’s theorem and M/M/I queuing model. The arrival rate at a bank ATM on Sunday during banking time is 1 customer per minute (cpm) while the service rate is 1.50 cpm. The average number of customer in the ATM is 2 and the utilization period is 0.70. We conclude the paper by discussing the benefits of performing queuing analysis to a busy ATM.
Queuing theory is the mathematical study of waiting lines in systems like customer service lines. Key aspects of queuing systems include the arrival and service processes, the number of servers, and the queue capacity and discipline. Little's Law relates the average number of customers in the system, the arrival rate, and the average time a customer spends in the system. Common queuing models include M/M/1 for Poisson arrivals and exponential service times with one server.
This document provides an overview of queuing theory and the key components of a queuing system. It discusses the calling population or customers arriving for service, including characteristics like size, behavior, and arrival patterns. The queuing process and queue discipline are also examined. Finally, the document outlines various performance measures used to evaluate queuing systems, such as average wait time, number of customers, probability of waiting, and operating costs.
Queueing theory models systems with queues that form due to demand for services exceeding the system's capacity. It was originally developed to model telephone traffic congestion. Key components of queueing systems include the arrival process, queue discipline, service mechanism, and outlet. Common models include the M/M/1 queue with a single server and Poisson arrivals, and the M/M/m queue with multiple servers. Queueing theory aims to minimize waiting times and costs by understanding the tradeoff between service levels and waiting.
queuingtheory-091005084417-phpapp01 (2).pdfAditya Mane
This document provides an overview of queuing theory. It discusses key concepts like arrival processes, queue structures, service systems, queuing models and their assumptions. Examples are given of single and multiple channel queuing models. Metrics like average time in the system and average wait time are defined. Applications of queuing theory include telecommunications, healthcare, manufacturing and more.
Queuing theory is the mathematical study of waiting lines in systems like telephone networks and hospitals. It aims to predict queue lengths and waiting times. Agner Krarup Erlang created early models for telephone exchanges. Queues are described using Kendall's notation of arrival and service distributions and number of servers. Little's Law states the average number of customers in a stable system equals the arrival rate multiplied by the average time in the system. Queuing theory is used to optimize resource allocation and reduce waiting times in many applications.
This document summarizes key aspects of queueing theory and its application to analyzing bank service systems. It discusses queuing models like the M/M/1 and M/M/s models. The purpose is to measure expected queue lengths and wait times to improve efficiency. Variables like arrival rate, service rate, and utilization are defined. Different queue disciplines and customer behaviors are also outlined. The document aims to simulate queue performance and compare single and multiple queue models to provide estimated solutions for optimizing bank service systems.
Queueing Theory is the mathematical study of waiting lines in systems where demand for service exceeds the available resources. A pioneer in the field was Agner Krarup Erlang who applied its principles to telecommunications. The document discusses key concepts in queueing theory including arrival and service processes, queue configurations, performance measures and examples of real-world applications. It also covers limitations of classical queueing models in fully representing complex real systems.
This document discusses discrete event simulation. It provides definitions of key concepts including entities, attributes, events, activities, and delays. It explains that discrete event simulation is appropriate for systems where state variables change discretely over time. It also discusses components of discrete event simulation like the system, model, state variables, and entities. Examples of queueing system simulation and steps to simulate customer arrivals and services are provided.
Falcon stands out as a top-tier P2P Invoice Discounting platform in India, bridging esteemed blue-chip companies and eager investors. Our goal is to transform the investment landscape in India by establishing a comprehensive destination for borrowers and investors with diverse profiles and needs, all while minimizing risk. What sets Falcon apart is the elimination of intermediaries such as commercial banks and depository institutions, allowing investors to enjoy higher yields.
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Simulation is the imitation of a real-world process or system over time. A simulation model uses mathematical models and random numbers to represent inputs and decisions that impact outcomes. Simulation can help with management decision-making for problems that are difficult to model analytically, such as inventory control, production planning, and queuing. Queuing systems have four key components: arrivals, queues, service, and departure. Simulation is useful for analyzing queuing problems where customers arrive randomly and service times vary. An example problem simulates 10 customer arrivals to estimate average waiting time and server idle time.
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Queuing is the common activity of customers or people to avail the desired service, which could be processed or distributed one at a time. Bank ATMs would avoid losing their customers due to a long wait on the line. The bank initially provides one ATM in every branch. But, one ATM would not serve a purpose when customers withdraw to use ATM and try to use other bank ATM. Thus the service time needs to be improved to maintain the customers. This paper shows that the queuing theory used to solve this problem. We obtain the data from a bank ATM in a city. We then derive the arrival rate, service rate, utilization rate, waiting time in the queue and the average number of customers in the queue based on the data using Little’s theorem and M/M/I queuing model. The arrival rate at a bank ATM on Sunday during banking time is 1 customer per minute (cpm) while the service rate is 1.50 cpm. The average number of customer in the ATM is 2 and the utilization period is 0.70. We conclude the paper by discussing the benefits of performing queuing analysis to a busy ATM.
Queuing theory is the mathematical study of waiting lines in systems like customer service lines. Key aspects of queuing systems include the arrival and service processes, the number of servers, and the queue capacity and discipline. Little's Law relates the average number of customers in the system, the arrival rate, and the average time a customer spends in the system. Common queuing models include M/M/1 for Poisson arrivals and exponential service times with one server.
This document provides an overview of queuing theory and the key components of a queuing system. It discusses the calling population or customers arriving for service, including characteristics like size, behavior, and arrival patterns. The queuing process and queue discipline are also examined. Finally, the document outlines various performance measures used to evaluate queuing systems, such as average wait time, number of customers, probability of waiting, and operating costs.
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Queuing theory is the mathematical study of waiting lines in systems like telephone networks and hospitals. It aims to predict queue lengths and waiting times. Agner Krarup Erlang created early models for telephone exchanges. Queues are described using Kendall's notation of arrival and service distributions and number of servers. Little's Law states the average number of customers in a stable system equals the arrival rate multiplied by the average time in the system. Queuing theory is used to optimize resource allocation and reduce waiting times in many applications.
This document summarizes key aspects of queueing theory and its application to analyzing bank service systems. It discusses queuing models like the M/M/1 and M/M/s models. The purpose is to measure expected queue lengths and wait times to improve efficiency. Variables like arrival rate, service rate, and utilization are defined. Different queue disciplines and customer behaviors are also outlined. The document aims to simulate queue performance and compare single and multiple queue models to provide estimated solutions for optimizing bank service systems.
Queueing Theory is the mathematical study of waiting lines in systems where demand for service exceeds the available resources. A pioneer in the field was Agner Krarup Erlang who applied its principles to telecommunications. The document discusses key concepts in queueing theory including arrival and service processes, queue configurations, performance measures and examples of real-world applications. It also covers limitations of classical queueing models in fully representing complex real systems.
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In a tight labour market, job-seekers gain bargaining power and leverage it into greater job quality—at least, that’s the conventional wisdom.
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1. Elemental Economics - Introduction to mining.pdfNeal Brewster
After this first you should: Understand the nature of mining; have an awareness of the industry’s boundaries, corporate structure and size; appreciation the complex motivations and objectives of the industries’ various participants; know how mineral reserves are defined and estimated, and how they evolve over time.
