Downloaded 39 times
![Цена опциона на покупку
Никто не станет платить за опцион на покупку
актива больше, чем разница между тем, что нужно
заплатить для покупки актива на рынке, и тем, что
нужно запатить по опциону, т.е. ценой
исполнения.
Цена актива на рынке
С = max[0, S – K]
Стоимость колл-опциона Цена исполнения опциона](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-51-320.jpg)
![Цена опциона на продажу
В случае опциона на продажу актива никто не
будет платить за этот опцион больше, чем разница
между ценой, по которой актив может быть продан
на открытом рынке, и ценой, по которой этот
актив будет продан по опциону.
Цена актива на рынке
P = max[0, K – S]
Стоимость пут-опциона Цена исполнения опциона](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-52-320.jpg)
![Пример 7. Создание портфеля-имитатора
Стоимость актива Su = 43,75
S = 35
Sd = 26,25
Стоимость опциона Cu = max[0, 43,75 – 35] = 8,75
C
Cd = max[0, 26,25 – 35] = 0](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-55-320.jpg)
![Пример 7. Создание портфеля-имитатора
Если R = (1 + r), где r — безрисковая процентная ставка,
тогда:
R•(S – H•C) = Su – H•Cu
C=
[ Cu•
R–d
u–d
+ Cd•
u–R
u–d ] /R](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-60-320.jpg)
![Пример 7. Создание портфеля-имитатора
C=
[
8,75•
1,1– 0,75
1,25 – 0,75
+ 0•
1,25 – 1,1
1,25 – 0,75 ] / 1,1 = 5,57](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-61-320.jpg)
![Пример 8. Многопериодная модель
C = max[0, S – K]
52,21
47,25
42,75
…
38,68
35
…
31,67
28,65
…
25,93
23,46](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-68-320.jpg)
![Пример 8. Многопериодная модель
C = max[0, S – K]
52,21
17,21 C = max[0, 52,21 – 35] = 17,21
47,25
42,75
…
38,68
35
…
31,67
28,65
…
25,93
23,46](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-69-320.jpg)
![Пример 8. Многопериодная модель
C = max[0, S – K]
52,21
17,21 C = max[0, 52,21 – 35] = 17,21
47,25
42,75
…
7,75 C = max[0, 42,75 – 35] = 7,75
38,68
35
…
0 C = max[0, 35 – 35] = 0
31,67
28,65
…
0 C = max[0, 28,65 – 35] = 0
25,93
23,46
0 C = max[0, 23,46 – 35] = 0](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-70-320.jpg)
![[
C= Cu•
R–d
u–d]/R
+ Cd•
u–R
Пример 8. Многопериодная модель
u–d
C= [ Cu• 0,5948 + Cd• 0,4052 ] / 1,024
52,21
17,21
47,25
13,07
42,75 42,75
7,75
38,68 38,68
35 35
S = 35
0
31,67 31,67
28,65 28,65
0
25,93
23,46
0](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-71-320.jpg)
![[
C= Cu•
R–d
u–d]/R
+ Cd•
u–R
Пример 8. Многопериодная модель
u–d
C= [ Cu• 0,5948 + Cd• 0,4052 ] / 1,024
52,21
17,21
47,25
13,07
42,75 42,75
9,38 7,75
38,68 38,68
6,48 4,51
S = 35 35 35
C = 4,37 2,62 0
31,67 31,67
1,52 0
28,65 28,65
0 0
25,93
0
23,46
0](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-72-320.jpg)
![Треугольные нечеткие числа
Допустим есть два нечетких числа A и B их интервалы
принадлежности [amin, amax] и [bmin, bmax] соответственно, тогда
операции с этими интервалами выражаются через операции с
действительными числами по следующим правилам:
[amin, amax] + [bmin, bmax] = [amin + bmin, amax + bmax]
[amin, amax] – [bmin, bmax] = [amin – bmax, amax – bmin]
[amin, amax] • [bmin, bmax] = [amin•bmin, amax•bmax]
[amin, amax] / [bmin, bmax] = [amin / bmax, amax / bmin]
[amin, amax]n = [aminn, amaxn]](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-84-320.jpg)
![Вычисления с нечеткими числами
В результате расчетов с ТНЧ также
получаются нечеткие числа:
T
CF
NPV = ∑ (1 + i)n
n=1
[NPVmin, NPV, NPVmax]](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-85-320.jpg)
![Пример 1. Нечеткие множества
Год прогноза
Показатель
1 2 3 4 5
Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50
Зарплата 2 2 2 2 2
Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25
Доп. затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40
(1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9
1) Выручка –
–2, 1, 3 –2, 3, 8 … … …
– Зарплата – Материалы
2) [1] – Доп. затраты –4, –1, 1 –6, 1, 8 … … …
DCF –4/1.3, … … … … …](https://image.slidesharecdn.com/4-091119125957-phpapp01/85/slide-90-320.jpg)
Uploaded byVladimir Melnikov
Учет неопределенности и риска
Документ охватывает учет рисков и различные модели принятия решений в условиях неопределенности, включая анализ дисконтирования, деревья решений и модели оценки опционов. Примеры направлены на демонстрацию применения этих концепций для оценки стоимости проектов и потоков денежных средств. Также рассматриваются методы прогнозирования, биноминальные модели и возможности менеджмента при инвестировании в новые продукты.
