This short document promotes creating presentations using Haiku Deck, a tool for making slideshows. It encourages the reader to get started making their own Haiku Deck presentation and sharing it on SlideShare. In just one sentence, it pitches the idea of using Haiku Deck to easily design slideshows.
The document is a Haiku Deck presentation containing photos by four different photographers: Tanja FÖHR, Leo Reynolds, Rakesh JV, and Nomadic Lass. It encourages the viewer to get started creating their own Haiku Deck presentation on SlideShare.
This short document promotes creating presentations using Haiku Deck, a tool for making slideshows. It encourages the reader to get started making their own Haiku Deck presentation and sharing it on SlideShare. In just one sentence, it pitches the idea of using Haiku Deck to easily design slideshows.
The document is a Haiku Deck presentation containing photos by four different photographers: Tanja FÖHR, Leo Reynolds, Rakesh JV, and Nomadic Lass. It encourages the viewer to get started creating their own Haiku Deck presentation on SlideShare.
The document discusses several topics related to global capital markets and trends in international political economy, including:
1) How Coca-Cola's Venturing & Emerging Brands team stays ahead of changing consumer tastes by innovating new products and brands.
2) Angola launching a $1.6 billion Africa infrastructure fund to invest in development projects across the continent.
3) Colombia emerging as one of Latin America's most promising new tech hubs, with growing startup activity.
4) The need to integrate political and economic understanding in global capital markets through instruments like sovereign wealth funds, and to leverage skills and investments from large pension funds and institutional investors.
This document is a Haiku Deck presentation that features photos credited to various photographers such as mlhradio, quapan, rpi-virtuell, Strangers of London, and Pro-Zak. The presentation encourages the viewer to get inspired by the photos and create their own Haiku Deck presentation on SlideShare.
Welcome to "Phildarin". Phildarin is an online tutorial program that assist Filipinos who wants to learn Mandarin. Phildarin offers free mandarin lessons and online tutorials. Here, Learning Chinese in made easier. We made a series of Mandarin Learing materials especially for Filipinos learners. We hope you can enjoy and have fun learing Chinese here.
http://music136360.wix.com/phildarin
The document discusses several topics related to global capital markets and trends in international political economy, including:
1) How Coca-Cola's Venturing & Emerging Brands team stays ahead of changing consumer tastes by innovating new products and brands.
2) Angola launching a $1.6 billion Africa infrastructure fund to invest in development projects across the continent.
3) Colombia emerging as one of Latin America's most promising new tech hubs, with growing startup activity.
4) The need to integrate political and economic understanding in global capital markets through instruments like sovereign wealth funds, and to leverage skills and investments from large pension funds and institutional investors.
This document is a Haiku Deck presentation that features photos credited to various photographers such as mlhradio, quapan, rpi-virtuell, Strangers of London, and Pro-Zak. The presentation encourages the viewer to get inspired by the photos and create their own Haiku Deck presentation on SlideShare.
Welcome to "Phildarin". Phildarin is an online tutorial program that assist Filipinos who wants to learn Mandarin. Phildarin offers free mandarin lessons and online tutorials. Here, Learning Chinese in made easier. We made a series of Mandarin Learing materials especially for Filipinos learners. We hope you can enjoy and have fun learing Chinese here.
http://music136360.wix.com/phildarin
Το παρόν φυλλάδιο περιέχει μια μικρή εισαγωγή στις βασικές έννοιες των πινάκων. Περιγράφονται οι βασικές πράξεις, βασικές διαδικασίες (αντίστροφος πίνακας, ανάστροφος πίνακας, κ.λ.π.) οι κατηγοριοποιήσεις πινάκων (τετραγωνικοί, διαγώνιοι, τριγωνικοί, συμμετρικοί, κ.λ.π.) και δίνονται μερικά λυμένα παραδείγματα.
2. det(A),|A|
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του
Rn×n
στο R η οποία
1. Εξαρτάται γραμμικά απο την
πρώτη γραμμή του πίνακα
2. Αλλάζει το πρόσημο της κάθε
φορά που εναλλασουμε τις
γραμμές του πίνακα
3. |I| = 1
3. Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή
Εαν οι πίνακες A,B,C ταυτίζονται
απο την 2η γραμμή του και κάτω και
η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός
συνδυσμός της 1ων γραμμών των B
και C τότε η |A| είναι ο ίδιος
γραμμικός συνδυσμός των |B| και
|C|.
6. Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το
ιδιαίτερο
Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα
εξαρτάται γραμμικά απο κάθε
γραμμή της ξεχωριστά’
7. Ιδιότητες
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι
μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής
απο μια άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή
είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με
το γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου
10. Υπολογισμός Ορίζουσας
|A| = ai,1Ai,1 +ai,2Ai,2 +...+ai,nAi,n
Ai,j = (−1)i+j
|Mi,j| (συμπαράγοντας)
Mi,j είναι ο Ai,j απο τον οποίο λείπει η iστη
γραμμή και η jστη στήλη.
11. Υπολογισμός Ορίζουσας
|A| = ai,1Ai,1 +ai,2Ai,2 +...+ai,nAi,n
Ai,j = (−1)i+j
|Mi,j| (συμπαράγοντας)
Mi,j είναι ο Ai,j απο τον οποίο λείπει η iστη
γραμμή και η jστη στήλη.
|A| = a1,iA1,j +a2,iA2,j +...+an,iAn,j
14. Υπολογισμός του A−1
Τα στοιχεία του είναι οι συμπαράγοντες του Α
ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|
15. Υπολογισμός του A−1
Τα στοιχεία του είναι οι συμπαράγοντες του Α
ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|
A−1
= |A|−1
Asymp
16. Ιδιότητα 9, |AB| = |A||B|
΄Εστω δ(A) = |AB|
|B|
Αν A = I τότε δ(I) = 1
Αν εναλλάξουμε δύο γραμμές του A τότε ανάλογα
εναλλάσονται και οι γραμμές του AB
΄Ενα γραμμικός συνδυασμός που εμφανίζεται στην 1η
γραμμή του πίνακα A δίδει τον ίδιο γραμμικό συνδοιασμό
στην 1η γραμμή του AB
΄Αρα η δ(A) είναι ορίζουσα. Δηλαδή δ(A) = |A|
