Slide 1

Bộ môn Toán- Khoa Cơ bản
Trường Đại học Ngoại Thương Hà Nội

XÁC SUẤT& THỐNG KÊ
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐỨC HIẾU

BÀI 1:
LÝ THUYẾT CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT

1. Giới thiệu
2. Không gian mẫu và biến cố
3. Các tiên đề xác suất
4. Không gian mẫu hữu hạn và Tổ hợp
5. Xác suất có điều kiện và biến cố độc lập
6. Định lý xác suất tổng và công thức Bayes

1. GIỚI THIỆU

Ví dụ :
Một người tham gia 1 trò đố vui trúng thưởng. Có 4
con Át, gồm 2 con Át đỏ và 2 con Át đen.
Nếu người ấy rút được trúng 2 con Át cùng màu thì
sẽ được thưởng. Hãy tính khả năng được thưởng
của người đó ?

1. GIỚI THIỆU

Cơ hội để thắng là bao nhiêu ???

1. GIỚI THIỆU

Lập luận: Khả năng thắng cuộc của người đó là 1/3.
Giải thích theo 1 cách không “xác suất ”:
Không mất tính tổng quát : Giả sử quân bài đầu tiên
màu đen.3 quân bài còn lại : 1 đỏ và 2 đen. Tỉ lệ
quân bài thứ 2 màu đen chỉ còn là 1/3.
Tương tự với việc quân bài đầu tiên là quân bài
màu đỏ.

1.GIỚI THIỆU

Tung đồng xu
1, 100, 10000 lần

1.GIỚI THIỆU

Định nghĩa: Lý thuyết xác suất là 1 bộ môn của
toán học ứng dụng, nghiên cứu về sự ngẫu nhiên

Khách quan: Giới hạn của tần suất tương đối
Chủ quan: Mức độ tin tưởng

Giả sử rằng tần suất xuất hiện tương đối ỔN ĐỊNH

2. KHÔNG GIAN MẪU VÀ BIẾN CỐ

Định nghĩa:
Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của 1 phép
thử ngẫu nhiên được gọi là không gian mẫu, kí hiệu
là S (Ω)
Ví dụ: Tung một con xúc sắc và quan sát số chấm
xuất hiện

Không gian mẫu trong trường hợp này là
S={1,2,3,4,5,6}


Ví dụ
Tung một con xúc sắc và tính số lần tung cho đến
khi được 6 chấm: S={1,2,3,4,….}


Ví dụ: Bật một bóng đèn điện và theo dõi thời gian
sáng ( tuổi thọ) của bóng đèn.


Không gian mẫu trong trường hợp này không thể
xác định rõ ràng
Phương án thuận tiện nhất là gán tuổi thọ bóng đèn
cho một số thực không âm và viết S=[0,∞]

Giá trị 0 ở đây có nghĩa là ngay khi bắt đầu bóng
đèn đã vỡ
Giá trị ∞ có nghĩa là tuổi thọ bóng đèn kéo dài hơn
rất nhiều so với thời gian ta có thể theo dõi.


Định nghĩa : A là 1 tập hợp con của S
ký hiệu A ⊂ S, được gọi là 1 biến cố

Ví dụ: Tung 1 con xúc sắc và tính số chấm thu
được
A là biến cố số chấm là lẻ & B là biến cố có số
chấm nhỏ nhất là 4.
S= {1,2,3,4,5,6}
A= {1,3,5}
B= {4,5,6}


Các kí hiệu và phép toán cơ bản với tập hợp
A ∪ B: A hoặc B (hoặc cả 2 cùng xảy ra)
A ∩ B: Cả A và B cùng xảy ra
A B: A xảy ra nhưng B không xảy ra
̅ - : A không xảy ra
∅: Tập rỗng, biến cố không thể


Mệnh đề : Giả sử A,B,C là 3 biến cố của 1 phép thử
Quy luật phân phối
(A B) C = (A C ) (B C )
(A B ) C = (A C) ( B C )
Quy luật Morgan


A B
A B
BA

SƠ ĐỒ VENN
A∩B

BÀI 1:
LÝ THUYẾT CƠ BẢN CỦA XÁC SUẤT

1. Giới thiệu
2. Không gian mẫu và biến cố
3. Các tiên đề xác suất
4. Không gian mẫu hữu hạn và Tổ hợp
5. Xác suất có đều kiện và độc lập
6. Định lý xác suất tổng và công thức Bayes

3. CÁC TIÊN ĐỀ XÁC SUẤT
Định nghĩa
Một độ đo xác suất là một hàm P, gán cho
biến cố A 1 số P(A) thỏa mãn
(a) 0 ≤ P(A) ≤ 1
(b) P(S) =1
(c) Các biến cố A1, A2 ,… An là các tập hợp đôi một
xung khắc, tức là Ai ∩ Aj = ∅ với i ≠ j thì:
P (⋃ )=∑ )
P(A) gọi là xác suất của biến cố A


Mệnh đề:
P là 1 độ đo xác suất
P(∅) = 0

Nếu A1, A2 ,… An đôi một không giao nhau:
P (⋃ )=∑ )


Mệnh đề:
Với P là một độ đo xác suất trong không gian mẫu
S,với hai biến cố A và B . Ta có:

(a) P ( ) = 1 – P(A)
(b) P (AB) =P (A) – P(A ∩ B)
(c) P (A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
(d) Nếu A ⊂ B, thì P(A) P (B)


Ví dụ : Tỉ lệ mưa vào thứ 7 là 50%, tỉ lệ mưa vào
chủ nhật là 50%. Như vậy tỉ lệ có mưa dịp cuối tuần
là 100% . Nhận định trên là đúng hay là sai?

