偏光を取得できるカメラで円偏光と位相遅延をどう考えるかについてまとめました。

1. カメラでの偏光取得における円偏光と位相遅延の考え方
Teppei Kurita

2. 偏光を取得できるカメラ
• 最近続々と登場
• 物体の偏光状態を解析できる、偏光度など
Sony XCG-CP510
https://www.sony.co.jp/Produc
ts/ISP/products/model/pc/XC
G-CP510.html
LUCID VP-PHX050S-P/Q
http://www.viewplus.co.jp/product_luc
id/1_index_detail.html
ただ観測される信号値において、円偏光や位相遅延の影響に言及している解説がない

3. 円偏光
• 光の振動が円のように伝わる偏光
• [円偏光、直線偏光] ∈ 楕円偏光
円偏光 直線偏光 楕円偏光
偏光 – Wikipedia https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%8F%E5%85%89

4. 円偏光
• 円偏光は、楕円偏光のなかでX,Y成分が等しく位相差が半周期ずれている特殊型である
• 円偏光を特に使っていると言及されている場合は、実際に円偏光かどうかに関わらずその回転の向きを利用
しているということが多い
右回り円偏光 左回り円偏光

5. 位相遅延（回転方向）
• 偏光の回転方向は偏光成分x,yの位相差によって決まる
http://www.cybernet.co.jp/optical/course/optics/opt06/opt03.html
x成分がy成分に対し
進んでいる場合
＝右回り
x成分がy成分に対し
遅れている場合
＝左回り

6. 位相遅延（回転方向）
• 偏光は回転成分を保持している場合、物体で反射すると回転軸が反転する（位相遅延する）ことがある
• 材料特性（誘電体/金属）によってその反転度合いが変わってくる
• 後で詳しく述べる

7. 脱線
• オリオン大星雲において巨大な円偏光が観測された
• なぜこのような円偏光が生まれたのかは未だ解明されていない
黄：左回り円偏光
赤：右回り円偏光
http://www.nao.ac.jp/releaselist/archive/20100406/result.html

8. ストークスベクトルを用いた偏光状態遷移
http://www.chem.sci.osaka-u.ac.jp/lab/tsukahara/takechi/background02.html
𝒔 = 𝑠0 𝑠1 𝑠2 𝑠3
𝑇
𝑠0 ：光強度
𝑠1 ：水平直線優越偏光成分 (0[deg]-90[deg] 成分)
𝑠2 ：45[deg]直線優越偏光成分 (45[deg]-135[deg] 成分)
𝑠3 ：右向き円優越偏光成分 (右円-左円成分)
𝐬′ = 𝐂 𝜙 𝐃 𝛿; 𝐧 𝐑 𝜃; 𝐧 𝐂 −𝜙 𝐬
１．入力光のストークスベクトル
２．鏡面反射でのストークスベクトルの遷移

9. ストークスベクトルのイメージ
• 幾何学的に描く（直線偏光の場合）
θ
45°優勢(𝐴45)135°優勢(𝐴135)
0°優勢(𝐴0)
90°優勢(𝐴90)
cosθ
sinθ
cos(45-θ)
sin(45-θ)
直線偏光
（強度s0=1とする）
𝑠1 = 𝐴0
2
− 𝐴90
2
𝑠2 = 𝐴45
2
− 𝐴135
2
𝑠1 = cos2
𝜃 − sin2
𝜃 = 2 cos2
𝜃 − 1 = cos 2𝜃
𝑠2 = cos2
(45° − 𝜃) − sin2
45° − 𝜃 = 2 cos2
45° − 𝜃 − 1
= cos 90° − 2𝜃 = cos 90° cos 2𝜃 + sin 90° sin 2𝜃 = sin 2𝜃
無偏光の場合
𝑠0 > 𝑠1
2
+ 𝑠2
2
+ 𝑠3
2
= 0
直線偏光の場合
𝑠0 = 𝑠1
2
+ 𝑠2
2
𝑠3 = 0
楕円偏光の場合
𝑠0 = 𝑠1
2
+ 𝑠2
2
+ 𝑠3
2
円偏光の場合
𝑠0 = 𝑠3
𝑠1, 𝑠2 = 0
𝒔 = 𝑠0 𝑠1 𝑠2 𝑠3
𝑇
𝑠0 ：光強度
𝑠1 ：水平直線優越偏光成分 (0[deg]-90[deg] 成分)
𝑠2 ：45[deg]直線優越偏光成分 (45[deg]-135[deg] 成分)
𝑠3 ：右向き円優越偏光成分 (右円-左円成分)