OJP data from firms like Vicinity Jobs have emerged as a complement to traditional sources of labour demand data, such as the Job Vacancy and Wages Survey (JVWS). Ibrahim Abuallail, PhD Candidate, University of Ottawa, presented research relating to bias in OJPs and a proposed approach to effectively adjust OJP data to complement existing official data (such as from the JVWS) and improve the measurement of labour demand.
Economic Risk Factor Update: June 2024 [SlideShare]Commonwealth
May’s reports showed signs of continued economic growth, said Sam Millette, director, fixed income, in his latest Economic Risk Factor Update.
For more market updates, subscribe to The Independent Market Observer at https://blog.commonwealth.com/independent-market-observer.
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5 Tips for Creating Standard Financial ReportsEasyReports
Well-crafted financial reports serve as vital tools for decision-making and transparency within an organization. By following the undermentioned tips, you can create standardized financial reports that effectively communicate your company's financial health and performance to stakeholders.
1. UNIVERSIDAD NACIONAL
“SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLO”
TEORÍA DE COLAS O
LÍNEAS DE ESPERA
Docente: Econ. ROMEL ROJAS MELGAREJO
Investigación de Operaciones
Económicas II
Departamento Académico de
Economía y Contabilidad
2. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
INTRODUCCIÓN
Las colas o las líneas de espera son parte de nuestra vida diaria.
Muchos hemos tenido que esperar en fila: para pagos de
matrícula de un semestre académico o para ser atendidos en el
salón de belleza.
El sistema se congestiona y hay que esperar, pero otras se
desalientan por el tamaño de la fila y se marchan.
Es al ingeniero danés, A. K. Erlang, a quien se le atribuye haber sido
el creador de la teoría de colas, (teoría de líneas de espera o
modelos de líneas de espera) a principios del siglo XX, que estudio el
congestionamiento y tiempos de espera que ocurrían al efectuar las
llamadas telefónicas, llegando a muchos de los resultados que
actualmente utilizamos.
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
3. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
INTRODUCCIÓN
La teoría de colas es el estudio de los procesos de espera en
diferentes circunstancias. Usa modelos de colas para presentar los
diversos tipos de sistemas de colas (sistemas que significan hacer
cola de algún tipo) que pueden surgir en la practica.
Los modelos de colas se ayudan de formulas y relaciones
matemáticas para determinar las características de operación
(medidas de desempeño) de una línea de espera.
También se le conoce como sistemas de procesamiento:, pues
incluye fábricas donde los trabajos se mueven en varias etapas
durante el proceso de fabricación, o dependencias en donde el
manejo de documentación lo realizan varios individuos, grupos o
comités. En dicho caso se forman "redes de colas“.
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4. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
INTRODUCCIÓN
Las características de operación (medidas de desempeño) de
interés, incluyen:
1. La probabilidad de que no haya unidades o (clientes) en el
sistema.
2. El numero promedio o esperado de unidades (clientes) en la
línea de espera.
3. El numero promedio de unidades (clientes) en el sistema.
4. El tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en la línea de
espera.
5. El tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema.
6. La probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que
esperar para que le atiendan.
7. La probabilidad de que haya “n” unidades (clientes) en el
sistema.
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5. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
OBJETIVO DE LA TEORÍA DE COLAS
La teoría de colas o líneas de espera, procura el estudio riguroso
del fenómeno de la espera organizada de clientes para la obtención
de un servicio que presta un servidor.
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio
proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el
cliente no llega en un horario fijo; es decir, no se sabe con exactitud
en que momento llegarán los clientes. Así, como también el tiempo
de servicio no tiene una duración fija.
Contar con esta información permitirá tomar decisiones que
equilibren los noveles de servicio contra el costo de proporcionar el
servicio.
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6. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
La teoría de colas o líneas de espera, procura el estudio riguroso
del fenómeno de la espera organizada de clientes para la obtención
de un servicio que presta un servidor.
El problema es determinar qué capacidad o tasa de servicio
proporciona el balance correcto. Esto no es sencillo, ya que el
cliente no llega en un horario fijo; es decir, no se sabe con exactitud
en que momento llegarán los clientes. Así, como también el tiempo
de servicio no tiene una duración fija.
Contar con esta información permitirá tomar decisiones que
equilibren los noveles de servicio contra el costo de proporcionar el
servicio.
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7. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
EJEMPLO DE SISTEMAS DE LÍNEA DE ESPERA
Naturaleza de las
unidades
Naturaleza del Servicio
Naturaleza de las
Estaciones
Clientes Venta de un artículo Vendedores
Barcos Descarga Muelles
Aviones Aterrizaje Pistas
Llamadas telefónicas Conversaciones Circuitos
Llegada de automóviles Aduanas Agentes
Mensajes Desciframiento Descifradores
Máquinas en reparación Reparación Mecánicos
Incendios Extinción Carros de Bomberos
Pedidos en ejecución Confección o reparación Talleres
Correo Mecanografía Secretarias
Clientes Entrega contra inventario Inventarios
Vehículos Paso en un cruce Semáforos
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8. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
Para ilustrar las características básicas de un modelo de líneas de
espera, veamos el siguiente caso de estudio:
El restaurante de comida rápida Burger Dome vende hamburguesas,
sencillas con queso, papas fritas; así como refrescos y malteadas, y
diversos postres. Aunque los administradores desean dar un servicio
inmediato a todos los clientes, en ocasiones llegan más de los que el
personal puede atender. Por ello, los clientes hacen cola para
colocar y recibir sus pedidos.
A la gerencia de Burger Dome les preocupa que los métodos que
emplean actualmente para atender a sus clientes dan como
resultado tiempos de espera excesivos. La gerencia desea estudiar
la línea de espera para determinar el método más adecuado para
reducir los tiempos de espera y mejorar el servicio.
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9. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL UNICO:
En la operación actual de Burger Dome, un empleado recibe el
pedido, determina su costo total, recibe el dinero del cliente y
después surte el pedido. Una vez cubierto el pedido del primer
cliente, el empleado recibe el pedido del que sigue en la cola. Esta
operación es un ejemplo de una línea de espera de canal único. Así,
cada cliente que entra al restaurant Burger Dome debe pasar por un
canal - una estación de toma y entrega de pedidos – para hacer el
pedido, pagar el importe y recibir la comida. Cuando llegan más
clientes de los que es posible atender en forma inmediata, se forma
una fila y esperan a que esté disponible la estación que recibe y
surte los pedidos.
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
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10. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL UNICO:
En la figura siguiente se muestra un diagrama de la línea de espera
de un solo canal para el caso de estudio de Burger Dome:
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
Línea de espera
Toma y
entrega de
pedidos
Despachador
Sistema de línea de espera
Llegada
de
clientes
El cliente se
retira luego
que
le entregan
su pedido
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11. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS O ARRIBOS:
Definir el proceso de las llegadas a una línea de espera implica
determinar la distribución de probabilidad del número de
arribos en un determinado lapso de tiempo. Generalmente,
las llegadas ocurren de manera aleatoria e independiente de
otras y no es posible pronosticar el momento en que ocurrirá
una.
