2. “Haosul naste de multe ori viata, atunci cand ordinea naste obicei ” Henry Brooks Adams “Un punctpierdut e lumea. In haosulimens Toatastiintanoastracuvintefarasens Om, pasaresifloaresuntumbre in abis Zadarnicestegandul, iarexistenta – vis” Omar Khayyam “Ordinea este doar o forma dominanta a haosului” Kerry Thornley “Adevaratele descoperiri vin dintr-un haos” Chuck Palahniuk “Civilizatia incepe cu ordinea, creste cu libertatea si moare cu haosul” Will Durant “Haosul este un nume pentru orice ordine care produce confuzie in mintea noastra” George Santayana
4. …pot duce la rezultate complet diferite. Teoria haosului afirmă că mici variaţii ale unor parametri ai unui sistem complex…
5. Probabil că aţi auzit de efectul fluturelui (ori, în varianta engleză, butterfly effect). Acest exemplu vine din zona meteorologiei şi ne spune că mici variaţii ale vremii într-o anumită parte a globului pot duce la modificări semnificative ale situaţiei meteo din altă parte a Pământului; ori, mai simplu spus, bătaia aripilor unui fluture în Bucureşti poate duce la declanşarea unui uragan în Pacific.
6. Teoria haosului porneste de la ideea ca trebuie sa cautam în natura termeni contrarii, tensiunea generata de contradictii, de cumulare si relaxare, de invatare si uitare etc. Natura "lucreaza neliniar" si implicit haotic.
7. Cea mai des intalnita conceptie gresita in legatura cu teoria haosului este aceea ca aceasta teorie se refera la dezordine.Nimic nu e mai departe de adevar ca aceasta afirmatie.
8. “Haosul” din teoria haosului inseamna ordine in cel mai simplu sens al acestuia.
9. Astfel, teoria haosului nu pune accent pe dezordine(caracterul imprevizibil mostenit al unui sistem), ci pe ordinea mostenita a sistemului(caracterul universal al sistemelor similare).
11. In 1960, el lucra la o problema de prezicere a vremii. Lorenz construise un calculator cu un set de 12 ecuatii dupa modelul vremii. Nu prezicea vremea, teoretic, acest computer prezicea cum ar putea sa fie vremea. Intr-o zi din anul 1961, el a vrut sa revada o anumita secventa. Pentru a salva timp, a pornit de la mijlocul secventei si nu de la inceput. A introdus numerele din documentele printate anterior si a asteptat rezultatele. Intorcandu-se dupa o ora, a observat ca secventa evoluase diferit. In loc sa urmeze acelasi algoritm ca mai devreme, a divagate de la acesta, sfarsind complet diferit fata de original.Intr-un final, a realizat ce s-a intamplat. Computerul a stocat numerele pana la 6 zecimale in memorie. Pentru a economisi hartie, el le-a printat cu numai 3 zecimale. In secventa originala, numarul era .506127, iar el a intodus numai .506.
12. Atractorul Lorentz Graficul sistemului dinamic neliniar: are forma de fluture. In acest sistem: σ se numestenumarul Prandtl ρ se numeste numarul Rayleigh
13. AtractorulLorenz, numit in onoareaEdward N. Lorenz, este o structura fractala corespunzătoare comportamentul pe termen lung a oscilatorului Lorenz. Oscilator Lorenz este un sistem 3-dimensional dinamice care prezintă fluxul haotic, remarcat pentru forma sa lemniscate.
15. Traiectoriile urmate de-a lungul unui atractor straniu nu se încrucişează niciodată, acest fapt este interzis de determinism, ele constituie contururi care sunt din ce în ce mai strânse când sunt privite la scară din ce în ce mai mică. Atractorii stranii sunt obiecte fractale Până la descoperireaatractorilorstranii, existenţa unuiatractor a fostconsiderată o garanţie a stabilitaţii şireproductibilităţii, altfelspusproprietateaunuisistem de a ajunge „tot acolo”, indiferent de perturbaţii, oricarearficaracteristicileiniţiale.
16. Astfel, se vede ca prinregiuneaocupată de un atractorstraniu (fractal) pot treceoricât de multetraiectorii, iarfiecare din acestetraiectorii are un destindiferit de al celorlalte; situaţii iniţialepe care le putemalegeoricât de apropiate, pot genera evoluţii divergente. O cât de micădiferenţă, o cât de micăperturbaţiepoateaveaconsecinţe deosebite; acestcomportament a primitnumele de „efectulfluturelui” (butterfly effect).
