1. M.C.D. ed m.c.m. come operazioni binarie sui naturali
Gianmarco Bramanti
11 aprile 2013
Sommario
Premessa: nel progettare questa breve serie di lezioni ho pensato ad un percorso
di studio per una classe di Liceo Scientifico opzione Scienze Applicate ovvero una
classe di Istituto tecnico industriale ad indirizzo elettronico, supponendo che nel con-
testo delle interazioni con il percorso di Computer science siano stati approfonditi
gli aspetti basilari della logica automatica, con riferimento particolare alle tavole di
verit`a, ed alle algebre di Boole, e sia stato accennata l’interpretazione insiemistica
della stessa. L’intenzione iniziale era semplicemente quella di considerare un’appli-
cazione di questi concetti ad un aspetto dell’algebra elementare nota dallo studente
fin dalla scuola primaria, ovvero il Massimo comun divisore ed il minimo comune
multiplo, in particolare l’intenzione era semplicemente mostrare come le manipola-
zioni algebriche booleane si prestano a far luce su alcune notevoli relazioni algebriche
che li legano: tuttavia nel ripensare ad una solida precisazione dei concetti di base
`e emerso un’aspetto meritevole di autonomo approfondimento, ovvero il concetto di
multi-insieme
Ho poi ritenuto utile aggiungere una nota tecnica ad illustrazione delle differenze
strutturali fra questo esempio di reticolo booleano e l’algebra booleana degli insiemi.
Aggiungo a commento di ci`o che gli esempi di massimo comun divisore e mini-
mo comune multiplo si incontrano abbastanza di sovente nei capitoli di libri di testo
per le scuole superiori che riguardano le algebre booleane, come si trova un cenno
al fatto che il reticolo booleano `e la struttura che emerge da un sotto-insieme de-
gli assiomi dell’algebra, (per esempio: Dodero Toscani ’Lezioni di matematica (per
il biennio delle scuole sperimentali)’) tuttavia molto raramente si trova sottolinea-
to adeguatamente, con esempi o argomenti teorici, lo stacco concettuale fra le due
definizioni che deriva dal verificarsi o meno la propriet`a di complementariet`a degli
inversi e dell’annullamento della differenza simmetrica. Per questa ragione ho volu-
to dedicare particolare attenzione a questo aspetto. In sintesi, il cuore originario di
questa serie di lezioni `e essenzialmente nella seconda, ma la prima fornisce il corretto
quadro concettuale di riferimento, mentre la terza inquadra storicamente i concetti
e l’appendice `e un invito all’approfondimento per i colleghi docenti.
1 Lezione prima
Max e min In questa sezione consideriamo preliminarmente l’insieme dei numeri naturali
N e mostriamo alcune propriet`a elementari delle operazioni binarie a∨b : (a, b) ∈ N×N →
1

2. max(a, b) ∈ N che ad una coppia di numeri associa il pi`u grande fra loro e a ∧ b : (a, b) ∈
N×N → min(a, b) ∈ N che a due numeri naturali associa il minimo fra loro. E’ anzitutto
immediata la verifica della propriet`a commutativa per entrambe le operazioni:
a ∨ b = b ∨ a (1)
a ∧ b = b ∧ a (2)
perch´e naturalmente quale dei due numeri sia il pi`u grande ovvero il pi`u piccolo non
dipende dall’ordine di presentazione dei numeri. Altrettanto immediata `e la verifica della
propriet`a associativa:
(a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c) (3)
(a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (4)
infatti nel primo caso verr`a selezionato, indipendentemente dall’ordine di scrittura
il numero pi`u grande dei tre e cos`ı pure nel secondo caso il numero pi`u piccolo dei
tre. Al fine di una verifica pedissequa della propriet`a sar`a sufficiente distinguere i casi
possibili che sono sei, tuttavia questi si riducono ad uno solo se ricorriamo alla propriet`a
commutativa, gi`a dimostrata, infatti senza alcuna diminuzione di generalit`a possiamo
limitarci a considerare solo il caso a ≤ b ≤ c nel qual caso risulta (a ∨ b) = b, b ∨ c = c
per quanto riguarda il primo membro e b ∨ c = c nonch´e a ∨ c = c per quanto riguarda il
secondo membro. Ma per la propriet`a commutativa abbiamo: (a ∨ b) ∨ c = (b ∨ a) ∨ c =
c ∨ (a ∨ b) = c ∨ (b ∨ a) e possiamo liberamente scambiare i due membri della identit`a,
in tal modo se ad esempio fosse b ≤ c ≤ a riscriveremmo a ∨ (b ∨ c) come (c ∨ b) ∨ a
ed avendo verificato l’identit`a nel caso di tre numeri qualsiasi in ordine non decrescente
risulta: (c ∨ b) ∨ a = c ∨ (b ∨ a) e quindi in definitiva: a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c che a meno
dell’ordine dei due membri `e l’identit`a oggetto di dimostrazione. Verifichiamo adesso
una propriet`a speciale di queste operazioni binarie che abbiamo gi`a incontrato nel caso
delle tabelle di verit`a per gli operatori logici And ed Or. Si tratta della propriet`a di
assorbimento.
