More Related Content
What's hot
What's hot (20)
Viewers also liked
Recently uploaded
Recently uploaded (8)
数独のアルゴリズムを考える ― 各種法の改善と高速化
- 2. 0. 意外と難しい数独のアルゴリズム - 数独を解くプログラムは多数存在する - しかし全ての問題を解けるものは少ない 数独のアルゴリズムとはどんなものなのかを少し ずつ考えてみたい
- 3. 0-1. 目的 - 数独のアルゴリズムを知る - アルゴリズムの導出過程を知る - 最終的に、妥当な計算量の完全なアルゴリズムを導く
- 5. 0-2. 目次 - 1章では、各種アルゴリズムを検討、改善する - 2章では、「消去法」の問題点の改善法について検討
- 6. 1. アルゴリズムの検討
- 7. 1-1. 総当り法 - セルに当てはまる数字を全て検査する方法。 - メリット: 実装が簡単 - デメリット: 計算量が膨大 9x9の場合: 9^81 = 1.98e+77 = これは 1無量大数 (1e+68) よりも大きな数字。
- 8. 1-1-1. 総当り法のイメージ 左図の様に - 1セルに 9 通り - 1列に 9^9 通り - 9列に 9^9^9 通り の解答パターンを全て走査することで、 総当り的に答えを見つけ出す。
- 9. 1-1-2. 実装例 (1) 例えば、9x9 のセルを x+width*y 式で配列に変換する 例： [0,1,4,6, …, 0,7,5,2,0] ………………………………… (sources) (2) 別の配列を作成し、81個の要素を1で初期化する …(ans) (3) ansにsourcesの値をセットする関数 merge()を作成 (4) ansを81桁の9進数とみなし、incl() 関数 (map++) を作る (5) ”merge → check → incl → merge → ...” をループすると、最終的 に答えがansにセットされる。
- 10. - 総当り法は計算量があまりに膨大だが、確実に答えが 出る - 現実的な計算でなく、結果が出るのに相当な時間がか かる ⇒ 別のアルゴリズムが必要 1-1-3. 考察
- 11. 1-2. 空欄総当り法 - 総当り法は 既知のセル まで計算して無駄なので、分からな いセルのみ 総当りする方法。 - “初級”問題の場合: 9^32 = 3.44e+30 - “上級”問題の場合: 9^59 = 2.00e+56 改善されたものの、依然として膨大な計算量。 しかし最適化の1ステップ
- 12. 1-2-1. 空欄総当り法のイメージ - 総当り法では、左図のように全パ ターンを網羅する - この改善では、各列の9^9通りから 既に分かっている数字分のパター ンを減らす - 具体的には 9^(9-Ncol)と少なくな る（Ncolは各行の既知数の数）
- 13. 1-2-2. 実装例 (1) 方針は基本的に”総当り法”と同じ。 (2) ans配列の要素数を、81ではなく、sourcesの0の個数に設定する。 (3) merge関数を変更する必要があり、実装に工夫が必要. 単純にマージすると個数が合わない. (4) 案としては、sourcesとansの橋渡しをする連想配列(maps) を作成するとマージが楽。 (5) incl関数についてはそのままでも動作すると思われる
- 14. 1-2-3. 考察 - 総当り法のメリットを活かしつつ、計算量を減らすことが 可能 - しかし、未だ計算量が膨大で、問題が難しくなるほど計 算量が増えるデメリットがある。 ⇒ 改善度が小さいので、別の方法を検討
- 15. 1-3. 順列法 - 「ある列は、必ず1〜Nを一つずつ含む」という性質を使い、1〜N から既知の数字を除いた数列の全パターンを検査する方法。 - 例えば9x9で、各列に4つ既知の数字があるとすると、一列のパ ターン数は 9P5 = 9! / 4! = 15,120 …... (Pcol) - 9列全ての組合せは Pcol ^ 9 = 4.13e+37 - 計算量は「空欄総当り法」と同程度。 （計算量が膨大なので、他の方法を検討）
- 16. 1-4. 消去法 - 「あるセルに数字があると、その上下・同ブロックにはその 数字が入らない」ことを利用した手法 (*1) - *1の消去法を各数（N）に適用し、”あるブロックに１つだけ 残った空欄”があれば、そこをNと確定する(*2) - 最もよく利用される手法で、計算量が少ない。 - *2で最終的に確定できないセルがある場合は、問題が解け ないという難点がある。 - そのためいくつか改善法がある (後述)
- 18. 1-4-2. 消去法の問題点1 - 実際の数独の解き方と全く同じ - もし手動で解けないと、この手法でも 解けない - 後述する手法を追加しないと、難易 度の高い問題を解くことは不可能
- 19. 1-4-3. 消去法の問題点2 - 消去法は、数独の一般的解法で直感的 - 計算量が少なく、今までで最も妥当な手法 - しかし、最終的に ”セルに入る候補” が全て１つに絞れない と問題が解けない のが最大の難点。 ⇒ この問題を解決する方法を、次章で検討する
- 20. 2. 消去法の問題を補う
- 21. 2-1. 消去法＋総当り法 - 消去法で解けなかったセルに関して、総当り法を適用する。 - メリット: かならず答えが出る - デメリット: わからないセルが多いと、計算量が膨大にな る。 - 中級程度の問題には利用価値あり、上級問題だと計算時 間が相当長くなる可能性大。
- 22. 2-2. 消去法＋背理法 - あるセルの数字候補を、仮に N だと仮定し、他のセルの 「候補が1つのもの」だけを解いていく。 - もし途中で矛盾があれば、N が間違いだとわかる（次頁を参 照）。 - これを消去法で解けなかったセルに適用する。 - 数独を手で解く際にも有効な方法。 - ただ、仮定した部分に戻るための機能を実装する手間があ り、答えが出ない可能性もまれにある。
- 23. 2-2-1. 補足: 背理法とは 《定義》ある命題pについて、仮にpを偽として (*1) 矛盾を導くこ とで、pが真である (*2) と証明する方法 - 数独では1つのセルの答えは複数あるので、*1は「仮にpを Nとして」となり*2 は「pはNでない」に置き換えることができ る。 - つまり、矛盾さえ導くことができれば、その候補を消すことが できるということ。
- 24. 2-3. 消去法＋背理法＋総当り法 - 背理法において、もし答えが出なければ、残りは総当りにす れば必ず解ける。 - 現状でおそらく、完全に解答できるアルゴリズムで最も計算 量が少ない解法。 - 99%以上の問題は消去法＋背理法で済むため、計算量の 心配はまずない。 おそらく最適な解法と考えられる