17. Fractali Un fractal este un obiect geometric care este neregulat sau discontinuu la orice scară l-am privi şi care este „fracturat” într-un mod specific. Obiectul fractal poate fi desfăcut în părţi care sunt fiecare similare cu obiectul original. Un fractal are o infinitate de detalii, care se prezintăîntr-o succesiune care se repetă.
18. Istoria fractalilor are originea in anul 1975, cand apare lucrarea fondatorului geometriei fractale, Benoit Mandelbrot, “O teorie a sistemelor fractale”. Aparentele contradictorii dintre parerea acestuia despre matematica si natura rigida a matematicii impusa de matematicienii vremii, au generat aparitia unui nou concept, si anume a geometriei fractale . IstoriaFractalilor
19. Cu toate ca obiectelefractale au fostdescoperiteîncă de la sfârşitulsecolului al XIX-lea (1872 - K. Weierstrass, 1904 - Helge von Koch) ele au fostrecunoscuteabia in 1975 ca reprezentând un domeniunouîn matematică de către B. Mandelbrot care le-a denumitfractali.
20. S-a constatat cănenumaratefenomene pot fidescrisefolosindaceastăgeometrieiarfractaliişi-au găsit aplicaţii în ştiinţă, tehnologie, economie, artă, calculatoareşimultealtedomenii. Geometria fractalăesteastfelacearamură a matematicii care studiazăproprietăţilefractalilor.
21. Tipuri De Fractali După apariţia termenului de fractal s-a produs o adevărata frenezie în explorarea diverselor fenomene din perspectiva fractalilor, dar si găsirea celor mai spectaculoşi şi aratoşi fractali.
22. Sunt generaţi pornind de la o formă asupra căreia aplicăm în mod repetat acelaşi procedeu. De exemplu: - se ia un triunghi echilateral plin - se uneşte mijlocul laturilor triunghiului; astfel triunghiul mare va fi împărţit în altele 4 mai mici - se elimină mijlocul (zona va rămâne albă) - se continuă la infinit acelaşi procedeu pentru restul de 3 triunghiuri mici rămase şi pentru noile triunghiuri generate. Iterated Function System (IFS)
23. Evident, sunt programe specializate, cărora le specificăm forma iniţială (triunghi, cerc, linie etc) şi metoda (elimină treimea medie şi procedează la fel cu ce a rămas etc) iar soft-ul ne arată rezultatul.
24. Privind o frunză de ferigă reală observăm cum ramificaţiile principale seamănă foarte mult cu cele secundare si terţiare. Fractalul de mai sus surprinde acest aspect.
25. L-Systems Oarecum similari cu sistemele IFS din prisma imaginilor produse, L-systems încearcă sa simuleze creşterea naturală a organismelor. Se spune că dintr-o celulă de tip A se vor naşte 3 celule ABA, iar dintr-o celulă de tip B se vor naşte CACBCA. Pornind de la o singură celulă A şi repetând procedeul de multe ori obţinem un şir de caractere pe care dacă îl reprezentăm grafic ajungem la fractali.
26. Fractali iterativi Aceştiasuntprobabilceimaispectaculoşifractali; ei se obţinfolosind o ecuaţiematematicăpe care o iterăm de multeori. Ca valoare de pornirefolosim un punct din plan. In funcţie de rezultatulecuaţiei colorăm punctulrespectiv cu un cod de culoare. Primul şi cel mai celebru astfel de fractal este Ansamblul Mandelbrot descris de însuşi cel care a introdus noţiunea de fractal. Ecuaţia lui este foarte simplă, Z=Z*Z+C. Ceea ce obţinem în urma acestei ecuaţii este un fractal de o complexitate şi frumuseţe deosebită.
28. Fractali Naturali Fractalii naturali se găsesc oriunde în jurul nostru Fulgul de zăpadă Coada păunului Frunza de ferigă Conopida Norii Coralii Crengile bradului Floarea soarelui Plămânul
29.
30. O frunza de feriga, fractal natural. Se observa clar proprietatea de similaritate cu sine.