a ∨ (a ∧ b) = a (5)
a ∧ (a ∨ b) = a (6)
in questo caso una verifica diretta `e semplicissima perch´e richiede di controllare
solamente due casi a ≤ b e a ≥ b. Da ultimo andiamo a verificare la propriet`a
distributiva:
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) (7)
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) (8)
2

3. notiamo che la simmetria della struttura della prima identit`a permette di ricondurci
sempre ad uno di due casi: a ≤ b ≤ c ovvero b ≤ a ≤ c ma nulla cambia nei nostri
ragionamenti se sostituiamo ≤ con ≥ e min con max, quindi la seconda identit`a segue
immediatamente dalla prima. Ricordiamo che un insieme dotato di due operazioni bina-
rie che verificano le propriet`a suddette forma una struttura algebrica, che prende il nome
di reticolo distributivo, avevamo visto che i connettivi logici fra i valori di verit`a delle
proposizioni portano ad un reticolo distributivo ed avevamo notato che in particolare
quel reticolo era dotato di elemento neutro. Un reticolo distributivo dotato di elemento
neutro rispetto alla prima operazione si chiama reticolo booleano. Mostriamo subito che
questo `e il caso anche della nostra struttura infatti 0 ∨ a = a perch´e 0 `e il pi`u piccolo
numero naturale.
Multi-insiemi Abbiamo gi`a incontrato in precedenza, nel corso delle nostre lezioni, il
concetto di insieme universo, di insieme delle parti, in particolare limitandoci ai sottoin-
siemi di una insieme dato, che indicavamo con U, avevamo visto come tutte le operazioni
dell’algebra booleana per i valori di verit`a delle proposizioni si trasferissero agli insiemi
che le verificano (quindi, per esempio, se indichiamo con A l’insieme degli elementi che
rendono vera una proposizione QA e l’insieme B degli elementi che rendono vera una
proposizione QB l’insieme A ∧ B era null’altro che l’insieme degli elementi che rendono
vera la proposizione QA ∧ QB, analogamente se consideriamo la negazione di una pro-
posizione QA verificata dal sottinsieme A ⊆ U otteniamo che l’insieme che verifica la
relazione `e A = U − A ovvero l’insieme complementare di A in U. Mostriamo adesso
una estensione del concetto di insieme a cui risulta possibile applicare analoghe regole
di calcolo: definiamo multi-insieme dell’insieme U la coppia composta da U e da una
funzione, detta molteplicit`a, o funzione caratteristica m : U → N. Definiamo il suppor-
to di m come la controimmagine mediante m di N − 0. Per esempio se a,b,c sono tre
elementi di U il multi-insieme a,a,b,c (l’uso della doppia parentesi serve a distinguere i
multi-insiemi dagli insiemi ordinari) ha supporto a,b,c e la funzione caratteristica vale
zero per tutti gli elementi di U eccetto a,b,c e risulta m(a) = 2, m(b) = 1, m(c) = 1.
