Diapositivas de cinemàtica de Lourdes Morral

1. ESTUDI DELS MOVIMENTS

2. 1- CONCEPTE DE MOVIMENT
2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU)
3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA)
3.1- Moviment vertical dels cossos
4-COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS
4.1- Composició de dos MRU perpendiculars
4.2- Moviment parabòlic
5-MOVIMENT CIRCULAR
5.1--Moviment circular uniforme (MCU)
5.2--Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

3. Sistema de referència: un punt o un conjunt de punts respecte dels quals
descrivim el moviment d’un cos.
Un objecte està en moviment respecte un sistema de referència determinat
quan la seva posició respecte d’aquest sistema varia amb el temps; en cas
contrari, diem que està en repòs.
El moviment és relatiu, ja que l’estat de moviment o de repòs d’un cos depèn del
sistema de referència adoptat. No existeix el moviment absolut.
1-CONCEPTE DE MOVIMENT

4. Posició
O= Origen: punt de referència. Punt on diem x=0
X=0
X=0
X=0
X=0
X0=2
X0=- 6
X0=5 X0=-7
X=8 X=2
X=- 3 X=- 3
x0= Posició inicial: posició del mòbil respecte l’origen inicialment
x= Posició: posició del mòbil respecte l’origen en un instant t
Posició

5. Un vector és un segment orientat.
A més d’ indicar una quantitat (el
mòdul), cal precisar la seva
direcció i sentit.
Sentit
Mòdul
Direcció
Vector
• Mòdul és la longitud del vector.
• Direcció és la recta que conté el vector. Indica la seva inclinació.
• Sentit, indicat per la fletxa.
• Punt d’aplicació, punt on comença el vector

6. Desplaçament
X0=2 X0=-6
X0=5 X0=-7
X=8 X=2
X=-3 X=-3
∆x = Desplaçament: (vector) Posició final menys posició inicial
0
x
-
x
x
Δ =
Desplaçament positiu: ∆x>0 es mou cap a la dreta
Desplaçament negatiu: ∆x<0 es mou cap a l’esquerra
∆x= 8-2 = 6 cm >0 ∆x= 2-(-6) = 8cm >0
∆x= -3-5= -8 cm < 0 ∆x= -3-(-7)= 4 cm > 0

7. Trajectòria, desplaçament i espai recorregut
Trajectòria: línia de punts per on passa el mòbil
Espai recorregut, s: distància recorreguda sobre la trajectòria
∆x = Desplaçament: vector que va des de la posició inicial a la final
Posició inicial
x0
posició final
x
∆x
s
s
∆x
∆x ≠ s
∆x = s

8. O
Lineal o unidimensional
El vector desplaçament (en
vermell) coincideix en direcció
amb la trajectòria en un
moviment lineal.
Pla o bidimensional Espaial o tridimensional
O X
Y
El vector desplaçament (en
vermell) no coincideix amb la
trajectòria.
∆r
O
Z
Y
X
El vector desplaçament tampoc
coincideix amb la trajectòria.
∆r
→
Trajectòria i vector desplaçament
∆x
x0= posició inicial
x=posició final
trajectòria
trajectòria
desplaçament
desplaçament
s,
espai
s

9. La trajectòria és recta i la velocitat és constant (en mòdul i direcció)
t
t
x
x
t
x
v
0
0
-
-
=
∆
∆
=
x= x0 + v (t - t0)
x
x
x 0
-
=
∆
∆x= desplaçament, x0= posició inicial
2- MOVIMENT RECTILINI UNIFORME (MRU)
x= x0 + v t
Quan to=0
∆x= v · t
)
0
t
-
(t
v
x =
∆

10. Un mòbil surt d’ un punt situat a una distància
de dos metres respecte l’ origen de
coordenades
i porta una velocitat constant de 5 m/s.
x = x0 + v ⋅ t → x = 2 + 5t
La gràfica x-t és una línia recta que talla a l’eix d’
ordenades en la posició inicial (x0).
La gràfica v-t és una línia horitzontal, paral·lela
a l’eix de abscisses, que talla a l’eix d’ordenades
en el valor de la velocitat del mòbil.
Representació gràfica del MRU a partir de l’equació