En estos casos, los científicos de la administración han
encontrado que la distribución de probabilidad de poisson
ofrece una buena descripción del patrón de llegadas.
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
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12. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS O ARRIBOS:
La función de probabilidad de Poisson, da la probabilidad de «x»
llegadas en un periodo de tiempo especifico. La función de
probabilidad es la siguiente:
Donde:
x = numero de llegadas en el periodo de tiempo.
l = numero medio de llegadas por periodo de tiempo.
e = 2.71828
El numero medio de llegadas por periodo de tiempo «l» se llama
tasa de llegadas.
𝑷 𝒙 =
λ
𝒙
𝒆−λ
𝒙!
; 𝒄𝒐𝒏 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … …
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
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13. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS O ARRIBOS:
Suponga que Burger Dome analizó los datos sobre llegadas de
clientes y concluyó que la tasa de arribos es de 45 clientes por hora.
Para un periodo de 1 minuto la tasa de llegadas seria λ = (45 clientes
/60 minutos) = 0.75 clientes por minuto. Por tanto, se puede utilizar
la función de probabilidad de Poisson para calcular la probabilidad
de «x» llegadas durante un periodo de 1 minuto:
Por tanto, las probabilidades de 0, 1 y 2 llegadas por minuto son las
siguientes:
P(0)= 0.4724; P(1)= 0.3543; P(2)= 0.1329
𝑷 𝒙 =
λ
𝒙
𝒆−λ
𝒙!
=
0.75𝒙
𝒆−0.75
𝒙!
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
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14. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
Vemos que la probabilidad de que no lleguen clientes en un periodo
de un minuto es de 0.4724 y la probabilidad de que haya 2 llegadas
en un periodo de tiempo de un minuto es de 0.1329.
Los modelos de líneas de espera que se presentaran mas adelante
utilizan la distribución de Poisson para describir las llegadas de
clientes a Burger Dome. En la práctica se debe registrar el número
real de llegadas por periodo durante varios días o semanas y
comparar la distribución de frecuencia del numero observado de
llegadas con la distribución de probabilidad de Poisson, para
determinar si ésta da una aproximación razonable de la distribución
de las llegadas.
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15. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO:
El tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la
instalación una vez iniciado el servicio. En Burger Dome, el tiempo
de servicio se inicia cuando un cliente comienza a hacer su pedido
con el empleado y continua hasta que lo recibe. Los tiempos de
servicio rara vez son constantes. Los investigadores determinaron
que se puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial
para encontrar la probabilidad de que el tiempo de servicio sea
menor o igual a un tiempo de duración «t»
.
m = numero medio de clientes que pueden ser atendidos por
periodo de tiempo. «m» se llama tasa de servicio.
𝑷 𝒕𝒊𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐 ≤ 𝒕 = 𝟏 − 𝒆−𝝁𝒕
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16. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
DISTRIBUCIÓN DE LOS TIEMPOS DE SERVICIO:
Suponga que Burger Dome analizó el proceso de toma y entrega de
pedidos y encontró que un empleado puede procesar un promedio
de 60 pedidos por hora. Basada en un minuto, la tasa de servicio
seria m = 60 clientes/ 60 minutos = 1 cliente por minuto. Por tanto,
se puede utilizar la función de probabilidad exponencial para
calcular la probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o
igual que un «t»:
Por tanto, tenemos que:
𝑃 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 ≤ 0.5𝑚𝑖𝑛 = 1 − 𝑒−1 0.5 = 0.3935
𝑃 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 ≤ 1𝑚𝑖𝑛 = 1 − 𝑒−1 1.0
= 0.6321
𝑃 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖𝑐𝑖𝑜 ≤ 2𝑚𝑖𝑛 = 1 − 𝑒−1 2.0 = 0.8647
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17. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
DISCIPLINA EN LA LÍNEA DE ESPERA:
Al describir un sistema de línea de espera debemos definir la
manera en que los clientes que esperan se ordenan para ser
atendidos. De este modo tenemos:
Primero en entrar, primero en salir (FIFO - PEPS) o primero en
llegar, primero en ser servido (FCFS - PLPS): los clientes son
atendidos en el orden en que van llegando. (clientes de bancos).
Ultimo en entrar, primero en salir (LIFO - UEPS) o último en
llegar, primero en ser servido (LIFS - ULPS): el cliente que ha
llegado último es el primero en ser atendido. Ejemplo: procesos
de producción donde los productos llegan a una estación de
trabajo y son apilados uno encima de otro.
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
18. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
DISCIPLINA EN LA LÍNEA DE ESPERA:
Selección de prioridad (disciplinas de prioridad en espera):
Proceso de llegadas en que a cada cliente se le da una
prioridad y de acuerdo a ésta es seleccionado para el
servicio.
Servicio en orden aleatorio (SEOA) Cuando el orden en
que llegan los clientes no tiene efecto sobre el orden en
que se les sirve. Por ejemplo, al abordar un ómnibus, la
suerte de la selección determina con frecuencia al
siguiente cliente que es atendido.
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
19. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
OPERACIÓN CONSTANTE EN ESTADO ESTABLE:
Para el caso de Burger Dome, cuando el restaurant abre en la
mañana, no hay clientes en el restaurant. Gradualmente, la
actividad se incrementa hasta un estado de forma constante,
normal o estable.
El período de comienzo o principio se conoce como período
transitorio, el mismo que finaliza cuando el sistema alcanza la
operación de estado estable o normal.
Los modelos de línea de espera describen las características de
operación en estado estable o constante (normal) de una línea de
espera.
ESTRUCTURA DE UN SISTEMA DE LÍNEA DE ESPERA
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20. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON
LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO
EXPONENCIALES
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Presentamos un conjunto de formulas matemáticas que se utilizan
para determinar las características de operación constante de una
línea de espera de canal único. Estas son apropiadas si:
Las llegadas siguen una distribución de probabilidad poisson, y
Los tiempos de servicio llevan una distribución de probabilidad
exponencial.
Estos supuestos son validos para el problema de Burger Dome visto,
demostraremos como empleamos las formulas para determinar las
características de operación de Burger Dome, y por tanto, aportan
información útil para la toma de decisiones.
21. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
Sean:
l = numero medio de llegadas por periodo de tiempo (tasa de
llegadas).
m = numero medio de servicios por periodo de tiempo (tasa de
servicios).
Para que el sistema alcance una condición de estado estable, la tasa
de servicio promedio «m» debe ser mayor que la tasa de llegadas
promedio «l». Si éste no fuera el caso, la cola del sistema
continuaría creciendo debido a que, en promedio, llegarían más
clientes que los que pueden ser atendidos por unidad de tiempo.
22. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
1. Probabilidad de que no haya unidades (clientes) en el
sistema:
𝑷𝟎 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
2. Numero promedio de unidades (clientes) en la línea de
espera:
𝑳𝒒 =
𝝀𝟐
𝝁(𝝁 − 𝝀)
3. Numero promedio de unidades (clientes) en el sistema:
𝑳 = 𝑳𝒒 +
𝝀
𝝁
23. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
4. Tiempo promedio que la unidad (cliente) pasa en la línea de
espera.