Учет неопределенности и риска
- 1. Учет рисков Теория принятия решений Владимир Мельников
- 2. Показатель стоимости Коэффициент дисконтирования: 1 (1 + i)n Ставка дисконтирования Чистый приведенная стоимость: T CFn NPV = ∑ (1 + i)n n=1
- 3. Учет риска A ‣ «В знаменателе» ? ‣ «В числителе» ? A ? ‣ «В знаменателе и числителе» ?
- 4. а) Учет рискав ставке дисконтирования
- 5. Учет риска вставке дисконтирования ‣ Кумулятивная модель i = iбезриск. + iриск. + iинфл. ‣ CAPM (Capital Asset Pricing Model) i = iбезриск. + ß•(iрын. – iбезриск.) + L1 + L2 ‣ WACC
- 6. Пример 1. Учетриска в «знаменателе» Определить целесообразность вложения средств в проект. Определить стоимость проекта при двух различных ставках дисконтирования. Прогнозные показатели проекта Год прогноза 1 2 3 4 5 Положительные CF 10 20 30 40 50 Отрицательные CF 5 10 20 40 90 1) Ставка дисконтироания i = 10% (без учета риска) 2) Ставка дисконтироания i = 20% (с учетом риска)
- 7. Пример 1. Учетриска в «знаменателе» ‣ Экономический риск: ‣ для доходов — риск недополучения дохода; ‣ для расходов — риск перерасхода. ‣ Чем выше риск, тем меньше чистая приведенная стоимость. ‣ Чем больше чистая приведенная стоимость, тем проект выгоднее.
- 8. б) Учет рискав денежном потоке
- 9. Дерево решений Традиционно, основнымэлементом принятия решений в условиях риска является построение дерева решений. z1 А z2 Б Вершина решений Вершина случаев
- 10. Пример 2. Дереворешений ‣ Предприятие может реализовывать на рынке 2 вида продукции – А или Б. ‣ Прибыль от продажи продукта А составляет 100 у.е. ‣ Прибыль от продажи продукта Б составляет 80 у.е. ‣ Известно, что с вероятностью 30% в следующем году на рынке появится сильный конкурент и тогда предприятие сможет получить прибыль от продукта А только 40 у.е., на прибылях от продажи продукта Б появление конкурента не отразится.
- 11. Пример 2. Дереворешений ‣ Для уточнения ситуации на рынке можно провести маркетинговые исследования, затраты на которые составят 5 у.е. ‣ Вероятность правильного определения ситуации на рынке составляет 80%. ‣ Необходимо принять решение проводить или не проводить маркетинговые исследования и какую продукцию производить.
