1. บทที่ 1
------------------------------------- ระบบเลขฐาน (Number System)
หัวขอสําคัญ
1. ระบบตัวเลข
2. ระบบตัวเลขฐานสิบ
3. ระบบเลขฐานสอง
4. ระบบเลขฐานแปด
5. ระบบเลขฐานสิบหก
6. แบบฝกหัด
1.1 ระบบตัวเลข (Number Systems)
ระบบตัวเลขทางพีชคณิตที่นยมใชในระบบดิจิตอลมีอยู 4 ระบบ คือ
ิ
ระบบเลขฐานสิบ (Decimal Number System) จะมีเลขฐานเปน 10 นั่นคือ จะใช
สัญลักษณหรือหลักที่แตกตางกันเทากับ 10 ในการแสดงคาของตัวเลข
ระบบเลขฐานสอง (Binary Number System ) จะมีเลขฐานเปน 2 นั่นคือ จะใช
สัญลักษณหรือหลักที่แตกตางกันเทากับ 2 ในการแสดงคาของตัวเลข
ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System) จะมีเลขฐานเปน 8 นั่นคือ จะใช
สัญลักษณหรือหลักที่แตกตางกันเทากับ 8 ในการแสดงคาของตัวเลข
ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal Number System) จะมีเลขฐานเปน 16 นั่นคือ
จะใชสัญลักษณหรือหลักทีแตกตางกันเทากับ 16 ในการแสดงคาของตัวเลข
่
1.2 ระบบตัวเลขฐานสิบ
กอนที่จะเรียนรูระบบเลขฐานอื่นๆ จําเปนที่จะตองเรียนรูคุณลักษณะของระบบ
เลขฐานสิบกอนระบบเลขฐานสิบนี้จะมีเลขฐานเปนสิบและคือระบบที่มีคาตามตําแหนงซึ่ง
หมายความวา คาของมันในแตละหลักจะขึ้นอยูกับตําแหนงของมัน ซึ่งมีคุณลักษณะดังตอไปนีคือ้
1) ฐาน (Base)
ฐานของระบบตัวเลขจะถูกกําหนดเปนคาของตัวเลขในแตละหลัก ซึ่ง
สามารถเกิดขึ้นในแตละตําแหนงในระบบตัวเลข

2. 2 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
ระบบเลขฐานสิบจะมีฐานเปนเลข 10 ซึ่งหมายความวาแตละหลักของมัน
จะประกอบดวยเลข 10 ตัว เลขเหลานี้ คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 โดยที่ตัวเลขเหลานี้อาจจะถูก
ใชอยูในแตละตําแหนงของตัวเลขในระบบนี้ได ตัวอยางการเขียนเลขฐาน เชน 456 จะเขียนเปนเลข
ฐาน 10 คือ (456)10 หรือ 456 ตามปกติจะเปนที่รกันวาถาตัวเลขที่ไมมีเลขฐานเขียนอยูคือตัวเลข
ู
ฐาน 10
2) คาของตําแหนง (Position Value)
คาของตัวเลขในแตละหลักจะมีคาคงที่และขึ้นอยูกับตําแหนงของมัน
(หรือน้ําหนักของมัน) ตัวอยางเชนคาของ 2 ในตัวเลข 200 จะไมเทากับคาของ 2 ในตัวเลข 20 เปน
ตน ในลักษณะ เชนเดียวกันคาของ 3 ในแตละหลักจะมีคาแตกตางกันดังรูปที่ 1.1
รูปที่ 1.1 แสดงคาของ 3 ในแตละหลักในระบบเลขฐาน 10
ในลักษณะคลาย ๆ กัน เชน เลข (4,831)10 สามารถแตกคาในแตละหลักออกมาไดดงนี้ คือ
ั
(4,831)10 = 4 x 103 + 8 x 102 + 3 x 101 + 1 x 100
หลักที่ 4 หลักที่ 3 หลักที่ 2 หลักที่ 1
ซึ่งจะเห็นไดวาตัวเลข 1 ในหลักที่ 1 จะมีคาต่ําสุด ซึ่งเลข 1 นี้เราเรียกวา หลักที่มี

คานอยที่สุด หรือ LSD (Least Significant Digit) ขณะที่เลข 4 ในหลักที่ 4 จะมีคาสูงสุดซึ่งจะถูก
เรียกวาหลักทีมีคาสูงสุดหรือ MSD (Most Significant Digit)
่
สวนตัวเลขฐานสิบที่ประกอบดวยทศนิยมสามารถเขียนคาในแตละตําแหนงของ
ทศนิยมไดเชนเดียวกัน ตัวอยางเชน 4,831.263 สามารถแตกคาในแตละหลักออกมาไดดังนี้คือ
4,831.263 = 4 x103+ 8x102 + 3x101 + 1x100 + 2x10-1+ 6x10-2+ 3x10-3

