1. Διπλωματική Εργασία:
Ροή αερίου σε μικροκοιλότητα τριγωνικής
και τραπεζοειδούς διατομής
Επιμέλεια: Κουτάντου Ειρήνη
Επιβλέπων: Νάρης Στέργιος
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

2. Γιατί μας ενδιαφέρει η μελέτη του συγκεκριμένου
προβλήματος;
Συσκευές:
- επιταχυνσιόμετρα
- ιατρικά εργαλεία
- μικροσκοπικοί αισθητήρες πίεσης
- αντλίες
- ροόμετρα
- συστήματα κυκλωμάτων ψύξης

3. Ποια επιστήμη μελετά τέτοιου είδους φαινόμενα;
Μικρομηχανική
Μικρορευστοδυναμική
Κατασκευαστική
Τεχνολογία
Τεχνολογία
Υλικών Στη
Μικροκλίμακα

4. αρχική προσέγγιση των μικρορευστοδυναμικών φαινομένων:
εξισώσεις συνέχειας
μικρότερες διατάξεις → νέα προσέγγιση
• Οριακές Συνθήκες (περιλαμβάνουν φαινόμενα ολίσθησης)
• Κινητική Θεωρία (όχι συνεχές μέσο)
• Δεν εστιάζουμε στη μελέτη των μακροσκοπικών ιδιοτήτων
• Μας ενδιαφέρει η συμπεριφορά των σωματιδίων που αποτελούν
το ρευστό (στατιστική αντιμετώπιση)
• Βασικό στοιχείο μελέτης η συνάρτηση κατανομής (υπακούει στην
εξίσωση Boltzmann) κι από την οποία προκύπτουν τα
μακροσκοπικά μεγέθη

5. Αξιολόγηση της νέας προσέγγισης
 Πλεονεκτήματα:
- ευρύ πεδίο εφαρμογής
- ισχυρή μαθηματική τεκμηρίωση
- δυνατότητα τροποποίησης για τη συμπερίληψη επιπλέον
επιδράσεων
 Μειονεκτήματα:
- μεγάλη απαίτηση για υπολογιστική ισχύ και υπολογιστικό χρόνο

6. ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
αποτελεί κλάδο της στατιστικής μηχανικής με αντικείμενο τη μελέτη
αερίων που βρίσκονται εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας
- οι αρχαίοι Ίωνες φιλόσοφοι
- ο Δημόκριτος και οι μαθητές του
- ο Δανός μαθηματικός Daniel Bernoulli (1700-1782)
- ο Σκοτσέζος μαθηματικός James Clerk Maxwell (1831-1879)
- ο Αυστριακός φυσικός Ludwig Boltzmann (1844-1906)

7. Η μεταβολή της συνάρτησης κατανομής κατά μήκος
μιας χαρακτηριστικής καμπύλης είναι ίση με το
ολοκλήρωμα του όρου των σωματιδιακών
συγκρούσεων πάνω στην καμπύλη αυτή.
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , *)i i
f r t f r t f r t
X Q f f
t r
ξ ξ ξ
ξ
ξ
∂ ∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
Εξίσωση Boltzmann:

8. Σκοπός της κινητικής θεωρίας είναι η επίλυση της εξίσωσης
Boltzmann για τον προσδιορισμό της κατανομής f. Έπειτα
γνωρίζοντας την f γίνεται ο υπολογισμός των μακροσκοπικών
μεγεθών:
Μακροσκοπική
ταχύτητα
Πίεση
Μητρώο
τάσεων
Θερμοκρασία
Θερμορροή
Εσωτερική
ενέργεια
Αριθμητική
πυκνότητα
κατανομή f