𝑾𝒒 =
𝑳𝒒
𝝀
5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el
sistema:
𝑾 = 𝑾𝒒 +
𝟏
𝝁
6. Probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga
que esperar a ser atendida:
𝑷𝒘 =
𝝀
𝝁
24. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
7. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema.
𝑷𝒏 =
𝝀
𝝁
𝒏
𝑷𝟎
La ecuación «6» muestra que la relación de «l/m» da la
probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar por
que la instalación de servicio esta ocupada. Entonces, «l/m» se
conoce como factor de uso de la instalación de servicio.
Las ecuaciones «1» y «7» requieren que el valor de «m>l», o dicho
de otro modo «l/m<1». Si no se da esta condición, la línea de
espera crecerá sin limite por que la instalación de servicio no tiene
suficiente capacidad para atender a los clientes que llegan.
25. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DE BURGER DOME:
1. 𝑷𝟎 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
= 𝟏 −
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
= 𝟎. 𝟐𝟓
2. 𝑳𝒒 =
𝝀𝟐
𝝁(𝝁−𝝀)
=
𝟎.𝟕𝟓𝟐
𝟏(𝟏−𝟎.𝟕𝟓)
= 𝟐. 𝟐𝟓 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
3. 𝑳 = 𝑳𝒒 +
𝝀
𝝁
= 𝟐. 𝟐𝟓 +
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
= 𝟑 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔
4. 𝑾𝒒 =
𝑳𝒒
𝝀
=
𝟐.𝟐𝟓
𝟎.𝟕𝟓
= 𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
5. 𝑾 = 𝑾𝒒 +
𝟏
𝝁
= 𝟑 +
𝟏
𝟏
= 𝟒 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
6. 𝑷𝒘 =
𝝀
𝝁
=
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
= 𝟎. 𝟕𝟓
26. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
La ecuación - 𝑷𝒏 =
𝝀
𝝁
𝒏
𝑷𝟎 - puede usarse para determinar la
probabilidad de que haya cualquier numero de clientes en el
sistema. De este modo, obtenemos la información de probabilidad
de la siguiente tabla:
N° de clientes Probabilidad
0 0.2500
1 0.1875
2 0.1406
3 0.1055
4 0.0791
5 0.0593
7 o mas 0.1335
Muestra la distribución de
probabilidad para el N° de clientes que
se encuentran en el sistema. Permite
responder: ¿Cuál es la probabilidad
de que no haya más de tres clientes
en el sistema? En este caso, la
respuesta de 0.6836 que se obtiene
mediante la suma de las primeras
cuatro probabilidades de la tabla (para
n = 0, 1, 2, 3).
27. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
Resultados sobre la operación de línea de espera de Burger Dome:
1. Los clientes esperan en promedio de 3 minutos antes de que
empiecen a hacer un pedido, lo que parece mucho tiempo para
un negocio basado en el servicio rápido.
2. El N° promedio de clientes en la cola es de 2.25 y que 75% de los
clientes que llegan tienen que esperar para que los atiendan,
indican que se debe hacer algo para mejorar la operación de la
línea de espera.
3. La probabilidad de que 7 o mas clientes estén en el sistema de
Burger Dome a la vez es 0.1335, lo cual indica una probabilidad
bastante alta de que la empresa afrontara algunas líneas de
espera largas si sigue empleando la operación de un solo canal.
28. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS POISSON
Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
MEJORA DE LA OPERACIÓN DE LA LÍNEA DE ESPERA :
Los modelos de líneas de espera indican con frecuencia cuando es
necesario mejorar sus características de operación. No obstante la
decisión dependerá de las ideas y creatividad del analista.
Los analistas a menudo se enfocan en formas de mejorar la tasa de
servicios. En general la tasa de servicios mejora con uno o ambos de
las siguientes cambios:
1. Incrementar la tasa de servicio por medio de un cambio de
diseño creativo o una nueva tecnología.
2. Agregar uno o mas canales de servicio de modo que mas clientes
puedan ser atendidos al mismo tiempo.
29. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES
CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO
EXPONENCIALES
Se compone de 2 o mas canales de servicio y se suponen
idénticos en función de capacidad de servicio.
Con proceso de llegada en el que los clientes se presentan de
acuerdo a un proceso de Poisson con una tasa promedio de «l »
clientes por unidad de tiempo.
Un proceso de colas que consiste en una sola línea de espera de
capacidad infinita.
Un proceso de servicio que consiste en «k» servidores o canales
idénticos, cada uno de los cuales atiende a los clientes de
acuerdo con una distribución exponencial con promedio de «m»
clientes por unidad de tiempo.
30. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES
CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO
EXPONENCIALES
Línea de espera
Sistema de línea de espera
Llegada
de
clientes
El cliente se
retira luego
que le
entregan su
pedido
Canal 2
Canal 1
Despachador A
Despachador A
31. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
A continuación veremos las fórmulas para determinar las
características de operación constante de una línea de espera de
múltiples canales. Estas formulas son apropiadas siempre que se
cumplan las siguientes condiciones:
Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson.
El tiempo de servicio de cada canal sigue una distribución de
probabilidad exponencial.
La tasa de servicios «m» es la misma para cada canal.
Las llegadas esperan en una sola línea de espera y luego se
dirigen al primer canal abierto para que las atienda.
32. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
Las siguientes formulas se emplean para encontrar las
características de operación de líneas de espera de múltiples
canales; donde:
l = Tasa de llegadas del sistema.
m = Tasa de servicios de cada canal.
k = numero de canales.
1. Probabilidad de que no haya unidades (clientes) en el sistema:
𝑷𝟎 =
𝟏
𝒏=𝟎
𝒌−𝟏
𝝀
𝝁
𝒏
𝒏!
+
𝝀
𝝁
𝒌
𝒌!
𝒌𝝁
𝒌𝝁 − 𝝀
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
33. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
2. Numero promedio de unidades (clientes) en la línea de
espera:
𝑳𝒒 =
𝝀
𝝁
𝒌
𝝀𝝁
𝒌 − 𝟏 ! 𝒌𝝁 − 𝝀 𝟐
𝑷𝟎
3. Numero promedio de unidades (clientes) en el sistema:
𝑳 = 𝑳𝒒 +
𝝀
𝝁
4. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en la
línea de espera.
𝑾𝒒 =
𝑳𝒒
𝝀
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
34. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema:
𝑾 = 𝑾𝒒 +
𝟏
𝝁
6. Probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que
esperar a ser atendida:
𝑷𝒘 =
𝟏
𝒌!
𝝀
𝝁
𝒌
𝒌𝝁
𝒌𝝁 − 𝝀
𝑷𝟎
7. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema.
𝑷𝒏 =
𝝀 𝝁 𝒏
𝒏!
𝑷𝟎; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 ≤ 𝒌
𝑷𝒏 =
𝝀 𝝁 𝒏
𝒌! 𝒌 𝒏−𝒌
𝑷𝟎; 𝒄𝒐𝒏 𝒏 > 𝒌
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
35. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
Como «m» es la tasa de servicio de cada canal, «km» es la del
sistema de múltiples canales. En forma similar que para el modelo
de líneas de espera de canal único, las formulas de las
características de operación de líneas de espera de múltiples
canales se aplica solo en situaciones en las que la tasa de servicios
del sistema es mayor que su tasa de llegadas. Es decir, si: «km > l».
