1. KIẾN THỨC BỔ SUNG TÀI LIỆU RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI
Giáo viên biên soạn: Nguyễn Đình An
Một số kĩ thuật (Hướng giải) Phân tích đa thức nhân tử
 Phương pháp 1: Đặt nhân tử chung
Hướng giải: - Đối với phần đặt hệ số ta chọn ước chung lớn nhất của các hạng tử.
- Đối với phần biến ta chọn nhân tử chung (thừa số chung), mỗi thừa số lấy với
số mũ nhỏ nhất của nó.
- Mỗi hạng tử nằm trong dấu ngoặc sẽ bằng thương của từng hạng tử của đa
thức chia cho nhân tử chung đó.
- Đôi khi ta phải đổi dấu để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử: 3x2y - 6xy2z+15x3y3
Hướng suy nghĩ để giải: - Ta tìm ƯCLN của (3,6,15) là 3.
- Nhân tử chung ta chọn là xy.
Vậy ta giải như sau 3 − 6 + 15 = 3 ( − 2 + 5 )
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử : a(x-y) + (y-x)
Hướng suy nghĩ để giải : - Ta đổi dấu x-y = - (y-x) hoặc y-x = - (x-y)
- Nhân tử chung nếu chọn (x-y)
Vậy ta giải như sau : a(x-y) + (y-x) = a(x-y) – (x-y) = (x-y) (a-1)
 Phương pháp 2: Dùng hằng đẳng thức
Hướng giải : Vận dụng công thức của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Ví dụ 1 : Phân tích thành nhân tử : − 2√ + 1
Hướng suy nghĩ để giải : Ta đưa về dạng bình phương của 1 hiệu
Vậy ta giải như sau : − 2√ + 1 = √ − 2 √ 1 + 1 = √ − 1
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử: 5 − 16
Hướng suy nghĩ để giải: Ta đưa về dạng hiệu của 2 bình phương
Vậy ta giải như sau: 5 − 16 = √5 − (4 ) = (√5 + 4 )(√5 − 4 )
 Phương pháp 3: Nhóm các hạng tử
Hướng giải : - Trong khi nhóm (gộp) các hạng tử của 1 đa thức không nhất thiết ta phải
nhóm 2 hạng tử đầu hoặc 2 hạng tử cuối... mà ta làm sao khi nhóm xong bước
1 vẫn còn có thể làm tiếp bước 2…được kết quả cuối cùng
- Đôi khi ta phải khai triển (bỏ ngoặc) rồi chọn (sắp xếp) các hạng tử để nhóm
hợp lí.
Ví dụ 1 : Phân tích thành nhân tử − 3 + − 3
Hướng suy nghĩ để giải : Ta có thể nhóm 2 hạng tử đầu lại với nhau và nhóm 2 hạng tử cuối
với nhau hoặc ta nhóm hạng tử đầu với hạng tử thứ 3, hạng tử thứ 2 với hạng tử cuối.
Vậy ta giải như sau : − 3 + − 3 hoặc − 3 + − 3
= ( − 3 ) + ( − 3 ) = ( + ) − (3 + 3 )
= ( − 3 ) + ( − 3 ) = ( + 1) − 3 ( + 1)
= ( + 1)( − 3 ) = ( + 1)( − 3 )
1

2. Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử − − 2 −
Hướng suy nghĩ để giải : Nếu ta nhóm theo các cách sau là sai :
Cách 1 : ( − ) − ( + 2 ) = ( − )( + ) − ( + 2 )
Cách 2 : ( − ) − ( + 2 ) = ( − )( + ) − ( + 2 )
Vì không thực hiện được bước tiếp theo nữa để đi đến kêt quả
Vậy ta giải như sau : − − 2 − = − ( + 2 + ) = − ( + )
= [ − ( + )][ + ( + )] = ( + + )( − − )
Chú ý : Đôi khi ta phải khai triển (bỏ dấu ngoặc) đề bài đã cho rồi lựa chọn hạng tử thích hợp
để nhóm.
 Phương pháp 4 : Phối hợp các phương pháp
Hướng giải : Thông thường ta xét các phương pháp đã học để phân tích thành nhân tử. Nếu
đề bài cho thuộc phương pháp nào ta giải bằng phương pháp đó và cứ thế giải cho đến kết
quả.