9. Τα μακροσκοπικά μεγέθη προσδιορίζονται
από τις ακόλουθες σχέσεις:
-Αριθμητική πυκνότητα : - Μακροσκοπική ταχύτητα :
-Θερμοκρασία: -Πίεση :
- Μητρώο τάσεων: - Θερμορροή :
-Εσωτερική ενέργεια :
- όπου: σχετική ταχύτητα
( , )n r t fdξ
∞
−∞
= ∫
1
( , )
( , )
u r t
n r t fdξ ξ
∞
−∞
=
∫
2
( , )
3
m
r t fdξ
∞
−∞
Ρ = Ξ∫
, ( , )i j i jr t m fdξ
∞
−∞
Ρ = Ξ Ξ∫ 2
( , )
2
m
q r t
fdξ
∞
−∞
=
Ξ Ξ∫
21
( , )
2 ( , )
r t fd
n r t
ε ξ
∞
−∞
= Ξ∫
( , )n r t fdξ
∞
−∞
=∫
2
( , )
3 ( , )B
m
r t fd
k n r t
ξ
∞
−∞
Τ = Ξ∫
uξΞ = −

10. εφαρμογή της εξίσωσης Boltzmann σε προβλήματα
μικρορευστοδυναμικής έπειτα από θεωρητικές προσεγγίσεις:
1) για τον προσδιορισμό των οριακών συνθηκών
- Συνθήκη Maxwell (συνθήκη τύπου διάχυσης):
τα σωματίδια καθώς προσπίπτουν χάνουν τη μνήμη τους και
συνεχίζουν μόνο με βάση την πληροφορία του τοιχώματος
θεωρείται απορρόφηση των σωματιδίων από το τοίχωμα και εκ
νέου εκπομπή τους
- Συνθήκες Cercignani-Lampis:
συντελεστής μετάδοσης ορμής και συντελεστής μετάδοσης
θερμότητας
- Γενικευμένη συνθήκη:
περικλείει τις συνθήκες Maxwell και Cecignani-Lampis

11. 2) για τη μοντελοποίηση του όρου των σωματιδιακών
συγκρούσεων
Ανάλογα με την εφαρμογή που εξετάζεται, οι τύποι των συγκρούσεων
αποκτούν διαφορετική σημασία.
↓
Μοντέλα:
 για ροές ενός συστατικού:
- Bhatnagar-Gross-Krook (BGK)
- Shakhov (S)
- Ελλειψοειδές μοντέλο (ΕS)
 μειγμάτων αερίων:
- Hamel
- McCormack

12. Για την επίλυση της εξίσωσης Boltzmann υπάρχουν πολλές
διαφορετικές προσεγγίσεις :
- Αναλυτικές:
μέθοδος των ροπών
των βασικών λύσεων
- Ημι-αναλυτικές:
μέθοδος των ολοκληρωτικών ροπών
- Αριθμητικές:
Διακριτών Ταχυτήτων(DVM)
Monte Carlo
Lattice Boltzmann

13. Μοντελοποίηση με BGK και επίλυση με
DVM:
 BGK:
- απλό μοντέλο δίνοντας σε πολλές περιπτώσεις ικανοποιητικά
αποτελέσματα
- αποδεικνύεται εύκολα ότι ικανοποιεί το δεύτερο θερμοδυναμικό αξίωμα
- δεν επιτρέπει τον ανεξάρτητο προσδιορισμό του ιξώδους και της
θερμικής διαχυτότητας
- ο αριθμός Prandtl είναι πάντα ίσος με τη μονάδα
 DVM:
- βασίζεται στην επιλογή ορισμένων διευθύνσεων και τιμών της
μικροσκοπικής ταχύτητας
- η ακρίβεια της επίλυσης εξαρτάται από το πλήθος των διευθύνσεων και
των ταχυτήτων
2
3
( )
2
2( )
( , *) ( )
2
B
m u
k Teq
loc
B
m
Q f f f f f n e
k T
ξ
ν ν
π
−
−
 
  ÷= − − = − −  ÷ ÷  ÷
 

14. Γραμμικοποίηση-Αδιαστατοποίηση εξίσωσης
Boltzmann:
 γραμμικοποιημένη εξίσωση Boltzmann:
 αδιάστατη εξίσωση Boltzmann:
 σχέση μεταξύ αριθμού Knudsen και δ:
→ Kn ≥ 102
: ελεύθερη μοριακή περιοχή
→ Kn ≤ 10-2
: συνεχές μέσο
→ 10-2
≤ Kn ≤ 102
:μεταβατική περιοχή
2
0 0
3
2 2B B
h h m m
u h
t r k T k T
ξ
ξ ν ρ ξ τ
  ∂ ∂
+ = + + − −  ÷
∂ ∂   
2 3
2
2
h h
c cu c h
t x
δ ρ τ
∂ ∂   
+ = + + − − ÷ ∂ ∂   
0
0 0
1
2 2
P L
Kn RT
π
δ
µ
= =