- 12. Пример 2. Дереворешений В виде таблицы: Прибыль компании, у.е. Вероятность, % Выпускаемые продукты 70% 30% Продукт А 100 у.е. 40 у.е. Продукт Б 80 у.е. 80 у.е. Проведение маркетинга 5 у.е. Вероятность правильного определения ситуации 80%
- 13. Пример 2. Дереворешений Не проводить маркетинг Проводить маркетинг
- 14. Пример 2. Дереворешений Не проводить маркетинг Указывает на неблагоприятную ситуацию Проводить маркетинг Указывает на благоприятную ситуацию
- 15. Пример 2. Дереворешений Продукт А Не проводить маркетинг Продукт Б Указывает на неблагоприятную ситуацию Проводить маркетинг Указывает на благоприятную ситуацию
- 16. Пример 2. Дереворешений Продукт А Не проводить маркетинг Продукт Б Указывает на неблагоприятную ситуацию Проводить маркетинг Указывает на благоприятную ситуацию
- 17. Пример 2. Дереворешений нт есть —К онкуре Продукт А 40 нта нет —К онкуре 100 Не проводить маркетинг Продукт Б 80 80 Указывает на 35 неблагоприятную ситуацию 95 Проводить 75 маркетинг 75 35 Указывает на благоприятную ситуацию 95 75 75
- 18. Пример 2. Дереворешений 0,3 нт есть —К онкуре Продукт А 40 нта нет 0,7 —К онкуре 100 0,3 Не проводить маркетинг Продукт Б 80 0,7 80 Указывает на 35 неблагоприятную ситуацию 95 Проводить 75 маркетинг 75 35 Указывает на благоприятную ситуацию 95 75 75
- 19. Пример 2. Шансытого, что маркетинг укажет на неблагоприятную ситуацию P(неблагопр.) — вероятность того, что маркетинг укажет на неблагоприятную ситуацию на рынке: P(неблагопр.) = 0,8•P(конкурент) + 0,2•P(без конкурента) P(благ.) — вероятность того, что маркетинг укажет на благоприятную ситуацию на рынке: P(благ.) = 0,8•P(без конкурента) + 0,2•P(конкурент)
- 20. Пример 2. Шансынеблагоприятной и благоприятной ситуаций Эти шансы определяются по формуле Байеса: P(Б)•P(А) P(условная) = m ∑P(Б)•P(А) i =1 P(условная) — вероятность того, что при условии А будет иметь место событие Б; P(А) , P(Б) — вероятности событий А и Б; m — число условий;
- 21. Пример 2. Шансыисходов 0,3 нт есть —К онкуре Продукт А 40 нта нет 0,7 —К онкуре 100 0,3 Не проводить маркетинг Продукт Б 80 0,7 0,63 80 Указывает на 35 неблагоприятную ситуацию 0,37 95 0,63 0,38 Проводить 75 маркетинг 0,37 0,62 0,1 75 35 Указывает на благоприятную 0,9 ситуацию 95 0,1 75 0,9 75
- 22. Пример 2. Процедура усреденения и свертывания 0,3 нт есть —К онкуре Продукт А 40 82 нта нет 0,7 —К онкуре 100 0,3 Не проводить маркетинг Продукт Б 80 0,7 0,3• 40 + 0,7• 100 0,63 80 Указывает на 35 неблагоприятную (P1• U1 + P2• U2) ситуацию 0,37 95 0,63 0,38 Проводить 75 маркетинг 0,37 0,62 0,1 75 35 Указывает на благоприятную 0,9 ситуацию 95 0,1 75 0,9 75
- 23. Пример 2. Процедура усреденения и свертывания 0,3 нт есть —К онкуре Продукт А 40 82 нта нет 0,7 —К онкуре 100 0,3 Не проводить маркетинг Продукт Б 80 80 0,7 0,63 80 Указывает на 35 неблагоприятную 57 ситуацию 0,37 95 0,63 0,38 Проводить 75 маркетинг 75 0,37 0,62 0,1 75 35 Указывает на благоприятную 89 0,9 ситуацию 95 0,1 75 75 0,9 75
- 24. Пример 2. Процедура усреденения и свертывания 0,3 нт есть —К онкуре Продукт А 40 82 82 нта нет 0,7 —К онкуре 100 0,3 Не проводить маркетинг 82 > 80 Продукт Б 80 Производя продукт А 80 0,7 без маркетинга, 0,63 80 получаем в среднем Указывает на 35 82 у.е., что выгоднее, неблагоприятную 57 чем производство ситуацию 0,37 продукта Б 95 0,63 0,38 Проводить 75 маркетинг 75 0,37 0,62 0,1 75 35 Указывает на благоприятную 89 0,9 ситуацию 95 0,1 75 75 0,9 75
- 25. Пример 2. Процедура усреденения и свертывания 0,3 нт есть —К онкуре Продукт А 40 82 82 нта нет 0,7 —К онкуре 100 0,3 Не проводить маркетинг Продукт Б 80 80 0,7 0,63 80 Указывает на 35 84 неблагоприятную 75 57 ситуацию 0,37 95 0,63 0,38 Проводить 75 маркетинг 84 75 0,37 0,62 0,1 75 35 Указывает на благоприятную 89 89 0,9 ситуацию 95 0,1 75 75 0,9 75
- 26. Пример 2. Процедура усреденения и свертывания 0,3 нт есть —К онкуре Продукт А 40 82 82 нта нет 0,7 —К онкуре 100 0,3 Не проводить маркетинг Продукт Б 80 80 0,7 0,63 80 Указывает на 35 84 неблагоприятную 75 57 ситуацию 0,37 95 0,63 0,38 Проводить Б 75 маркетинг 84 75 0,37 0,62 0,1 75 35 Указывает на А благоприятную 89 89 0,9 ситуацию 95 0,1 75 75 0,9 75
- 27. Дерево решений Таким образомможно спрогнозировать и спланировать будущие денежные потоки для каждого из перидов. Эти данные можно использовать при дальнейшем расчете NPV. q1 q2 q3 CF1 CF2 CF3
- 28. Пример 3. Учетвозможностей менеджмента Предприятие собирается вывести на рынок новый товар. Начальные инвестиции в 110 у.е. необходимы для завершения подготовительного этапа проекта, который длится год. Еще 100 у.е. необходимо затратить на подготовку рекламной кампании через год — в момент начала производства. Ожидается, что доходы поступят в распоряжение предприятия только на третий год с начала проекта. Однако в настоящее время трудно определить, будет ли новый продукт пользоваться спросом. Вероятность позитивного развития событий составляет 75% (ожидаемый доход 340 у.е.), а негативного — 25% (ожидаемый доход 10 у.е.).