3. 3 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
ซึ่งจะเห็นไดชดเจนวาเลขยกกําลัง 10 ทางดานซายของจุดทศนิยมจะมีคาเริ่มตั้งแต
ั
0 เปนตนไป สวนเลขยกกําลัง 10 ทางดานขวาของจุดทศนิยมจะมีคาเริ่มตั้งแต -1 เปนตนไป
1.3 ระบบเลขฐานสอง
ระบบเลขฐานสองจะเหมือนกับระบบเลขฐานสิบ คือ ประกอบดวยฐานและคา
ของตําแหนงในแตละหลัก
1) ฐาน (Base)
ฐานของระบบเลขฐานสองคือ 2 เพราะวาใชเลข 2 หลักคือ 0 และ 1 ในทาง
ดิจิตอล จะเรียกหลักของเลขฐานสองวาบิท (bit) ตัวเลขในระบบเลขฐานสองทุกจํานวนจะ
ประกอบดวยตัวเลข 0 และ 1 เทานั้น ตัวอยางเชน 10, 100 และ 1001 ซึ่งอานวา หนึ่ง-ศูนย, หนึ่ง-
ศูนย-ศูนย
และหนึง-ศูนย-ศูนย-หนึ่ง ตามลําดับ เพื่อหลีกเลี่ยงการสับสนในการอานคาตัวเลขในระบบ
่
เลขฐานสิบอีกวิธีหนึ่งที่สามารถปองกันความสับสนในการอานคาในระบบเลขฐานสอง และระบบ
เลขฐานสิบ คือ เขียนเลขฐานหอยไว ตัวอยาง เชน 1010, 10010, 3,62510 เปนเลขฐานสิบ 102 , 1002,
10012 เปนเลขฐานสอง เปนตน
2) คาของตําแหนง (Position Value)
คาของตําแหนงในระบบเลขฐานสองจะมีลกษณะเหมือนกับเลขฐานสิบ
ั
คือ คาในแตละหลักจะมีน้ําหนักตางกัน อยางไรก็ตามคาของตําแหนงในแตละบิทจะสอดคลองกับ
เลขยกกําลัง 2 คาของตําแหนงทางดานซายของจุดทศนิยมจะเพิ่มขึ้นจากเลขยกกําลัง 0 ของ 2 ไป
ตามลําดับ สวนคาของตําแหนงทางดานขวาของจุดทศนิยมจะลดลงจากเลขยกกําลัง -1 ของ 2 ไป
ตามลําดับ ตัวอยางเชน การกระจายคาของ 1010.1012 ดังรูปที่ 1.2
MSB LSB
1 0 1 0 i 1 0 1
23 22 21 20 2-1 2-2 2-3
รูปที่ 1.2 การกระจายคาของ 1010.1012 ในลักษณะเลขยกกําลังของ 2

4. 4 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
จะเห็นไดวาคาของบิทที่ 4 ทางดานซายของจุดทศนิยมจะมีคาสูงสุด และ
ถูกเรียกวา หลักที่มีคามากทีสุด ในลักษณะคลาย ๆ กัน บิทที่ 3 ทางดานขวาของจุดทศนิยมจะมีคา
่ 
ต่ําสุด และถูกเรียกวาหลักทีมีคานอยที่สุด หรือ LSD ( Least Significant Digit) ตัวอยางของคา
่
เสมือนทางเลขฐานสิบของเลขฐานสองของ 1010.1012 สามารถแสดงไดดังนี้คือ
1010.1012 = (1x23)+(0x22)+(1x21)+(0x20)+(1x2-1)+(0x2-2)+(1x2-3)
คาทางเลขฐานสิบของ 1010.1012 = 8 + 0 + 2 + 0 + 1 + 0 + 1
2 8
= 10.62510
ตามที่กลาวมาแลวขางตนวาคาของตําแหนงของเลขฐานสองจะมีลักษณะคือ
คาของเลขทางดานซายของจุดทศนิยมจะมีคาเพิ่มขึ้นตามเลขยกกําลังของ 2 โดยเริ่มจากเลขยกกําลัง
0 เปนตนไป สวนคาของเลขทางดานขวาของจุดทศนิยมจะมีคาลดลงตามเลขยกกําลังของ 2 โดย
เริ่มจากเลขยกกําลัง-1 เปนตนไป ดังรูปที่ 1.3
คาของตําแหนงในเลขฐานสอง 24 23 22 21 20 . 2-1 2-2 2-3 2-4
คาของตําแหนงเสมือนทางฐาน 16 8 4 2 1 . 1 1 1 1
2 4 8 16
สิบของเลขฐานสอง
รูปที่ 1.3 คาของตําแหนงในเลขฐานสอง
การเปลี่ยนเลขฐานสองเปนเลขฐานสิบ (Binary to Decimal Conversion)
ขั้นตอนในการเปลี่ยนเลขจํานวนเต็มในฐานสองเปนฐานสิบ ทําไดดังนี้คือ
1. เขียนเลขฐานสองทั้งหมดโดยเรียงแตละหลักหรือแตละบิทเปนแถวเดียวกัน
2. เขียนคาของแตละตําแหนงในรูปฐานสิบ คือ 1, 2, 4, 8, . . . โดยเริ่มจากขวาไป
ซาย
3. นําขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 คูณกันในแตละบิท
4. นําคาแตละหลักในขั้นตอนที่ 3 มาบวกกัน
ตัวอยางที่ 1.1 ใหเปลี่ยนเลข 101112 ไปเปนเลขฐานสิบ
วิธีทํา
ขั้นตอนที่ 1 1x 0x 1x 1x 1x
ขั้นตอนที่ 2 16 8 4 2 1

5. 5 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
ขั้นตอนที่ 3 16 0 4 2 1
ขั้นตอนที่ 4 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 2310
ดังนั้น 101112 = 2310 ***
เลขฐานสองจะแปลงเปนเลขฐานสิบไดดังตัวอยางในตารางที่ 1.1
เศษสวนของระบบเลขฐานสอง (Binary Fractions)
ขั้นตอนการแปลงเศษสวนของเลขฐานสองเปนเลขฐานสิบจะมีขั้นตอนเดียวกับการแปลง
เลขจํานวนเต็มฐานสองเปนเลขฐานสิบจะแตกตางกันเพียงเลขยกกําลังเทานั้น
ตัวอยางที่ 1.2 ใหเปลี่ยน 0.11102 เปนเลขฐาน 10
วิธีทํา
ขั้นตอนที่ 1 0 . 1 1 1 0
ขั้นตอนที่ 2 1
2
1 1
8
1
16
4
ขั้นตอนที่ 3 . 1 1 1
0
2 4 8
ขั้นตอนที่ 4 1 + 1 + 1 + 0 = 0.87510
2 4 8
∴ 0.11102 = 0.87510 ***
ตัวอยางที่ 1.3 ใหแปลงเลขฐานสอง 111.10112
วิธีทํา
ขั้นตอนที่ 1 0 . 1 1 1 0
ขั้นตอนที่ 2 1
2
1 1
8
1
16
4
ขั้นตอนที่ 3 . 1 1 1
0
2 4 8
ขั้นตอนที่ 4 1 + 1 + 1 + 0 = 0.87510
2 4 8
∴ 0.11102 = 0.87510 ***
วิธีแปลงเลขฐานสองเปนเลขฐานสิบโดยใชวิธี Double-Dadd
วิธี Double-Dadd เปนวิธีการแปลงเลขฐานสองที่มีขนาดใหญไปเปนเลขฐานสิบ ซึ่งมี 3
ขั้นตอนดังตอไปนี้คือ