Ví dụ 1 : Phân tích thành nhân tử 5 − 45
Hướng suy nghĩ để giải : Ta thấy 5 và 45 có nhân tử chung là 5 . Vậy bước đầu tiên ta
giải như sau : 5 − 45 = 5 ( − 9)
Ta nhận thấy − 9 còn có thể dùng phương pháp dùng hằng đẳng thức để phân tích tiếp
nên 5 − 45 = 5 ( − 9) = 5 ( + 3)( − 3)
Ví dụ 2: Phân tích thành nhân tử + 4 + 4 − 4
Hướng suy nghĩ để giải: Ta dùng phương pháp nhóm rồi đến phương pháp dùng hằng đẳng
thức để đến với kết quả
Ta giải như sau: + 4 + 4 − 4 = ( + 2) − (2 ) = ( + 2 + 2 )( + 2 − 2 )
 Phương pháp 5: Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử
Hướng giải: Ta tách 1 hạng tử của đa thức đã cho thành tổng hai hay nhiều hạng tử thích hợp
để đưa về dạng sử dụng được các phương pháp đã học
Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử − 8 + 12
*Cách 1: Nếu thấy rằng −8 = −2 − 6 ta có thể dễ dàng giải
− 8 + 12 = − 2 − 6 + 12 = ( − 2) − 6( − 2) = ( − 2)( − 6)
*Cách 2: Nếu thấy rằng 12 = 16 − 4 ta có thể dễ dàng giải
− 8 + 12 = ( − 8 + 16) − 4 = ( − 4) − 2
= ( − 4 + 2)( − 4 − 2) = ( − 2)( − 6)
*Cách 3 : Nếu thấy được 12 = 48 − 36 , ta có thể dễ dàng giải như sau
− 8 + 12 = − 36 − 8 + 48 = ( + 6)( − 6) − 8( − 6)
= ( − 6)( + 6 − 8) = ( − 2)( − 6)
*Cách 4 : Nếu thấy rằng 12 = 16 − 4 , có thể dễ dàng giải được như sau :
− 8 + 12 = − 4 − 8 + 16 = ( − 2)( + 2) − 8( − 2)
= ( − 2)( + 2 − 8) = ( − 2)( − 6)
*Cách 5 : Nếu thấy −8 = −4 − 4 và 12 = 8 + 4 , có thể giải như sau
− 8 + 12 = − 4 + 4 − 4 + 8 = ( − 2) − 4( − 2)
= ( − 2)( − 2 − 4) = ( − 2)( − 6)
2

3. *Cách 6 : Nếu thấy = 4 − 3 ta có thể giải như sau
− 8 + 12 = 4 − 8 − 3 + 12 = 4 ( − 2) − 3( − 4)
= ( − 2)[4 − 3( + 2)] = ( − 2)(4 − 3 − 6) = ( − 2)( − 6)
*Cách 7 : Nếu thấy −8 = −12 + 4 và 12 = 36 − 24 , ta có thể giải như sau
− 8 + 12 = − 12 + 36 + 4 − 24 = ( − 6) + 4( − 6)
= ( − 6)( − 6 + 4) = ( − 2)( − 6)
 Phương pháp 6 : Thêm bớt cùng 1 hạng tử
Hướng giải : Thêm và bớt cùng 1 hạng tử thích hợp vào đa thức đã cho để đưa về dạng sử
dụng các phương pháp đã học/
Ví dụ : Phân tích thành nhân tử + 64
Hướng suy nghĩ để giải : Ta thấy = ( ) và 64 = 8
Vậy + 64 = ( ) + 8 nếu ta nghĩ ngay đến hạng tử 2. . 8 để xuất hiện hằng đẳng
thức. Khi đó ta thêm và bớt cùng 1 hạng tử 16 thì ta đến với kết quả bài toán dễ dàng.
Vậy ta giải như sau : + 64 = ( ) + 64 + 16 − 16 = ( + 8) − (4 )
= ( + 8 + 4 )( + 8 − 4 )
 Phương pháp 7 : Đặt biến phụ (đổi biến)
Hướng giải : Khi ta gặp biểu thức trong đề bài xuất hiện nhiều lần ta đặt biểu thức ấy làm
biến phụ từ đó đưa về dạng đơn giản hơn ta phân tích dạng đơn giản này thành nhân tử rồi
thay biến cũ vào và tiếp tục giải cho đến kết quả
Ví dụ : Phân tích thành nhân tử : = ( + 3 + 1)( + 3 − 3) − 5
Hướng suy nghĩ để giải : Ta dễ dàng thấy được + 3 được lặp nhiều lần. Vậy ta đổi biến
(đặt biến phụ) + 3 = , Ta có = ( + 1)( − 3) − 5 = − 2 − 8
Ta giải như sau : = − 2 − 8 = − 4 + 2 − 8 = ( − 4) + 2( − 4)
3
= ( + 2)( − 4)
= ( + 3 + 2)( + 3 − 4)
= ( + + 2 + 2)( + 4 − − 4)
= [ ( + 1) + 2( + 1)][( − 1)( + 4)]
= ( + 1)( + 2)( − 1)( + 4)
Ta có thể đặt = + 3 + 1, ta được = ( − 4) − 5 = − 4 − 5 = ( + 1)( − 5)
= ( + 1)( + 2)( − 1)( + 4)
Chú ý : Phân tích đa thức dạng ( + )( + )( + )( + ) + trong đó + = +
thành nhân tử. Ta có thể tiến hành như sau :
( + )( + )( + )( + ) + = [( + )( + )][( + )( + )] +
= ( + + + )( + + + ) +
= [ + ( + ) + ][ + ( + ) + ] +
Tiếp tục biến đổi nhờ vận dụng hăng đẳng thức − = ( + )( − ) đến kết quả
Ta cũng có thể đặt = + ( + ) +
-Phân tích đa thức dạng + + .Đặt = ≥ 0
-Phân tích đa thức dạng + + + + . Đặt = +
1x

4. -Phân tích thành nhân tử dạng + + + + = 0,trong đó có
4
e
a =
db
.