11. Valor de la posició inicial
x0 = 92,5 m
Per trobar la velocitat, ens fixem en els
valors de temps i posició (t, x) de dos
punts de la línia i apliquem l’expressió de
la velocitat:
x2 – x1
t2 – t1 10 – 2
30 – 80
= – 6,25 m/s
=
v =
L’equació del MRU
corresponent a la gràfica
és:
x = x0 + v t →
Pendent de la recta. Inclinació
Equació d’un MRU a partir de la gràfica
x = 92,5 − 6,25 ⋅ t

12. Sabadell Barcelona
20 km
Joan Pere
v = 10 m/s v = -8 m/s
1. Elegim un origen del sistema de referència.
x0 = 0 m x0 = 20 000 m
2. Elegim un origen de temps
Surt a les onze en punt Surt a les onze i deu
to = 0 to= 600 s
3. Plantegem les equacions de moviment de cada corredor
x = 10 t x = 20 000 – 8 (t-600)
10 t = 20 000 – 8 (t-600) 10 t + 8 t = 20 000 + 4800 18 t = 24 800 t = 24 800/18 = 1377,8 s
1377,8 s = 23 min
4. La posició a la que es troben és
x = 10 t = 10 · 1377,8 = 13 778 m = 13,8 km de Sabadell A les 11 h 23 min
Moviment de 2 mòbils
x= x0 + v (t - t0)

13. El moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) és un moviment on
la trajectòria és una línea recta i l’ acceleració és constant.
Equació de posició Equació de velocitat
Acceleració tangencial
3-MOVIMENT RECTILINI UNIFORMEMENT ACCELERAT (MRUA)
La trajectòria és recta i l’acceleració és constant (en mòdul i direcció)
v = v0 + a (t - t0)
x = x0 + v0 (t − t0) + a (t − t0)2
2
1
t
v
t
v
t
v
a
0
0
-
-
=
∆
∆
=
v = v0 + a t Quan to=0
x = x0 + v0 t + a t 2
2
1 Quan to=0
v2
= v0
2
+ 2a (x - x0)

14. Un mòbil es mou en línia recta des d’
un punt situat a 2 metres de l’origen amb una
velocitat inicial de 3 m/s i una acceleració
constant de 2 m/s2
.
x = x0 + v0 t + 1/2 at2
La gràfica v-t
serà:
x = 2 + 3 t + t2
v = 3 + 2 t
v = v0 + at
Representació gràfica del MRUA

15. Representació gràfica del MRUA

16. En ambdós casos, l’acceleració
“g” és de -9,8 m/s2
.
MRUA
Quan baixa, la seva
velocitat és cada cop més
negativa, es a dir, el seu
mòdul augmenta, però el
seu signe
és negatiu, ja que el mòbil
va cap avall.
v0 < 0
v0 > 0
vf = 0
Quan llancem un cos cap
amunt, la seva velocitat
disminueix en mòdul fins
que es fa zero.
Equacions del
moviment de caiguda
lliure:
3.1-Moviment vertical dels cossos
y = y0 + v0 (t - t0) - 9’8 (t - t0)2
2
1
v= vo- 9’8 (t – t0)
y = y0 + v0 t - 9’8 t 2
2
1
Quan to=0
v= vo- 9’8 t
Quan to=0
v2
= v0
2
- 2· 9’8 (y - y0)

17. 3.1-Moviment vertical dels cossos

18. Moviments en dues dimensions. Són moviments compostos i són la combinació de
2 o més moviments simples.
•Cal distingir els moviments simples components, i
veure de quin tipus són (MRU o MRUA).
•Aplicar a cada moviment les seves equacions.
•Obtenir les equacions del moviment compost
Cal treballar amb vectors :
Un vector és un segment orientat que consta dels següents elements:
• Mòdul és la longitud del vector, es a dir, del segment AB. Es denota per o v.
Es denomina vector unitari al que té mòdul 1.
• Direcció és la de la recta r que conté el vector. Indica la seva inclinació.
• Sentit, indicat per la fletxa. (des d’A fins a B)
• Punt d’aplicació, punt on comença el vector
v