Definizioni: dati due multi-insiemi di funzioni caratteristiche mA, mB definiamo
l’unione dei due multi-insiemi mA ∨ mB come il multi-insieme di funzione caratteristica
mA ∨ mB(x) ≡ max(mA(x), mB(x)) e l’intersezione che indichiamo con mA ∧ mB come
l’insieme di funzione caratteristica mA ∧ mB(x) ≡ min(mA(x), mB(x)).
Sulla scorta delle verifiche svolte nel primo paragrafo `e immediato riconoscere che
i multi-insiemi con le operazioni test´e definite ∧ ∨ formano un reticolo distributivo
booleano.
Notiamo che la nozione di inclusione si generalizza naturalmente cos`ı: diremo che un
multi-insieme A `e incluso in un multi-insieme B se ∀x ∈ UmA(x) ≤ mB(x)
Aggiungiamo un’ulteriore definizione che si riveler`a presto utile. Un multi-insieme si
dice finito se il suo supporto `e finito. Diciamo che un multi-insieme `e vuoto se tale `e il
suo supporto.
3

4. Una definizione che richiede una certa attenzione `e quella di complementare. Analo-
gamente al caso degli insiemi occorre limitarsi a considerare i sotto-insiemi di un multi-
insieme dato. Dati due multi-insiemi definiamo il multi-insieme A − B come l’insieme
la cui funzione caratteristica `e mA−B(x) = mA(x) − mB(x) Ne consegue che limitandosi
a considerare i multi-insiemi contenuti in un multi-insieme W assegnato, e che dire-
mo multi-insieme ambiente, la struttura di reticolo booleano riguadagna una propriet`a
caratteristica del reticolo booleano della logica classica e della teoria degli insiemi, pos-
siamo infatti indicare sinteticamente con A il multi-insieme W − A e si legge A `e il
complementare di A (nell’ambiente W). In questo modo otteniamo un reticolo booleano
con complemento (vedremo in seguito alcune profonde differenze che questa struttura
algebrica presenta rispetto all’algebra sugli insiemi).
2 Lezione seconda
Applicazione dei multi-insiemi alla teoria dei numeri Ricordiamo che per il teorema di
Euclide della unicit`a della fattorizzazione dei numeri naturali ogni numero naturale po-
sitivo pu`o essere espresso in modo univoco come prodotto dei suoi fattori primi contati
ciascuno con la propria molteplicit`a. Allora ad ogni numero naturale possiamo associare
un multiinsieme dei numeri primi, ponendo come funzione caratteristica la funzione che
fa corrispondere ad ogni fattore primo la sua molteplicit`a. Per esempio al numero 24
risulta associato il multiinsieme 2, 2, 2, 3 che in termini di funzione caratteristica `e rap-
presentato dalla sequenza numerica (3, 1, 0, 0...) dove si sottende che il numero al posto
i−mo rappresenta la molteplicit`a dell’i−mo numero primo. In seguito adotter`o la con-
venzione di indicare con una lettera minuscola i numeri e con la corrispondente lettera
maiuscuola i loro insiemi rappresentativi. Ad esempio il numero n = 1 `e rappresentato
dall’insieme N = {} = (0, 0, ...)
Il che esprime la circostanza che al multi-insieme vuoto, rappresentato dalla funzione
nulla su U corrisponde l’unit`a.
Sappiamo, a proposito di numeri naturali, che il massimo comun divisore di due nu-
meri a,b `e quel numero che ha per fattori i fattori primi comuni dei due numeri presi con
il minimo esponente. In termini di multi-insiemi associati il multi-insieme associato al
M.C.D.(a,b) `e quindi null’altro che A ∧ B, mentre il multi-insieme associato con il mini-
mo comune multiplo di a,b (il numero che ha per fattori i fattori primi dei due numeri,
comuni e non comuni, presi con il massimo esponente) `e null’altro che A∨B. Quindi que-
ste operazioni binarie sui multi-insiemi, che formano un reticolo booleano, si traducono
automaticamente in operazioni binarie sui numeri naturali e formano ancora un reticolo
booleano. In breve possiamo riassumere quanto scritto come segue a ∨ b = m.c.m(a, b),
a ∧ b = M.C.D.(a, b).