- 29. Пример 3. Учетвозможностей менеджмента В виде таблицы: Прогнозные показатели проекта Год прогноза 0 1 2 3 Расход (у.е.) 110 100 0,75 340 Приход (у.е.) 257,5 0,25 10 CF(+) = 0,75•340 + 0,25•10 = 257,5 NPV = (–110) + (–100) ÷ 1,1 + CF(+) ÷ 1,33 = –7,29
- 30. Пример 3. Учетвозможностей менеджмента Предположим, что через год станет понятно, будет ли новый товар пользоваться спросом. Таким образом, к началу первого года проекта у менеджеров будет возможность решить, стоит ли продолжать инвестировать в новый продукт или выгоднее остановить весь проект. CF(+) = 0,75•340 + 0,25•0 = 255 NPV = (–110) + 0,75•(–100) ÷ 1,1 + CF(+) ÷ 1,33 = 13,7
- 31.
- 32. Реальные опционы ‣ Колл— право купить по фиксированной цене. ‣ Пут — право продать по фиксированной цене. ‣ Американский — владелец может воспользоваться своим правом в любой момент до истечения установленного срока. ‣ Европейский — владелец может воспользоваться своим правом только в один установленный день.
- 33.
- 34. Модель Блэка–Шоулза Стоимость колл-опционав модели Блэка–Шоулза можно записать как функцию пяти переменных: S — текущая стоимость актива; K — цена исполнения (фиксированная цена по которой можно реализовать актив); t — срок жизни опциона (время до следующей точки принятия решения); r — безрисковая процентная ставка, соответствующая сроку жизни; ∂ — дисперсия натурального логарифма, коэффициента показывающего изменение стоимости актива, который можно определить как «коэффициент доходности актива».
- 35. Модель Блэка–Шоулза Стоимость в настоящий момент времени Rt ln (R – 1) t–1 Стоимость в предыдущий момент времени ∂
- 36. Модель Блэка–Шоулза Стоимость колл–опциона: V = S•N(d1) – K•e–rt•N(d2) ( ) S ∂2 ln( K ) + (r + 2 )•t d1 = ∂•√t Вероятности, оцененные посредством использования кумулятивной функции d2 = d1 – ∂•√t стандартизированного нормального распределения, а также величин d1 и d2.
- 37. Модель Блэка–Шоулза Распределение Гаусса.Нормальное распределение. d t2 1 N(d) = ∂•√2π e 2 dt –∞ N(d1)
- 38. Пример 4. МодельБлэка–Шоулза Для начала разработок нового продукта предприятию требуется осуществить инвестиции в НИОКР в размере 13,62 у.е. Предприятие может отсрочить начало разработок на 103 дня (0,28 года). Но для осуществления данной отсрочки потребуется дополнительно затратить 2 у.е. на оплату простоя коллектива разработчиков. Кроме того затраты на разработку в таком случае составят 15 у.е. Отклонение логарифма доходности вложения в разработки в этой сфере в прошлые периоды составляло 81%. Стоимость привлечения капитала составляет 4,63% (в непрерывном исчислении). Вопрос: целесообразно ли платить 2 у.е. за отсрочку?
- 39.
- 40. Биноминальное распределение Для формированиябиноминального распределения случайная перемнная должна отвечать следующим условиям: ‣ Переменная может принимать только 2 значения в данный момент времени или в результате какого-либо события. Каждое из этих моментов называется «попыткой». Два возможных результата называются «успех» и «неудача». ‣ Для каждой последовательности попыток вероятность успеха и неудачи постоянна. ‣ Все попытки идентичны. ‣ Все попытки независимы.