Đặt = +
d
bx
-Phân tích đa thức dạng ( + ) + ( + ) = . Đặt = +
a + b
2
-Phân tích đa thức dạng( + )( + )( + )( + ) + ,trong đó ad=bc
Đặt = +
ad
x
 Phương pháp 8 : Dùng định lý Bezout (Bơdu)
Cho đa thức ( ) = + + + . Nếu ( ) có nghiệm nguyên thì nghiệm
đó phải là ước số của hạng tử độc lập . Khi đã tìm được nghiệm = , ta chỉ việc chia
( ) cho ( − ) để tìm thương ( ) và việc phân tích đa thức lại tiếp tục nếu có thể.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử = ( ) = + 9 + 26 + 24
Giải: Ta nhân thấy đây là đa thức có hệ số nguyên = 24. Ta thấy (−2) = 0. Vậy ( )
chia hết cho + 2. Thực hiện phép chia ta được = ( + 2)( + 7 + 12)
Lại tiếp tục phân tích tam thức ( + 7 + 12) có hệ số nguyên = 12. Thay = −3
thì tam thức bằng 0 nên tam thức chia hết cho + 3. Thực hiện phép chia ta được
+ 7 + 12 = ( + 3)( + 4). Vậy = + 9 + 26 + 24 = ( + 2)( + 3)( + 4)
 Phương pháp 9 : Phương pháp giảm dần số mũ của lũy thừa
Phương pháp này chỉ sử dụng được cho các đa thức có dạng như a + a + 1, a + a + 1,…
là những đa thức có dạng + + 1. Tuy nhiên khi tìm cách giảm dần số số mũ của
lũy thừa, ta cần chú ý đến các biểu thức dạng − 1, − 1 là những biểu thức chia hết cho
+ + 1.
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử = + + 1
Giải : Ta có
= + + − + − + − + 1
= ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( + + 1)
Mà − = ( − 1) = ( − 1)( + 1) = ( + 1)( − 1)( + + 1)
Và = ( + + 1)[( + 1)( − 1)( + 1) + ( − 1) + 1]
= ( + + 1)( − + − + − + 1)
 Phương pháp 10: Dùng tính đối xứng của biểu thức đối với các chữ
Ví dụ: Phân tích thành nhân tử:
= ( + )( − ) + ( + ) + ( + )( − ) + ( + )( − )
Đây là 1 biểu thức đối xứng đối với a,b,c. Ta nhận thấy khi thay = thì ta được
= ( + )( − ) + ( + )( − ) = 0. Coi A là 1 biểu thức bậc ba của a thì như
vậy khi = , ta có = 0, tức là đa thức chia hết cho − .

5. Vì tính đối xứng của biểu thức đối với a,b,c nên ta thấy A cũng chia hết(b − c) và(c − a),
tức là = ( − )( − )( − ). ( )(1) trong đó ( ) là đa thức bậc nhất của a. Vì vai
trò tương tự giữa a,b,c nên f(x) cũng là bậc nhất đối với b và c tức là ( ) = + +
Nhưng vì đa thức đối xứng đối với a,b,c nên m=n=p .Do đó
= ( − )( − )( − )( + + ) (2)
Để tính m, ta chỉ việc lấy 3 giá trị khác nhau bất kì của a,b,c rồi thay vào (2).
Chọn = 0, = 1, = 2, ta có = 2.4 + 2. (−1) = (−1)(−1).2.3 ⇔ 6 = 6 ⇔ = 1
Vậy = ( − )( − )( − )( + + )
 Phương pháp 11: Xét giá trị riêng
Ví dụ : Phân tích thành nhân tử = ( − ) + ( − ) + ( − )
Giải: Nếu thay a bởi b thì = 0 + ( − ) + ( − ) = 0 ê ế − .
Do vai trò của a,b,c như nhau trong đa thức nên P chia hết chia ( − )( − )( − ).
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc ba đối vơi tập hợp các biến nên thương là hằng
số K. Trong đẳng thức ( − ) + ( − ) + ( − ) = ( − )( − )( − ) ta
cho các biến nhân giá trị riêng = 2, = 1, = 0 ta được 2.1.1 + 0 + 0 = . 1.1. (−2) do
đó: 2 = −2 , suy ra = −1
Vậy = −( − )( − )( − ) = ( − )( − )( − )
 Phương pháp 12 : Hệ số bất định (đồng nhất thức)
Ví dụ: Phân tích − 15 − 18 thành nhân tử
Giải : Giả sử (nếu) đa thức trên phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
− 15 − 18 = ( + )( + + ) ⇔ − 15 − 18
= + ( + ) + ( + ) +
5
+ = 0
Đồng nhất ở 2 vế ta có: + = −15 từ = −18 ta có thể chọn a=3; c= -6; b= -3
= −18
Thỏa mãn điều kiện trên. Vậy − 15 − 18 = ( + 3)( − 3 − 6)