6. 6 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
1. คูณบิทแรกทางซายสุดดวย 2 และบวกบิทถัดไปและคูณดวย 2
2. ผลรวมจะเพิ่มเปน 2 เทาและบวกคานีกับบิทถัดไป
้
3. ทําตามขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 จนถึงบิททางขวาสุด
ตัวอยางที่ 1.4 ใหเปลี่ยนเลข 1110112 เปนเลขฐานสิบโดยใชวิธี Double-Dadd
วิธีทํา 1 1 0 1 1
2 x 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 x 2 = 6, 6 + 0 = 6, 6 x 2 = 12, 12 + 1 = 13, 13 x 2 = 26, 26 + 1 =
2710
∴ 110112 = 2710 ***
การเปลี่ยนเลขฐานสิบเปนเลขฐานสอง
1) จํานวนเต็ม (Integers)
การเปลี่ยนเลขจํานวนเต็มฐานสิบเปนเลขฐานสองทําไดโดยวิธีที่เรียกวาวิธี
ดับเบิ้ลแดบเบิล (Double-Dabble Method) ซึ่งก็คือวิธีการหารดวย 2 วิธีนี้ทําไดโดยใช 2 หาร
้
ดวยเลขฐานสิบและเขียนเศษไวในในแตละครั้งของการหาร เศษที่ไดจะถูกเขียนในลําดับที่กลับกัน
คือจากลางขึ้นบน ตัวอยางเชนการเปลี่ยนคา 2910 เปนเลขฐานสองทําไดดังนี้ คือ
2) 29 เศษ
2) 14 1 บน
2) 7 0
2) 3 1
1 1 ลาง
∴ จะได 2910 = 111012
2) เศษสวน (Fractions)

7. 7 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
ตัวเลขฐานสิบที่เปนจุดทศนิยมสามารถเปลี่ยนเปนเลขฐานสองไดโดยใช
วิธีการคูณดวยสอง (Multiply-by-two Method) และบันทึกคาทดในตําแหนงจํานวนเต็ม ตัวเลขทด
นี้
จะถูกเรียงไปดานหนาหรือจากบนลงลาง ตัวอยางเชน 0.937510 สามารถเปลี่ยนเปนเลขฐานสองได
ดังนี้ คือ
0.9375 x 2 = 1.875 = 0.875 ทด 1 บน
0.875 x 2 = 1.75 = 0.75 ทด 1
0.75 x 2 = 1.5 = 0.5 ทด 1
0.5 x 2 = 1.0 = 0.0 ทด 1 ลาง
∴ 0.937510 = 0.11112
ตัวอยางที่ 1.5 ใหเปลี่ยน 0.72510 เปนเลขฐานสอง
วิธีทา ํ
0.725 x 2 = 1.45 = 0.45 ทด 1
0.45 x 2 = 0.9 = 0.9 ทด 0
0.9 x 2 = 1.8 = 0.8 ทด 1
0.8 x 2 = 1.6 = 0.6 ทด 1
0.6 x 2 = 1.2 = 0.2 ทด 1
0.2 x 2 = 0.4 = 0.4 ทด 0
0.4 x 2 = 0.8 = 0.8 ทด 0
จะเห็นวาจะคูณใหลงตัวจนเปน 0 ไมได ดังนั้นจะได 0.72510 ≈ 0.10111002
ตัวอยางที่ 1.6 ใหเปลี่ยน 75.87510 เปนเลขฐานสอง
วิธีทํา แปลงตัวเลขออกเปน 2 สวน คือ จํานวนเต็ม 7510 และทศนิยม 0.87510 มาแปลง
เปนเลขฐานสองซึ่งทําไดดังนี้คือ
จํานวน 2) 75 บน
2) 37 1
2) 18 1
2) 9 0
2) 4 1

8. 8 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
2) 2 1
1 0 ลาง
จะได 7510 = 10110112
ทศนิยม 0.875 x 2 = 1.75 = 0.75 ทด 1 บน
0.7 x 2 = 1.5 = 0.5 ทด 1
0.5 x 2 = 1.0 = 0.0 ทด 1 ลาง
จะได 0.87510 = 0.1112
ดังนั้น 75.87510 = 1011011.1112 ***
การเลื่อนตําแหนงของจุดทศนิยม
ถาจุดทศนิยมในระบบเลขฐานสิบถูกเลื่อนไปทางขวา คาของตัวเลขจะถูกคูณดวย 10
ตัวอยาง เชน เมื่อจุดทศนิยมของ 9.4310 ถูกเลื่อนไปทางขวาหนึ่งตําแหนงจะกลายเปน 94.310 นั่นก็
คือมันจะมีคาเพิ่มขึ้น 10 เทา แตถาเลื่อนจุดมาทางซายจะทําใหคาลดลง 1 เทา ถาเลื่อนจุดทศนิยม

10
ของ 9.4310 มาทางซายหนึ่งจุดจะได 0.94310 คือคาลดลง 1 เทา
10
สวนในระบบเลขฐานสองนั้น การเลื่อนจุดทศนิยมหนึงจุดนั้นก็คือการคูณหรือ
่
หารดวย 2 นั่นเอง ตัวอยางเชน 101.02 มีคาเทากับ 52 ถาเลื่อนจุดไปทางขวาหนึ่งจุดจะมีคาเทากับ
10102 ซึ่งก็คือ 1010 มีคาเปน 2 เทาจากเดิม แตถาเลื่อนจุดไปทางซายหนึ่งจุดจะมีคาเทากับ 10.102
ซึ่งมีคาเทากับ 2.510 นั่นก็คือมีคาลดลง 1 เทานั้นเอง
2
การคํานวณเลขฐานสอง
การใชงานของเลขฐานสองมีการใชงานในการคํานวณพื้นฐานใน 4 ลักษณะ ดังตอไปนี้คือ
1. การบวก ( addition)
2. การลบ (subtraction)
3. การคูณ (multiplication)
4. การหาร (division)