4- COMPOSICIÓ DE MOVIMENTS

19. Els vectors són vectors unitaris (de
mòdul unitat), la seva direcció és la dels
eixos de coordenades X i Y, i amb sentit
positiu.
j
→
,
i
→
y
x
v
,
v
→
→
Si projectem el vector sobre cada eix,
obtindrem els vectors els quals
es poden expressar com el producte d’un
nombre real pel vector unitari corresponent.
v
→
y
x
v
+
v
=
v
→
→
→
→
→
i
a
=
vx
→
→
j
b
=
vy
→
→
→
j
b
+
i
a
=
v
2
2
b
+
a
=
v
=
v

Mòdul
0
9
i
→
j
→
x
y
O(0, 0)
a
b
α
v
→
v
→
a
b
=
tgα
a) Vectors en dues dimensions

20. a
b
c
β
γ
α
v

x
y
z
j
→
i
→
k
→
2
2
2
c
b
a
v +
+
=

→
→
→
→
z
+
y
x v
v
+
v
=
v
→
→
i
a
=
vx
→
→
j
b
=
vy
→
→
→
→
k
c
+
j
b
+
i
a
=
v
→
→
k
c
=
vz
b) Vectors en tres dimensions

21. r 0
→
OP0
→
=
Es representa per
X
Y
P1
P2
r
→
∆
r2
→
r1
→
El vector posició d’un mòbil, és el
vector amb origen en O i extrem en P0.
El vector desplaçament, entre dos punts P0 i P1
és el vector amb origen en P0 i extrem en P1.
0
1 - r
r
r



=
∆
r
→
∆
| |
r
s

∆
∆ ≥
Si la trajectòria és una recta:
r
=
s

∆
∆
Trajectòria: Corba que ens indica els punts per on passa un mòbil.
∆S: Distància recorreguda pel mòbil sobre la
trajectòria.
c) Trajectòria, posició i desplaçament

22. Una barca que pretén creuar un riu perpendicularment a la riba.
El moviment real de la barca està compost per:
MRU perpendicular a la riba, a causa de l’esforç del remer
MRU paral.lel a la riba, degut al corrent del riu
Vector velocitat
→
→
→
j
y
v
+
i
x
v
=
v
2
y
2
x v
+
v
=
v

Vector posició
→
→
→
j
y
+
i
x
=
r
2
2
→
y
+
x
=
r
Trajectòria
x= vx t
y= vy t
x
v
v
=
y
v
x
v
=
y
v
x
=
t
x
y
x
y
x
→
4.1- Composició de 2 MRU perpendiculars

23. Una pilota de futbol llançada cap a la porteria.
La trajectòria és parabòlica. El moviment està compost
per dos moviments simples:
MRU horitzontal de velocitat vx constant
MRUA vertical amb velocitat inicial v0y cap amunt
VoX = V0. cos α
V0Y = V0. sin α
α
V0Y
V0X
V0
Equació de la velocitat
vx=vox= constant
vy= voy- g (t – t0)
2
y
2
x v
+
v
=
v

Inicialment
4.2- Moviment parabòlic

24. X
V0
Y
abast
r
y0
V
alçada
màxima
V0x
V0y
Equació de la posició
x= xo+ v0x (t – t0) MRU
y = y0 + v0y (t - t0) - g (t - t0)2
2
1
MRUA
→
→
→
j
y
+
i
x
=
r
2
2
→
y
+
x
=
r
•Temps de moviment: Temps total que el mòbil està en
moviment. Quan el mòbil arriba a terra.
y=0
•Abast: Distància horitzontal que recorre
el mòbil.
Substituïm el temps de moviment en
l’equació de x
•Alçada màxima:
vy=0
4.2- Moviment parabòlic
Trobem t i el substituïm en l’equació de y

25. 4.2- Moviment parabòlic
Descomposició del vector velocitat en el tir parabòlic

26. 4.2- Moviment parabòlic

27. 0
0
-
-
t
t
r
r
t
r
Vm




=
∆
∆
=
Vector velocitat mitjana: quocient entre el vector
desplaçament i l’interval de temps transcorregut
Vector velocitat instantània: és el vector al qual tendeix el vector velocitat mitjana
quan l’interval de temps tendeix a zero. ∆t→0 (velocitat en un instant determinat)
r
→
∆
v
→
=
∆t
quan ∆ t → 0
d) Velocitat mitjana i velocitat instantània
t
r
v
δ
δ
→
→
=