- 41. Биноминальное распределение X–бином (n,p) Su2 j=2 Su Su S S Sud Sdu j=1 Sd Sd Sd2 j=0
- 42. Биноминальное распределение Количество способовдостижения j успехов из n попыток: n n! С = j j!•(n – j)! Вероятность получения j успехов с n попыток: n p(x = j) = C •pj•(1 – p)(n – j) j
- 43. Пример 5. Биноминальноераспределение Задано распределение с двумя биноминальными попытками. Вероятность успеха составляет 50%. Su2 Su S Sud (Sdu) Sd Найти вероятности исходов. Sd2
- 44. Пример 5. Биноминальноераспределение Определим число способов получения одного успеха: n n! 2! С = j = =2 j!•(n – j)! 1!•(2 – 1)!
- 45. Пример 5. Биноминальноераспределение Определим вероятность получения одного успеха: n p(Sud) = C •pj•(1 – p)(n – j) = j = 2 •0,51•(1 – 0,5)(2 – 1) = 0,5
- 46. Биноминальное дерево ценактивов Расчет ожидаемого значения цены актива с применением биноминальной модели состоит из трех шагов: ‣ Создание биноминальго дерева возможных цен. ‣ Определение вероятностей каждого из возможных результатов. ‣ Умножение каждого из возможных результатов на его вероятность. Сумма произведений и составит ожидаемое значение.
- 47. Пример 6. Деревоцен активов Найти значение цены актива по истечении двух временных интервалов. Допустим, что в результате каждой попытки существует вероятность роста цены, равная 0,5. Допустим также, что изменение цены в один период не зависит от изменения цены в другой период. Цена может изменяться в 1,10 (рост) или 0,90 (падение) раз.
- 48. Пример 6. Деревоцен активов Su2 Su S = 50 Sud = Sdu Sd Sd2
- 49. Пример 6. Деревоцен активов Su2 = 60,5 Su = 55 S = 50 Sud = Sdu = 50 Sd = 45 Sd2 = 40,5
- 50. Пример 6. Деревоцен активов Su2 = 60,5 0,25 Su = 55 0,5 S = 50 Sud = Sdu = 50 0,5 Sd = 45 0,5 Sd2 = 40,5 0,25 60,5•0,25 + 50•0,5 + 40,5•0,25 = 50,25
- 51. Цена опциона напокупку Никто не станет платить за опцион на покупку актива больше, чем разница между тем, что нужно заплатить для покупки актива на рынке, и тем, что нужно запатить по опциону, т.е. ценой исполнения. Цена актива на рынке С = max[0, S – K] Стоимость колл-опциона Цена исполнения опциона
- 52. Цена опциона напродажу В случае опциона на продажу актива никто не будет платить за этот опцион больше, чем разница между ценой, по которой актив может быть продан на открытом рынке, и ценой, по которой этот актив будет продан по опциону. Цена актива на рынке P = max[0, K – S] Стоимость пут-опциона Цена исполнения опциона
- 53. Имитирующий портфель Цель созданияимитирующего портфеля — это использование комбинации безрискового заимствования и базового актива для создания денежного потока, аналогичного денежному потоку, создаваемому оцениваемым опционом.
- 54. Пример 7. Созданиепортфеля-имитатора Предположим, что цена основного актива (S) составляет 35 у.е., цена исполнения опциона (K) составляет 35 у.е. Безрисковая процентная ставка (r) 10%. Срок действия опциона 1 год. Дополнительно допустим, что в конце года цена актива либо поднимется на 25%, либо упадет на 25%.
- 55. Пример 7. Созданиепортфеля-имитатора Стоимость актива Su = 43,75 S = 35 Sd = 26,25 Стоимость опциона Cu = max[0, 43,75 – 35] = 8,75 C Cd = max[0, 26,25 – 35] = 0
- 56. Пример 7. Созданиепортфеля-имитатора На данном этапе у нас возникает две задачи: ‣ Найти, сколько опционов (H) необходимо продать, чтобы портфель был безрисковым. ‣ Определить справедливую цену, по которой эти опционы должны быть проданы.