Algunas expresiones de las características de operación de líneas de
espera de múltiples canales son mas complejas que sus
contrapartes de canal único. Sin embargo la ecuación «1» y «7»
dan la misma información que la provista por el modelo de canal
único.
36. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DE BURGER DOME:
Suponga que la gerencia evalúa abrir una estación de
procesamiento de pedidos de modo que dos clientes puedan ser
atendidos al mismo tiempo.
De este modo, para el sistema se tiene para el sistema de k = 2
canales. Con una tasa de llegadas de l = 0.75 clientes por minuto y
una tasa de servicios de m = 1 cliente por minuto por cada canal. Se
obtienen las características de operación:
1. 𝑷𝟎 =
𝟏
𝒏=𝟎
𝟏
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
𝟎
𝟎!
+
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
𝟐
𝟐!
𝟐.𝟏
𝟐.𝟏−𝟎.𝟕𝟓
= 0.4545
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
37. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DE BURGER DOME:
2. 𝑳𝒒 =
𝟎.𝟕𝟓 𝟏 𝟐 𝟎.𝟕𝟓 𝟏
𝟐−𝟏 ! 𝟐 𝟏 −𝟎.𝟕𝟓 𝟐 𝟎. 𝟒𝟓𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟕 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
3. 𝑳 = 𝑳𝒒 +
𝝀
𝝁
= 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟕 +
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
= 𝟎. 𝟖𝟕𝟐𝟕 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
4. 𝑾𝒒 =
𝑳𝒒
𝝀
=
𝟎.𝟏𝟐𝟐𝟕
𝟎.𝟕𝟓
= 𝟎. 𝟏𝟔𝟑𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐
5. 𝑾 = 𝑾𝒒 +
𝟏
𝝁
= 𝟎. 𝟏𝟔𝟑𝟔 +
𝟏
𝟏
= 𝟏. 𝟏𝟔𝟑𝟔 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
6. 𝑷𝒘 =
𝟏
𝟐!
𝟎.𝟕𝟓
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟐 𝟏 −𝟎.𝟕𝟓
𝟎. 𝟒𝟓𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟒𝟓
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
38. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
Empleando las ecuaciones «7» − (𝑷𝒏) − determinamos la
probabilidad de que haya «n» clientes en el sistema. Los
resultados se resumen en la siguiente tabla:
N° de
clientes
Probabilida
d
0 0.4545
1 0.3409
2 0.1278
3 0.0479
4 0.0180
5 o mas 0.0109
Muestra la distribución de
probabilidad para el N° de clientes que
se encuentran en el sistema. Permite
responder: ¿Cuál es la probabilidad
de que no haya más de tres clientes
en el sistema? En este caso, la
respuesta de 0.6836 que se obtiene
mediante la suma de las primeras
cuatro probabilidades de la tabla (para
n = 0, 1, 2, 3).
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
39. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Comparemos las características de operación constante del sistema
de dos canales con las características de operación del sistema de
canal único original de línea de espera de Burger Dome:
1. El tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema (tiempo de
espera mas tiempo de servicio) se reduce de W=4 minutos a
W=1.1636 minutos.
2. En N° promedio de clientes formados en la línea de espera se
reduce de 𝑳𝒒 = 𝟐. 𝟐𝟓 clientes a 𝑳𝒒 = 𝟎. 𝟏𝟐𝟐𝟕 clientes.
3. El tiempo promedio que un cliente pasa en la línea de espera se
reduce de 𝑾𝒒 = 𝟑 minutos a 𝑾𝒒 = 𝟎. 𝟏𝟔𝟑𝟔 minutos.
4. La probabilidad e que un cliente tenga que esperar a que lo
atiendan se reduce de 𝑷𝒘 = 𝟎. 𝟕𝟓 a 𝑷𝒘 = 𝟎. 𝟐𝟎𝟒𝟓.
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
40. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Las decisiones que implican el diseño de líneas de espera se
basaran, con frecuencia en una evaluación subjetiva de las
características de operación de las líneas de espera. Así, los modelos
vistos pueden usarse para determinar el numero de canales que
cumplirán las metas de desempeño de las línea de espera deseadas
establecidas por el gerente.
Por otro lado, es posible que un gerente desee identificar el costo
de operar el sistema de línea de espera y luego basar la decisión con
respecto al diseño del sistema en un costo de operación mínimo por
hora o día.
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE
ESPERA
41. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Desarrollaremos un modelo de costo total de una línea de espera
definido la notación que se utilizara:
𝒄𝒘 = costo de espera por periodo de tiempo de cada unidad.
𝑳 = numero promedio de unidades en el sistema.
𝒄𝒔 = costo del servicio por periodo de tiempo de cada canal.
𝒌 = numero de canales.
𝑻𝑪 = costo total por periodo de tiempo.
El costo total es la suma del costo de espera y el costo de servicio;
es decir:
𝑻𝑪 = 𝒄𝒘𝑳 + 𝒄𝒔𝒌
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE
ESPERA
42. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Las estimaciones del costo de espera y costo de servicio deben ser
razonables. Para Burger Dome, el costo de espera seria el costo por
minuto que un cliente espera para que lo atiendan. Este costo no es
un costo directo para la empresa, pero obviarlo generaría y pérdida
de clientes que se irían a otra parte; así, Burger Dome perderá
ventas, y en realidad, incurrirá en costos.
El costo de servicio es el costo asociado con la operación de cada
canal de servicio. En el caso de Burger Dome, este costo incluiría el
salario y las prestaciones del despachador, y cualquier otro costo
directo asociado con al operación del canal de servicio. Se estima
que este costo para Burger Dome es de $7 por hora.
Asimismo, el costo por tiempo de espera de un cliente para Burger
Dome es de $10 por hora.
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE
ESPERA
43. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Emplearemos el numero promedio de unidades en el sistema
calculados anteriormente para obtener el costo total por hora de los
sistemas de un canal y dos canales.
Sistema de canal único (L = 3 clientes):
𝑻𝑪 = 𝒄𝒘𝑳 + 𝒄𝒔𝒌
𝑻𝑪 = 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟕 𝟏 = $𝟑𝟕. 𝟎𝟎 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂
Sistema de dos canales (L = 0.8727 clientes):
𝑻𝑪 = 𝒄𝒘𝑳 + 𝒄𝒔𝒌
𝑻𝑪 = 𝟏𝟎 0.8727 + 𝟕 𝟐 = $𝟐𝟐. 𝟕𝟑 𝒑𝒐𝒓 𝒉𝒐𝒓𝒂
Por tanto, el sistema de dos canales opera de forma mas
económica.
