La tesi di Giulia Marcaccio esplora la geometria tropicale, un campo emergente della geometria algebrica, basata sull'algebra tropicale. Viene analizzato il comportamento delle curve tropicali e delle loro intersezioni, evidenziando che alcuni principi classici, come il teorema di Bézout, sono ancora validi in questo nuovo contesto. La ricerca include studi sui polinomi tropicali, le ipersuperfici ad essi associate e le relazioni tra geometria tropicale e classica.

1. Università degli Studi di Padova
Dipartimento di Matematica
Corso di Laurea in Matematica
Curve Tropicali:
Teoria dell’Intersezione e Dualità.
Candidato:
Giulia Marcaccio
Matricola:
1030709
Relatore:
Prof. Carla Novelli
26 settembre 2014

3. Indice
1 Il mondo tropicale 7
1.1 Aritmetica tropicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Polinomi tropicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Ipersuperficie tropicali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Curve tropicali piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Dualità 17
2.1 Suddivisione duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Grafi bilanciati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Teorema di dualità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Descrizione geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Teoria dell’intersezione tropicale 27
3.1 Intersezione trasversa di due curve e moltepicità di un punto . . . . . . . 27
3.2 Teorema di Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Intersezione stabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Bibliografia 37
3

4. 4

5. Introduzione
La geometria tropicale è un campo relativamente nuovo della geometria algebrica che ha
conosciuto un progresso notevole nel corso dell’ultimo decennio, pur avendo origine negli
anni ’70.
Questa branca della geometria è basata sulla cosiddetta algebra tropicale, conosciuta col
nome originale di “max-plus algebra”, che si è sviluppata nella teoria dei semigruppi.
L’utilizzo dell’aggettivo “tropicale” venne introdotto dal matematico francese Jean-Eric
Pin in onore del lavoro del collega brasiliano Imre Simon che per primo vi si dedicò.
Ad oggi la geometria tropicale è usata in molteplici contesti: quello delle varietà tropi-
cali derivanti dalle varietà algebriche classiche, approfondito dai matematici Maclagan
e Sturmfels in “Introduction to tropical geometry” (si veda [10]); quello combinatorio e
algoritmico della geometria tropicale, studiato in special modo dal matematico Joswig;
quello della mirror simmetry (si veda [6]); quello della geometria tropicale come geometria
intrinseca studiato da Mikhalkin e Rau. Sempre lo stesso Mikhalkin ha scandagliato,
insieme a Shustin e ad Itemberg, i metodi tropicali nella geometria algebrica enumerativa
e reale (si veda [8]). Un ulteriore aspetto, quello della max-plus algebra applicata è stato
esaminato da autori quali Baccelli, Cohen, Olsder e Quadrat in “Synchronisation and
linearity” (si veda [1]) e da Butkovic in “Max-linear Systems: Theory and Algorithms” (si
veda [5]).
Ci sono quindi svariati approcci alla geometria tropicale. Nella tesi seguiremo l’idea in-
trinseca della geometria tropicale introducendo polinomi tropicali e ipersuperficie tropicali
associate ad essi, soffermandoci sullo studio delle curve algebriche piane. In particolare
analizzeremo il comportamento della loro unione e intersezione, e vedremo che in quest’am-
biente continua a valere uno dei teoremi fondamentali della teoria classica dell’intersezione
tra curve: il teorema di Bézout. Seguiremo, in particolare, gli argomenti presenti in [3], [4]
e in [7] e trarremo alcuni spunti da [9] [10] e da [11].
Ad un primo approccio l’intersezione tra varietà tropicali sembrerebbe differire di molto
dall’intersezione delle varietà classiche. Ad esempio due rette tropicali distinte nel pia-
no si possono intersecare in un numero infinito di punti. Una retta tropicale infatti è
formata da tre semirette “usuali” che si dipartono da un vertice comune nelle direzioni
(−1, 0), (0, −1), (1, 1) (si veda la figura 1 a)).
Vedremo però in seguito che questi oggetti hanno proprietà comuni agli equivalenti
classici. Ad esempio molte rette tropicali si intersecano in un solo punto (si veda la figura
1 b)), inoltre per molte coppie di punti vale l’esistenza di un’unica retta tropicale passante
per quei punti (si veda la figura 1 c)). Concluderemo così che la geometria classica e
quella tropicale si sono sviluppate seguendo gli stessi principi ma da due metodi di calcolo
differenti.
5

6. Figura 1
Introdurremo nel primo capitolo il semianello tropicale, una struttura algebrica ot-
tenuta definendo su R ∪ {−∞} le operazioni ⊕ e dette, rispettivamente, addizione
e moltiplicazione tropicale. Dopo aver stabilito che nell’algebra tropicale la somma di
due numeri è il massimo dei due numeri e il prodotto di due numeri è la loro somma,
definiremo polinomi e funzioni nel semianello tropicale. Studiando in seguito la geometria
algebrica determinata dall’aritmetica tropicale, scopriremo che gli oggetti tropicali sono
oggetti lineari a tratti. Il vantaggio che ne deriva è che, rispetto agli equivalenti classici,
gli oggetti tropicali sono molto più semplici da analizzare. Richiamando poi il concetto
di polinomio tropicale, introdurremo la nozione di ipersuperficie tropicale associata ad
esso e ci soffermeremo sulle curve tropicali piane, definite come ipersuperficie tropicali di
un polinomio tropicale in due variabili. Avendo infine definito il grado di un polinomio
e di una curva tropicale, avrà senso parlare di retta tropicale come curva di grado 1,
analogamente di conica, di cubica, o più in generale di una curva di grado d con d ∈ N.
Cercando una rappresentazione grafica di una retta tropicale, scopriremo che essa è data
dall’unione di tre semirette aventi un’origine in comune. Allo stesso modo vedremo la
rappresentazione di coniche e cubiche tropicali differire di molto dalle curve classiche di
gradi 2 e 3 rispettivamente.
Nel secondo capitolo verrà presentata la nozione di grafo bilanciato che verrà rapportata
alla suddivisione del piano determinata da una curva tropicale piana. Ci serviremo dunque
di uno dei teoremi di Mikhalkin per dimostrare che queste due nozioni sono una il duale
dell’altra.
Nel terzo capitolo ci interesseremo dell’unione e dell’interszione di curve tropicali piane,
definendo la nozione di intersezione trasversa e di intersezione stabile di curve tropicali.
Dimostreremo in seguito che, sotto queste ipotesi, vale il teorema di Bézout sulla moltepli-
cità d’intersezione tra curve. Parte delle figure utilizzate nella tesi sono tratte da [3] e
da [4].
6

7. Capitolo 1
Il mondo tropicale
1.1 Aritmetica tropicale
Sia R l’insieme dei numeri reali. Su R definiamo due operazioni, che indichiamo con ⊕ e
, nel modo seguente:
a ⊕ b := max{a, b} a b := a + b ∀a, b ∈ R.
Le operazioni ⊕ e si dicono, rispettivamente, addizione tropicale e moltiplicazione
tropicale. Affinché l’operazione ⊕ ammetta l’elemento neutro, aggiungiamo a R l’elemento
−∞ e poniamo T := R∪{−∞}. Si verifica che la terna (T, ⊕, ) costituisce un semianello,
che è denominato semianello tropicale. Inoltre l’insieme T è detto insieme dei numeri
tropicali.
Osserviamo ora che la terna (T, ⊕, ) soddisfa tutti gli assiomi di campo eccetto quello
dell’esistenza dell’inverso additivo, dunque è un semi-campo in cui l’identità additiva è
−∞ e l’identità moltiplicativa è 0:
x ⊕ −∞ = x e x 0 = x.
Notiamo che l’operazione ⊕ è idempotente, infatti:
x ⊕ x = max{x, x} = x
Notazione. Nel seguito utilizzeremo il simbolo per indicare l’elevamento a potenza
nell’aritmetica tropicale, i.e. a n
:= a . . . a è la moltiplicazione tropicale di n copie
di a.
Notiamo inoltre che vale il “Freshman’s Dream”:
(a ⊕ b) n
=
n
(a ⊕ b) (a ⊕ b) . . . (a ⊕ b)
=
n
max{a, b} + max{a, b} + . . . + max{a, b}
= n max{a, b} = max{na, nb}
= a n
⊕ b n
7