- 57. Пример 7. Созданиепортфеля-имитатора 1. Количество опционов (H), которое следует продать для создания безрискового портфеля. Размах цен актива Su – Sd 43,75 – 26,25 H= = =2 Cu – Cd 8,75 – 0 Размах стоимости опциона
- 58. Пример 7. Созданиепортфеля-имитатора Su – H•Cu = 43,75 – 2•8,75 = 26,25 Sd – H•Cd = 26,25 – 2•0 = 26,25 Su – H•Cu = 26,25 S – H•C Sd – H•Cd = 26,25
- 59. Пример 7. Созданиепортфеля-имитатора 2. Справедливая цена, по которой нужно продать опцион в настощий момент. Текущая стоимсость портфеля, состоящего из покупки актива по рыночной цене S и продпжи 2х опционов и имеющего безрисковую ставку в течение одного года должна быть равна текущей стоимости доходов в конце года. Этот доход в конце года составляет: Su – H•Cu = (S – H•C)•(1 + r) = 26,25
- 60. Пример 7. Созданиепортфеля-имитатора Если R = (1 + r), где r — безрисковая процентная ставка, тогда: R•(S – H•C) = Su – H•Cu C= [ Cu• R–d u–d + Cd• u–R u–d ] /R
- 61. Пример 7. Созданиепортфеля-имитатора C= [ 8,75• 1,1– 0,75 1,25 – 0,75 + 0• 1,25 – 1,1 1,25 – 0,75 ] / 1,1 = 5,57
- 62. Пример 8. Многопериоднаямодель
- 63. Пример 8. Интерпретация Приведеннаястоимость будущих денежных потоков поступлений при условии немедленного начала инвестиций S = 35 у.е. Объем инвестиций K = 35 у.е. Безрисковая процентная ставка r = 2,4% в квартал. Пересмотреть решение о начале инвестирования можно раз в квартал. Стандартное отклонение приведенной стоимости денежного потока ∂ = 20%.
- 64. Пример 8. Многопериоднаямодель Кокс (1979 г.) показал, что величины потенциального движения вверх и вниз (u и d) соотносятся с показателем волатильности (∂) следующим образом: ∂•√(t / n) ‣u=e –∂•√(t / n) ‣d = e
- 65. Пример 8. Многопериоднаямодель 35•1,10517 (Su) S = 35
- 66. Пример 8. Многопериоднаямодель 52,21 47,25 35•1,10517 (Su) 42,75 38,68 S = 35
- 67. Пример 8. Многопериоднаямодель 52,21 47,25 35•1,10517 (Su) 42,75 42,75 38,68 38,68 S = 35 35 35 31,67 31,67 28,65 28,65 35•0,9484 (Sd) 25,93 23,46
- 68. Пример 8. Многопериоднаямодель C = max[0, S – K] 52,21 47,25 42,75 … 38,68 35 … 31,67 28,65 … 25,93 23,46
- 69. Пример 8. Многопериоднаямодель C = max[0, S – K] 52,21 17,21 C = max[0, 52,21 – 35] = 17,21 47,25 42,75 … 38,68 35 … 31,67 28,65 … 25,93 23,46
- 70. Пример 8. Многопериоднаямодель C = max[0, S – K] 52,21 17,21 C = max[0, 52,21 – 35] = 17,21 47,25 42,75 … 7,75 C = max[0, 42,75 – 35] = 7,75 38,68 35 … 0 C = max[0, 35 – 35] = 0 31,67 28,65 … 0 C = max[0, 28,65 – 35] = 0 25,93 23,46 0 C = max[0, 23,46 – 35] = 0
- 71. [ C= Cu• R–d u–d]/R + Cd• u–R Пример 8. Многопериодная модель u–d C= [ Cu• 0,5948 + Cd• 0,4052 ] / 1,024 52,21 17,21 47,25 13,07 42,75 42,75 7,75 38,68 38,68 35 35 S = 35 0 31,67 31,67 28,65 28,65 0 25,93 23,46 0
- 72. [ C= Cu• R–d u–d]/R + Cd• u–R Пример 8. Многопериодная модель u–d C= [ Cu• 0,5948 + Cd• 0,4052 ] / 1,024 52,21 17,21 47,25 13,07 42,75 42,75 9,38 7,75 38,68 38,68 6,48 4,51 S = 35 35 35 C = 4,37 2,62 0 31,67 31,67 1,52 0 28,65 28,65 0 0 25,93 0 23,46 0
- 73. Пример 8. Интерпретация 52,21 17,21 47,25 13,07 42,75 42,75 9,38 7,75 38,68 38,68 6,48 4,51 S = 35 35 35 C = 4,37 2,62 0 31,67 31,67 1,52 0 28,65 28,65 0 0 25,93 0 23,46 0
- 74.