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE
ESPERA
44. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
ANÁLISIS ECONÓMICO DE LAS LÍNEAS DE
ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Nivel Óptimo
de Servicio
Nivel de Servicio
Costo por
ESPERA
Costo por
SERVICIO
Costo
Costo
Total
Mínimo
COSTO
TOTAL
ESPERADO FORMA
GENERAL DE
LAS CURVAS DE
COSTO DE
ESPERA, COSTO
DE SERVICIO Y
COSTO TOTAL
EN MODELOS
DE LÍNEA DE
ESPERA
45. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
OTROS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA
Se emplea una notación para clasificar la amplia variedad de
modelos de líneas de espera diferentes, denominado notación de
Kendall, que consta consta de 3 símbolos, como sigue:
A/B/k
Donde:
A = denota la distribución de probabilidad de las llegadas.
B = denota la distribución de probabilidad del tiempo de servicios.
k = denota el numero de canales.
En función de la letra que aparece en la posición «A» o «B», se
pueden describir varios sistemas de líneas de espera. Así:
M Designa una distribución de probabilidad de Poisson de las llegadas, o
una distribución de probabilidad exponencial del tiempo de servicio .
46. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
OTROS MODELOS DE LÍNEAS DE ESPERA
Empleando la notación de Kendall, el modelo de líneas de espera de
canal único con llegadas Poisson y tiempos de servicios
exponenciales se clasifica como modelo M/M/1.
El modelo de líneas de espera con dos canales y llegadas Poisson,
con tiempos de servicios exponenciales se clasificaría como modelo
M/M/2.
D Designa que las llegadas o el tiempo de servicio es
determinístico o constante.
G Designa que las llegadas o el tiempo de servicio tienen una
distribución de probabilidad con una media y varianza
conocidas.
47. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
MODELO DE LÍNEA DE ESPERA DE CANAL
ÚNICO CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE
SERVICIO ARBITRARIOS
Retomemos el modelo de líneas de espera de canal único con
llegadas Poisson. Sin embargo, ahora suponemos que la
distribución de los tiempos de servicios no es una distribución
de probabilidad exponencial. Así, empleando la notación
Kendall el modelo de línea de espera apropiado es un modelo
M/G/1; donde, «G» denota una distribución de probabilidad
general o no especifica.
48. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/G/1:
La notación empleada para describir las características de operación
del modelo M/G/1 es:
l = Tasa de llegadas.
m = Tasa de servicios.
s = desviación estándar del tiempo de servicios.
Algunas de las características de operación constante del modelo
M/G/1 es:
1. Probabilidad de que no haya unidades (clientes) en el sistema:
𝑷𝟎 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS
49. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
2. Numero promedio de unidades (clientes) en la línea de
espera:
𝑳𝒒 =
𝝀𝟐
𝝈𝟐
+ 𝝀 𝝁 𝟐
𝟐 𝟏 − 𝝀 𝝁
3. Numero promedio de unidades (clientes) en el sistema:
𝑳 = 𝑳𝒒 +
𝝀
𝝁
4. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en la
línea de espera.
𝑾𝒒 =
𝑳𝒒
𝝀
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
50. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN:
5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema:
𝑾 = 𝑾𝒒 +
𝟏
𝝁
6. Probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que
esperar a ser atendida:
𝑷𝒘 =
𝝀
𝝁
Observe que las relaciones de 𝐿, 𝑊
𝑞 𝑦 𝑊 son las mismas que las
relaciones utilizadas para los modelos de línea de espera de canal
único y de dos canales.
LÍNEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO EXPONENCIALES
51. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS
VEAMOS UN EJEMPLO: Las ventas al detalle (menudeo) en Trujillo
Market son manejadas por un dependiente. Las llegadas de los
clientes son aleatorias y la tasa de llegadas es de 21 clientes por
hora o 𝝀 =
𝟐𝟏
𝟔𝟎
= 𝟎. 𝟑𝟓 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐. Un estudio del
proceso de servicio muestra que el tiempo de servicio es de 2
minutos por cliente con una desviación estándar de 1.2 minutos. El
tiempo medio de 2 minutos por cliente indica que el dependiente
tiene una tasa de servicio de 𝝁 =
𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟓 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐.
Las características de operación de este sistema de línea de espera
M/G/1 son:
52. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
1. 𝑷𝟎 = 𝟏 −
𝝀
𝝁
= 𝟏 −
𝟎.𝟑𝟓
𝟎.𝟓𝟎
= 𝟎. 𝟑𝟎
2. 𝑳𝒒 =
𝝀𝟐𝝈𝟐+ 𝝀 𝝁 𝟐
𝟐 𝟏−𝝀 𝝁
=
(𝟎.𝟑𝟓)𝟐(𝟏.𝟐)𝟐+ 𝟎.𝟑𝟓 𝟎.𝟓𝟎 𝟐
𝟐 𝟏−𝟎.𝟑𝟓 𝟎.𝟓𝟎
= 𝟏. 𝟏𝟏𝟎𝟕 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
3. 𝑳 = 𝑳𝒒 +
𝝀
𝝁
= 𝟏. 𝟏𝟏𝟎𝟕 +
𝟎.𝟑𝟓
𝟎.𝟓𝟎
= 𝟏. 𝟖𝟏𝟎𝟕 𝒄𝒍𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔.
4. 𝑾𝒒 =
𝑳𝒒
𝝀
=
𝟏.𝟏𝟏𝟎𝟕
𝟎.𝟑𝟓
= 𝟑. 𝟏𝟕𝟑𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔
5. 𝑾 = 𝑾𝒒 +
𝟏
𝝁
= 𝟑. 𝟏𝟕𝟑𝟑 +
𝟏
𝟎.𝟓𝟎
= 𝟓. 𝟏𝟕𝟑𝟑 𝒎𝒊𝒏𝒖𝒕𝒐𝒔.
6. 𝑷𝒘 =
𝝀
𝝁
=
𝟎.𝟑𝟓
𝟎.𝟓𝟎
= 𝟎. 𝟕𝟎
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS
53. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES:
Una línea de espera de canal único que asume llegadas aleatorias y
tiempos de servicio constantes puede ocurrir en entornos de
producción y manufactura donde los tiempos de servicio
controlados por maquinas son constantes. El modelo M/D/1
describe esta línea de espera, donde «D» denota los tiempos de
servicio determinísticos. Con el modelo M/D/1, el numero
promedio de unidades en la línea de espera, 𝑳𝒒, se calcula con:
𝑳𝒒 =
𝝀𝟐
𝝈𝟐
+ 𝝀 𝝁 𝟐
𝟐 𝟏 − 𝝀 𝝁
Con la condición de que 𝝈 = 𝟎
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS
54. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
TIEMPOS DE SERVICIO CONSTANTES:
Por tanto, la expresión para el numero promedio de unidades o
clientes en la línea de espera M/D/1 es:
𝑳𝒒 =
𝝀 𝝁 𝟐
𝟐 𝟏 − 𝝀 𝝁
Las otras expresiones o formulas presentadas con anterioridad para
el modelo M/G/1 se utilizan para determinar las características de
operación o medidas de desempeño adicionales del sistema M/D/1.