9. 9 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
การบวก เปนการใชงานทีสําคัญที่สุด การใชวิธีคอมพลีเมนตจะใชชวยการหาผลลบ
่
โดยใชวิธีการบวกกัน ซึ่งในคอมพิวเตอรดิจิตอลจะนิยมใชการลบโดยวิธีคอมพลีเมนต จะทําใหใช
จํานวนของฮารดแวรลดลง เพราะวาจะใชเพียงแควงจรดิจิตอลชนิดบวกกันเทานัน ในทํานองเดียวกัน
้
คือการคูณกันสามารถทําไดโดยการบวกกันแบบซ้ํา ๆ กัน สวนการหารคือการลบกันแบบซ้ํา ๆ กัน
นี่จึงเปนเหตุผลที่วาการบวกกันจะมีการใชงานมากที่สุดในวงจรดิจิตอล
1) การบวกกันของเลขฐานสอง (Binary Addition)
หลักเกณฑที่ชวยในการบวกเลขฐานสองมี 4 ขอดังนี้คือ

1. 0 + 0 = 0
2. 0 + 1 = 1
3. 1 + 0 = 1
4. 1 + 1 = 1 0 หรือเทากับ 0 ทด 1
เชน การบวกเลขฐานสอง 2 จํานวน คือ 1102 และ 1112 สามารถทําไดดังนี้คือ
110 คอลัมนที่ 1 0 + 1 = 1
+
111 คอลัมนที่ 2 1 + 1 = 0 ทด 1
11012 คอลัมนที่ 3 1 + 1 + ทด 1 = 10 + 1 = 112
ตัวอยางที่ 1.7 ใหหาผลบวกของ 1011012 กับ 1101112
วิธีทํา
ทด 11111
101101 +
110111
11001002
ขั้นตอนการบวกกันมีดังนี้คือ
1. คอลัมนที่ 1 : 1 + 1 = 0 ทด 1
2. คอลัมนที่ 2 : 0 + 1 = 1+ ทด 1 (จากคอลัมนที่ 1) = 0 ทด 1
3. คอลัมนที่ 3 : 1 + 1 = 0 ทด 1+ ทด 1 (จากคอลัมนที่ 2) = 1
ทด 1
4. คอลัมนที่ 4 : 1 + 0 = 1+ทด 1 (จากคอลัมนที่ 3) = 0 ทด 1

10. 10 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
5. คอลัมนที่ 5 : 0 + 1 = 1+ ทด 1 (จากคอลัมนที่ 4) = 0 ทด 1
6. คอลัมนที่ 6 : 1 + 1 = 1 + ทด 1( จากคอลัมนที่ 5) = 112
ตัวอยางที่ 1.8 ใหหาผลบวกของ 100012 กับ 111112
วิธีทํา 10001
+
11111
1100002 ***
2) การลบกันของเลขฐานสอง (Binary Subtraction)
หลักเกณฑของการลบกันของเลขฐานสองมี 4 ขอ ดังนี้คือ
1. 0 - 0 = 0
2. 1 - 0 = 1
3. 1 - 1 = 0
4. 0 - 1 = 1 ยืม 1 จากคอลัมนถัดไป หรือ 10 - 10 = 1
ตัวอยางที่ 1.9 ใหหาคาของ 10102 ลบกับ 1102
วิธีทํา
1
1 0 10
-
110
1002 ***
จะเห็นไดวาในคอลัมนที่ 3 จะยืมคอลัมนที่ 4 มา 1
การคอมพลีเมนตของตัวเลข (Complement of a number)
การลบกันในงานดิจิตอลนิยมใชคอมพลีเมนตของเลขฐานสอง 2 ในการ
ลบกัน คือ
1) 1'S คอมพลีเมนต (1'S complement)
1'S คอมพลีเมนตของเลขฐานสองทําไดโดยเปลี่ยนเลข 0 แตละตัวใหเปน
1 และเปลี่ยนเลข 1 แตละตัวใหเปน 0 ตัวอยางเชน 1'S คอมพลีเมนตของ 1012 คือ 0102 และของ
101012 คือ 010102 เปนตน
2) 2'S คอมพลีเมนต (2'S complement)