15. Ροή σε κοιλότητα (Cavity flow):
ροή που δημιουργείται μέσα σε κοιλότητα σε δύο ή σε
τρεις διαστάσεις, όταν η μία εκ των οποίων πλακών που
σχηματίζουν την κοιλότητα κινείται κάθετα προς τις
εφαπτόμενες σε αυτή πλάκες
Διαφοροποιήσεις:
- επίλυση στο δισδιάστατο χώρο επομένως οι διανυσματικές
μακροσκοπικές ιδιότητες έχουν δύο συνιστώσες μη μηδενικές
- παρατηρούνται σημαντικά φαινόμενα συμπιεστότητας συνεπώς
οι αποκλίσεις της πυκνότητας δεν μπορούν να θεωρηθούν
μηδενικές
- υπολογιστικά δεν είναι εφικτή η προβολή του προβλήματος στο
χώρο της ορμής ή στους χώρους της ορμής και της θερμορροής ,
μπορεί όμως να γίνει προβολή της τρίτης συνιστώσας της
μικροσκοπικής ταχύτητας

16. Ροή σε τριγωνική κοιλότητα:
Γεωμετρική διατύπωση προβλήματος
υδραυλική διάμετρος Dh:
αδιάστατες μεταβλητές:
4
h
A
D =
Γ
'
h
x
x
D
=
'
h
y
y
D
=
'
h
z
z
D
= 2
'
h
A
A
D
= '
hD
Γ
Γ=

17. Μαθηματικό μοντέλο
αδιάστατη κινητική εξίσωση:
Διαμόρφωση εξισώσεων με προβολή της τρίτης διάστασης
εξίσωση μεταφοράς :
συνάρτηση κατανομής:
[ ]2
h
c h cu
s
δ δ ρ
∂
+ = +
∂
2 2x y x x y yc c c u c u
x y
ϕ ϕ
δϕ δ ρ
∂ ∂
 + + = + + ∂ ∂
( ) ( ) 21
, , , , , , , zc
x y x y z zx y c c h x y c c c e dcϕ
π
∞
−
−∞
= ∫

18. Οριακές Συνθήκες:
Αριστερό τοίχωμα: Δεξί τοίχωμα:
ικανοποίηση της συνθήκης μη διείσδυσης:
Όπου:
Κινούμενη πλάκα:
1
2
x
πθ ϕ= − − 2 2
2 2
x
π π
θ ϕ ϕ θ
 
= − − = − − ÷
 
0u u= 0Τ = Τ
22
w hc e dµ
ρ µ θ
π
−
⊥= ∂∫
( )cosc c x⊥ =

19. Αντιμετώπιση των ασυνεχειών στις
οριακές συνθήκες:
ασυνέχειες: φυσικές ή τεχνητές
Αντιμετώπιση → διάσπαση του προβλήματος σε δύο υποπροβλήματα:
- εξίσωση μεταφοράς στο πολικό σύστημα συντεταγμένων:
- η ποσότητα φ χωρίζεται σε δύο κομμάτια:
- πρώτο υποπρόβλημα:
- προκύπτουσα λύση:
- δεύτερο υποπρόβλημα:
Dϕ δϕ δ+ = Ι
1 2ϕ ϕ ϕ= +
1 1 0Dϕ δϕ+ =
0
1 1( , , , )
s
x y e
δ
µ
ϕ µ θ ϕ
−
+
=
2 2Dϕ δϕ δ+ = Ι

20. Αριθμητικό σχήμα:
Ο διανυσματικός χώρος αποτελείται από:
• το χώρο των μοριακών ταχυτήτων (μ,θ):
• το φυσικό χώρο (x,y):
διακριτοποίηση διαιρώντας το πεδίο της ροής σε ίσα τριγωνικά μέρη
- σχεδιάζοντας τρεις ομάδες
παράλληλων γραμμών
- ισαπέχουσες
- κάθε ομάδα απ αυτές είναι
παράλληλη σε μία πλευρά
του τριγώνου
,
, ( , ) ( , )m n
m m n
d
x y u x y
ds
ϕ
µ δϕ δ+ = ,
1
( , ) m n m n
m n
u x y w w ϕ
π
= ∑ ∑