Fissato un numero w nell’insieme dei suoi divisori a,b,c,.. possiamo, inoltre, definire
un complementare. Poich´e a divide w avremo infatti A ⊆ W e potremo considerare l’in-
4

5. sieme W −A, mostriamo che questo `e null’altro che l’insieme associato a w/a. Sia infatti
w = pw1
1 ...pwn
n , poich`e a|w deve essere a = pa1
1 ...pan
n ed ai ≤ wi, ovvero appunto A ⊆ W
pertanto il multi-insieme W associato a w ha supporto {p1, ..., pn} ed il multi-insieme
A associato ad a ha supporto contenuto in {p1, ..., pn}. Per definizione abbiamo che il
numero associato con W − A ha funzione caratteristica, limitatamente al supporto di
W, mW−A(p1) = w1 − a1, ..., mW−A(pn) = wn − an ma pw1−a1
1 ...pwn−an
n = w/a Q.E.D.
Abbiamo quindi ritrovato nuovamente la struttura di reticolo booleano complemen-
tato.
Con queste premesse dimostriamo per esercizio alcune semplice propriet`a che di-
scendono da queste osservazioni. Consideriamo per esempio due numeri interi, a, b, sia
w = ab allora risulta in accordo alle identit`a notevoli di De Morgan:
ab/(a ∧ b) = (a ∧ b) = (a ∨ b ) = (ab/a ∨ ab/b) = (b ∨ a)
e riotteniamo la propriet`a fondamentale di complementariet`a fra massimo comun
divisore e minimo comune multiplo: [a, b](a, b) = ab. In modo del tutto analogo possiamo
dimostrare che:
[a, b, c](ab, bc, ca) = abc
identit`a che risulter`a agevolmente dimostrata nell’insieme dei divisori di w = abc se
assumiamo per contro w = (a, b) otteniamo:
(a, b)/(a ∧ b) = (a ∧ b) = ((a, b)/a ∨ (a, b)/b)
ancora, per la legge distributiva abbiamo:
[(a, b), (b, c)] = (a, [b, c])
quindi se abbiamo un metodo veloce per calcolare il massimo comun divisore di b,c
possiamo risparmiare fatica rispetto al calcolo del primo membro. E tante e tante altre
simili identit`a che possono essere prese pari pari da un manuale di elettronica come ad
esempio la seguente identit`a auto-duale:
[(a,b),(b,c),(c,a)]=([a,b],[b,c],[c,a])
invito a considerare un caso specifico, come per esempio a = 15, b = 21, c = 77
per apprezzare la semplificazione che costituisce il secondo membro di questa identit`a
rispetto al primo.
Disegnare con i divisori Un numero `e multiplo di un altro se il suo multi-insieme contiene
il multi-insieme dell’altro. Ne `e divisore in caso contrario. La relazione di divisibilit`a
risulta essere una relazione d’ordine. (ricordiamoci che una relazione si dice di ordine
parziale se `e riflessiva, ci`o che nel nostro caso significa che ogni numero `e divisore di
s´e; transitiva cio`e se un dato numero divide un secondo numero che ne divide un terzo
5

6. allora il numero dato divide pure lui il terzo numero, ed infine antisimmetrica che nel
nostro caso significa che se due numeri sono l’uno divisore dell’altro i due numeri sono
uguali) La relazione d’ordine della divisibilit`a `e una relazione d’ordine parziale (infatti
dati due numeri a,b non necesarriamente uno `e divisore dell’altro). A partire da un
numero naturali si pu`o costruire un diagramma ponendo nel piano immediatamente
inferiore tutti i numeri che lo dividono e che non dividono alcuno dei suoi divisori, il
fatto che questi numeri dividono l’elemento sulla riga pi`u alta si indica collegandoli a
quello con un trattino. Per esempio dato il numero 30 avremo solo i numeri 15,10,6
con questa propriet`a, operativamente si procede scrivendo 30 = 2*3*5 e considerando
i sottoinsiemi dei fattori che hanno un solo elemento in meno 2*3, 3*5, 2*5. Fatto ci`o
si procede a costruire la terza riga dove si collocando i numeri che hanno un fattore in
meno, nel nostro esempio 2,3,5 e collegandoli ai numeri di sopra con un trattino se sono
divisori. Si procede cos`ı fino a giungere al numero 1. Il diagramma cos`ı costruito si
chiama diagramma di Hasse (ogni insieme parzialmente ordinato ha un diagramma di
Hasse, e viceversa, ogni diagramma di Hasse definisce una relazione d’ordine parziale
provate!)
