Δυναμικός Προγραμματισμός - Ο σάκος του ληστή

korfiati.an@gmail.com
Δυναμικός Προγραμματισμός
Ο σάκος του ληστή
The knapsack problem
Παραπομπή: Αλγόριθμοι – Dasgupta, Papadimitriou, Vazirani
Εκδόσεις Κλειδάριθμος
https://www.facebook.com/math.tutor.ak 69 74 12 97 30
Άννα Κορφιάτη

Knapsack Το πρόβλημαΔυναμικός Προγραμματισμός
Κατά τη διάρκεια μιας κλοπής, ένας διαρρήκτης βρίσκει περισσότερα λάφυρα από όσα περίμενε και
πρέπει να αποφασίσει τι θα πάρει.
Η τσάντα του μπορεί να μεταφέρει συνολικό βάρος μέχρι 𝑊 κιλά.
Υπάρχουν 𝑛 είδη με βάρη 𝑤1, 𝑤2, … 𝑤 𝑛 και χρηματική αξία 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣 𝑛.
Ποιος είναι ο πλέον πολύτιμος συνδυασμός που μπορεί να τοποθετήσει στην τσάντα του;
Παράδειγμα έστω 𝑊 = 10 και
Είδος Βάρος Τιμή
1 6 30
2 3 14
3 4 16
4 2 9
korfiati.an@gmail.comhttps://www.facebook.com/math.tutor.ak 69 74 12 97 30

 Σακίδιο με επανάληψη
Αν υπάρχουν διαθέσιμες απεριόριστες ποσότητες
από κάθε είδος, η βέλτιστη λύση είναι να διαλέξουμε
το είδος 1 και δύο τεμάχια από το είδος 4 (σύνολο 48)
 Σακίδιο χωρίς επανάληψη
Αν υπάρχει μόνο ένα στοιχείο ανά είδος, τότε το
βέλτιστο σακίδιο περιέχει τα είδη 1 και 3 (σύνολο 46)
1 6 30
2 3 14
3 4 16
4 2 9
Knapsack Το πρόβλημαΔυναμικός Προγραμματισμός

𝛫 𝑤 = η μέγιστη τιμή που επιτυγχάνεται με σακίδιο χωρητικότητας 𝑤.
𝐾 0 = 0
𝑤 = 1 𝑤 = 6
𝑤 = 2 𝑤 = 7
𝑤 = 3 𝑤 = 8
𝑤 = 4 𝑤 = 9
𝑤 = 5 𝑤 = 10
1 6 30
2 3 14
3 4 16
4 2 9
Knapsack α. Σακίδιο με επανάληψηΔυναμικός Προγραμματισμός

𝑤 = 1 𝐾 1 = 0 𝑤 = 6
𝑤 = 2 𝐾 2 = 9 𝑤 = 7
𝑤 = 3 𝐾 3 = 14 𝑤 = 8
𝑤 = 4 𝐾 4 = 18 𝑤 = 9
𝑤 = 5 𝑲 𝟓 = 𝟐𝟑 𝑤 = 10
Ειδικά για το 𝚱 𝟓
Έχουμε διαθέσιμο βάρος 5 kg.
 Το είδος 1 δεν μπορούμε να το πάρουμε
 Αν πάρουμε το είδος 2 τότε μένουν 5-3=2 kg
διαθέσιμα. Γνωρίζουμε όμως ήδη την βέλτιστη
λύση με 2 kg διαθέσιμα. Άρα μια επιλογή
είναι να πάρουμε το 𝐾[2] συν την αξία του
είδους 2 δηλαδή 14. Άρα έχουμε 23
 Αν πάρουμε το είδος 3 τότε μένουν 5-3=1kg.
Γνωρίζουμε όμως την βέλτιστη λύση με 1 kg
διαθέσιμο. Έχουμε δηλαδή 𝐾 1 + 16 = 𝟏𝟔
 Αν πάρουμε το είδος 4 έχουμε 5-2=3 kg
διαθέσιμο. Δηλαδή σε αυτή την περίπτωση
παίρνουμε το βέλτιστο σακίδιο με 3 kg συν την
αξία του είδους 4. Άρα έχουμε 𝐾 3 + 9 = 𝟐𝟑
1 6 30
2 3 14
3 4 16
4 2 9
𝐾 0 = 0

𝑤 = 1 𝐾 1 = 0 𝑤 = 6 𝑲 𝟔 = 𝟑𝟎
𝑤 = 2 𝐾 2 = 9 𝑤 = 7
𝑤 = 3 𝐾 3 = 14 𝑤 = 8
𝑤 = 4 𝐾 4 = 18 𝑤 = 9
𝑤 = 5 𝐾 5 = 23 𝑤 = 10
Ειδικά για το 𝚱 𝟔
Έχουμε διαθέσιμο βάρος 6 kg.
 Αν πάρουμε το είδος 1, τότε μένουν 6-6 = 0
κιλά να γεμίσουν με τον βέλτιστο τρόπο.
Έχουμε Κ 0 + 30 = 𝟑𝟎
 Αν πάρουμε το είδος 2,τότε μένουν 6-3 = 3
Έχουμε Κ 3 + 14 = 𝟐𝟖
Έχουμε Κ 2 + 16 = 𝟐𝟓
Έχουμε Κ 4 + 9 = 𝟐𝟕
1 6 30
2 3 14
3 4 16
4 2 9
𝐾 0 = 0