21. Η πρώτη παράγωγος ως προς s προσεγγίζεται μέσω ενός
σχήματος κεντρικών διαφορών δεύτερης τάξης
, , ,m n K m n N m n
m m
KNK
d
ds s
ϕ ϕ ϕ
µ µ
−
=
∆
,m n
m
d
ds
ϕ
µ

22. Ροή σε τραπεζοειδή κοιλότητα
Γεωμετρική διατύπωση προβλήματος
b / Β = 0 b / Β ≠ 0
1 21/ ( tan( )) 1/ ( tan( ))
2(1 ( / )
h hD D
B
b
ϕ ϕ+
=
− Β
1 2
1 ( / )
1/ ( tan( )) 1/ ( tan( ))h h
b
D D
υ
ϕ ϕ
− Β
= Β
+

23. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ δ = 10-3
, 10-2
,10-1
, 0.5 , 1, 1.5 , 2 , 4 , 5 , 10 , 20
φ = 30ο
, 45ο
, 60ο
,75ο
φ=30ο
δ= 10-3
δ=1
δ=10

24. φ=45ο
δ=10-3
δ=1
δ=10

25. φ=60ο
δ=10-3
δ=1
δ=10 δ=20

26. φ=75ο
δ=2 δ=4 δ=20

27. Διαγράμματα Ux-Y
φ=30ο
φ=45ο

28. φ=60ο
φ=75ο

29. Πίνακας ταχύτητας στο κέντρο της
κινούμενης πλάκας:
δ φ = 30 φ = 45 φ = 60 φ = 75
10-3
0.1924 0.2463 0.2939 0.3386
10-2
0.1949 0.2481 0.2952 0.3396
10-1
0.2187 0.2654 0.3082 0.3495
0,5 0.3062 0.3118 0.3596 0.3898
1 0.3870 0.3978 0.4133 0.4334
1,5 0.4225 0.4526 0.4586 0.4700
2 0.5008 0.4962 0.4968 0.5027
4 0.6245 0.6144 0.6058 0.6006
5 0.6637 0.6535 0.6435 0.6358
10 0.7723 0.7641 0.7538 0.7421
20 0.8511 0.8430 0.8390 0.8208

30. Πίνακας οπισθέλκουσας:
δ φ = 30 φ = 45 φ = 60 φ = 75
10-3
0.8045 0.7843 0.7524 0.7127
10-2
0.8039 0.7836 0.7518 0.7122
10-1
0.7973 0.7764 0.7453 0.7065
0,5 0.7683 0.7470 0.7186 0.6830
1 0.7350 0.7149 0.6894 0.6570
1,5 0.7027 0.6863 0.6644 0.6366
2 0.6757 0.6608 0.6413 0.6160
4 0.5908 0.5710 0.5668 0.5489
5 0.5582 0.5485 0.5374 0.5220
10 0.4483 0.4414 0.4354 0.4277
20 0.3381 0.3381 0.3360 0.3347

31. φ=60ο
Β/b= 0.25:
δ=10-3
δ=1 δ=10
φ=60ο
Β/b= 0.50:
δ=10-3
δ=1 δ=10

32. φ=60ο
Β/b=0.5:
δ=10-3
δ=10-1
δ=1

33. φ=75ο
: Β/b=0.5:
δ=10-3
δ=1
δ=10

34. Πίνακας οπισθέλκουσας:
Β/b=0.25 0.50 0.75 0.50
δ φ=60 60 60 75
10-3
0.7527 0.7596 0.7796 0.7142
10-2
0.7521 0.7589 0.7789 0.7137
10-1
0.7457 0.7519 0.7717 0.7082
0.5 0.7196 0.7232 0.7401 0.6856
1 0.6909 0.6916 0.7041 0.6606
2 0.6438 0.6402 0.6455 0.6211
4 0.5702 0.5614 0.5571 0.5559
5 0.5409 0.5307 0.5235 0.5297
10 0.4393 0.4262 0.4131 0.4364
20 0.3389 0.3270 0.3155 0.3425

35. Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας!!!