10. 鏡面反射モデル式
• 鏡面反射のモデル式
𝐬′ = 𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
ストークスベクトルsは以下のMueller行列によって線形変換される
𝐂(𝜙)：回転行列
𝐑(𝜃; 𝑛)：反射行列
𝐃 𝛿 ：遅延行列（更に要素を分解すると𝐃 𝜃; 𝑛; 𝜔 となる）
各行列の要素は以下を内部パラメータとする関数から構成される
θ：入射角（天頂角）
𝜙：方位角
𝑛：相対屈折率
δ：位相遅延（「入射角𝜃」と「相対屈折率𝑛から決まるブリュースター角𝜃 𝐵」
および「物質特性𝜔（誘電体/金属）」から決定される）
s’
𝐬 = 𝑠0 𝑠1 𝑠2 𝑠3
𝑇

11. MUELLER行列
• 各Mueller行列の中身
𝐂(𝜙) =
1 0
0 cos 2𝜙
0 0
− sin 2𝜙 0
0 sin 2𝜙
0 0
cos 2𝜙 0
0 1
回転行列 反射行列
𝐑(𝜃; 𝑛) =
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
2
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
2
0 0
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
2
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
2
0 0
0 0 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 0
0 0 0 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
遅延行列
𝐃(𝛿) =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos 𝛿 sin 𝛿
0 0 − sin 𝛿 cos 𝛿
誘電体
𝛿 = 0° (𝜃 ≤ 𝜃 𝐵)
𝛿 = 180° (𝜃 > 𝜃 𝐵)
金属
𝛿 = 180° − 𝜃
𝜃 𝐵 = arctan 𝑛
𝑅 𝑝 =
𝑛2 cos 𝜃− 𝑛2−sin2 𝜃
𝑛2 cos 𝜃+ 𝑛2−sin2 𝜃
2
𝑅 𝑠 =
cos 𝜃− 𝑛2−sin2 𝜃
cos 𝜃+ 𝑛2−sin2 𝜃
2

12. 鏡面反射計算
• 一般解
𝐬′
= 𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
𝐂 −𝜙 𝐬 =
1 0
0 cos 2𝜙
0 0
sin 2𝜙 0
0 − sin 2𝜙
0 0
cos 2𝜙 0
0 1
𝑠0
𝑠1
𝑠2
𝑠3
=
𝑠0
𝑠1 cos 2𝜙 + 𝑠2 sin 2𝜙
−𝑠1 sin 2𝜙 + 𝑠2 cos 2𝜙
𝑠3

13. 鏡面反射計算
• 一般解
𝐬′
= 𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬 =
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
0 0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
0 0
0 0 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 0
0 0 0 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
𝑠0
𝑠1 cos 2𝜙 + 𝑠2 sin 2𝜙
−𝑠1 sin 2𝜙 + 𝑠2 cos 2𝜙
𝑠3
=
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
−𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 + 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙
𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠

14. 鏡面反射計算
• 一般解
𝐬′
= 𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos 𝛿 sin 𝛿
0 0 − sin 𝛿 cos 𝛿
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
−𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 + 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙
𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
=
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
−𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 𝛿
𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿 − 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿

15. 鏡面反射計算
• 一般解
𝐬′
= 𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬 =
1 0
0 cos 2𝜙
0 0
− sin 2𝜙 0
0 sin 2𝜙
0 0
cos 2𝜙 0
0 1
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
−𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 𝛿
𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿 − 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿
=
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 − 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿
𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿 − 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿

16. 鏡面反射による偏光状態一般解
• 鏡面反射による偏光状態変化の一般解は以下で表される
𝐬′
= 𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
𝒔 = 𝑠0 𝑠1 𝑠2 𝑠3
𝑇
s’
この式が重要
𝐬′ =
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 − 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿
𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿 − 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿
楕円偏光が入射する場合、s0～s4の項が全て残る

17. 鏡面反射による偏光状態一般解
• 無偏光の光が特定の物体で反射したとき、
𝑠0 = 1
𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 = 0
𝒔 = 1 0 0 0 𝑇
s’
𝐬′ =
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 − 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿
𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿 − 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿

18. 鏡面反射による偏光状態一般解
• 無偏光の光が特定の物体で反射したとき、
𝑠0 = 1
𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 = 0
𝒔 = 1 0 0 0 𝑇
s’
𝐬′ =
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
0
無偏光の光が特定の物体で反射したとき、
１．天頂角/屈折率によって偏光の強度が変わる
２．天頂角/方位角/屈折率によって偏光角度が変わる
３．偏光の回転方向（位相差）への影響は０である

19. 鏡面反射による偏光状態一般解
• 0°優勢の直線偏光が特定の物体で反射したとき、
𝑠0, 𝑠1 = 1
𝑠2, 𝑠3 = 0
𝒔 = 1 1 0 0 𝑇
s’
𝐬′ =
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 − 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿
𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿 − 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿

20. 鏡面反射による偏光状態一般解
• 0°優勢の直線偏光が特定の物体で反射したとき、
𝑠0, 𝑠1 = 1
𝑠2, 𝑠3 = 0
𝒔 = 1 1 0 0 𝑇
s’
𝐬′ =
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin2
2𝜙 cos 𝛿
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 +
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿
0°の光が特定の物体で反射したとき、
１．天頂角/方位角/屈折率によって偏光の強度が変わる
２．天頂角/方位角/屈折率/位相遅延によって偏光角度が変わる
３．天頂角/方位角/屈折率/位相遅延によって偏光の回転方向（位相差）が変わる
誘電体の場合は位相差0となり直線偏光のままになる

21. 鏡面反射による偏光状態一般解
𝑠0, 𝑠3 = 1
𝑠1, 𝑠2 = 0
𝒔 = 1 0 0 1 𝑇
s’
𝐬′ =
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 − 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿
𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿 − 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿
• 円偏光（右向き）が特定の物体で反射したとき、

22. 鏡面反射による偏光状態一般解
• 円偏光（右向き）が特定の物体で反射したとき、
𝑠0, 𝑠3 = 1
𝑠1, 𝑠2 = 0
𝒔 = 1 0 0 1 𝑇
s’
𝐬′ =
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 − 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿
0°の光が特定の物体で反射したとき、
１．天頂角/屈折率によって偏光の強度が変わる
２．天頂角/方位角/屈折率/位相遅延によって偏光角度が変わる
３．天頂角/屈折率/位相遅延よって偏光の回転方向（位相差）が変わる

23. まとめ
光が特定の物体で反射したとき、偏光状態は以下の要素に依存して変化する
入射光 無偏光 直線偏光 楕円偏光 円偏光
光強度 𝜃、𝑛 𝜃、𝜙、𝑛 𝜃、𝜙、𝑛 𝜃、𝑛
偏光角度 𝜃、𝜙、𝑛 𝜃、𝜙、𝑛、𝜔 𝜃、𝜙、𝑛、𝜔 𝜃、𝜙、𝑛、𝜔
回転方向（位相差） 変化なし 𝜃、𝜙、𝑛、𝜔 𝜃、𝜙、𝑛、𝜔 𝜃、𝑛、𝜔
θ：入射角（天頂角）
𝜙：方位角
𝑛 ：相対屈折率
𝜔：物質特性（誘電体/金属）
直線偏光になる 楕円偏光になる直線偏光（誘電体）
楕円偏光（金属）
になる

24. 偏光板を通したときのセンサ観測
• 直線偏光板を通ったときのベクトルの変化
𝐬 = 𝑠0 𝑠1 𝑠2 𝑠3
𝑇
s’
直線偏光板M
直線偏光板のMueller行列
𝑀 𝜃 𝑝𝑜𝑙 =
1
2
1 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 0
cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 cos2
2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 0
sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin2
2𝜃 𝑝𝑜𝑙 0
0 0 0 0
𝐬′ = 𝐌(𝜃pol)𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
𝜃 𝑝𝑜𝑙：直線偏光板の角度