8. 1.2 Polinomi tropicali
Siano x1, x2, . . . , xn variabili. Un monomio tropicale è un prodotto tropicale finito di
queste variabili, dove le ripetizioni sono permesse. Un monomio tropicale rappresenta
una funzione p : Rn
→ R. Più precisamente i monomi tropicali sono le funzioni lineari a
coefficienti naturali.
Esempio 1.2.1. Il monomio
x2 x1 x3 x1 x4 x2 x3 x2 = (x 2
1 ⊕ x 3
2 ⊕ x 2
3 ⊕ x4)
rappresenta x2 + x1 + x3 + x1 + x4 + x2 + x3 + x2(= 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4).
Un polinomio tropicale è una combinazione linare finita di monomi tropicali:
p(x1, . . . , xn) =
(i1,...,in)∈Λp
ai1...in x1
i1
. . . xn
in
(1.1)
= max
(i1,...,in)∈Λp
{ai1...in + i1x1 + . . . + inxn} (1.2)
dove ai1...in ∈ T, i1, . . . , in ∈ N e Λp è un insieme finito di punti a coordinate intere in Rn
.
Un polinomio tropicale rappresenta una funzione p : Rn
→ R. Valutando questa
funzione otteniamo il massimo tra una collezione finita di funzioni lineari.
La funzione p gode delle seguenti proprietà:
• è continua;
• è lineare a tratti, dove il numero dei tratti è finito;
• è convessa, i.e. p(x+y
2
) ≤ p(x)+p(y)
2
, ∀x, y ∈ Rn
.
Ogni funzione che soddisfa queste tre proprietà può essere rappresentata come il
massimo di un insieme finito di funzioni lineari. Quindi abbiamo il seguente
Lemma 1.2.2. I polinomi tropicali in n variabili sono precisamente le funzioni convesse
lineari a tratti su Rn
a coefficienti interi, dove il numero dei tratti è finito.
Ricordiamo che in maniera analoga si definiscono i polinomi di Laurent tropicali.
Esempio 1.2.3. Può risultare utile esaminare i polinomi tropicali e le funzioni da essi
definite, anche per polinomi in una variabile. Consideriamo dunque un esempio per il caso
in cui n = 1 e Λp = {3, 2, 1, 0}.
p(x) = 0 x 3
⊕ 1 x 2
⊕ 1 x ⊕ 1
= max{3x, 2x + 1, x + 1, 1}.
Disegnamo il grafico di questa funzione, tracciando sul piano (x, y) le rette di equazione:
y = 3x, y = 2x + 1, y = x + 1, y = 1.
8

9. x
y
Il valore di p(x) è il più grande valore assunto da y t.c. (x, y) appartiene a una delle
quattro rette, cioè il grafico di p(x) è l’invilupo superiore di queste rette.
Consideriamo ora un polinomio nella variabile x, con Λp = {3, 2, 1, 0}:
p(x) = a x 3
⊕ b x 2
⊕ c x ⊕ d = max {a + 3x, b + 2x, c + x, d}. (1.3)
Per rappresentare questa funzione disegnamo nel piano (x, y) le rette di equazione:
y = a + 3x, y = b + 2x, y = c + x, y = d. (1.4)
Il valore di p(x) è il più grande valore assunto da y nei punti (x, y) di queste quattro rette,
cioè il grafico di p(x) è l’inviluppo superiore delle rette.
d-c c-b b-a
x
y
Come è facile osservare, tutte e quattro le rette contribuiscono al grafico se d − c ≤
c − b ≤ b − a.
Assumiamo che d − c ≤ c − b ≤ b − a. Notiamo che il grafico presenta degli “spigoli”
nei punti in cui x ∈ {d − c, c − b, d − a}, i.e. in questi punti p(x) non è lineare. Dunque il
polinomio ha una fattorizzazione in tre fattori lineari:
p(x) = a (x ⊕ (b − a)) (x ⊕ (c − b)) (x ⊕ (d − c)) .
I tre spigoli si dicono radici del polinomio.
In particolare, se d − c = c − b = b − a, allora p(x) = a x ⊕ d−a
3
3
.
9

10. x
y
Definizione 1.2.4 (Radice tropicale). Sia p(x) = d
i=1 ai x i
un polinomio tropicale
in una variabile. Si dicono radici tropicali di p(x) i numeri x0 ∈ T per i quali il grafico di
p(x) ha uno spigolo in x0. Inoltre la differenza tra le pendenze dei due lati adiacenti in
uno spigolo rappresenta l’ordine della radice corrispondente; lo denotiamo con ord(x0).
Le radici tropicali sono dunque quei numeri tropicali x0 per i quali esiste almeno una
coppia di indici i e j t.c. p(x0) = ai + ix0 = aj + jx0. Diciamo che il massimo di p(x) è
ottenuto almeno due volte in x0. In questo caso l’ordine della radice in x0 è il massimo di
|i − j| tra tutte le possibili coppie che realizzano il massimo in x0. Osserviamo che:
1. il numero x0 ∈ T è una radice tropicale di ordine almeno k di p(x) se esiste un
polinomio tropicale q(x) t.c. p(x) = (x ⊕ x0)k
q(x);
2. se x0 ∈ T è una radice tropicale, non necessariamente p(x0) = −∞.
Esempio 1.2.5. Consideriamo i polinomi p1(x) = 0 ⊕ x, p2(x) = 0 ⊕ x ⊕ (−1) x 2
,
p3(x) = 0 ⊕ x2
. I grafici corrispondenti sono rappresentati in figura 1.1.
Figura 1.1: Il grafico di alcuni polinomi tropicali in una variabile.
Osserviamo che p1 ha una radice semplice in 0, p2 ha radici semplici in 0 e in 1 e p3
ha radice doppia in 0.
Teorema 1.2.6 (Teorema fondamentale dell’algebra). Il semi-campo tropicale è algebri-
camente chiuso.
10

11. In altre parole ogni polinomio tropicale in una variabile di grado d ha esattamente d
radici, contate con le rispettive molteplicità.
Ogni polinomio tropicale, inteso come funzione Rn
→ R, può essere scritto in modo
unico come prodotto di fattori lineari tropicali.
Osservazione 1.2.7. L’unicità della fattorizzazione vale solo per polinomi in una variabile.
Ad esempio il polinomio in due variabili
p(x, y) = x 2
y 2
⊕ x 2
y ⊕ x y 2
⊕ x y ⊕ x ⊕ y ⊕ 0
ha due fattorizzazoni irriducibili distinte:
(x y ⊕ x ⊕ 0) (x y ⊕ y ⊕ 0) =
= (x ⊕ 0) (y ⊕ 0) (x ⊕ y ⊕ 0) .
1.3 Ipersuperficie tropicali
Dopo aver definito l’aritmetica tropicale, è naturale considerare la geometria algebrica
che ne deriva. Sia p(x1, . . . , xn) =
(i1,...,in)∈Λp
ai1...in x1
i1
. . . xn
in
un polinomio
tropicale in n variabili. Consideriamo la funzione polinomiale tropicale p: Rn
→ R che ad
ogni (x1, . . . , xn) ∈ Rn
associa max
(i1,...,in)∈Λp
{ai1...in + i1x1 + . . . + inxn}.
Definizione 1.3.1 (Ipersuperficie tropicale associata ad un polinomio tropicale). L’iper-
superficie tropicale associata a p := p(x1, . . . , xn) è definita come l’insieme
V (p) := {x ∈ Rn
: il massimo di p(x) è ottenuto almeno due volte},
i.e. è l’insieme dei punti di Rn
in cui p non è lineare.
Esempio 1.3.2. Se n = 1 consideriamo, come in (1.3), il polinomio
p(x) = a x 3
⊕ b x 2
⊕ c x ⊕ d
con d − c ≤ c − b ≤ b − a. Allora l’ipersuperficie tropicale associata a p è data dall’insieme
dei punti V(p)={d-c, c-b, b-a}.
Se n = 2, le ipersuperficie associate a polinomi in due variabili sono le curve tropicali
piane, che descriveremo nella prossima sezione.
1.3.1 Curve tropicali piane
Consideriamo un polinomio tropicale in due variabili
p(x, y) =
(i,j)∈Λp
aij x i
y j
. (1.5)
L’ipersuperficie tropicale associata a p := p(x, y) è l’insieme di tutti i punti di R2
in cui il
massimo si realizza almeno due volte:
V (p) = {(x0, y0) ∈ R2
: p(x0, y0) = ai1j1 +i1x+j1y = ai2j2 +i2x+j2y con (i1, j1) = (i2, j2)}.
(1.6)
11

