Un piccolo estratto del capitolo sui tassi d'interesse equivalenti dal mio libro «Appunti dalle lezioni di matematica finanziaria», Edicampus, Roma, 2014.
Presentazioni Efficaci e lezioni di Educazione Civica
Tassi d'interesse equivalenti (estratto)
1. APPUNTI DALLE LEZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Capitolo IX
L’equivalenza fra tassi d’interesse
1. IMPOSTARE L’EQUIVALENZA
È opportuno sottolineare che l’equivalenza fra tassi d’interesse,
nei regimi non lineari come la capitalizzazione composta, è ben diversa
da quella già vista nel caso di regimi lineari come la capitalizzazione sem-plice
e lo sconto commerciale.
Prima di tutto si rammenti la proprietà fondamentale del regime
dell’interesse composto, frutto dell’utilizzo di funzioni esponenziali: con-siderato
un orizzonte temporale di ampiezza 푡 scomponibile in due inter-valli
di ampiezza rispettivamente 푘 e 푠, tali per cui 푡 = 푘 + 푠, il ricorso alla
capitalizzazione composta – grazie alla sua esponenzialità – consente di
scrivere:
풓(풕) = 풓(풌) · 풓(풔) 푡 = 푘 + 푠
Secondo tale relazione, il montante di un capitale unitario inve-stito
per un periodo di ampiezza 푡 è uguale a quello di due operazioni
d’investimento: con la prima si investe per un periodo di ampiezza 푘; con
la seconda si reinveste – per un periodo di ampiezza 푠 – il montante otte-nuto.
Questa è l’ipotesi su cui poggia il regime dell’interesse composto, in
cui il reinvestimento è attuato non solo sul capitale iniziale ma anche sugli
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2. LUCA BELLARDINI
interessi maturati fino all’istante immediatamente precedente al reinve-stimento.
Ponendo 푡 = 1, ovviamente, 푘 e 푠 risultano numeri positivi
compresi nell’intervallo [0; 1]. Da questo si deduce che, sostituendo a 푟(푡)
l’espressione (1 + 푖)푡, l’equivalenza può essere riscritta come:
(ퟏ + 풊)풕 = (ퟏ + 풊)풌 · (ퟏ + 풊)풔
Tale equivalenza, caratteristica della capitalizzazione composta,
discende da una particolare ipotesi riconducibile alla teoria dei mercati
finanziari: i tassi d’interesse in vigore all’inizio di ciascun periodo in cui è
stato diviso l’intervallo 푡 sono uguali fra loro. Si ipotizza, quindi, che nel
mercato vigano condizioni di stabilità.
Ricordando che 푖(0, 푘) rappresenta il tasso effettivo d’interesse
uniperiodale in vigore tra «0» e «푘», così come 푖(푘, 푡) quello in vigore tra
«푘» e «푡», è chiaro che per poter scrivere 푖(0, 푘) = 푖(푘, 푡) i tassi devono
essere riferiti alla medesima unità di tempo («uniperiodali», appunto).
ESEMPIO. Precedentemente si è posto 푡 = 1; ora si supponga che
푘 = 0,5, ipotizzando cioè che i due intervalli di tempo k e s abbiano un’am-piezza
di 6 mesi. Perciò i(0, 0,5) rappresenterà il tasso d’interesse (es.) men-sile
in vigore nel primo semestre. Usare l’espressione «mensile» significa
considerare un tasso comunque uniperiodale, avendo distinto un periodo di
6 mesi in intervalli – appunto – di 1 mese ciascuno. In questo esempio i(0, k)
ha il significato di tasso d’interesse mensile riferito al periodo [0, k]. Vo-lendo
invece utilizzare il giorno come unità di misura del tempo, i(0, k) rap-presenterebbe
il tasso d’interesse giornaliero in vigore nel secondo seme-stre.
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3. APPUNTI DALLE LEZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA
È stata quindi introdotta l’espressione «uniperiodale» perché en-trambi
i tassi, pur essendo riferiti a intervalli di tempo diversi, sono cal-colati
con riferimento alla medesima unità di misura (sia essa il mese, il
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giorno, l’ora o il minuto).
Data la relazione 푖(0, 푘) = 푖(푘, 푡), l’ipotesi finanziaria sottostante
è la condizione di assenza d’arbitraggio fra tassi d’interesse relativi a
operazioni nel medio-lungo termine. L’espressione 1 + 푖 = (1 + 푖)푘 ·
(1 + 푖)푠 può essere letta al primo membro come un’operazione d’investi-mento
nel periodo di 1 anno, al secondo come un processo di roll-over –
cioè di investimento e reinvestimento – sempre nell’intervallo di 1 anno.
Affinché sussista la relazione di uguaglianza suindicata è necessa-rio
che fra i tassi a lungo termine e quelli a breve sia verificata – appunto
– la condizione di assenza d’arbitraggio: in questo modo i tassi si manten-gono
stazionari. Tale ipotesi è alla base della matematica finanziaria clas-sica.
Il regime dell’interesse composto è caratterizzato da 3 tassi equiva-lenti,
di cui si parla dettagliatamente nei paragrafi successivi.
2. I TASSI EQUIVALENTI 풊ퟏ/풎, 풅ퟏ/풎
Sia fissato 푚, un numero intero positivo; e si divida l’anno in parti
uguali. Il tasso 푖1/푚, riferito al periodo 1/푚 (frazione dell’anno) è equiva-lente
a 푖, perché risulta verificata questa relazione:
풎
ퟏ + 풊 = (ퟏ + 풊ퟏ/풎)
1
푚
1 + 푖1/푚 = (1 + 푖)