28. Vector acceleració mitjana: quocient entre el vector velocitat instantània
i l’interval de temps transcorregut entre dos punts de la trajectòria.
Vector acceleració instantània: és el vector al qual tendeix el vector acceleració
mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero. ∆t→0 (acceleració en un instant
determinat)
am
→
= =
v
→
∆
∆t
v2
→
v1
→
-
t2 - t1
v
→
∆
a
→
=
∆t
quan ∆ t → 0
r1
→
r2
→
v
→
∆
v1
→
v1
→
v2
→
v2
→
A A
X
Y
X
Y
• •
•B
e) Acceleració mitjana i acceleració instantània
t
v
a
δ
δ
→
→
=

29. Quan un conductor d’un automòbil agafa un revolt, el vector velocitat canvia de
direcció en cada instant, i quan prem l’accelerador, canvia el mòdul de la velocitat. En
tot dos casos, si canvia la direcció o el mòdul de la velocitat, hi ha una acceleració.
f) Components intrínseques de l’acceleració

30. A qualsevol punt de la trajectòria se li
pot associar un sistema de referència
format per un eix tangent a la
trajectòria, i un altre de perpendicular a
la trajectòria.
x
y
Definim el vector unitari , de direcció tangent a
la trajectòria, i el vector unitari , de direcció
normal a la trajectòria.
t
u
→
n
u
→
El vector acceleració instantània
es pot descompondre, en aquest
sistema de referència, en dues
components intrínseques: una
tangencial i una normal.
n
n
t
t
n
t u
.
a
+
u
.
a
=
a
+
a
=
a




 2
n
2
t a
+
a
=
a

f) Components intrínseques de l’acceleració

31. Component tangencial, at: expressa la variació del mòdul de la velocitat. El seu
valor és:
t
v
=
at
∆
∆
quan ∆t→0
Component normal, an: expressa la variació de la direcció de la velocitat. El
seu valor és:
R
v
=
a
2
n
v: mòdul de la velocitat
R: radi de curvatura de la trajectòria
Pot ser positiva o negativa.
Sempre positiva
Un mòbil té acceleració si varia com a mínim algun factor (mòdul o direcció) del
vector velocitat
a
→
v
→
t
v
at
δ
δ
→
→
=
f) Components intrínseques de l’acceleració

32. Component tangencial, at:
Variació del mòdul de la
velocitat.
Component normal, an: expressa la variació
de la direcció de la velocitat. El seu valor és:
f) Components intrínseques de l’acceleració
L’acceleració
normal o centrípeta
té la direcció del
radi de curvatura
i sentit cap al
centre del revolt.

33. f) Components intrínseques de l’acceleració

34. f) Components intrínseques de l’acceleració

35. Un moviment és circular quan la trajectòria d’un mòbil és una
circumferència.
Quan el disc gira un
angle ϕ (es llegeix «fi»),
els tres punts A, B i C es
desplacen fins les
posicions A', B' i C'.
A B C
A’
B’
C’
r = radi
∆φ = angle
∆s =arc
Quan l’angle recorregut es mesura en
radiants, la relació entre l’angle (∆ϕ) i
l’espai lineal (∆s) que descriu el mòbil és:
arc = angle radi
⋅
5- MOVIMENT CIRCULAR
∆s = ∆ϕ ⋅ r
∆
∆
∆φ
∆s

36. 5-Velocitat angular
Velocitat angular mitjana, ωm: quocient entre
l’angle girat, ∆ϕ, i el temps recorregut. (rad/s)
Velocitat angular instantània, ω: velocitat
angular mitjana quan l’interval de temps
tendeix a zero. (rad/s)
0
0
-
-
t
t
t
m
ϕ
ϕ
ϕ
ω =
∆
∆
=
t
=
∆
∆ϕ
ω
Quan ∆t→0