12. Questa ipersuperficie si dice curva tropicale piana associata a p.
Descriviamo la curva V (p).
Definizione 1.3.1.1. Dato un polinomio tropicale in due variabili p(x, y) risulta ben
definita la funzione fp : R2
→ R, dove fp(x, y) = max
(i,j)∈Λp
{aij + ix + jy}, dove Λp è un
insieme finito di punti di N2
. La funzione fp si chiama la trasformata di Legendre della
funzione νp : Λp → R, che ad ogni (i, j) ∈ Λp associa νp(i, j) = −ai,j.
Per descrivere la curva tropicale definita dal nostro polinomio tropicale, consideriamo
il luogo degli spigoli Tp della funzione fp: il sottoinsieme Tp di R2
è formato dai punti
dove la funzione fp non è localmente affine. Il grafico Γp della funzione fp è una superficie
poliedrale in R3
. Proiettando su R2
tutti i vertici e i lati di Γp, si ottiene Tp. Quindi
l’insieme Tp contiene un numero finito di vertici che sono le immagini dei vertici di Γp e
un numero finito di lati che sono le immagini dei lati di Γp. Se Tp non è una retta, ogni
lato di Tp può essere sia un segmento che unisce due vertici, sia una semiretta avente un
vertice come estremo. Nel secondo caso si dice che il vertice è un estremo di Tp. L’insieme
Tp coincide con l’ipersuperficie V (p).
Esempio 1.3.3. Vediamo alcuni esempi di curve tropicali.
1. p1(x, y) = a x ⊕ b y ⊕ c con a, b, c ∈ T.
L’insieme V (p1) associato a p1 è l’unione di tre semirette che hanno lo stesso
estremo. Le direzioni dei tre lati di V (p1) sono, rispettivamente sud, ovest e nord-est.
L’estremo comune dei tre lati è il punto (c − a, c − b).
c-a
c-b
x
y
Figura 1.2
Osserviamo che, modificando i coefficienti di p1 si ottiene una curva tropicale che è
una traslazione di V (p1).
2. p2(x, y) = 3 ⊕ 2 x ⊕ 2 y ⊕ 3 x y ⊕ x 2
⊕ y2
.
Dal disegno si vede che la curva tropicale V (p2) è costituita da quattro vertici,
nei punti (1, −1), (2, −1), (−1, 1) e (−1, 2), da tre segmenti e sei semirette con
pendenze razionali.
12

13. Figura 1.3
3. p3(x, y) = 0 ⊕ x ⊕ y 2
⊕ (−1) x 2
.
Figura 1.4
Come si osserva dal disegno, la curva tropicale V (p3) è costituita da due vertici, nei
punti (0, 0) e (1, 1/2), da un segmento e quattro semirette con pendenze razionali.
Vediamo ora come ad ogni lato di una curva tropicale possa essere associato un numero
intero positivo.
13

14. Definizione 1.3.1.2 (Peso di un lato). Sia p(x, y) = (i,j)∈Λp
aij x i
y j
un polinomio
tropicale, sia V (p) la curva tropicale definita da p(x, y) e sia e un lato della curva tropicale
V (p). Consideriamo il lato ˆe del grafico di p(x, y), la cui proiezione su R2
sia e. Chiaramente
il lato ˆe è adiacente a due facce del grafico di p(x, y) che sono contenute nei grafici di due
funzioni affini
(x, y) → ai1j1 + i1x + j1y, (x, y) → ai2j2 + i2x + j2y
con (i1, j1), (i2, j2) ∈ Λp.
Indichiamo con we la lunghezza intera del segmento che unisce i punti (i1, j1) e (i2, j2), i.e.
il numero di punti a coordinate intere contenuti nel segmento che unisce (i1, j1) e (i2, j2)
meno 1. Ad ogni lato di V (p) possiamo associare la propria lunghezza intera, we, che
prende il nome di peso del lato e.
Equivalentemente, il peso di un lato di V (p) è il massimo tra tutti i massimi comun
divisori dei numeri |i1 − i2| e |j1 − j2| al variare di (i1, j1) e (i2, j2) tra tutte le coppie che
realizzano p(x0, y0):
we = max
Me
{mcd{|i1 − i2| , |j1 − j2|}},
dove Me = {(i1, j1), (i2, j2)|∀(x0, y0) ∈ e, p(x0, y0) = ai1j1 + i1x + j1y = ai2j2 + i2x + j2y}.
Esempio 1.3.4. In figura 1.5 è disegnato il grafico di p(x, y) = x ⊕ y ⊕ 0 = max{x, y, 0}.
Figura 1.5
Sia a il lato che ha direzione ovest. Possiamo associare le funzioni affini (x, y) → y ⇒
(i1, j1) = (0, 1) e (x, y) → 0 ⇒ (i2, j2) = (0, 0). Dunque avremo wa = 1. Analogamente
wb = 1 e wc = 1.
Esempio 1.3.5. Il peso di ogni lato della curva V (p2) dell’esempio 1.3.3 è uguale a 1. La
curva tropicale V (p3) dell’esempio 1.3.3 ha 3 lati di peso 1 e 2 lati di peso 2.
14

15. Definizione 1.3.1.3 (Grado di un polinomio p(x, y)). Sia p(x, y) =
(i,j)∈Λp
aij x i
y j
definiamo d il grado di p come:
d := max{i + j, aij = −∞}
Nota bene. Per semplicità nel seguito assumeremo che i polinomi di grado d soddisfino le
condizioni: a00 = −∞, ad0 = −∞ e a0d = −∞.
Se d = 1, la curva tropicale V (p) si dice retta tropicale; se d = 2, V (p) si dice conica
tropicale; se d = 3, V (p) si dice cubica tropicale, etc. Esempi di rette tropicali sono
disegnati nelle figure 1.2 e 1.5, esempi di coniche tropicali sono disegnati nelle figure 1.3,
1.4 e 1.6, esempi di cubiche tropicali sono disegnati nelle figure 1.7 e 2.5.
Figura 1.6: Conica tropicale.
Figura 1.7: Cubica tropicale.
15

16. Andiamo ora a definire il poligono di Newton, strumento che si rivelerà molto utile nei
capitoli seguenti.
Definizione 1.3.1.4 (Poligono di Newton). Sia p(x, y) =
(i,j)∈Λp
aij x i
y j
un
polinomio di grado d. L’inviluppo convesso ∆p (in R2
) di Λp si dice poligono di Newton
di p o poligono di Newton della curva tropicale V (p) associata a p.
Siamo dunque in grado di dare la seguente
Definizione 1.3.1.5 (Grado di una curva tropicale). Una curva tropicale V (p) ha grado
d se il poligono di Newton ad essa associato è il triangolo di vertici (0, 0), (d, 0) e (0, d),
dove d ∈ N.
I lati di un estremo di una qualunque curva tropicale di grado d seguono una delle
tre direzioni: sud, ovest o nord-est. Per tutte le curve tropicali di grado d, il numero di
lati, contati con i loro pesi, in una direzione fissata, è uguale a d. Queste affermazioni
verranno giustificate nei capitoli seguenti.
Concludiamo il capitolo con il risultato seguente, che dimostreremo nella sezione 2.1:
Proposizione 1.3.1.6. Una curva tropicale piana di grado d ha al più d2
vertici.
16