11. 11 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
2'S คอมพลีเมนตของเลขฐานสองทําไดโดยบวกดวย 1 กับ 1'S คอมพลีเมนต
ซึ่งแสดงความสัมพันธไดดังสมการที่ 1.1 คือ
2'S คอมพลีเมนต = 1'S คอมพลีเมนต + 1 --------1.1
ตัวอยางการหา 2'S คอมพลีเมนต 1002 1'S คอมพลีเมนตของมัน 01102
เมื่อ ทําเปน 2'S คอมพลีเมนต คือบวกดวย 1 จะไดเทากับ 1112 เปนตน
การลบโดยใชวิธีคอมพลีเมนตคือการลดวิธีการลบดวยการใชวิธีการบวก ซึ่งวิธี
นี้จะนิยมใชกนมากในงานทางดานดิจิตอลดวยเหตุผลดังตอไปนี้ คือ
ั
(1) จะใชเพียงแควงจรบวกเลขเทานั้น ซึ่งวงจรบวกเลขจะเปนวงจรที่งายกวา
วงจรการลบเลข
(2) วงจรดิจตอลจะทํางานไดงายกวาในการรับคอมพลีเมนต
ิ
3) การลบเลขฐานสองโดยใช 1'S คอมพลีเมนต
การลบเลขฐานสองโดยใช 1'S คอมพลีเมนต คือ การลบโดยใชผลบวกของ
1'S คอมพลีเมนต ซึ่งแปลงมาจากตัวลบบวกกับตัวตั้งเดิม โดยผลลัพธสุดทายที่ไดจะไดจากการนํา
ตัวทดจากการบวกนี้มาบวกกับผลลัพธของการบวกโดยไมรวมตัวทดนั้น
หลักเกณฑของการลบเลขฐานสองโดยใช 1'S คอมพลีเมนต มีดังนี้คือ
(1) หา 1'S คอมพลีเมนตของตัวลบ โดยการเปลี่ยนเลข 0 เปน 1 และ
เปลี่ยนเลข 1 เปน 0
(2) บวก 1'S คอมพลีเมนตเขากับตัวตั้งของการลบ
(3) กําหนดตัวทดจากการบวกรอบสุดทาย (end-around carry) ซึ่งจะมีคา
เปน 0 หรือ 1
(4) ถาไมมีตัวทดจากการบวกรอบสุดทาย หรือตัวทดเทากับ 0 ก็แสดงวา
ผลลัพธจะมีคาเปนลบและจะตองทําคอมพลีเมนตอีกครังหนึ่ง
้
(5) ถาตัวทดเปน 1 ก็นําตัวทดนั้นมาบวกกับผลบวกนันก็จะไดผลลัพธทันที
้
ตัวอยางที่ 1.10 ใหหาคาของ 1102 ลบดวย 1002 โดยใช 1'S คอมพลีเมนต

12. 12 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
วิธีทํา 1'S คอมพลีเมนต 1002 = 0112
110
+
011
ตัวทด 1 001
1
0102
∴ 1102 - 1002 = 102 ***
ตัวอยางที่ 1.11 ใหหาคาผลลบของ 10112 ลบดวย 11102 โดยใช 1'S คอมพลีเมนต
วิธีทํา 1'S คอมพลีเมนตของ 11102 = 00012
1011
+
0001
1100 2
ไมมีตัวทด
ดังนั้นตองทําคอมพลีเมนตอีกครั้งหนึ่ง และใสเครื่องหมายลบไวดานหนา
∴ 1011 2 - 1110 2 = - 00112
4) การลบเลขฐานสองโดยใช 2'S คอมพลีเมนต
ขั้นตอนของการลบเลขฐานสองโดยใช 2'S คอมพลีเมนตทําไดดังนี้ คือ
(1) หาคา 2'S คอมพลีเมนตของตัวลบ
(2) บวกคา 2'S กับตัวตั้ง
(3) ตัดตัวทดตัวสุดทายทิ้ง
(4) ถาตัวทดเปน 1 คําตอบจะกลายเปนบวกและไมตองทําคอมพลีเมนตอีก
(5) ถาตัวทดเปน 0 หรือไมมีตัวทด คําตอบจะกลายเปนลบและจะตองทํา
2'S คอมพลีเมนตอกครั้ง
ี
ตัวอยางที่ 1.12 ใหหาคาผลลบของ 1011 2 ลบดวย 1000 2 โดยใช 2'S คอมพลีเมนต
วิธีทํา 1'S คอมพลีเมนตของตัวลบ = 0111

13. 13 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
2'S คอมพลีเมนต = 0111 + 1 = 10002
1011
+
1000
1 0011
ตัดตัวทดทิ้ง
∴ 10112 - 10002 = -00112 ***
ตัวอยางที่ 1.13 ใหหาคาผลลบของ 1100 2 ลบดวย 1101 2 โดยใช 2'S คอมพลีเมนต
วิธีทํา 1'S คอมพลีเมนตของตัวลบ = 0010
2'S คอมพลีเมนต = 0010 + 1 = 0011
1100
+
0011
1111
ไมมีตัวทด
ดังนั้นตองทํา 2'S คอมพลีเมนตอีกครั้งหนึ่งและคําตอบออกมาจะมี
เครื่องหมายลบ
1'S คอมพลีเมนตของ 1111 = 0000
2'S คอมพลีเมนตของ 1111 = 0000 + 1 = 0001
∴ 11002 - 11012 = -00012 ***
5) การคูณกันของเลขฐานสอง
หลักเกณฑการคูณกันของเลขฐานสองอยางงาย ๆ มี 4 ขอ คือ
1. 0 x 0 = 0
2. 0 x 1 = 0
3. 1 x 0 = 0
4. 1 x 1 = 1
ตัวอยางที่ 1.14 ใหหาผลคูณของ 1012 กับ 100 2
วิธีทํา 101
x
100
000

14. 14 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
000
101
10100
∴ 1012 x 1002 = 101002 ***
ตัวอยางที่ 1.15 ใหหาผลคูณของ 10012 กับ 1010 2
วิธีทํา 1001
x
1010
0000
1001
0000
1001
1011010
∴ 10012 x 10102 = 10110102 ***
6) การหารกันของเลขฐานสอง
การหารกันของเลขฐานสองจะเหมือนกับเลขฐานสิบ นั่นคือการหารดวย 0 จะไมมี
ความหมายหรือหาคาไมได กฎเกณฑของการหารเลขฐานสองมี 2 ขอ ดังตอไปนี้ คือ
1. 0 ÷ 1 = 0 หรือ 0 = 0
1
2. 1 ÷ 1 = 1 หรือ 1 =1
1
ตัวอยางที่ 1.16 ใหหาคาของ 110002 ÷ 1002
วิธีทํา
110
100 11000
100
100
100
00
7) การเลื่อนตัวเลขฐานสองจากซายไปขวา