[Osservazione: abbiamo visto, costruendo il diagramma di Hasse dei divisori di 30,
che i segmenti che collegano i divisori fra una riga e la seguente inevitabilmente devono
intersecarsi. Bene, per evitare queste intersezioni, il diagramma di Hasse di un numero
con tre fattori primi pu`o essere rappresentato nello spazio R3, ed ha generalmente la
forma degli spigoli di un reticolo di cubi contigui contenuti in un parallelepido di lati
proporzionali alla molteplicit`a dei tre fattori, nel nostro caso per il numero 30 i nodi
del diagramma di Hasse con i segmenti che li congiungono possono essere trasportati sui
vertici e gli spigoli di un cubo. Cosa succede se i fattori primi sono pi`u di tre? In questo
caso occorrer`a usare l’occhio della mente per immaginare un grafo altrettanto regolare
ed ordinato nell’insieme delle n-ple di numeri che chiameremo Rn...]
3 Lezione terza
3.1 Cenni storici
Le algebre di Boole Ricordiamo che la struttura di algebra di Boole fu ideata nel corso
del’ottocento dal matematico George Boole che raccolse il sogno enunciato circa due
secoli prima da Gottfried Leibniz di ricondurre le controversie argomentative a semplici
calcoli logici sulle premesse. Lo sforzo di Boole giungeva in un momento in cui in In-
ghilterra la rivoluzione industriale e lo sviluppo delle macchine aveva portato Babbage
ed Ada Lovelace a concepire macchine capaci di calcoli automatici. La teoria di Boole
si ripropose all’attenzione degli scienziati negli anni quaranta del secolo scorso con lo
sviluppo concreto di macchine logiche funzionanti, sviluppo che nel corso di pochi de-
cenni avrebbero portato alla rivoluzione informatica della fine del novecento. Al di l`a
dell’origine dell’algebra booleana quello che `e degno di nota `e il fatto che molte delle
identit`a algebriche che sono state sviluppate per l’elettronica possono essere trasferite a
qualsiasi algebra booleana in virt`u della identit`a delle regole di calcolo. Ma allora tutto
6

7. quello che si impara a proposito di proposizioni e di identit`a booleane nell’ambito del
calcolo proposizionale di Boole pu`o essere trasferito al caso delle nostre due operazioni
binarie?
In effetti no, tornando con la mente a questa breve rassegna si possono essere evi-
denziate alcune differenze importanti fra la struttura del calcolo proposizionale e degli
insiemi e la struttura algebrica del max e min di cui abbiamo parlato nella prima sezio-
ne: un primo punto fondamentale consiste nel notare che oltre all’elemento neutro per
∨ esisteva nel caso della logica l’elemento neutro per ∧ ed il concetto di complemento
(l’operatore not). Tuttavia l’insieme dei numeri naturali non `e limitato superiormente
quindi non c’`e elemento che sia maggiore di tutti gli altri e quindi non c’`e un elemento
neutro nel reticolo min,max che abbiamo presentato. Tuttavia `e bastato introdurre una
limitazione superiore nell’insieme per ottenere, mediante rispecchiamento, la dualit`a ti-
pica del calcolo proposizionale. Nonostante queste differenze rimangono delle relazioni
comuni fra le due strutture, tutte quelle che per essere dimostrate richiedono solo le
propriet`a di reticolo che abbiamo elencato.