17. Capitolo 2
Dualità
Sia p := p(x, y) un polinomio tropicale in due variabili. L’utilizzo di una trasformata
di Legendre, cfr. sezione 1.3.1, implica l’esistenza di una dualità. Nel nostro caso c’è
una dualità tra la suddivisione Θp del piano determinata da una curva tropicale e una
suddivisione del poligono di Newton di p. La suddivisione in questione di ∆p è definita
dalla funzione νp : (i, j) → −aij nel modo seguente. Consideriamo il grafico di νp: si tratta
di un insieme finito di punti in R3
. L’inviluppo convesso di questo grafico è un politopo
convesso in R3
. Quando lo si guarda “dal basso ” si vedono un certo numero di facce, e
quando si proiettano queste facce su ∆p si ottiene una suddivisione di ∆p. Chiamiamo Φp
questa suddivisione. Abbiamo ottenuto così da un lato una suddivisione del poligono di
Newton di p e dall’altro lato una suddivisione del piano data dalla curva tropicale. Queste
due suddivisioni sono una il duale dell’altra.
2.1 Suddivisione duale
Iniziamo questa sezione con un esempio.
Esempio 2.1.1. Consideriamo la retta tropicale C definita dal polinomio
p(x, y) =
1
2
⊕ 2 x ⊕ (−5) y
= max
1
2
, 2 + x, −5 + y
Il punto v = (−3
2
, 11
2
) è il vertice di C; questo è il punto in cui 1
2
= 2 + x = −5 + y. Gli
esponenti dei monomi tropicali corrispondenti, cioè i punti (0, 0), (1, 0) e (0, 1), definiscono
il triangolo ∆1. Lungo il lato orizzontale di C (confronta la Figura 2.1) il valore del
polinomio p è dato dai monomi tropicali 0 e y, in altre parole dai monomi tropicali con
esponenti (0, 0) e (0, 1). Pertanto questi due esponenti definiscono il lato verticale del
triangolo ∆1. Allo stesso modo i monomi dati dal valore di p lungo il lato verticale di C
hanno esponenti (0, 0) e (1, 0), i quali definiscono il lato orizzontale di ∆1. Infine, lungo
il lato di C che ha pendenza 1, p è dato dai monomi con esponenti (1, 0) e (0, 1), che
definiscono il lato di ∆1 con pendenza −1.
In questo esempio possiamo notare che, considerando i monomi che contribuiscono
al valore del polinomio tropicale p in un punto della curva tropicale C, il vertice di C
17

18. Figura 2.1: La curva associata a p(x, y) = 1
2 ⊕ 2 x ⊕ (−5) y e il corrispondente ∆1.
corrisponde al triangolo ∆1 e che ogni lato e di C corrisponde ad un lato δe di ∆1, la cui
direzione è perpendicolare alla direzione di e.
Vediamo ora questo fatto in generale.
Consideriamo un polinomio tropicale p(x, y) =
(i,j)∈Λp
aij x i
y j
. Abbiamo visto che
il grado di p(x, y) è il massimo tra le somme i + j, per tutti i coefficienti aij = −∞. Perciò
tutti i punti (i, j) t.c. aij = −∞ sono contenuti nel triangolo di vertici (0, 0), (0, d) e (d, 0),
che chiamiamo ∆d. Dato un insieme finito di punti A ⊂ R2
, l’inviluppo convesso di A è
l’unico poligono convesso con vertici in A e contenente A. Per quanto abbiamo appena
detto, il triangolo ∆d è precisamente l’inviluppo convesso dei punti (i, j) t.c. aij = −∞.
Se v = (x0, y0) è un vertice della curva C definita da p(x, y), allora l’inviluppo convesso dei
punti (i, j) ∈ ∆d ∩ N2
t.c. p(x, y) = aij + ix0 + jy0 è un poligono ∆v che è contenuto in
∆d. Similmente se (x0, y0) è un punto interno ad un lato e di C, allora l’inviluppo convesso
dei punti (i, j) ∈ ∆d ∩ N2
t.c. p(x, y) = aij + ix0 + jy0 è un segmento δe contenuto in ∆d.
Il fatto che il polinomio tropicale p(x, y) sia una funzione convessa lineare a tratti implica
che l’insieme di tutti i ∆v formi una suddivisione di ∆d. In altre parole l’unione di tutti i
poligoni ∆v è uguale al triangolo ∆d, e due poligoni ∆v e ∆v1 o hanno un lato in comune
o hanno un vertice in comune o non si intersecano. Inoltre, se e è un lato di C adiacente
al vertice v, allora δe è un lato del poligono ∆v e δe è perpendicolare a e. In particolare
un lato e di C è infinito, cioè adiacente ad un solo vertice di C, se e solo se δe è contenuto
in uno spigolo di ∆d. Questa suddivisione di ∆d è chiamata suddivisione duale di C.
Osservazione 2.1.2. Un punto di δd ∩N2
non è necessariamente un vertice della suddivisione
duale.
Esempio 2.1.3. Consideriamo le curve V (p2) e V (p3) dell’esempio 1.3.3. In figura 2.2 sono
rappresentate le rispettive suddivisioni duali.
Proposizione 2.1.4. Un lato e di una curva tropicale piana ha peso w se e solo se la
lunghezza intera di δe è w, cioè
card(δe ∩ N2
) = w + 1.
18

19. Figura 2.2
Segue dalla proposizione 2.1.4 che il grado di una curva tropicale può essere determinato
facilmente solo dalla curva stessa: è la somma dei pesi di tutti i lati infiniti nella direzione
(−1, 0) (potremo ugualmente considerare le direzioni (0, −1) o (1, 1)). Inoltre, a meno di
una traslazione e una scelta della lunghezza dei suoi lati, una curva tropicale è determinata
dalla sua suddivisione duale.
Possiamo ora dimostrare la proposizione 1.3.1.6.
Dimostrazione. Sia C una curva tropicale piana di grado d. Il poligono di Newton associato
a C è ∆d, cioè un triangolo di area d2
2
. Ogni possibile suddivisione Φp di ∆d è formata da
poligoni con almeno 3 lati, i cui vertici sono punti a coordinate intere; ciascuno di questi
poligoni ha quindi area ≥ 1
2
. Questo implica che Φp può contenere al più d2
poligoni.
Poiché i vertici di C sono i duali dei poligoni di Φp, ricaviamo dunque che C ha al più d2
vertici.
2.2 Grafi bilanciati
Il discorso sulla dualità ci porta ad analizzare una relazione, nota come la condizione di
bilanciamento, che viene soddisfatta da ogni vertice di una curva tropicale. Supponiamo
che v sia un vertice di una curva tropicale, che e1, . . . , ek siano tutti i lati della curva con un
estremo in v e che w1, . . . , wk siano i pesi dei lati e1, . . . , ek, rispettivamente. Ricordiamo
che ogni lato ei è contenuto in una retta definita da un’equazione a coefficienti interi.
Quindi esiste un unico vettore a coordinate intere vi = (α, β) nella direzione di ei (uscente
da v) t.c. mcd(α, β) = 1. Orientiamo la frontiera di ∆v in senso antiorario di modo che
ogni lato δei
di ∆v, duale di ei sia ottenuto da un vettore wivi ruotandolo di un angolo di
π
2
. Il fatto che il poligono ∆v sia chiuso implica immediatamente la condizione seguente,
detta condizione di bilanciamento:
k
i=1
wivi = 0. (2.1)
19