Τελικά:
𝐾 0 = 0
Για το 𝛫 𝑤 εκτελούμε την εξής διαδικασία.
Κοιτάζουμε ένα ένα τα αντικείμενα 𝑖 = 1, … 𝑛 .
Αν πάρουμε το αντικείμενο 𝑖 τότε κερδίζουμε την αξία του 𝑣𝑖 και μας
μένει χώρος 𝑤 − 𝑤𝑖, ο οποίος πρέπει να γεμίσει με τον βέλτιστο τρόπο.
Δηλαδή αναζητούμε την καλύτερη λύση ανάμεσα στις 𝐾 𝑤 − 𝑤𝑖 + 𝑣𝑖
Επομένως 𝐾 𝑤 = max 𝐾 𝑤 − 𝑤𝑖 + 𝑣𝑖, ∀𝑖: 𝑤𝑖 ≤ 𝑤
Ο αλγόριθμος
K[0]=0
for w=1 to W
K[w]=max{K[w-wi]+vi:
wi≤w}
return K[W]
Πολυπλοκότητα
Ο αλγόριθμος συμπληρώνει ένα
διάνυσμα μήκους W+1 από τα
αριστερά προς τα δεξιά. Για
κάθε υπολογισμό μπορεί να
χρειαστεί χρόνος Ο(n).
Άρα ο συνολικός χρόνος είναι
O(nW)

 Στην παραλλαγή όπου δεν επιτρέπεται η επανάληψη, τα υποπροβλήματα που χρησιμοποιήσαμε
πριν(στο σακίδιο με επανάληψη), μας είναι άχρηστα, διότι, ακόμα κι αν γνωρίζουμε ότι η τιμή
𝐾 𝑤 − 𝑤𝑖 είναι υψηλή, δεν είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε αν το αντικείμενο 𝑖 έχει χρησιμοποιηθεί
προηγουμένως .
 Επομένως πρέπει να βελτιώσουμε την έννοια του υποπροβλήματος, ώστε να μεταφέρει πληροφορία
σχετικά με τα είδη που έχουν χρησιμοποιηθεί.
 Προσθέτουμε λοιπόν μια δεύτερη παράμετρο 𝑗: 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
 Ορίζουμε 𝑲 𝒘, 𝒋 = η μέγιστη τιμή που επιτυγχάνεται με διαθέσιμο χώρο 𝒘 και με τα είδη 𝟏, 𝟐, . . , 𝒋.
 Η βέλτιστη λύση θα είναι η 𝐾 𝑊, 𝑛
Knapsack β. Σακίδιο χωρίς επανάληψηΔυναμικός Προγραμματισμός

𝛫 𝑤, 𝑗 = max 𝐾 𝑤 − 𝑤𝑗, 𝑗 − 1 + 𝑣𝑗, 𝐾[𝑤, 𝑗 − 1]
Παράδειγμα έστω 𝑊 = 4
Για το 𝛫 𝑤, 𝑗 εκτελούμε την εξής διαδικασία.
 Αν επιλέξουμε το αντικείμενο 𝒋 μας μένει χώρος 𝑤 − 𝑤𝑗. Άρα
θέλουμε τον καλύτερο τρόπο να γεμίσουμε χώρο 𝑤 − 𝑤𝑗 με τα
προηγούμενα 1, … , 𝑗 − 1 αντικείμενα. Επίσης κερδίζουμε την αξία
του 𝑣𝑗. Άρα έχουμε το 𝐾 𝑤 − 𝑤𝑖, 𝑗 − 1 + 𝑣𝑗
 Αν δεν επιλέξουμε το αντικείμενο 𝒋 μας μένει χώρος 𝑤 και
ψάχνουμε τον καλύτερο τρόπο να γεμίσουμε χώρο 𝑤 με τα
προηγούμενα 1, … , 𝑗 − 1 αντικείμενα. Άρα έχουμε το 𝐾 𝑤, 𝑗 − 1
𝐾 𝑤, 𝑗 = η μέγιστη τιμή που επιτυγχάνεται με διαθέσιμο
χώρο 𝑤 και με τα είδη 1,2, . . , 𝑗.Είδος Βάρος Τιμή
1 1 2
2 1 1
3 2 5
4 3 7
𝑤 = 0 𝑤 = 1 𝑤 = 2 𝑤 = 3 𝑤 = 4
𝑗 = 0 0 0 0 0 0
𝑗 = 1 0
𝑗 = 2 0
𝑗 = 3 0
𝑗 = 4 0

𝐾 𝑤, 𝑗 = η μέγιστη τιμή που επιτυγχάνεται με διαθέσιμο
χώρο 𝑤 και με τα είδη 1,2, . . , 𝑗.
𝛫 𝑤, 𝑗 = max 𝐾 𝑤 − 𝑤𝑗, 𝑗 − 1 + 𝑣𝑗, 𝐾[𝑤, 𝑗 − 1]
Ο αλγόριθμος
Αρχικοποίηση των Κ[0,j] και των K[w,0]
for j=1 to n
for w=1 to W
if 𝑤𝑗 > 𝑤 K[w,j]=K[w,j-1]
else 𝛫 𝑤, 𝑗 = max 𝐾 𝑤 − 𝑤𝑗, 𝑗 − 1 + 𝑣𝑗, 𝐾[𝑤, 𝑗 − 1]
return K(W,n)
Πολυπλοκότητα
Ο αλγόριθμος συμπληρώνει έναν
διδιάστατο πίνακα με W+1 γραμμές
και n+1 στήλες.
Κάθε καταχώρηση στον πίνακα
χρειάζεται σταθερό χρόνο.
Ο χρόνος εκτέλεσής θα είναι
Ο(nW)

korfiati.an@gmail.com
https://www.facebook.com/math.tutor.ak
69 74 12 97 30

Δυναμικός Προγραμματισμός - Ο σάκος του ληστή

Recommended

Recommended

More Related Content

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Featured

Featured (20)

Δυναμικός Προγραμματισμός - Ο σάκος του ληστή