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Uploaded by鍾誠 陳鍾誠
對程式人有用的《幾何學》
本文探讨了几何学从古至今的发展，强调了笛卡尔的解析几何对现代数学及程序设计的影响，尤其是在建模和可视化中的重要性。作者指出，程序员在使用几何概念时通常并不知道其背后的数学原理，并通过高维空间和张量的引入，阐述了这些概念在深度学习中的应用。最后，文章提及非欧几何和其在广义相对论中的重要性，预示了一种新的几何学理解方式。
對程式人有用的《幾何學》
- 1. 幾何學 陳鍾誠 金門大學資訊工程系 2018 年 6月 20 日 程式人十分鐘系列程式人十分鐘系列 本文衍生自維基百科 對程式人有用的
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- 8. 1637 年 ● 笛卡兒在《方法論》的附錄中提出了 《解析幾何》的基本方法。 ●以哲學觀點寫成的這部法語著作為後來 牛頓和萊布尼茨各自提出微積分學提供 了基礎。
- 9. 問題是 ● 甚麼是《歐氏幾何》 ? ●甚麼又是《解析幾何》呢？
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- 13. 笛卡兒引入的座標 ● 看來只是一小步 … ●但對學術世界卻有強大的影響
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- 21. 程式的基本型態當中 ● 除了字元字串之外 ● 其他幾乎都是數值 ●像是《浮點數》與《整數》 ...
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- 27. 這些方法 ● 不管是在 1維、 2 維、 3 維、 4 維 還是更高維空間，都是管用的
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- 33. 平移、縮放、旋轉三種運算 ● 形成的變換屬於仿射變換 (affine transformation) ●因此是仿射幾何學的特例 ...
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- 35. 如果把旋轉運算放到三維空間 ● 就可以得到針對不同軸心的三種旋轉運算 對 x軸旋轉 對 y 軸旋轉 對 z 軸旋轉
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- 44. 首先讓我們看看非歐幾何 ● 這是一切《非歐氏幾何》的幾何學總稱 ● 包含 –羅氏幾何（雙曲幾何） – 黎曼幾何（橢圓幾何）
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- 48. 後來在 1820 年代 ●羅巴切夫斯基想透過把《平行公設》反 過來，用矛盾證法證明平行公設是必要 的 …
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- 54. 1905 年提出狹義相對論之後 ● 愛因斯坦還不覺得非歐幾何有甚麼重要性 ●甚至在愛因斯坦的數學老《明可夫斯基》 用非歐幾何把相對論系統化之後，愛因斯 坦還是不覺得這些數學有甚麼重要性 ...
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- 56. 狹義相對論的兩大結論 ● 在相對速度很快的等速座標系中，會有： – 尺縮 –鐘慢 的效果 ...
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- 61. 特別是深度學習領域 ● 像是 Google的 tensorflow 深度 學習套件 ● 之所以取名 tensorflow 的原因就是 《張量流》 =(tensor + flow)
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- 63. 因為只要用高維的微分運算 ● 計算梯度後往反梯度方向走 ● 就可以減少損失函數(loss function) 的能量值，最後找到區域能量最低點 ( 錯誤率最低 )
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- 66. 我只看到丘成桐 ● 曾經對此下過一番功夫，請參考 – 虛構的對抗，GAN with the wind http://toments.com/169071/
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- 73. 但是當我想到 ● 高維向量 (x,y,z,w)的表示法，用來 表達《四維三角錐》與《四維立方體》 的方法後 ● 我想我應該理解了何謂《四維多面體》 了 ...
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- 75. 首先讓我們看看 ● 二維三角形的座標 (x,y)=(0,0), (1,0),(0,1) 是三角形的頂點 這三個點形成一個二維三角形 0,0 1,0 0,1
- 76. 擴充到三維空間 ● 我們就得到三角錐 (x,y,z)=(0,0,0), (1,0,0) ,(0,1,0), (0,0,1) 是三角錐的頂點 這四個點形成一個三維三角錐 0,0,0 1,0,0 0,1,0 0,0,1
- 77. 繼續擴充到四維空間 ● 我們就得到四維三角錐 (x,y,z,w)=(0,0,0,0), (1,0,0,0) ,(0,1,0,0), (0,0,1,0) , (0,0,0,1) 是四維三角錐的頂點 這五個點形成一個四維三角錐 但問題是、這該怎麼畫？ 我們看得懂在《二維平面畫的三維座標》 是因為我們活在三維世界裡，有立體的想像力！ 但我們沒在四維空間裏活過，如何能想像四維三角錐呢？
- 78. 辦法不難、我們可以想像第四維 ● 四維三角錐的頂點座標是： (x,y,z,w)=(0,0,0,0), (1,0,0,0) ,(0,1,0,0), (0,0,1,0) , (0,0,0,1) 我們伸出第四維度， 在 (0,0,0,1) 上加一點 這一點和其他三點都有連線 而且第四維和其他三維 都是互相垂直的 … ( 這只能想像，在平面上畫不出來的 ) 0,0,0,0 1,0,0,0 0,1,0,0 0,0,1,0 0,0,0,1
- 79. 同樣的 ● 在二維空間有《正方形》，其頂點有四個： – (0,0)(0,1)(1,0)(1,1) ●在三維空間有《正方體》，其頂點有八個： – (0,0,0)(0,0,1)(0,1,0)(0,1,1) – (1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1) ● 在四維空間就會有《四維正方體》，其頂點有 16 個： – 凡是 (a,b,c,d) 其中 a,b,c,d 可取 0,1 的所有組合均 為此《四維正方體》的頂點
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- 81. 建議各位程式人 ● 可以仔細看看下列影片： 【木鱼微剧场】你见过四维物体吗？ 《维度：数学漫步》 ● 然後想想裡面那些奇形怪狀的多面體，到 底代表甚麼意思... https://www.youtube.com/watch?v=mw8-6SabBlE
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- 85. 也會有類似非歐幾何 ● 像是羅氏幾何 (雙曲幾何 ) 、黎曼幾何 ( 橢 圓幾何 ) 這樣的幾何學！ ● 這應該就是《微分幾何》的起點了 ...
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- 87. 只是重力場方程 ● 是一個張量方程式 ● 其實該說是方程組 希臘字母µ 和 ν 是標號 每個都可以取 0 1 2 3 的值 代表 t, x, y, z 軸 (t 為時間，原本該有 16 個方程 但由於是對稱的，所以剩下 10 個 ) …. http://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d402/40202.pdf
- 88. 由於 0,1,2,3 對應到t,x,y,z ● 所以 R01 代表 t,x 的 R(t,x)
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- 90. 不過就前面的解析 ● 高維的幾何學倒是沒那麼難懂 ● 只要用高維向量表達《座標》 ●那程式人就可以相對容易的想像 這類幾何學的性質了 ...
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- 92. 舉例而言 ● 假如在某點旁邊有一條斜斜的小溝，只有這條溝會向下走 (我們 想下山，所以其實是下山演算法 ) ● 但是爬山演算法要剛好 選到小溝方向的機率 很低，於是可能試了 幾百次都沒選到該方向 結果就被困住了 … ● 若維度愈高，就愈難選到 小溝，結果是明明有路卻怎麼都過不去！ 這方面梯度下降法就比爬山演算法好一些 ( 但梯度下降法的條件是要連續可微 ) 點 溝
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