20. Definizione 2.2.1. Un grafo in R2
i cui lati hanno pendenze razionali e sono dotati
di pesi interi positivi è un grafo bilanciato se ogni suo vertice soddisfa la condizione di
bilanciamento.
Figura 2.3: Attribuendo ai lati e1, e2, e3, e4, adiacenti al vertice v, della curva tropicale in figura, i
rispettivi pesi w1 = 1, w2 = 1, w3 = 1, w4 = 3 il vertice v soddisfa la condizione di bilanciamento:
(2, 1) + (−1, 2) + (−1, 0) + 3(0 − 1) = 0.
Da quanto visto sopra ogni curva tropicale è un grafo bilanciato. Nelle prosime sezioni
approfondiremo quest’argomento e dimostreremo inoltre la validità del viceversa.
2.3 Teorema di dualità
Sia p(x, y) =
(i,j)∈Λp
aij x i
y j
un polinomio tropicale di grado d. Sia Θp la suddivisione
del piano determinata dalla curva tropicale V (p). Sia ∆p il poligono di Newton di p e sia
Φp la suddivisione di ∆p, definita all’inizio del capitolo. Vale il seguente:
Teorema 2.3.1 (Dualità). Sia p(x, y) un polinomio tropicale di grado d. Allora esiste
una biezione B tra gli elementi della suddivisione Φp del poligono di Newton ∆p e gli
elementi della suddivisione Θp del piano determinata dalla curva tropicale V (p), di modo
che:
• per ogni poligono Π ∈ Φp, l’elemento B(Π) sia un vertice di V (p);
• per ogni lato E ∈ Φp, l’elemento B(E) sia un lato di V (p) e i lati E e B(E) siano
tra loro ortogonali;
• uno lato E ∈ Φp è contenuto in un lato di ∆p se e solo se B(E) è un vertice di
V (p);
• per ogni vertice V ∈ Φp, l’elemento B(V ) è una regione di R2
V (p);
• la corrispondenza B è l’inverso della relazione d’incidenza.
Osservazione 2.3.2. Per ogni spigolo di una curva tropicale, il peso di questo spigolo è
uguale alla lunghezza intera dello spigolo duale.
20

21. Enunciamo di seguito due lemmi nel contesto più generale dei polinomi di Laurent (i.e.
Λ ⊂ Z2
) grazie ai quali possono essere dimostrati i teoremi 2.3.1 e 2.4.1.
Lemma 2.3.3. Sia
p(x, y) =
(i,j)∈Λ
aij x i
y j
un polinomio (di Laurent) tropicale e sia (k, l) un vettore a coordinate intere in R2
. Allora
il polinomio tropicale
p1(x, y) =
(i,j)∈Λ
aij x (i+k)
y (j+l)
definisce la stessa curva tropicale definita da p, i.e V (p) = V (p1).
Esempio 2.3.4. Il polinomio p1(x, y) = x ⊕ y ⊕ 0 definisce la stessa curva tropicale del
polinomio p2(x, y) = x x ⊕ y x ⊕ 0 x. Infatti max{x, y, 0} = max{2x, x + y, x}.
Lemma 2.3.5. Sia
p(x, y) =
(i,j)∈Λ
aij x i
y j
un polinomio (di Laurent) tropicale L: R2
→ R, L: (i, j) → αi + βj + γ una funzione
affine. Allora la curva tropicale definita dal polinomio tropicale
(i,j)∈Λ
(aij + L(i, j)) x i
y j
può essere ottenuta dalla curva tropicale V (p) attraverso la traslazione di vettore (−α, −β).
2.4 Descrizione geometrica
Abbiamo visto che le curve tropicali in R2
possono essere viste da un punto di vista
geometrico. Siano:
• ν un insieme finito di punti distinti di R2
;
• εb un insieme finito di segmenti i cui estremi appartengono a ν;
• εn un insieme finito di semirette con vertice appartenente a ν.
Supponiamo che l’intersezione di due elementi qualunque di εb ∪ εn sia un elemento di ν
oppure sia vuota. Consideriamo una funzione w: εb ∪ εn → N{0}. Abbiamo visto che ad
ogni elemento e di εb ∪ εn è associato il peso we. La quaterna (ν, εb, εn, w) si chiama grafo
pesato. Gli elementi di ν si dicono vertici del grafo pesato, quelli di εb ∪ εn si dicono lati.
Un grafo pesato (ν, εb, εn, w) si dice bilanciato se:
• ogni lato di εb ∪ εn ha pendenza razionale;
• nessun vertice di ν è adiacente esattamente a due lati di b ∪ n;
21

22. • per ogni v ∈ ν si ha ei∈ (v) wei
· ei = 0, dove (v) ⊂ b ∪ n è l’insieme dei lati
adiacenti a v e ei è il più piccolo vettore a coordinate intere uscente da v lungo ei
(condizione di bilanciamento).
Possiamo dunque enunciare e dimostare il seguente teorema:
Teorema 2.4.1 (Mikhalkin). Un sottoinsieme di R2
è una curva tropicale di grado d se
e solo se è un grafo bilanciato.
Dimostrazione. Sia T un sottoinsieme di R2
.
(⇒) Se T = V (p) con p(x, y) =
(i,j)∈Λp
aij x i
y j
un polinomio tropicale di grado
d, consideriamo Γ = (ν, εb, εn, w) il grafo pesato individuato da V (p) in cui l’insieme ν
(rispettivamente εb, εn) sia formato dai vertici (rispettivamente i lati e gli estremi) di V (p).
Osserviamo che, indicata con Φp la suddivisione duale del poligono di Newton di V (p), si
ha che:
• ogni segmento di Φp ha pendenza razionale;
• ogni poligono di Φp ha almeno 3 lati;
•
−−→
V1V2 + . . . +
−−−−→
Vn−1Vn +
−−→
VnV1 = 0 per ogni poligono in Φp di vertici V1, V2, . . . , Vn.
Dunque per il teorema di dualità (2.3.1) si ha che il grafo è bilanciato.
(⇐) Sia Γ = (ν, εb, εn, w) un grafo pesato bilanciato. Scegliamo una regione R1 di
R2
Γ. Associamo a R1 una funzione affine arbitraria ϕR1 : R2
→ R,
ϕR1 (x, y) = α1x + β1y + a1.
Sia R2 una regione adiacente a R1, cioè una regione tale che l’intersezione e tra le chiusure
di R1 e di R2 (che indicheremo rispettivamente con R1 e R2) sia un lato in εb ∪ εn.
Associamo ad R2 una funzione affine ϕR2 : R2
→ R, ϕR2 (x, y) = α2x + β2y + a2 tale che
α2 − α1
we
,
β2 − β1
we
sia il più piccolo vettore a coordinate intere ortogonale al lato e definito come sopra
(e := R1 ∩ R2), orientato verso R2 e che le restrizioni di ϕR1 e di ϕR2 su e coincidano.
Iterando il procedimento, per ogni regione R di R2
Γ definiamo una funzione affine
ϕR : R2
→ R, ϕR(x, y) = αx + βy + a. La condizione di equilibrio garantisce che ϕR non
dipenda dall’ordine delle regioni usate nella definizione di ϕR. Otteniamo così un insieme
finito Λ di punti a coordinate intere
Λ := {(αi, βi) : αi, βi sono i coefficienti di x e y in ϕRi
}
e un polinomio (di Laurent) tropicale
p(x, y) =
(αi,βi)∈Λ
aαiβi
x αi
y βi
.
22