LÍNEA DE ESPERA DE CANAL ÚNICO CON LLEGADAS
POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS
55. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Una interesante variación de los modelos de línea de espera
analizados anteriormente, es aquel sistema en la que no se
permite esperar. Los clientes que llegan buscan ser atendidos
en uno de los varios canales de servicio. Si todos los canales
están ocupados, a los clientes que llegan se les impide el
acceso al sistema. Es decir, las llegadas que ocurren cuando el
sistema esta completo son bloqueadas y eliminadas del
sistema. Tales clientes pueden perderse o intentar retornar
mas tarde.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS
POISSON, TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN
LÍNEA DE ESPERA
56. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Este modelo especifico se basa en los siguientes supuestos:
1. El sistema tiene «k» canales.
2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson,
con una tasa de llegadas «l».
3. El tiempo de servicio de cada canal puede tener cualquier
distribución de probabilidad.
4. La tasa de servicio «m» es la misma para cada canal.
5. Una llegada entra al sistema solo si por lo menos un canal esta
disponible. Una llegada que ocurre cuando todos los canales
están ocupadas es bloqueada, es decir, se le niega el servicio y
no se le permite entrar al sistema.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
57. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Con «G» que denota una distribución de probabilidad general o no
especificada de tiempos de servicio, el modelo apropiado en este caso se
conoce como el modelo M/G/k con «clientes bloqueados eliminados». La
pregunta abordada en este caso es ¿cuántos canales o despachadores se
deberán emplear?.
Este modelo es aplicable en sistemas de comunicación telefónicos u otros
sistemas de comunicación donde las llegadas son las llamadas y los canales
son el numero de líneas telefónicas o de comunicación disponibles. En un
sistema así, las llamadas se hacen a un numero telefónico, con cada
llamada automáticamente dirigida a un canal abierto, si es posible.
Cuando todos los canales están ocupados, las llamadas adicionales reciben
un tono de ocupado y se niega el acceso al sistema.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
58. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DEL MODELO M/G/k CON
CLIENTES BLOQUEADOS ELIMINADOS :
Se aborda el problema de seleccionar el mejor numero de canales al
calcular la probabilidades constantes de que los canales «j» y «k»
estarán ocupados. Estas probabilidades son:
𝑷𝒋 =
𝝀 𝝁 𝒋/𝒋!
𝒊=𝟎
𝒌
𝝀 𝝁 𝒊/𝒊!
Donde:
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
l = tasa de llegadas k = numero de canales
m = tasa de servicio de cada
canal
𝑷𝒋= probabilidad de que «j» de los canales
estén ocupados, con j=0, 1, 2, 3….k
59. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN DEL MODELO M/G/k CON
CLIENTES BLOQUEADOS ELIMINADOS :
El valor de probabilidad mas importante es 𝑷𝒌, el cual es la
probabilidad de que todos los «k» canales estén ocupados. En
porcentaje, 𝑷𝒌 indica que el porcentaje de llegadas bloqueadas y a
las que se les niega el acceso al sistema.
Otra característica de operación de interés es el numero promedio
de unidades en el sistema: vera que este numero equivale al
numero promedio de canales en uso. Con «L» como el numero
promedio de unidades en el sistema, tenemos:
𝑳 =
𝝀
𝝁
𝟏 − 𝑷𝒌
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
60. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
EJEMPLO: Microdata Software Inc. utiliza un sistema de ventas por
teléfono para sus productos de software. Los posibles clientes
hacen pedidos a Microdata por medio del numero telefónico 800 de
la empresa. Suponga que las llamadas llegan a razón de l = 12
llamadas por hora. El tiempo requerido para procesar un pedido
hecho por teléfono varia de forma considerable de un pedido a
otro. Sin embargo, es posible que cada representante de ventas de
Microdata atienda m = 6 llamadas por hora. En la actualidad, el
numero telefónico 800 dispone de tres líneas internas, cada una
operada por un representante de ventas distinto. Las llamadas
recibidas en el numero 800 se transfieren automáticamente a una
línea o canal abierto si esta disponible.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
61. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Si las tres líneas están ocupadas, los llamadores reciben una señal
de ocupado. En el pasado la gerencia de Microdata suponía que los
posibles clientes que recibían un tono de ocupado volverían a
llamar. Sin embargo, estudios recientes sobre ventas por teléfono
demostraron que un numero importante de estos ya no volvían a
llamar. Estas llamadas pérdidas representan perdida de ingresos
para la empresa, por lo que la gerencia pidió que se analizara el
sistema de ventas por teléfono a fi de conocer el porcentaje de
posibles clientes que obtenía señal de ocupado y no tenían acceso
al sistema. La meta es contar con suficiente capacidad para atender
al 90% de los posibles clientes. ¿Cuántas líneas telefónicas y cuantos
representantes de ventas requiere Microdata?.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
62. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Calcularemos 𝑷𝟑, la probabilidad de que las tres líneas actualmente
disponibles estén en uso y que mas clientes no tengan acceso al
sistema:
𝑷𝟑 =
𝟏𝟐 𝟔 𝟑
/𝟑!
𝟏𝟐
𝟔
𝟎
𝟎!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟏
𝟏!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟐
𝟐!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟑
𝟑!
=
𝟏. 𝟑𝟑𝟑
𝟔. 𝟑𝟑𝟑
= 𝟎. 𝟐𝟏𝟎𝟓
Con 𝑷𝟑, aproximadamente el 21% de las llamadas, o poco mas de
una de cinco llamadas, es bloqueada. Solo el 79% de las llamadas es
atendida de inmediato por el sistema de tres líneas.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
63. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Calcularemos 𝑷𝟒, la probabilidad de que cuatro líneas puedan estar
disponibles y en uso; y por lo mismo, mas clientes no tengan acceso
al sistema:
𝑷𝟒 =
𝟏𝟐 𝟔 𝟒/𝟒!
𝟏𝟐
𝟔
𝟎
𝟎!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟏
𝟏!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟐
𝟐!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟑
𝟑!
+
𝟏𝟐
𝟔
𝟒
𝟒!
𝑷𝟒 =
𝟎. 𝟔𝟔𝟕
𝟕
= 𝟎. 𝟎𝟗𝟓𝟐
Con solo 9.52% de los posibles clientes bloqueados, el 90.48% de
los posibles clientes lograra comunicarse con los representantes de
ventas.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
64. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
El numero promedio de llamadas en el sistema de cuatro líneas, y
por tanto el numero de líneas y representantes de ventas que
estarán ocupados es:
𝑳 =
𝝀
𝝁
𝟏 − 𝑷𝟒 =
𝟏𝟐
𝟔
𝟏 − 𝟎. 𝟎𝟗𝟓𝟐 = 𝟏. 𝟖𝟎𝟗𝟓
Aun cuando un promedio de menos de dos líneas estarán ocupadas,
el sistema de cuatro líneas es necesario para tener la capacidad de
atender por lo memos al 90% de los posibles clientes.