15. 15 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
การเลื่อนตัวเลขฐานสองไปทางซายหรือทางขวาหนึ่งขันมีคาเทากับการคูณ
้
หรือการหารดวย 2 ในระบบเลขฐานสิบ
เมื่อเลขฐานสอง 110002 (หรือเทากับ 2410) ถูกเลื่อนไปทางซายหนึ่งขั้น และ
กลายเปน 1100002 (หรือเทากับ 4810) ซึ่งมีคาเปน 2 เทาของ 2410 ถาเลื่อนเลขตัวนี้ไปทางขวาหนึ่ง
ขั้นจะได 011002 (หรือเทากับ 1210) ซึ่งมีคานอยลงเปน 2 เทาของ 2410
1.2.6 การแสดงเลขฐานสองเปนสัญญาณทางไฟฟา
ตามที่ทราบมาแลวขางตนวาเลขฐานสองสามารถแสดงออกมาไดเปนเลข 0 และ 1
ซึ่งมันงายตอการคํานวณเทานั้น แตในทางปฏิบติมีปญหาอยูวาทําอยางไรจึงจะใชขอมูลของ
ั 
เลขฐานสองในวงจรลอจิกของดิจิตอลคอมพิวเตอรได ซึ่งในลักษณะนี้สัญญาณทางไฟฟา จะถูก
แสดงออกมาเปน 2 ชนิด คือ 0 และ 1 โดยสัญญาณที่ถูกเลือกใหแสดงคาเปนลอจิก 1 และ 0 จะตอง
มีคาตายตัว เพราะวาความเร็วและความแมนยําคือสิ่งสําคัญอันดับแรกของวงจรดิจิตอล
ดังนั้นสัญญาณทางไฟฟาจะตองมีคุณสมบัติดังนี้ คือ
1. ตองใชไดกับวงจรที่ความเร็วอยางเหมาะสม
2. สัญญาณเหลานี้จะตองงายตอการใชงานกับสวนอื่น
3. จะตองยากที่จะทําใหเกิดความสับสนกับสัญญาณอื่น ๆ ได
ในรูปที่ 1.4 จะแสดงสัญญาณหลาย ๆ คูที่มีคุณสมบัติตามตองการ ซึ่งจะเห็นได
วาสัญญาณพัลซซึ่งแทนลอจิก 1 จะไมมการบิดเบี้ยวจนไดลอจิกเปน 0 หรือเปนพัลซลบหรือไม
ี
เปนพัลซได สวนในรูปที่ 1.5 จะแสดงคูของสัญญาณที่ใชแทนเลขฐานสองในลักษณะตาง ๆ กัน

16. 16 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
รูปที่ 1.4 คูของสัญญาณทางไฟฟาที่เหมาะที่จะใชงานกับวงจรดิจตอล 1
ิ
รูปที่ 1.5 การแสดงคูของสัญญาณทางไฟฟาเปนดิจิตอล
1.4 ระบบเลขฐานแปด (Octal Number System)
ก. ฐาน
เลขฐานแปดจะมีฐานเปน 8 ซึ่งหมายความวามันจะประกอบดวยเลข 8 ตัวที่
สามารถถูกแทนลงในแตละหลักคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7 โดยที่เลข 0 ถึง 7 จะมีความหมาย
เหมือนกันกับในระบบเลขฐานสิบ
การนับเลขที่มีคามากกวา 7 ทําไดดังนี้
0 1 2 3 4 5 6 7
10 11 12 13 14 15 16 17
20 21 22 23 24 25 26 27
30 31 32 33 34 35 36 37
ข. คาของตําแหนง

17. 17 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
คาของตําแหนงหรือน้ําหนักในแตละหลักจะมีคาตางกันเทากับเลขยกกําลังของ 8
ซึ่งมีลักษณะดังตอไปนี้คือ
84 83 82 81 80 . 8-1 8-2 8-3 8-4
จุดทศนิยมฐานแปด
ตัวอยางที่ 1.17 ใหหาคาของ 4758 ในระบบเลขฐานสิบ
วิธีทํา 4758 = 4x82 + 7x81 + 5x80
= 256 + 56 +5
∴ 4758 = 31710 ***
1.4.1 การเปลี่ยนเลขฐานแปดเปนเลขฐานสิบ
การเปลี่ยนเลขฐานแปดเปนเลขฐานสิบทําไดตามขั้นตอนเชนเดียวกับในหัวขอที่
1.1.3 คือ
1. เขียนเลขฐานแปดโดยเรียงแตละหลักเปนแถวเดียวกัน
2. เขียนน้ําหนักในแตละหลัก
3. นําขั้นตอนที่ 1 คูณกับขั้นตอนที่ 3 ในแตละหลัก
4. นําคาในแตละหลักในขันตอนที่ 3 มาบวกกัน
้
เชน การเปลี่ยนเลข 216.2038 เปนเลขฐานสิบทําไดดังนี้คอ
ื
ขั้นตอนที่ 1 2 1 6 . 2 0 3
ขั้นตอนที่ 282 81 80 8-1 8-2 8-3
ขั้นตอนที่ 3 2x82 81 6 2 0
8
ขั้นตอนที่ 4 2x82 + 81+ 6 + + 0 + 33 = 142.255859410
2
8 8
∴ 216.2038 = 142.255859410
หรือทําไดดังนี้คือ 216.2038 = 2x82 + 1x81 + 6x80 + 2x8-1 + 0x8-2 + 3x8-3
2 3
= 128 + 8 + 6 +8 + 0 + 8 3