23. Figura 2.4
Se tutti gli esponenti αi e tutti i βj sono non negativi, allora il grafo Γ rappresenta la
curva tropicale V (p) definita da p.
Se esistesse un indice i t.c. (αi, βi) ∈ Λ e αi < 0, sia αi il più piccolo di tali αi.
Consideriamo il polinomio
p1(x, y) =
(αi,βi)∈Λ
aαiβi
x αi−αi
y βi
,
in cui ogni esponente αi − αi è ≥ 0. Procedendo in modo analogo con i βi, possiamo
costruire il polinomio
p2(x, y) =
(αi,βi)∈Λ
aαiβi
x αi−αi
y βi−βi
in cui ogni esponente di ciascuna variabile è ≥ 0. Utilizzando il lemma 2.3.3, possiamo
concludere che il grafo Γ rappresenta la curva tropicale V (p2) definita da p2.
Esempio 2.4.2 (Retta). Sappiamo che una retta tropicale è il luogo V (p), dove p è un
polinomio di grado 1, e che tale luogo è associato ad un grafo bilanciato
({v}, ∅, {e1, e2, e3}, w = 1),
in cui e1 è il lato con direzione sud, e2 è il lato con direzione nord-est, e3 è il lato con
direzione ovest e v è il vertice.
Portiamo come esempio dell’implicazione (⇐) del teorema 2.4.1 il caso della retta.
Sia ora Γ =({v}, ∅, {e1, e2, e3}, w = 1) un grafo bilanciato. Siano R1, R2, R3 le componenti
connesse di R2
Γ, come indicato in figura 2.4. Consideriamo due regioni adiacenti R1
e R2 (nel senso che R1 ∩ R2 := e1 = ∅). Siano ϕR1 : R2
→ R, ϕR1 (x, y) = α1x +
β1y + a1 e ϕR2 : R2
→ R, ϕR2 (x, y) = α2x + β2y + a2, due funzioni affini. Denotiamo
con v1 = (α2−α1
we1
, β2−β1
we1
), il vettore a coordinate intere ortogonale ad e1, orientato da
R1 a R2 e di lunghezza minima, cioè v1 = (1, 0). Visto che we1 = 1, allora avremo
v1 = (α2 − α1, β2 − β1) = (1, 0), che ci conduce al sistema
α2 − α1 = 1
β2 − β1 = 0.
23

24. Sia ora v2 il vettore a coordinate intere di lunghezza minima ortogonale ad e2 := R2 ∩ R3
e orientato da R2 a R3, i.e. v2 = (−1, 1). Imponendo (α3 − α2, β3 − β2) = (−1, 1), visto
che anche we2 = 1, otteniamo:
α3 − α2 = −1
β3 − β2 = 1.
Sia infine v3 il vettore a coordinate intere di lunghezza minima ortogonale ad e3 := R1 ∩R3
e orientato da R3 a R1, i.e. v3 = (0, −1). Imponendo (α1 − α3, β1 − β3) = (0, −1), con
we3 = 1, ricaviamo:
α1 − α3 = 0
β1 − β3 = −1.
Osserviamo che le sei equazioni dei sistemi sono linearmente dipendenti e ci forniscono
le informazioni: α3 = α1, β3 = β1 + 1, α2 = 1 + α1, β2 = β1. Consideriamo dunque il
polinomio
p(x, y) = aα1β1 x α1
y β1
⊕ aα2β2 x α2
y β2
⊕ aα3β3 x α3
y β3
che per le considerazioni appena fatte, risulta essere uguale a:
p(x, y) = aα1β1 x α1
y β1
⊕ aα2β2 x α1+1
y β1
⊕ aα3β3 x α1
y β1+1
(2.2)
Applicando al polinomio in 2.2 il lemma 2.3.3, deduciamo che V (p) = V (¯p), dove
¯p(x, y) = aα1β1 ⊕ aα2β2 x ⊕ aα3β3 y.
Ricordando che se v è un vertice di una curva tropicale definita da un certo p(x, y)
allora il valore di p(x, y) in un intorno di v è dato solo dai monomi corrispondenti a ∆v,
vediamo con un esempio come ricavare un polinomio a partire dal grafico di una curva
tropicale.
Figura 2.5
Esempio 2.4.3. La curva individuata dal grafico in figura 2.5 è una curva di grado 3.
Dunque il polinomio corrispondente sarà della forma:
p(x, y) = a x 3
⊕ b y 3
⊕ c x 2
y ⊕ d x y 2
24

25. ⊕e x 2
⊕ f y 2
⊕ g x y ⊕ h x ⊕ i y ⊕ j.
Sia v1 = (0, 0). Il poligono duale di v1 è il triagolo di vertici (0, 3), (0, 2), (1, 2). Per
quanto appena detto, i monomi tropicali che contribuiscono al valore di p(x, y), in un
intorno di v1 sono: y 3
, y 2
, x y 2
. Dunque p(x, y) = b y 3
⊕ d x y 2
⊕ f y 2
.
Poiché v1 è dato da b + y = d + x = f, si ha b = d = f; quindi possiamo porli uguali a 0.
Poiché il lato tra v1 e v2 è verticale, possiamo scegliere v2 = (0, −1). In un intorno di v2
p(x, y) = c x 2
y ⊕ x y 2
⊕ y 2
; v2 è dato da y = y + x = 2x + c. Dunque c = −1.
Il lato tra v2 e v3 ha pendenza 2, scegliamo quindi v3 = (−1, −3). In un intorno di v3
p(x, y) = (−1) x 2
y ⊕ y 2
⊕ g x y; v3 è dato da y = −1 + 2x = g + x, dunque
g = −2.
Il lato tra v3 e v4 è verticale, quindi possiamo porre v4 = (−1, −4). In un intorno di v4
p(x, y) = (−1) x 2
y ⊕ (−2) x y ⊕ e x 2
. Il vertice v4 è determinato ponendo
−2 + y = −1 + x + y = e + x. Questa condizione implica e = −5.
Il lato tra v4 e v5 è orizzontale, quindi possiamo porre v5 = (0, −4). In un intorno di v5
p(x, y) = a x 3
⊕ (−1) x 2
y ⊕ (−5) x 2
. Il vertice v5 è determinato ponendo
a + x = −1 + y = −5. Questa condizione implica a = −5.
Scegliamo v6 = (−2, −4), visto che il lato tra v3 e v6 ha pendenza 1. In un intorno di v6
p(x, y) = y 2
⊕ (−2) y x ⊕ i y. Il vertice v6 è determinato ponendo y = −2 + x = i.
Questa condizione implica i = −4.
Il lato tra v6 e v7 è verticale, mentre il lato tra v4 e v7 ha pendenza 1. Quindi v7 = (−2, −5)
e, da quanto già ricavato, in un intorno di v7 abbiamo p(x, y) = −4 y ⊕ (−2) x y ⊕
(−5) x2
.
Il lato tra v7 e v8 ha pendenza 2, scegliamo quindi v8 = (−3, −7). In un intorno di v8
p(x, y) = (−5) x 2
⊕ h x ⊕ (−4) y; v8 è dato da −5 + 2x = h + x = −4 + y, dunque
h = −8. Rimane ora da determinare il valore di j.
Il lato tra v8 e v9 ha pendenza 1, quindi possiamo scegliere v9 = (−4, −8). In un intorno di
v9 p(x, y) = (−8) x⊕(−4) y⊕j. Il vertice v9 è determinato ponendo −8+x = −4+y = j.
Questa condizione implica j = −12.
Il polinomio che si cercava risulta essere:
p(x, y) = (−5) x 3
⊕ y 3
⊕ (−1) x 2
y ⊕ x y 2
⊕ (−5) x 2
⊕ y 2
⊕(−2) x y ⊕ (−8) x ⊕ (−4) y ⊕ (−12).
25