E’ curioso osservare che, come spesso accade nella storia della matematica, la strut-
tura pi`u elementare di reticolo `e stata introdotta pi`u tardi della nozione di algebra di
Boole, essa risale essenzialmente alla prima met`a del secolo scorso e si deve a matematici
come Birkhoff e Kolmogorov. A cosa si deve il nome di reticolo? Abbiamo visto su un
esempio che `e possibile associare alla struttura dei divisori un diagramma reticolare, il
diagramma di Hasse. Ebbene l’origine del nome reticolo deriva proprio da queste strut-
ture reticolari che possono essere associate ad ogni insieme parzialmente ordinato. Ma
quale `e in generale la relazione che esiste fra le operazioni binarie del reticolo ∧ e ∨ e
la relazione d’ordine? Diremo che in generale a ≤ b sse esiste un elemento y tale che
a = b ∧ y usando la propriet`a di assorbimento `e immediato vedere che se a ≤ b allora
a ∨ b = b.
Se aggiungendo ad un reticolo booleano la nozione di complemento, come abbiamo
visto nel caso del min-max considerando sottoinsiemi finiti di naturali, le somiglianze con
il calcolo proposizionali aumentano possono tuttavia ancora sussistere delle differenze.
Una delle pi`u notevoli `e la seguente: nella teoria degli insiemi possiamo introdurre il
concetto di differenza simmetrica A∆B = (A ∨ B) ∧ (A ∧ B) una propriet`a nota della
differenza simmetrica consiste nel fatto che A∆A = 0 per qualsiasi insieme A. Facciamo
vedere che nel caso del reticolo del min-max su insiemi limitati dall’alto e dal basso
questa propriet`a non si verifica, basta considerare infatti i numeri dell’insieme (1, 2, 3)
dove poniamo x = 3 − x Vediamo allora che 2∆2 = (2 ∨ 2) ∧ (2 ∨ 2) = 2 ∧ 1 = 1
per lo stesso motivo la differenza simmetrica di un multi-insieme con se stesso non `e
generalmente 0.
I multi-insiemi La nozione di insiemi i cui elementi sono molteplici ha una storia cu-
riosa, sembra attraversare come un fiume carsico tutta la storia della matematica. Le
notizie pi`u antiche al riguardo si trovano nella matematica indo-persiana nell’opera del
matematico Bashkara, ma `e probabile che prima ancora la nozione sia stata utilizzata
in modo non formalizzato pi`u e pi`u volte dai matematici, per quanto riguarda la storia
7

8. moderna invece il nome di battesimo multiset vede la luce nel contesto della matematica
combinatoria da parte di un ’allievo’ di Paul Erdos, il matematico olandese N.B. de
Bruijn intorno al 1970.
4 Appendice avanzata, da intendere come spunto di approfondimento
per i colleghi docenti
Differenze algebriche fra insiemi e multi-insiemi Un’aspetto piuttosto interessante, pen-
sando al nome di algebra di Boole, riguarda la circostanza che essa `e effettivamente
un’algebra associativa. Inoltre pu`o essere messa in relazione con un’altra struttura al-
gebrica gi`a incontrata per gli interi, la struttura di anello. Un anello nel quale per
ogni elemento x sia verificata la propriet`a x2 = x, si dice anello booleano e risulta
possibile da esso costruire un reticolo booleano complementato ponendo x ∧ y = x · y
e x ∨ y = x + y + x · y e viceversa x + y = x∆y, dove + e · rappresentano le ope-
razioni dell’anello, mentre ∆ `e la differenza simmetrica come definita in precedenza,
per quanto riguarda il complemento algebrico esso sar`a definito come 1 + x = x . In
un anello booleano vale per`o la propriet`a x + x = 0 per dimostrarlo basta notare che
(x + x) = (x + x)2 = x2 + x2 + x2 + x2 = x + x + x + x e dunque, per la propriet`a di
esistenza dell’opposto x + x = 0. Da qui segue x + (1 + x) = 1 e quindi in definitiva
x ∨ x = 1 e del resto x ∧ x = x(1 + x) = x + x = 0 pertanto abbiamo verificato le
due propriet`a del complemento che insieme alle propriet`a di reticolo booleano danno
effettivamente luogo ad un’algebra.