- 75. Теория нечетких множеств Подходопирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а элементы некоторых нечетких множеств или классов объектов, для которых преход от «принадлежности» к «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен.
- 76. Пример нечетких данных Нечеткоемножество может отражать: ‣ Лингвистические понятия ‣ Нечеткие числа Пример: ‣ Около 30 минут ‣ Большая процентная ставка ‣ Прибыль порядка 20 у.е.
- 77. Функция принадлежности !"#$%!&'!(')*+,#'-./,0!,!&#,/12,0!#*3*/,4!-!"$+'-,15!/*'&#*)*+*//'$2,! ! ! " (!' 43 " ! ! 5'67&"0!)#!*!47&08'(!$/'&%9:;<&"6='!&;.;=0">"!#&"<;6=1%! ! Функция принадлежности отражает распределение уверенности ! в отношении некоторого моделируемого понятия для свойства А на !"!"!"#!"#$%&'#()*+,+#+-'.!'#("#$%&'#/-$0+-'.#12-34''# множестве значений переменной Х, выбранной для представления )*'-$,#+5-(%&'#-+0+&3(6(#7-(5+%&8$! " (! ' ! данного свойства А. ! #! !"#$%&'# ()*+,+#+-'.# $-(%'&+#9# -+0+&3(6(# 7-(5+%&8$%"! ?;="9":">'.;60';!='$@!'!"=:'.'(&!
- 78. Математический аппарат Определения теоретико-множественныхопераций над нечеткими множествами. Пусть C и D — два нечетких подмножетва А с функциями принадлежности µC(x) и µD(x). Пересечением , произведением, объединением, отрицанием, суммой называются такие нечеткие подмножества А с функциями принадлежности: ‣ µC D(x) = min (µC(x), µD(x)) U ‣ µCUD(x) = max (µC(x), µD(x)) ‣ µC(x) = 1– µC(x) ‣ µC•D(x) = µC(x)•µD(x) ‣ µC+D(x) = µC(x) + µD(x) – µC(x)•µD(x)
- 79. Свойства нечетких множеств Законыде Моргана для нечетких множеств: U • AUB = A B A+B = A B U • A B = AUB A B = A+B
- 80. Свойства нечетких множеств Дистрибутивныйзакон для нечетких множеств 1. Для любых нечетких множеств A, B и C: A (B U C) = (A B) U (A C) U U U 2. В то же время равенство: A•(B + C) = (A•B) + (A•C) справедливо тогда и только тогда, когда: (µ2A(x) – µA(x))•µB(x)•µC(x) = 0
- 81.
- 82. Треугольные нечеткие числа Треугольноенечеткое число (ТНЧ) описывается функцией принадлежности следующего вида: µA 1 A 0 amin a amax A = (amin, a, amax) Значимые точки числа А
- 83. Треугольные нечеткие числа Значенияфункции принадлежности для ТНЧ : 0, x < amin x – amin µA , amin < x < a a – amin 1 µA = 1, x = a amax – x , a < x < amin A amax – a 0 amin a amax 0, x > amax
- 84. Треугольные нечеткие числа Допустиместь два нечетких числа A и B их интервалы принадлежности [amin, amax] и [bmin, bmax] соответственно, тогда операции с этими интервалами выражаются через операции с действительными числами по следующим правилам: [amin, amax] + [bmin, bmax] = [amin + bmin, amax + bmax] [amin, amax] – [bmin, bmax] = [amin – bmax, amax – bmin] [amin, amax] • [bmin, bmax] = [amin•bmin, amax•bmax] [amin, amax] / [bmin, bmax] = [amin / bmax, amax / bmin] [amin, amax]n = [aminn, amaxn]
- 85. Вычисления с нечеткимичислами В результате расчетов с ТНЧ также получаются нечеткие числа: T CF NPV = ∑ (1 + i)n n=1 [NPVmin, NPV, NPVmax]
- 86. Пример 1. Нечеткиемножества Предприятие планирует открыть цех по производству бумажных самолетиков. Приемлемая норма доходности колеблется от 10% до 30%. Основные показатели этого проекта приведены в таблице: Год прогноза Показатель 1 2 3 4 5 Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50 Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50 Зарплата 2 2 2 2 2 Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25 Дополнительные затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40