26. 26

27. Capitolo 3
Teoria dell’intersezione tropicale
3.1 Intersezione trasversa di due curve e moltepicità di
un punto
Ci proponiamo ora di studiare l’unione e l’intersezione delle curve tropicali in rapporto
al comportamento delle curve classiche. Come è possibile vedere in figura 3.1, ci sono
casi in cui due rette tropicali distinte si intersecano esattamente in un punto, come nella
geometria classica, e casi in cui l’intersezione consiste di un insieme infinito di punti.
Ci chiediamo sotto quali ipotesi resti valido il teorema di Bézout. Prima di indagare
quest’aspetto soffermiamoci sulla definizione di curva tropicale riducibile e, allacciandoci
a questa, analizziamo il comportamento dell’unione di due curve tropicali.
Siano p1, . . . , pn dei polinomi tropicali che definiscono in R2
delle curve tropicali piane,
rispettivamente V (p1), . . . , V (pn). Vedremo bene di seguito che l’unione n
i=1 V (pi) delle
curve tropicali V (p1), . . . , V (pn) è la curva tropicale definita dal polinomio tropicale
p1 . . . pn. Considerata come insieme, la curva tropicale n
i=1 V (pi) è data dall’unione
degli insiemi V (p1), . . . , V (pn) e il peso di ogni lato è uguale alla somma dei pesi dei lati
corrispondenti delle curve V (p1), . . . , V (pn).
Definizione 3.1.1 (Curva Tropicale Riducibile). Una curva tropicale in R2
si dice
riducibile se può essere rappresentata come unione di curve tropicali.
Una curva tropicale non riducibile in R2
si dice irriducibile.
Proposizione 3.1.2. Siano C1 := V (p1) e C2 := V (p2) curve tropicali piane. Allora
C1 ∪ C2 è una curva tropicale piana riducibile e
C1 ∪ C2 = V (p1 p2).
Dimostrazione. L’idea della dimostrazione è quella di provare che C1 ∪ C2 è un grafo
bilanciato, visto che è facilmente verificabile che l’unione di due grafi bilanciati è un grafo
bilanciato. Affinché il grafo sia bilanciato, ogni lato deve avere pendenza razionale e deve
essere soddisfatta la condizione di bilanciamento (cfr. equazione 2.1). Chiaramente ogni
lato di C1 ∪ C2 è o un lato di C1 o un lato di C2, quindi ha pendenza razionale.
Sia ora v un vertice di C1 ∪ C2. Verifichiamo che la condizione di bilanciamento è sempre
soddisfatta.
27

28. • Se v è un vertice di C1 (risp. di C2) senza lati di C2 (risp. di C1) che lo incidono,
allora la condizione di bilanciamento è verificata, perché vale per ogni vertice di C1
(risp. di C2) per ipotesi.
• Se v è nell’intersezione di un lato di C1 con un lato di C2 e non è un vertice né di C1,
né di C2, allora la condizione di bilanciamento è verificata, poiché v ha 4 lati che
sono a due a due opposti.
• Se v è un vertice di C1 (risp di C2) con un lato e di C2 (risp di C1) incidente in
v, allora la condizione di bilanciamento è soddisfatta, dato che e fornisce due lati
opposti e ogni altro lato incidente in v è un lato di C1 (risp di C2).
• Se v è un vertice sia di C1 che di C2, allora la condizione di bilanciamento è soddisfatta,
poiché che i lati che si dipartono da v sono lati di C1 e lati di C2.
Figura 3.1: Possibili intersezioni tra due rette tropicali definite dai polinomi p1(x, y) = a1 x ⊕
b1 y ⊕ c1 e p2(x, y) = a2 x ⊕ b2 y ⊕ c2, con a1, b1, c1, a2, b2, c2 ∈ R. Come si può osservare
V (p1) ∩ V (p2) = ∅ inoltre l’intersezione non consiste sempre di un solo punto, anzi può essere
costituita da un insieme infinito di punti.
Dalla figura 3.2 possiamo osservare la suddivisione duale dell’unione di due curve C1
e C2. In ognuno dei tre casi l’insieme dei vertici di C1 ∪ C2 è l’unione dei vertici di C1,
dei vertici di C2 e dei punti di intersezione di C1 e di C2. Inoltre visto che ogni punto
d’intersezione di C1 e C2 è contenuto sia in un lato di C1 che in un lato di C2, il poligono
duale di un tale vertice di C1 ∪C2 è un parallelogramma. Per rendere la figura 3.2 più chiara,
ogni lato della suddivisione duale è stato disegnato dello stesso colore del corrispondente
duale.
28

29. Figura 3.2: Intersezione di coniche e rette tropicali. Sotto la suddivisione duale dell’unione delle
curve.
Definizione 3.1.3 (Intersezione Trasversa). Siano C1 e C2 curve tropicali piane. Si dice
che C1 e C2 hanno intersezione trasversa se ogni punto in comune giace nel interno relativo
di un unico lato di C1 e di C2.
Questo vuol dire che le due curve C1 e C2 si intersecano in un numero finito di punti e
inoltre i loro vertici non sono punti dell’intersezione.
Sotto la condizione di intersezione trasversa se C1 := V (p1) e C2 := V (p1), allora C1 ∪C2
è una curva tropicale piana e C1 ∪ C2 = V (p1 p2). Inoltre vale:
deg(C1 ∪ C2) = deg(C1) + deg(C2)
Definizione 3.1.4 (Molteplicità di un punto d’intersezione). Siano C1 e C2 curve tropicali
piane che si intersecano trasversalmente. Se P è un punto dell’intersezione di C1 e C2, allora
la molteplicità d’intersezione tropicale multP (C1 ∩ C2) di P come punto d’intersezione di
C1 e C2 è l’area del parallelogramma duale di P nella suddivisione duale di C1 ∪ C2.
Ad esempio in figura 3.2, il punto d’intersezione delle due rette al punto a) ha
molteplicità 1, così come la molteplicità dei punti d’intersezione tra la conica e la retta
al punto b), mentre il punto d’intersezione della conica e della retta al punto c) ha
molteplicità 2.
Definizione 3.1.5 (Curva non singolare). Una curva tropicale in R2
è non singolare se
la sua suddivisione duale contiene solo triangoli di area 1
2
.
Esempio 3.1.6. La retta tropicale in figura 1.2 e la conica tropicale in figura 1.3 sono non
singolari; l’unione di due rette, l’unione di una conica e una retta, come in figura 3.2, sono
esempi di curve singolari.
Concludiamo questa sezione con una digressione.
29

30. Esempio 3.1.7 (Triangolo tropicale). Analogamente al caso classico, definiamo un triangolo
tropicale come un sottoinsieme di R2
limitato da 3 rette tropicali che si intersecano
trasversalmente.
Figura 3.3: Possibili forme di un triangolo tropicale.
3.2 Teorema di Bézout
Sotto le ipotesi di intersezione trasversa, B. Sturmfels ha dimostrato il teorema seguente:
Teorema 3.2.1 (Teorema di Bézout tropicale). Siano C1 e C2 curve tropicali piane di
gradi rispettivamente d1 e d2. Se C1 e C2 si intersecano trasversalmente, allora
P∈C1∩C2
multP (C1 ∩ C2) = d1 · d2,
cioè il numero dei punti di intersezione, contati con le loro molteplicità, è uguale al
prodotto dei gradi delle due curve.
Dimostrazione. Ricordiamo che la molteplicità di P come punto d’intersezione è l’area
del parallelogramma duale di P nella suddivisione duale di P (cfr. def. 3.1.4). I tipi di
poligono che possono intervenire nella suddivisione duale della curva tropicale C1 ∪ C2
sono:
• duale di un vertice di C1.
La somma delle aree di questo tipo di poligoni è uguale all’area di ∆d1 , la cui area
complessiva è uguale a
d2
1
2
;
• duale di un vertice di C2.
Analogamente al caso precedente la somma delle aree di tutti questi poligoni è
uguale all’area di ∆d2 , che quindi è uguale a
d2
2
2
;
• duale di un punto d’intersezione delle due curve C1 e C2.
Chiamiamo con s la somma delle aree di tutti questi poligoni.
30