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
65. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Empleando la formula de «𝑷𝒌», calcularemos la probabilidad
de que 0, 1, 2, 3,o 4 líneas estén ocupadas; cuyos resultados
se resume en el siguiente cuadro:
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
Numero de líneas
ocupadas
probabilidad
0 0.1429
1 0.2857
2 0.2857
3 0.1905
4 0.0952
66. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Como vimos anteriormente, se puede emplear un análisis
económico de las líneas de espera como guía para tomar decisiones
de diseño del sistema. Para Microdata, el costo de la línea y el
representante de ventas adicionales deberá ser relativamente fácil
de establecer. Este costo puede balancearse contra el costo de
llamadas bloqueadas. Con 9.52% de las llamadas bloqueadas y 𝝀 =
𝟏𝟐 llamadas por hora, un día de 8 horas tendrá un promedio de
8(12)(0.0925) = 9.1 llamadas bloqueadas. Si Microdata puede estimar el
costo de las posibles ventas perdidas, el costo de estas llamadas
bloqueadas puede establecerse. El análisis económico basado en el costo
del servicio y el costo de cada llamada bloqueada pueden ayudar a
determinar el numero optimo de líneas para el sistema
MODELO DE MULTIPLES CANALES CON LLEGADAS POISSON,
TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIOS Y SIN LÍNEA DE
ESPERA
67. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
El modelo de población con fuente finita se basa en los siguientes
supuestos:
1. Las llegadas de cada unidad sigue una distribuían de
probabilidad de Poisson, con tasa de llegadas «l».
2. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad
Exponencial, con tasa de servicio «m».
3. La población de unidades o clientes que buscan ser atendidas es
finita.
Con un solo canal, el modelo de línea de espera se conoce como
modelo M/M/1 con una población con fuente finita.
MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS
68. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
La tasa de llegadas del modelo M/M/1 con una población con
fuente finita se define en función de que tan frecuentemente
llega una unidad o busca que la atiendan. Esta situación
difiere de la de los casos modelos de línea de espera previos,
en los que «l» denotaba la tasa de llegadas del sistema. Con
una población con fuente finita, la tasa de llegadas del sistema
varia, según el número de unidades en el sistema.
Así, en lugar de ajustar con base en la tasa de llegadas
variable, en el modelo de población con fuente finita «l»
indica la tasa de llegadas de cada unidad.
MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS
69. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA POBLACIÓN
CON FUENTE FINITA:
Las siguientes formulas se emplean para determinar las
características de operación constante del modelo M/M/1 con una
población con fuente finita; donde:
l = Tasa de llegadas de cada unidad.
m = Tasa de servicios.
N = tamaño de la población.
1. Probabilidad de que no haya unidades (clientes) en el sistema:
𝑷𝟎 =
𝟏
𝒏=𝟎
𝑵 𝑵!
𝑵 − 𝒏 !
𝝀
𝝁
𝒏
MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS
70. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA
POBLACIÓN CON FUENTE FINITA:
2. Numero promedio de unidades (clientes) en la línea de
espera:
𝑳𝒒 = 𝑵 −
𝝀 + 𝝁
𝝀
𝟏 − 𝑷𝟎
3. Numero promedio de unidades (clientes) en el sistema:
𝑳 = 𝑳𝒒 + 𝟏 − 𝑷𝟎
4. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en la
línea de espera.
𝑾𝒒 =
𝑳𝒒
𝑵 − 𝑳 𝝀
MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS
71. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
CARACTERÍSTICAS DE OPERACIÓN M/M/1 CON UNA POBLACIÓN
CON FUENTE FINITA:
5. Tiempo promedio que una unidad (cliente) pasa en el sistema:
𝑾 = 𝑾𝒒 +
𝟏
𝝁
6. Probabilidad de que una unidad (cliente) que llega tenga que
esperar a ser atendida:
𝑷𝒘 = 𝟏 − 𝑷𝟎
6. Probabilidad de que haya «n» unidades (clientes) en el sistema:
𝑷𝒏 =
𝑵!
𝑵 − 𝒏 !
𝝀
𝝁
𝒏
𝑷𝟎; 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … . , 𝑵
MODELOS DE LÍNEA DE ESPERA CON FUENTES FINITAS
72. TEORÍA DE COLAS O LÍNEAS DE ESPERA
Investigación de Operaciones Económicas II Econ. Romel Rojas Melgarejo
Una de las aplicaciones del modelo M/M/1 con población finita se
conoce como problema de reparación de maquinarias. La
población finita es un grupo de maquinas que solicita el servicio de
reparación. Siempre que una maquina se descompone ocurre una
llegada (nueva solicitud de reparación). Si una maquina se
descompone antes de culminada la reparación de una primera, esta
ultima inicia la línea de espera para el servicio de reparación. Otras
maquinas que se descompongas prolongaran la línea de espera. Las
maquinas, entonces, se reparan en el orden en que se
descomponen. El modelo M/M/1 muestra que una persona o canal
esta disponible para realizar el servicio de reparación. Así, cada
maquina descompuesta debe ser reparada por la operación de
canal único.
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EJEMPLO: Kolkmeyer Factoring utiliza un grupo de seis maquinas
idénticas, cada una funciona un promedio de 20 horas entre
descomposturas ( 𝝀 = 𝟏 𝟐𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟓 por hora). Con las
descomposturas ocurriendo al azar, se utiliza la distribución de
probabilidad de Poisson para describir el proceso de llegadas de
maquinas descompuestas. Una persona del departamento de
mantenimiento proporciona el servicio de reparación de canal único
para las seis maquinas. Los tiempos de servicios exponencialmente
distribuidos tienen una media de dos horas por maquina (𝝁 =
𝟏 𝟐 = 𝟎. 𝟓 maquinas por hora).
Empleamos las formulas del modelo M/M/1 con población finita
para calcular las características de operación de este sistema.
Podemos calcular que el valor de 𝑷𝟎 = 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟓 (compruébelo).
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Los cálculos de las demás características de operación son:
1. 𝑳𝒒 = 𝟔 −
𝟎.𝟎𝟓+𝟎.𝟓
𝟎.𝟎𝟓
𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟗𝟕 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂.
2. 𝑳 = 𝟎. 𝟑𝟐𝟗𝟕 + 𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟖𝟒𝟓𝟏 𝒎𝒂𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂
3. 𝑾𝒒 =
𝟎.𝟑𝟐𝟗𝟓
𝟔−𝟎.𝟖𝟒𝟓𝟏 𝟎.𝟎𝟓
= 𝟏. 𝟐𝟕𝟖𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
4. 𝑾 = 𝟏. 𝟐𝟕𝟖𝟒 +
𝟏
𝟎.𝟓
= 𝟑. 𝟐𝟕𝟖𝟒 𝒉𝒐𝒓𝒂𝒔
5. 𝑷𝒘 = 𝟏 − 𝟎. 𝟒𝟖𝟒𝟓 = 𝟎. 𝟓𝟏𝟓𝟓
6. Con la formula 𝑷𝒏 calcule las probabilidades de que haya
cualquier numero de maquinas en el sistema de
reparación.
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Según los resultados, una maquina descompuesta espera un
promedio de 1.2784 horas antes que se inicie el servicio y el hecho
de que mas del 50% de las maquinas descompuestas esperan el
servicio de reparación (𝑷𝒘 = 𝟎. 𝟓𝟏𝟓𝟓) indica que puede que se
requiera un sistema de dos canales para mejorar el servicio de
reparación de las maquinas.
Los cálculos de las características de operación de una línea de
espera de población con fuente finita de múltiples canales son mas
complejos que los de un modelo de canal único. En este caso una
solución por computadora es virtualmente obligatorio.
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