25. 偏光板を通したときのセンサ観測
• 直線偏光板を通ったときのベクトルの変化
𝐬′ = 𝐌(𝜃pol)𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
𝐬′ =
1
2
1 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 0
cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 cos2 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 0
sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin2 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 0
0 0 0 0
𝑠0
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
+ 𝑠1
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
cos2 2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin2 2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 − 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿
𝑠0
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 + 𝑠1
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜙 cos 2𝜙 + 𝑠2
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
2
sin2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos2
2𝜙 cos 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿
𝑠1 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜙 sin 𝛿 − 𝑠2 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜙 sin 𝛿 + 𝑠3 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿

26. 偏光板を通したときのセンサ観測
𝑠0
′
=
𝑠0
2
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
2
+
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
2
cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
2
sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜙
+
𝑠1
2
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
2
cos2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin2
2𝜙 cos 𝛿 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜙 cos 2𝜙
+
𝑠2
2
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 𝛿 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜙 cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
2
sin2
2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos2
2𝜙 cos 𝛿 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙
+
𝑠3
2
− 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 sin 2𝜙 + 𝑅 𝑝 𝑅 𝑠 sin 2𝜃 𝑝𝑜𝑙 cos 2𝜙 sin 𝛿

27. 偏光板を通したときのセンサ観測
• 直線偏光板を通ったときのベクトルの変化
𝐬′ =
𝑠0′
𝑠0′cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙
𝑠0′cos 2𝜃 𝑝𝑜𝑙
0
𝐬′ = 𝐌(𝜃pol)𝐂 𝜙 𝐃 𝛿 𝐑 𝜃; 𝑛 𝐂 −𝜙 𝐬
𝑠0
′
=
𝑠0
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
+
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠1
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 −
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠2
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
sin 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
sin 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 +
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠3
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 sin 𝛿
𝑠0′が最終的にセンサが観測可能な信号値である

28. 偏光板を通したときのセンサ観測
• 無偏光の光の場合
• 𝑠0 = 1
• 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3 = 0 𝑠0
′
=
𝑠0
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
+
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠1
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 −
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠2
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
sin 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
sin 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 +
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠3
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 sin 𝛿
𝑠0
′
=
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
4
+
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
4
cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
よくある鏡面反射のモデル式になる

29. 偏光板を通したときのセンサ観測
• 0°優勢の直線偏光の場合
• 𝑠0, 𝑠1 = 1
• 𝑠2, 𝑠3 = 0 𝑠0
′
=
𝑠0
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
+
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠1
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 −
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠2
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
sin 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
sin 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 +
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠3
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 sin 𝛿
𝑠0
′
=
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
4
+
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
4
cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 +
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 −
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙

30. 偏光板を通したときのセンサ観測
• 右回り円偏光の場合
• 𝑠0, 𝑠3 = 1
• 𝑠1, 𝑠2 = 0 𝑠0
′
=
𝑠0
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
+
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠1
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
cos 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 −
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠2
𝑅 𝑝−𝑅 𝑠
4
sin 2𝜙 +
𝑅 𝑝+𝑅 𝑠
4
sin 2𝜙 cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 +
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
cos 2𝜙 cos 𝛿 sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙
+𝑠3
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 sin 𝛿
𝑠0
′
=
𝑅 𝑝 + 𝑅 𝑠
4
+
𝑅 𝑝 − 𝑅 𝑠
4
cos 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 +
𝑅 𝑝 𝑅 𝑠
2
sin 2 𝜃 𝑝𝑜𝑙 − 𝜙 sin 𝛿

31. まとめ
• 光が特定の物体で反射して、直線偏光板を通したセンサで観測されたとき、信号値は以下の要素に依存して変化する
入射光 無偏光 直線偏光 楕円偏光 円偏光
光強度 𝜃 𝑝𝑜𝑙、𝜃、𝜙、𝑛 𝜃 𝑝𝑜𝑙、𝜃、𝜙、𝑛、𝜔 𝜃 𝑝𝑜𝑙、𝜃、𝜙、𝑛、𝜔 𝜃 𝑝𝑜𝑙、𝜃、𝜙、𝑛、𝜔
𝜃 𝑝𝑜𝑙：直線偏光板角度
θ：天頂角（入射角）
𝜙：方位角
𝑛 ：相対屈折率
𝜔：物質特性（誘電体/金属）
つまり「無偏光の光」を前提したとき「のみ」物体の物質特性による位相遅延を無視して良くなる
→ 無偏光以外の光が物体に照射している可能性があるときは、観測される信号値に位相遅延の影響があ
ると考えた方が良い