- 87. Пример 1. Нечеткиемножества Год прогноза Показатель 1 2 3 4 5 Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50 Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50 Зарплата 2 2 2 2 2 Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25 Дополнительные затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40 (1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9
- 88. Пример 1. Нечеткиемножества Год пр Показатель 1 2 Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 2 Нечеткие Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 2 Четкие Зарплата 2 2 Зависимые Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 1 Дополнительные затраты 2 0, 2, 4 0, (1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1
- 89. Пример 1. Нечеткиемножества Выручка – Четкие и зависимые расходы = Промежуточное ТНЧ Алгоритм расчета: – Нечеткие расходы = Денежный поток (CF) / Дисконт = NPV
- 90. Пример 1. Нечеткиемножества Год прогноза Показатель 1 2 3 4 5 Заказы 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50 Выручка 0, 6, 10 0, 10, 20 0, 20, 30 0, 30, 40 0, 40, 50 Зарплата 2 2 2 2 2 Материалы 0, 3, 5 0, 5, 10 0, 10, 15 0, 15, 20 0, 20, 25 Доп. затраты 2 0, 2, 4 0, 4, 8 0, 8, 20 0, 20, 40 (1 + i)n 1.1, 1.2, 1.3 1.21, 1.32, 1.43 1.33, 1.45, 1.57 1.46, 1.6, 1.73 1.61, 1.76, 1.9 1) Выручка – –2, 1, 3 –2, 3, 8 … … … – Зарплата – Материалы 2) [1] – Доп. затраты –4, –1, 1 –6, 1, 8 … … … DCF –4/1.3, … … … … …
- 91. Уровень принадлежности µA 1 ß A 0 amin a1 a a2 amax a1 = amin•(1 – ß) + a•ß a2 = amax•(1 – ß) + a•ß
- 92.
- 93. Пример 2. Анализриска Параметры I1 I I2 V1 V V2 r1 r r2 C1 C C2 Значения 0.90 1.00 1.10 0.10 0.60 1.10 0.08 0.14 0.20 0.00 0.50 1.00 T V1 C1 NPV1 = –I2 + ∑ (1 + r2)n + (1 + r2)Т n=1 T V2 C2 NPV2 = –I1 + ∑ (1 + r1)n + (1 + r1)Т n=1
- 94. Пример 2. Анализриска Предположим, что проект длится 2 года (T = 2) и денежные потоки в эти годы одинаковы. Параметры I1 I I2 V1 V V2 r1 r r2 C1 C C2 Значения 0.90 1.00 1.10 0.10 0.60 1.10 0.08 0.14 0.20 0.00 0.50 1.00 NPV = 0,325 NPV1 = –0,947 NPV2 = 1,855
- 95. Пример 2. Анализриска ß I1 I2 V1 V2 r1 r2 C1 C2 NPV1 NPV2 0.00 0.80 1.20 –0.40 1.60 0.020 0.260 –0.50 1.50 –2.020 3.720 0.20 0.84 1.16 –0.20 1.40 0.044 0.236 –0.30 1.30 –1.612 2.928 I1 = Imin•(1 – ß) + I•ß 0.40 0.88 I2 = Imax•(1 –0.00 + I•ß 1.12 ß) 1.20 0.068 0.212 –0.10 1.10 –1.176 2.199 0.50 0.90 1.10 0.10 1.10 0.08 0.20 0.00 1.00 –0.947 1.855 0.60 0.92 1.08 0.20 1.00 0.092 0.188 0.10 0.90 –0.710 1.526 0.80 0.96 1.04 0.40 0.80 0.116 0.164 0.30 0.70 –0.211 0.903 1.00 1.00 1.00 0.60 0.60 0.140 0.140 0.50 0.50 0.325 0.325
- 96. Пример 2. Анализриска ß I1 I2 V1 V2 r1 r2 C1 C2 NPV1 NPV2 0.00 0.80 1.20 –0.40 1.60 0.020 0.260 –0.50 1.50 –2.020 3.720 0.20 0.84 1.16 –0.20 1.40 0.044 0.236 –0.30 1.30 –1.612 2.928 0.40 0.88 1.12 0.00 1.20 0.068 0.212 –0.10 1.10 –1.176 2.199 0.50 0.90 1.10 0.10 1.10 0.08 0.20 0.00 1.00 –0.947 1.855 0.60 0.92 1.08 0.20 1.00 0.092 0.188 0.10 0.90 –0.710 1.526 0.80 0.96 1.04 0.40 0.80 0.116 0.164 0.30 0.70 –0.211 0.903 1.00 1.00 1.00 0.60 0.60 0.140 0.140 0.50 0.50 0.325 0.325
- 97. Пример 2. Анализриска µлевая = 0,4263•NPV + 0,8868 µправая = –0,2944•NPV + 1,066 1 S= 2 •(NPVmax – NPVmin) Sубытка p= S
- 98.