18. 18 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
∴ 216.2038 = 142.255859410
ตัวอยางที่ 1.18 ใหหาคาของ 168.7158 เปนเลขฐานสิบ
วิธีทํา ขั้นตอนที่ 1 1 6 8 . 7 1 5
ขั้นตอนที่ 2 82 81 80 8-1 8-2 8-3
1
ขั้นตอนที่ 3 64 48 8 7
64
5
3
8 8
ขั้นตอนที่ 4 64 + 48 + 8 + + + = 120.900390610
∴ 168.7158 = 120.900390610 ***
หรือทําไดดังนี้คือ168.7158 = 2x82 + 6x81 + 8x80 + 7x8-1 + 1x8-2 + 5x8-3
= 64 + 48 + 8 +8 +64 5
7 1
+ 3
8
∴ 168.7158 = 120.900390610 ***
1.4.2 การเปลี่ยนเลขฐานสิบเปนเลขฐานแปด
วิธีการเปลี่ยนเลขฐานสิบเปนเลขฐานแปดจะมีลักษณะเหมือน ๆ กับการแปลง
เลขฐานสิบเปนเลขฐานสอง จะแตกตางกันเพียงใช 8 เปนแฟคเตอรในการหารสําหรับเลขฐานสิบ
ที่เปนจํานวนเต็มและจะใช 8 เปนแฟคเตอรในการคูณเมื่อเลขฐานสิบมีคาเปนจุดทศนิยมที่นอยกวา
หนึ่ง
ตัวอยางที่ 1.19 ใหเปลี่ยน 32510 เปนเลขฐานแปด
วิธีทํา 8 ) 325
บน
8 )40 เหลือเศษ 5
5 เหลือเศษ 0 ลาง
∴ 32510 = 5058 ***
ตัวอยางที่ 1.20 ใหเปลี่ยน 0.32510 เปนเลขฐานแปด
วิธีทํา 0.325 x 8 = 2.60 = 0.60 ทด 7
บน
ลาง

19. 19 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
0.60 x 8 = 4.80 = 0.80 ทด 4
0.80 x 8 = 6.40 = 0.40 ทด 6
0.4 x 8 = 3.20 = 0.20 ทด 3
∴ 0.32510 ≈ 0.24638 ***
0.096 x 8 = 0.768 = 0.768 ทด 0
∴ 0.87610 ≈ 0.700408 ***
ตัวอยางที่ 1.21 ใหเปลี่ยน 512.62510 เปนเลขฐานแปด
วิธีทํา แยกจํานวนเต็มและทศนิยมแยกกันคํานวณจะไดดังนี้คอ
ื
จํานวนเต็ม 8 )512
บน
8 )64 0
8 )8 0
1 0
ลาง
∴ 51210 = 10008
ทศนิยม 0.625 x 8 = 5.0 = 0.0 ทด 5
∴ 0.625 10 = 0.58
∴ 512.625 10 = 1000.58 ***
1.4.3 การเปลี่ยนเลขฐานสองเปนเลขฐานแปด
การเปลี่ยนเลขฐานสองเปนเลขฐานแปดทีงายที่สุดจะใชวิธีไบนารีไตรเพล็ท
่
(binarytriplet method) คือจัดเลขฐานสองออกมาเปนกลุม กลุมละ 3 บิท โดยเริ่มจากจุดทศนิยม
ถากลุมทาย ๆ จัดไมไดครบ 3 บิทก็เติมศูนยทดานหนาเพิ่ม ตัวอยางเชน ตองการเปลี่ยน
ี่
11010112 เปนเลขฐานแปดจะทําไดดังนี้คอ ื
1101011
จัดเปนกลุมละ 3 บิท
00

20. 20 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
เติม 0 เพิ่ม 1 101 011
1 5 3
∴ 11010112 = 1538
ตัวอยางที่ 1.22 ใหเปลี่ยน 10100102 เปนเลขฐานแปด
วิธีทํา 1010010
จัดกลุม 3 บิท
001 010 010
1 2 2
∴ 10100102 = 1228 ***
1.4.4 การเปลี่ยนเลขฐานแปดเปนเลขฐานสอง
ขั้นตอนการเปลี่ยนเลขฐานแปดเปนเลขฐานสองจะมีลักษณะกลับกับการเปลี่ยน
เลขฐานสองเปนเลขฐานแปดคือ แตละหลักของเลขฐานแปดจะถูกแปลงเปนเลขฐานสอง 3 บิท
ตัวอยางเชน การแปลง 5248 เปนเลขฐานสองทําไดดังนีคือ
้
5 2 4
101 010 100
∴ 5248 = 1010101002 ***
ตัวอยางที่ 1.23 ใหเปลี่ยน 64.328 เปนเลขฐานสอง
วิธีทํา 6 4 . 3 2
110 100 011 010
∴ 64.328 = 110100.0110102 ***
1.4.5 ขอดีของระบบเลขฐานแปด

21. 21 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
ขอดีที่สําคัญของระบบเลขฐานแปด คือ มีความยาวนอยกวาระบบเลขฐานสอง
อยู 1 เทา ดังนั้นการใชงานของคอมพิวเตอรคงทําไดงายกวาในการรับหรือสงขอมูลอินพุตและ
3
เอาทพุท การพิมพออกทางเครื่องพิมพจะทําไดสะดวกกวาและงายทีจะอานขอมูล นอกจากนัน
่ ้
การเปลี่ยนเลขฐานสองเปนเลขฐานแปดและการเปลี่ยนเลขฐานแปดเปนเลขฐานสองยังทําไดงาย
และรวดเร็ว
1.5 ระบบเลขฐานสิบหก (Hexadecimal Number System)
คุณลักษณะของระบบเลขฐานสิบหกมีดังนี้คือ
1. มีฐานเปน 16 ดวยเหตุนี้จึงใหเลข 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,
D, E, F
2. คาในแตละตําแหนงหรือในแตละหลักจะมีน้ําหนักเพิ่มขึ้นเทากับเลขยกกําลัง
ของ 16 เมื่อเลขฐานสิบหกอยูทางดานซายของจุดทศนิยม และจะมีคาลดลงตามเลขยกกําลังของ 16
เมื่อมันอยูทางดานขวาของจุดทศนิยม
การใชงานหลัก ๆ ของเลขฐานในระบบนี้คือจะใชงานกับเครื่องจักรที่ทํางานเปนไบต
และมันจะถูกใชสําหรับกําหนดแอดเดรสของเลขฐานสองที่แตกตางกันที่ถูกเก็บในหนวยความจํา
ของคอมพิวเตอร
1.5.1 การแปลงเลขฐานสองเปนเลขฐานสิบหก
วิธีที่งายคือ แยกเลขฐานสองออกเปนกลุม ๆ ละ 4 บิท ก็จะไดเลขฐานสิบหก
ออกมา
ตัวอยางที่ 1.24 ใหเปลี่ยน 101011002 เปนเลขฐานสิบหก
วิธีทํา
1010 1100
A C
∴ 10101100 2 = AC16
1.5.2 การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกเปนเลขฐานสอง
ขั้นตอนการเปลี่ยนเลขฐานสิบหกเปนเลขฐานสองจะกลับกับขั้นตอนการเปลี่ยน
เลขฐานสองเปนฐานสิบหก คือ นําแตละหลักของเลขฐานสิบหกมาแตกเปน 4 บิท ตัวอยาง เชน
การเปลี่ยนเลข 4A316 เปนเลขฐานสองทําไดดังนี้คือ

