Правильные многогранники

1. ПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Многогранник называется правильным,
если
1) он выпуклый,
2) все его грани являются равными
правильными многоугольниками,
3) в каждой его вершине сходится
одинаковое число рёбер.

3. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Названия этих многогранников пришли
из Древней Греции, в них указывается
число граней:
«эдра» – грань
«тетра»
4
«гекса»
6
«окта»
8
«икоса»
20
«додека»
12

4. ТЕТРАЭДРТетраэдр – правильный многогранник, составленный из четырёх
равносторонних треугольников.
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объём
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
рёбер
a6
32
aS 
4
6a
R 
12
6a
r 
12
23
a
V 
Тетраэдр имеет 3
оси симметрии,
которые проходят
через середины
скрещивающихся
рёбер.
Тетраэдр имеет 6
плоскостей
симметрии, каждая
из которых проходит
через ребро
тетраэдра
перпендикулярно
скрещивающемуся с
ним ребру.

5. ГЕКСАЭДР (КУБ)
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объём
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
рёбер
a12
2
6aS 
2
3a
R 
2
a
r 
3
aV 
Гексаэдр – правильный многогранник, составленный из шести
квадратов.
Центром симметрии
куба является точка
пересечения его
диагоналей. Через
центр симметрии
проходят 9 осей
симметрии.
Плоскостей симметрии
у куба также 9 и
проходят они либо
через противоположные
ребра (таковых
плоскостей 6), либо
через середины
противоположных
ребер (таких 3).

6. ОКТАЭДР
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объём
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
рёбер
a12
32 2
aS 
2
2a
R 
6
6a
r 
3
23
a
V 
Октаэдр – правильный многогранник, составленный из восьми
равносторонних квадратов.
Октаэдр обладает
симметрией. Три из 9 осей
симметрии октаэдра
проходят через
противоположные вершины,
шесть - через середины
ребер. Центр симметрии
октаэдра - точка
пересечения его осей
симметрии.
Три из 9 плоскостей симметрии
тетраэдра проходят через каждые
4 вершины октаэдра, лежащие
в одной плоскости.
Шесть плоскостей симметрии
проходят через две вершины, не
принадлежащие одной грани, и
середины противоположных
ребер.

7. ДОДЕКАЭДРДодекаэдр – правильный многогранник, составленный из
двенадцати равносторонних пятиугольников.
Радиус вписанной
сферы
Радиус описанной
сферы
Объём
Площадь
поверхности
тетраэдра
Сумма длин всех
рёбер
a30
)525(53 2
 aS
3)51(
4

a
R
5
22
10
4

a
r
)5715(
4
3

a
V
Плоскостей симметрии 9 и проходят
они либо через противоположные
ребра (таковых плоскостей 6), либо
через середины противоположных
ребер (таких 3). Додекаэдр имеет 15
плоскостей симметрии. Любая из
плоскостей симметрии проходит в
каждой грани через вершину и
середину противоположного ребра.

8. ИКОСАЭДРИкосаэдр – правильный многогранник, составленный из двадцати
равносторонних треугольников.
Правильный икосаэдр имеет 15
осей симметрии, каждая
из которых проходит
через середины противоположных
параллельных ребер.
Плоскостей симметрии также 15.
Сумма длин всех
рёбер a30
Площадь
поверхности
тетраэдра
Объём
Радиус описанной
сферы
Радиус вписанной
сферы
35 2
aS 
)53(
12
5 3

a
V
)55(2
4

a
R
)53(
34

a
r