31. Dal momento che la curva C1 ∪ C2 è di grado d1 + d2, poiché siamo nelle ipotesi di
intersezione trasversa, la somma delle aree di tutti i poligoni è uguale all’area di ∆d1+d2 ,
che è (d1+d2)2
2
. Pertanto otteniamo
s =
(d1 + d2)2
− d2
1 − d2
2
2
= d1 · d2,
che completa la dimostrazione.
Figura 3.4: Un esempio di intersezione trasversa di due curve di grado 2.
3.3 Intersezione stabile
Nelle sezioni precedenti ci siamo soffermati esclusivamente su curve tropicali che si in-
tersecano in un numero finito di punti e non nei vertici delle curve stesse (intersezione
trasversa). Vogliamo ora studiare il comportamento dell’intersezione di curve tropicali
senza queste limitazioni. Ad esempio vorremo sapere di più riguardo al comportamento di
Figura 3.5: Intersezione di curve non trasversa.
31

32. due rette tropicali che si intersecano in un lato, come mostrato in figura 3.5a), oppure
riguardo al comportamento di una retta che passa su un vertice di una conica (fig3.5b)).
Siano C e D due curve tropicali la cui intersezione non sia trasversa. Sia ε un numero
reale positivo e v un vettore t.c. il rapporto tra le sue due coordinate sia un numero
irrazionale. Traslando una delle due curve, ad esempio C, di un vettore εv, possiamo
ricondurci al caso di intersezione trasversa. Chiaramente l’intersezione che ne risulta
dipende dal vettore εv, ma osserviamo che, se ε → 0, il limite di questi punti non dipende
dalla scelta di v.
Indichiamo con Cε la curva ottenuta da C con questa traslazione. In modo analogo
possiamo determinare una curva traslata di D che indicheremo con Dε.
Figura 3.6: Intersezione stabile di curve.
Possiamo dunque enunciare la seguente
Proposizione 3.3.1. Siano C e D curve tropicali piane di gradi rispettivamente c e d.
Supponiamo che la loro intersezione non sia trasversa né finita. Dato ε > 0 siano Cε e Dε
curve traslate di C e D come descritto sopra t.c. Cε e Dε si intersechino trasversalmente
in un insieme finito di punti. Allora Cε ∩ Dε è un insieme di c · d punti contati con le loro
molteplicità.
Arriviamo così ad un risultato noto come Principio d’Intersezione Stabile.
Teorema 3.3.2 (Principio d’Intersezione Stabile). Siano C, D, Cε ∩Dε come sopra. Allora
il limε→0 Cε ∩Dε è indipendente dalla scelta della perturbazione ed è un insieme ben definito
di c · d punti contati con le loro molteplicità, contenuto in C ∩ D.
Definizione 3.3.3 (Intersezione Stabile). L’Intersezione Stabile delle due curve C e D è
il limε→0 Cε ∩ Dε. Denotiamo questo insieme di punti così:
C ∩st D := lim
ε→0
Cε ∩ Dε.
Si può estendere il discorso sulla molteplicità d’intersezione di un punto P all’interse-
zione stabile, che definiamo essere uguale alla somma delle molteplicità d’intersezione di
tutti i punti che convergono a P quando ε → 0. Ad esempio, in figura 3.5 a) c’è solo un
punto di intersezione stabile tra le due rette. Il punto è il vertice della retta a sinistra.
Inoltre questo punto ha molteplicità d’intersezione 1.
L’intersezione stabile delle due curve in figura 3.5 b) è costituita dal vertice della conica e
ha molteplicità 2. Possiamo dunque enunciare il seguente
32

33. Teorema 3.3.4 (Bézout Tropicale: Intersezione Stabile). Siano C e D curve tropicali
piane di gradi rispettivamente c e d. Allora la somma delle molteplicità dei punti di
intersezione stabile di C e D è uguale a c · d.
Un punto doppio di una curva tropicale è un punto in cui due lati si intersecano.
Dunque una conica con un punto doppio è l’unione di due rette tropicali. Così come una
curva di grado 3 con due punti doppi è l’unione di una retta e di una conica tropicale.
Una curva di grado 3 che ha 3 punti doppi è data dall’unione di 3 rette tropicali.
Nota bene. P ∈ C ∩st D è o un punto isolato di intersezione o un vertice di una delle due
curve.
Andiamo ora a studiare l’intersezione stabile di una curva con se stessa.
Figura 3.7: I 4 punti di autointersezione di una conica.
Per i ragionamenti di sopra i punti di autointersezione stabile sono i vertici della curva.
I punti di autointersezione tropicale sono dunque ben definiti. (vedi Figura 3.7)
Concludiamo il paragrafo con un esempio relativo alla molteplicità d’intersezione
stabile tra due curve tropicali:
Esempio 3.3.5. Siano C := V (p), D := V (q), dove
p(x, y) = 5 ⊕ 5 x ⊕ 5 y ⊕ 4 x y ⊕ 1 y 2
⊕ x 2
e
q(x, y) = 7 ⊕ 4 x ⊕ y ⊕ 4 x y ⊕ 3 y 2
⊕ (−3) x 2
.
In figura 3.8 abbiamo disegnato C, D e la loro suddivisione duale.
Abbiamo poi determinato, in figura 3.9, l’insieme C ∩st D e la moltiplicità dei suoi punti.
Dopo aver rappresentato C e D nello stesso piano, abbiamo ricavato la figura 3.9 e,
perturbando opportunamente le due curve, abbiamo ottenuto la figura 3.10.
Osserviamo che i punti d’intersezione stabile di C e D sono: (1, 2), (2, 1), (5, 0).
Consideriamo ora la suddivisione duale della curva in figura 3.10, unione delle curve V (p)
e V (q).
Analizzando le figure, notiamo quindi che mult(1,2)(C ∩ D) = 2, mult(2,1)(C ∩ D) =
1, mult(5,0)(C∩D) = 1, da cui notiamo che i punti di intersezione stabile di C e D soddisfano
P∈C∩stD multP (C ∩ D) = 4 = deg C · deg D, come atteso dal teorema di Bézout tropicale
per l’intersezione stabile.
33

34. Figura 3.8: Le curve tropicali V (p) e V (q).
Figura 3.9: Unione di V (p) e V (q).
Figura 3.10
34

35. Figura 3.11: Suddivisione duale
35

36. 36

37. Bibliografia
[1] Baccelli, François Louis; Cohen, Guy; Olsder, Geert Jan; Quadrat, Jean-Pierre,
Synchronization and linearity. An algebra for discrete event systems.Wiley Series in
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[3] Brugallé, Erwan, Un peu de géométrie tropical. Solutions des exercices.,
http://erwan.brugalle.perso.math.cnrs.fr/articles/Quadrature/
Corrections_Quadrature.pdf
[4] Brugallé, Erwan; Shaw, Kristin, A bit of tropical geometry, arXiv:1311.2360v3.
[5] Butkovic, Peter, Max-linear Systems: Theory and Algorithms Springer Monographs
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Sciences, Washington, DC; by the American Mathematical Society, Providence, RI,
2011. xvi+317 pp.
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http://www.math.polytechnique.fr/xups/xups08-01.pdf
[8] Itenberg, Ilia; Mikhalkin, Grigory; Shustin, Eugenii, Tropical algebraic geometry.
Second edition. Oberwolfach Seminars, 35. Birkhäuser Verlag, Basel, 2009. x+104 pp.
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Mathematics Volume “Tropical Geometry and Integrable Systems”. Survey article.
arxiv.1207.1925.
[10] Maclagan, Diane; Sturmfels, Bernd, Introduction to tropical geometry. Libro in corso,
disponibile su http://homepages.warwick.ac.uk/staff/D.Maclagan/papers/
TropicalBook23.8.13.pdf
[11] Speyer, David; Sturmfels,Bernd, Tropical mathematics, arXiv:math/0408099.
37