Space to time relations

1. Time-Space Duality
Space
System is linear since Helmholtz equation which U must satisfy is linear.
System is shift invariant since free space is invariant to displacement of the coordinate system.
2 ( )
( , ) ( , ) x yj x y
x y x yh x y H e d d
  
   

 

   is impulse response of the LTI system.
2 ( )
( , ) ( , ) x yj x y
x yH h x y e dxdy
  
 



   is Transfer function of the LTI system.
( ).
2 2 2 2 2
1 1 1
( )
: ( , , )
2 2
0: 2 :
sin ( / ) sin ( ), sin ( / )
: ( , ) ( , ,0)
: (
x y z
k kx y
x y
j k x k y k zjk r
x y z
k x x x k y y
j k x k y
h
h
plane wave U x y z Ae Ae
f
U k U k k k k k
c c
k k k k
harmonic input f x y U x y Ae
harmonic output g
  


     
  
  
 
  
         
    
  

2 2 2
( )
2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
, ) ( , , )
( , ) ( , ) / ( , )
: 0 0: ( , ) 1
: 0 0:
( ,
x y z
x yz
j k x k y k d
j djk d
x y h h
x y p x y
x y p
x y
x y U x y d Ae
H g x y f x y e e
if Propagating TF H
if Attenuating TF evanescent wave
H
   
 
      
    
 

  
  
 
 
 
  
        
        
2 ( )
) ( , ) x yj x y
h x y e dxdy
  



  

2. Fresnel approximation ( 4
0  )
2 4
2 2 2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 2
2
1 2 1 2 (1 ......)2 2 8
4
: 0 0, 0 , ( .)( )
( , )
0
( , )
x yx yz
x y x y x x y y optical axis x y
d d
j d d j jj djk d
x y
x y
f v v like paraxial ray app
H e e e e e
H
  
            
             
 

 



          
             
    

 
2
2 2
22
2 (1 ) 2 2 (2 2 )2
0
x yz
d d d
j j j jkd
jkd j djk d
e e ee He e
 
       

   
  
   
We know that
2 2 2 2
/4
,j t j j t
e e e e e      
  =>by taking IFT:
2 2 2 2
1
2
0
( )(1 )
22 22
( , ) ( , )z
x y k r
jk jjk d
jk d jk
jk
d
d
d d d
x y
jk j
H ee e h x y e e he e
d

 



  
  
     
For output
2 2
0
2 2 2 2
0
2 2 2 2
0
( ) ( )
2
2 2
2
( )
2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
k x x y y
j
d
k x x xx y y yy
j
d
k x y k x y k
j j j xx yy
d d d
g x y f x y h x x y y dx dy f x y h e dx dy
g x y f x y h e dx dy
g x y f x y h e e e dx d
     

 
        


  
   
             
    
  
   
 
2 2 2 2
0
( )
2 2
( , ) ( , )
k x y k x y k
j j j xx yy
d d d
y
g x y h e f x y e e dx dy


  
   

 
   
 
 
Chirp modulation using lens
2 2
0 1 2
1 12 2 ( 1) ( )
2
0
1 2
1 1
( , ) ( ) ( , )
2
x y
jk n
jkn R R
l l
x y
x y t x y e e
R R

 
 
      
2 2
0 1 2
2 22 2 2 2
0 1 2
0
2 2
0
0
1 1
( 1) ( )
2
1 1
( 1) ( ) ( )
22 2
0
1
(( 1)(
2
0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , )
x y
jk n
jkn R R
l
x yk x y k x y kjk nj j j xx yy
jkn R Rd d d
k x y nj
jknd
f x y f x y t x y f x y e e
g x y h e f x y e e e e dx dy
g x y h e e f x y e

 
 
         
 

 
 
 
   
 
 
2 2
1 2
1 1
) ) ( )
2
x y kjk j xx yy
R R d d
e dx dy
     

  

3. 2 2
0
0
1 2
2
( )
2 ( )2
0 0
1 1 1 1
( 1)( )
( , ) ( , ) ( , )
,
x y
k x y j xx yyj j x yjkn fd
x y
for n
d R R f
g x y h e e f x y e dx dy f x y e dxdy
x y
f f

  
 
 
     
 
    
      
  
   
Time
2 2
10 0 0 0
0 0
2
0
0 0
2
0
0 0
2 2
0 0
0 0 0
( )
( ) 2 2
( )
2
( )
2
( ) 2 ( ) (
2
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
j j
j jj
t
j
j
t
j
j
t t t
j j
j j
H H e e e e e
h t e e
z t x h t d x e e d
x e e d e e
 
     

 
 
 
   
  
 
    
 
   
  


  

 
    
 

   

  
 
 

2 2
0 0
0 0 0
2
2 22
0 0
0 0 0 0
2 2
0 0
0 0 0
) ( )
2 2
2
0
( ) ( )
2 22
( ) ( )1
( )
2 2
( )
: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
t
j j
t
ja
t t
j j jja
j
t t
j a j j
j
x e e d
chirp modulation x t x t e
z t e x e e e d
z t e x e e
  
  
  
   
  
  
 
 

 


  



  


 
 



0
2
0 0
0 0 0
0 0
( ) ( )
2
0
0
1 1
( ) ( ) ( )
t t
j j
j j
d
for a f
a
z t e x e d x e d
t

  
   

 
   





   

 
   
 

 

 
Space time duality

4. 2 2
0
0 0 0
2 2 2 2
( ) ( )
2 2
( )
2 2 2
0
( )
( , )
1 1 1
2
2
dt t
j j
j
x y k r k r
jk j j
jkd jkdd d d
t
t
h t e e Ae
j j
h x y e e e e Be
d d
k
d d d
means that
d
d

  
 
 







  
 
 
  
  

