Введение в динамическую эпистемическую логику-3

Введение в динамическую
эпистемическую логику-3
НУГ "Формальная философия",
проект "Динамический поворот в логической
семантике"(15-05-0005)
Виталий Долгоруков
Школа философии

Повторение
Основные понятия доксатической логики
Дополнительные доксатические операторы
Обзор инструментов анализа
Основные идеи эпистемической логики
M = (A, W, {∼i}i∈A, V )
В.В.Долгоруков Введение в динамическую эпистемическую логику

M = (A, W, {∼i}i∈A, V )
A – множество агентов

M = (A, W, {∼i}i∈A, V )
W – множество возможных миров (ситуаций)

M = (A, W, {∼i}i∈A, V )
∼i – отношение на W для агента i

M = (A, W, {∼i}i∈A, V )
V : V arL → 2W

M = (A, W, {∼i}i∈A, V )
V : V arL → 2W
M, w |= Kiϕ е.т.е. ∀w (w ∼i w → M, w |= ϕ)

M = (A, W, {∼i}i∈A, V )
V : V arL → 2W
M, w |= Kiϕ е.т.е. ∀w (w ∼i w → M, w |= ϕ)
M, w |= ˆKiϕ е.т.е. ∃w (w ∼i w ∧ M, w |= ϕ)

Операторы группового знания

"все знают"

"все знают"
EGϕ =
i∈G
Kiϕ

"все знают"
EGϕ =
i∈G
Kiϕ
"общее знание"

"все знают"
EGϕ =
i∈G
Kiϕ
CGϕ
∞
i=0
En
Gϕ = ϕ ∧ EGϕ ∧ E2
Gϕ ∧ E3
Gϕ...

"все знают"
EGϕ =
i∈G
Kiϕ
CGϕ
∞
i=0
En
Gϕ ∧ E3
Gϕ...
"дистрибутивное знание"

"все знают"
EGϕ =
i∈G
Kiϕ
CGϕ
∞
i=0
En
Gϕ ∧ E3
Gϕ...
Kaϕ ∧ Kb(ϕ → ψ)

"все знают"
EGϕ =
i∈G
Kiϕ
CGϕ
∞
i=0
En
Gϕ ∧ E3
Gϕ...
Kaϕ ∧ Kb(ϕ → ψ)
D{a,b}ψ

Оператор убеждения
Конфликт мнений
Условное убеждение
Формулы и модели

Biϕ – агент i полагает, что ϕ (но он может ошибаться)

Biϕ – агент i полагает, что ϕ (но он может ошибаться)
возможно, что Biϕ ∧ ¬ϕ

Некоторые свойства

Kiϕ → Biϕ

Kiϕ → Biϕ
Biϕ → BiBiϕ

Kiϕ → Biϕ
Biϕ → BiBiϕ
¬Biϕ → Bi¬Biϕ

Модель доксатической логики
M =< A, W, {∼i}i∈A, { i}i∈A, V >

M =< A, W, {∼i}i∈A, { i}i∈A, V >
∀w (w i w )

M =< A, W, {∼i}i∈A, { i}i∈A, V >
∀w (w i w )
∀w ∀w ∀w ((w i w ∧ w i w ) → w i w )

M =< A, W, {∼i}i∈A, { i}i∈A, V >
∀w (w i w )
∀w ∀w ∀w ((w i w ∧ w i w ) → w i w )
∀w ∀w ((w i w ∨ w i w ) → w ∼i w )

M =< A, W, {∼i}i∈A, { i}i∈A, V >
∀w (w i w )
∀w ∀w ∀w ((w i w ∧ w i w ) → w i w )
∀w ∀w ((w i w ∨ w i w ) → w ∼i w )
∀w ∀w (w ∼i w → (w i w ∨ w i w ))

w1
w2 w3
i i
i
i i
i

Некоторые понятия

[ϕ]M {w ∈ W|M, w |= ϕ}

[ϕ]M {w ∈ W|M, w |= ϕ}
[w]i {w ∈ W|w ∼i w }

[ϕ]M {w ∈ W|M, w |= ϕ}
[w]i {w ∈ W|w ∼i w }
max i (X) {w ∈ X|∀w ∈ X : w i w}, где X ⊆ W

[ϕ]M {w ∈ W|M, w |= ϕ}
w1 : pw2 : p
w3 : p
w4 : p w5 : p
w6 : p
w7 : p
i
i
i
i
i
i
i

[w]i {w ∈ W|w ∼i w }
w1 : pw2 : p
w3 : p
w4 : p w5 : p
w6 : p
w7 : p
i
i
i
i
i
i
i

max i
(X) {w ∈ X|∀w ∈ X : w i w}, где X ⊆ W
w1 : pw2 : p
w3 : p
w4 : p w5 : p
w6 : p
w7 : p
i
i
i
i
i
i
i

Определение Bi
M, w |= Biϕ е.т.е. ∀w ∈ max i ([w]i) : M, w |= ϕ

M, w1 |= Bip M, w6 |= Bip
w1 : pw2 : p
w3 : p
w4 : p w5 : p
w6 : p
w7 : p
i
i
i
i
i
i
i

Пример: конфликт мнений
Борис смотрит программу «Здоровье» и верит, что
настойка из корня лопуха спасает от алкоголизма, а
Андрей не смотрит программу «Здоровье», но любит пить
водку, поэтому он не верит, что какая-то настойка
может помочь