22. 22 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
4 A 3
0100 1010 0011
∴ 4A316 = 100101000112 ***
ตัวอยางที่ 1.25 ใหเปลี่ยน 2C616 เปนเลขฐานสอง
วิธีทํา
2 C 6
0010 1100 0110
∴ 2C616 = 10110001102 ***
ตัวอยางที่ 1.26 ใหเปลี่ยน 52E.6D216 เปนเลขฐานสอง
วิธีทํา
5 2 E . 6 D 2
0101 0010 1110 0110 1101 0010
∴ 52E.6D2 16 = 10100101110.0110110100102
***
1.5.3 การเปลี่ยนเลขฐานสิบเปนเลขฐานสิบหก
การเปลี่ยนเลขฐานสิบเปนเลขฐานสิบหกทําได 2 วิธีคือ
1) เปลี่ยนจากเลขฐานสิบเปนเลขฐานสองกอน และเปลี่ยนเลขฐานสองเปน
เลขฐานสิบหก
2) ใชเลข 16 หาร ซึ่งเรียกวิธีนวา เฮ็ก - แด็บเบิล (hex-dabble method)
ี้ 
ตัวอยางที่ 1.27 ใหเปลี่ยน 9810 เปนเลขฐานสิบหก
วิธีทํา
ใชวิธีที่ 1 2 ) 98
2) 49 0

23. 23 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
1) 24 1
2) 12 0
2) 6 0
2) 3 0
1 1
∴ 9810 = 11000102
11000102 = 0110 00102 = 62 16
∴ 9810 = 6216 ***
ใชวิธีที่ 2 16) 98
6 เหลือเศษ 2
∴ 9810 = 6216 ***
1.5.4 การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกเปนเลขฐานสิบ
การเปลี่ยนเลขฐานสิบหกทําได 2 วิธี คือ
1) เปลี่ยนเลขฐานสิบหกเปนเลขฐานสองและเปลี่ยนเลขฐานสองเปนเลขฐานสิบ
2) ใหเลขยกกําลังของ 16 ตามคาของแตละตําแหนงหรือน้ําหนักในแตละหลัก
ตัวอยางที่ 1.28 ใหเปลี่ยนเลขฐานสิบดังตอไปนี้เปนเลขฐานสอง เลขฐานแปดและเลขฐานสิบหก
ก) 45
ข) 128
วิธีทํา ก) 45 10
2 ) 45
2 ) 22 1
5 ) 11 0
2) 5 1
2) 2 1
1 0
∴ 45 10 = 1011012 ***
1011012 = 101 1012 = 558
∴ 4510 = 558 ***

24. 24 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
1011012 = 0010 11012 = 2D16
∴ 4510 = 2D16
ข) 12810
2) 128
2)64 0
2)32 0
2)16 0
2)8 0
2) 4 0
2)2 0
1 0
∴ 12810 = 100000002
100000002 = 010 000 0002 = 2008
∴ 12810 = 2008 ***
100000002 = 1000 00002 = 8016
∴ 12810 = 8016 ***
แบบทดสอบทายบท
คําชี้แจง ใหนกศึกษาตอบคําถามตอไปนี้ใหถูกตอง
ั

25. 25 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา
1. ใหเปลี่ยนเลขฐานสองตอไปนี้เปนเลขฐานสิบ
ก. 11010 ข. 100011
2. ใหเปลี่ยนเลขฐานสิบตอไปนี้เปนเลขฐานสอง
ก. 3.037510 ข. 6.2510
3. ใหบวกเลขฐานสองดังตอไปนี้
ก. 1001 + 1010 ข. 1010 + 101
4. ใหบวกเลขฐานสองของ 1011.012 กับ 1001.112
5. ใหลบเลขฐานสองดังตอไปนี้
ก. 111 – 101 ข. 1000 – 11
6. ใหหาคาผลลัพธของตัวเลขเหลานี้โดยใชเลขฐานสอง
ก. 6410 – 3210 ข. 710 + 1110
7. ใหหาผลลัพธของ 100011 ลบกับ 111010
8. ใหหา 1’S คอมพลีเมนตของเลขฐานสองตอไปนี้
ก. 10101 ข. 1111
9. ใหหา 2’S คอมพลีเมนตของเลขฐานสองตอไปนี้
ก. 1010 ข. 10011.11
10. ใหใช 1’S คอมพลีเมนต และ 2’S คอมพลีเมนตในการลบกันของเลขฐานสองดังตอไปนี้
ก. 100011 – 111010 ข. 1111 – 1011
ค. 110011 – 100101 ง. 10010 – 10111
11. ใหหาผลคูณของเลขฐานสองดังตอไปนี้
ก. 1110 x 111 ข. 1011 x 101
ค. 10101 x 101 ง. 1100 x 101
12. ใหหาผลลัพธของการหารกันของเลขฐานสองดังตอไปนี้
ก. 1100010 ÷111 ข. 1110011 ÷ 101
ค. 11011 ÷ 100 ง. 110110 ÷ 1011

26. 26 ดิจิตอลประยุกต 31041003 ระบบเลขฐาน พงษ พร
สัทธา