Ogni anello booleano `e, altres`ı, un’algebra associativa sul campo F2. Ora, `e un teo-
rema generale, ma che enunciamo senza dimostrarlo, che se un’algebra di Boole consiste
di un numero finito di elementi questi sono una potenza di 2. Il fatto che nell’esempio
discusso di reticolo min-max abbiamo trovato che la propriet`a x + x = 0 non `e verifi-
cata, come il fatto che, pi`u generalmente, il numero di elementi dei sotto-insiemi di un
multi-insieme possa differire da una potenza di 2, sono due aspetti notevoli che caratte-
rizzano la struttura algebrica dei multi-insiemi come esempio di reticolo complementato
booleano che non `e un’algebra booleana.
Mentre, stanti le definizioni di sopra la verifica che si ha un’algebra booleana `e
pressoch´e immediata, il percorso inverso `e un poco pi`u laborioso e quindi lo illustrer`o in
dettaglio, dimostrando che effettivamente l’algebra degli insiemi `e un’anello booleano e
quindi un’algebra associativa su F2, evidenziando il ruolo cruciale svolto dalla propriet`a
a∧a = 0 e riconoscendo che gli insiemi universo e vuoto svolgono il ruolo degli elementi
0 ed 1 del campo F2. In particolare dimostriamo facilmente la propriet`a distributiva:
(a+b)·c = (a·c)+(b·c) per questo dobbiamo tradurre il tutto in termini delle operazioni
convenzionali di unione ed intersezione. Ricordando ancora che a+b = (a∨b)∧(a∧b) (di
questo si pu`o dare anche una dimostrazione intuitiva in termini di diagrammi di Eulero
Venn), dobbiamo mostrare che [(a∧c)∨(b∧c)]∧((a∧c)∧(b∧c)) = [(a∨b)∧(a∨b) ]∧c.
Ma in effetti per la propriet`a distributiva risulta: [(a∧c)∨(b∧c)] = (a∨b)∧c mentre dalla
8

9. propriet`a associativa, dalla propriet`a commutativa, per la propriet`a di idempotenza e
per la legge di De Morgan `e ((a ∧ c) ∧ (b ∧ c)) = (a ∧ b ∧ c ∧ c) = (a ∧ b ∧ c) =
(a∧b) ∨c Quindi risulta, applicando nuovamente le propriet`a associativa e distributiva:
[(a∧c)∨(b∧c)]∧((a∧c)∧(b∧c)) = [(a∨b)∧c]∧((a∧b) ∨c) = (a∨b)∧[c∧((a∧b) ∨c)] =
(a ∨ b) ∧ [((a ∧ b) ∧ c) ∨ (c ∧ c )], rimane infine da applicare la propriet`a c ∧ c = ∅ e
di conseguenza per la propriet`a del minimo e la propriet`a associativa risulta la tesi:
(a ∨ b) ∧ [((a ∧ b) ∧ c) ∨ (c ∧ c )] = [(a ∨ b) ∧ (a ∧ b) ] ∧ c. Con questo, stante il fatto che
rispetto alla differenza simmetrica l’algebra degli insiemi forma un gruppo abeliano, in
quanto l’insieme vuoto svolge il ruolo di elemento neutro ed ogni elemento `e opposto di s´e
medesimo [per inciso la propriet`a di unicit`a dell’elemento inverso sostanzia la propriet`a
abbastanza intuitiva che la differenza simmetrica si annulla soltanto fra insiemi identici],
nonch´e il fatto che rispetto al ∧ la stessa algebra degli insiemi `e un semigruppo unitario
(con unit`a l’insieme universo) segue che l’algebra degli insiemi `e un anello unitario.
Infine la verifica che l’insieme universo, che indicheremo con 1 e l’insieme vuoto, che
indicheremo con 0, formano un campo F2 si riduce a controllare che con le operazioni +
e · si ottengono le tavole moltiplicative di F2 ovvero: 1 · 0 = 0 · 1 = 0 0 · 0 = 0, 1 · 1 = 1
nonch`e 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0 ed infine 0 + 0 = 0. Questo fatto, insieme alla propriet`a
distributiva gi`a dimostrata, implica che la struttura algebrica degli insiemi pu`o essere
vista sia come uno spazio vettoriale su F2 sia come un’algebra associativa sul medesimo
campo.
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