37. t
R
=
t
s
∆
∆
∆
∆ ϕ
R
=
s ϕ
∆
∆
∆s= longitud d’arc
∆ϕ= angle (en radiants)
R
=
v ω
Quan la roda d’una bicicleta gira amb MCU, tots els
punts del radi tenen la mateixa velocitat angular, ja
que recorren angles igual en el mateix temps.
Però com més allunyat del centre és el punt, més
gran la distància que recorre, i en conseqüència,
major la seva velocitat lineal.
5-Relació entre velocitat angular i velocitat lineal

38. Acceleració angular mitjana, αm: quocient entre la
variació de la velocitat angular , ∆ω, i el temps
recorregut. (rad/s2
)
Acceleració angular instantània, α: acceleració
angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a
zero. (rad/s2
)
Quan ∆t→0
0
0
-
-
t
t
t
m
ω
ω
ω
α =
∆
∆
=
t
=
∆
∆ω
α
5-Acceleració angular
Després demostrarem que:
R
=
at α

39. Moviment en què un mòbil descriu una trajectòria circular
amb velocitat angular , ω, constant.
El mòdul de la velocitat lineal, és constant, però la seva direcció varia en cada
instant. No hi ha acceleració tangencial, però si normal.
R
=
R
v
=
a 2
2
n ω
0
=
at
Equació del moviment:
0
0
-
-
t
t
t
ϕ
ϕ
ϕ
ω =
∆
∆
= )
( 0
0 t
t −
+
= ω
ϕ
ϕ
Constant
5.1-Moviment circular uniforme (MCU)

40. El mòbil descriu una trajectòria circular amb acceleració angular , α, constant.
La direcció i el mòdul de la velocitat
lineal varien en cada instant. Hi ha
acceleració tangencial i normal.
R
=
R
t
=
t
)
R
(
=
t
v
=
at α
ω
ω
∆
∆
∆
∆
∆
∆
quan ∆t→0
R
=
R
v
=
a 2
2
n ω Variable
Constant
Equació de la velocitat angular
0
0
-
-
t
t
t
ω
ω
ω
α =
∆
∆
= )
( 0
0 - t
t
α
ω
ω +
=
Equació del moviment
ϕ = ϕ0 +ω0 (t − t0) + α (t − t0)2
2
1
ω2
= ω0
2
+ 2α (ϕ - ϕ0)
5.1-Moviment circular uniformement accelerat (MCUA)

41. ∆S(espai en metres)= ∆ϕ( angle en rad ) ·R
V(velocitat)= ω(velocitat angular )·R
at (acceleració tangencial) =α (acceleració angular)·R
6-Classificació dels moviments segons l’acceleració
Moviments rectilinis
an= 0
Moviment rectilini uniforme (MRU) at = 0
Moviment rectilini uniformement accelerat
(MRUA)
at ≠0
Moviments circulars
an≠ 0 i R = cte
Moviment circular uniforme (MCU) at = 0
Moviment circular uniformement accelerat
(MCUA)
at = cte
magnitud lineal= magnitud angular · radi

42. 6-Classificació dels moviments segons l’acceleració

43. x= x0 + v ∆t
MRU
v = v0 + a ∆t
x = x0 + v0 ∆t + a (∆t)2
2
1
v2
- v0
2
= 2a ∆x
MRUA
vx=vox= constant
vy= voy- 9’8 ∆t
Parabòlic
vox = vo. cos α
voy = vo. sin α
x= xo+ vox ∆t MRU
y = y0 + v0y ∆t - 4’9 (∆t)2 MRUA
t
r
vm
∆
∆
=


dt
dϕ
ω =
t
v
am
∆
∆
=


dt
v
d
a


=
R
v
an
2
=
dt
v
d
at =
t
0 ∆
+
= ω
ϕ
ϕ
MCU
2
1
t
0 ∆
+
= α
ω
ω
ϕ = ϕ0 + ω0 ∆t + α (∆t)2
ω2
- ω0
2
= 2α (ϕ - ϕ0)
MCUA
R
s ϕ
∆
=
∆
R
=
v ω
R
=
at α
R
R
an
2
2
ω
=
=
v
dt
r
d
v


=
dt
dω
α =
R
at
α
=
0
0
=
=
n
t
a
a
0
0
≠
=
n
t
a
a
0
0
=
≠
n
t
a
a
0
0
≠
≠
n
t
a
a