Пример
w1 : p

Пример
w1 : p w2 : p

Пример
w1 : p w2 : p
a, b

Пример
w1 : p w2 : p
a, b
a

Пример
w1 : p w2 : p
a, b
a
b

w1 : p, q

w1 : p, q w2 : p, q

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q
a

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q
a
b

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q
a
b b

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q
a
b b
a

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q
a
b b
a
b

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q
a
b b
a
b b

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q
a
b b
a
b b
a

w1 : p, q w2 : p, q
w3 : p, q w4 : p, q
a
b b
a
b b
a
a

M, w |= Biϕ е.т.е. ∀w ∈ max i ([w]i) : M, w |= ϕ
M, w |= Bψ
i ϕ е.т.е. ∀w ∈ max i ([w]i ∩ [ψ]M) : M, w |= ϕ

Ba¬p ∧ Bq
ap

w1 : p, q
w2 : p, q

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q
w4 : p, q

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q
w4 : p, q
a

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q
w4 : p, q
a
a

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q
w4 : p, q
a
a
a

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q
w4 : p, q
a
a
a
a

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q
w4 : p, q
a
a
a
a
a

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q
w4 : p, q
a
a
a
a
a
a

w1 : p, q
w2 : p, q
w3 : p, q
w4 : p, q
a
a
a
a
a
a
Ba¬p ∧ Bq
ap

Определение операторов знания и мнения через
условный оператор мнения
Biϕ = BT
i ϕ

Определение операторов знания и мнения через
условный оператор мнения
Biϕ = BT
i ϕ
Kiϕ = Bψ
i ϕ для любого ψ

(1) Baϕ ∧ ¬ϕ

(1) Baϕ ∧ ¬ϕ
(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ

(1) Baϕ ∧ ¬ϕ
(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ
(3) Baϕ ∧ ¬KbBaϕ

(1) Baϕ ∧ ¬ϕ
(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ
(4) Baϕ ∧ BbBa¬ϕ

(1) Baϕ ∧ ¬ϕ
(2) Baϕ ∧ ¬Kaϕ
(4) Baϕ ∧ BbBa¬ϕ
(5) ¬Bψ
a ϕ ∧ Ba(ψ → ϕ)

Новые операторы
"robust knowledge"

"robust knowledge"
M, w |= B+
i ϕ е.т.е. ∀w (w i w → M, w |= ϕ)

"robust knowledge"
M, w |= B+
i ϕ е.т.е. ∀w (w i w → M, w |= ϕ)
"strong knowledge"

"robust knowledge"
M, w |= B+
i ϕ е.т.е. ∀w (w i w → M, w |= ϕ)
"strong knowledge"
M, w |= Bs
i ϕ е.т.е.

"robust knowledge"
M, w |= B+
i ϕ е.т.е. ∀w (w i w → M, w |= ϕ)
"strong knowledge"
M, w |= Bs
i ϕ е.т.е.
1) ˆKiϕ

"robust knowledge"
M, w |= B+
i ϕ е.т.е. ∀w (w i w → M, w |= ϕ)
"strong knowledge"
M, w |= Bs
i ϕ е.т.е.
1) ˆKiϕ
2)([w]i ∩ [¬ϕ]M) i ([w]i ∩ [ϕ]M), где

"robust knowledge"
M, w |= B+
i ϕ е.т.е. ∀w (w i w → M, w |= ϕ)
"strong knowledge"
M, w |= Bs
i ϕ е.т.е.
1) ˆKiϕ
2)([w]i ∩ [¬ϕ]M) i ([w]i ∩ [ϕ]M), где
X i Y ∀x ∈ X∀y ∈ Y : x i y

w1 : p
w2 : p
w3 : p
w4 : p
a
a
a
a
a
a

w1 : p
w2 : p
w3 : p
w4 : p
a
a
a
a
a
a
M, w3 |= B+
i p

w1 : p
w2 : p
w3 : p
w4 : p
a
a
a
a
a
a
M, w3 |= B+
i p M, w3 |= Bs
i p

w1 : p
w2 : p
w3 : p
w4 : p
a
a
a
a
a
a
M, w3 |= Bs
i p

w1 : p
w2 : p
w3 : p
w4 : p
a
a
a
a
a
a
M, w3 |= Bs
i p M, w3 |= B+
i p

M, w |= B+
i ϕ е.т.е. M, w |= Bψ
i ϕ
для любых ψ : M, w |= ψ

Обзор эпистемических и доксатических операторов

Kiϕ

Kiϕ
ˆKiϕ

Kiϕ
ˆKiϕ
EGϕ

Kiϕ
ˆKiϕ
EGϕ
DGϕ

Kiϕ
ˆKiϕ
EGϕ
DGϕ
CGϕ

Kiϕ
ˆKiϕ
EGϕ
DGϕ
CGϕ
Biϕ

Kiϕ
ˆKiϕ
EGϕ
DGϕ
CGϕ
Biϕ
B+
i ϕ

Kiϕ
ˆKiϕ
EGϕ
DGϕ
CGϕ
Biϕ
B+
i ϕ
Bs
i ϕ

Kiϕ
ˆKiϕ
EGϕ
DGϕ
CGϕ
Biϕ
B+
i ϕ
Bs
i ϕ
Д/з: как они связаны между собой?

Введение в динамическую эпистемическую логику-3

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Введение в динамическую эпистемическую логику-3