SAI


Gọi A là xác suất mưa vào thứ 7
Gọi B là xác suất mưa vào Chủ nhật
=> P (A) =P (B) = 0.5
Xác suất mưa suốt cả cuối tuần là P (A ∪ B)
Áp dụng công thức (c)
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩B)
= 1 – P (A ∩B)

Giả sử A, B , C là 3 biến cố của 1 phép thử ngẫu
nhiên. Ta có:
P(A ∪ B ∪ C)= P(A) + P (B) + P(C) –
P (A ∩ B) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Ví dụ : Chọn ngẫu nhiên 1 số tự nhiên nằm trong
khoảng từ 1 đến 100. Xác suất để số đó chia hết cho
2, 3 và 5 là bao nhiêu

Gọi Ak là biến cố chọn được số chia hết cho k
P(A2 ) = 0.5 P(A3 )= 1/3=0.33 P ( A5 )= 0.2
P (A2 ∩ A3) = P (A6) = 0.16
P (A2 ∩ A5 ) = P (A10) = 0.1
P(A3 ∩ A5 ) = P (A15 ) =0.06
P (A ∩ 2A3 ∩ A5 ) = P (A30) = 0.03
=> P (A2 ∪A3∪A5 ) = P(A2 ) + P(A3 ) + P ( A5 ) – P
(A2 ∩ A3) – P (A2 ∩ A5 ) – P(A3 ∩ A5 ) + P (A ∩ 2A3
∩ A5 ) = 0.74


Mệnh đề:
Tổng quát:
Giả sử A1 , A2 ,...,An là n biến cố của 1 phép thử.
Ta có:
P(⋃ )= ∑ ∑ ∩
∑ ∩ ∩ ... + (-1)n+1 . P( A1 ∩
A2 .... ∩ An )


Mệnh đề:
Nếu A1 ,A2 ,....An cùng tăng hoặc cùng giảm thì:
P ( lim ) = lim
→ →

4. KHÔNG GIAN MẪU HỮU HẠN
VÀ TỔ HỢP

Giả sử không gian mẫu S là hữu hạn:

S = {s1 , s2 .., sn }

VÀ TỔ HỢP

Mệnh đề:
Giả sử p1 ,...pn là các số thỏa mãn
(a) pk ! 0
(b) ∑ pk " 1
và với mọi biến cố A ⊆S, xác định:
P(A)=∑ pk
P là một độ đo xác xuất

VÀ TỔ HỢP

Ví dụ: Tung 2 đồng xu Sấp Ngửa
S={SS,NN,NS,SN}
% =%& " ⋯ " %( =
(
Số lần xuất hiện mặt ngửa:
S={0,1,2}
%) = & % = &%& =
( & (

VÀ TỔ HỢP

Trường hợp mọi kết quả là như nhau- đồng khả năng
% =%& " ⋯ " % =
Phân phối đồng nhất trên S.
Công thức xác suất của biến cố A sẽ là:
% =%& " ⋯ " % P(A)=

,+, ⊂-

VÀ TỔ HỢP

#A: Số thành phần của A
Công thức xác suất cổ điển:
#A : Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A

VÀ TỔ HỢP

Hệ quả:
Trong một không gian mẫu hữu hạn, với sự phân
phối xác suất thống nhất

.ố ế1 23ả 153ậ 7ợ
P(A)=
.ố ế1 23ả 9ó 15ể <ả= >?

VÀ TỔ HỢP

Ví dụ : Tung 3 con xúc sắc độc lập. Xác suất để 3
con xúc sắc hiện cùng 1 mặt là bao nhiêu ?

VÀ TỔ HỢP

Dễ thấy không gian mẫu gồm 6.6.6 = 216 kết quả
tức là 216 bộ ba có thứ tự(i,j,k)

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:
A={(1,1,1), (2,2,2),.... (6,6,6)}
=> P(A) = 6/216= 1/36

VÀ TỔ HỢP

Ví dụ: 1 gia đình có 3 người con. Tính xác suất để
gia đình đó có đúng 1 con gái

S={bbb, bbg,bgb ,bgg, gbb, gbg, ggb, ggg }
P( 1 con gái)=3/8

VÀ TỔ HỢP

Tổ hợp
Tổ hợp là ‘’toán học của phép đếm’’,
hỗ trợ rất nhiều cho các vấn đề của xác suất

VÀ TỔ HỢP

Mệnh đề:
Thực hiện r phép thử có thứ tự,
trong đó có n1 kết quả có thể xảy ra ở phép thử 1
n2 kết quả có thể xảy ra ở phép thử 2, ....,
nr kết quả có thể xảy ra ở phép thử thứ r .
Có tổng cộng n1 n2 ...nr kết quả có thể cho dãy n
phép thử
Qui tắc nhân

VÀ TỔ HỢP
Ví dụ : 1 lớp học 20 người, 10 nam, 10 nữ.
Trong 20 học sinh này, chọn ngẫu nhiên 1 người
làm lớp trưởng, 1 người làm lớp phó.
Tính xác suất để lớp trưởng là nữ và lớp phó là
nam ?

VÀ TỔ HỢP

Không mất tính tổng quát giả sử ta chọn lớp trưởng
trước rồi chọn lớp phó .
20 cách chọn lớp trưởng
Mỗi cách chọn lớp trưởng ta có 19 cách chọn lớp phó.
Vì vậy có 20.19= 380 cách chọn lớp trưởng và lớp phó
(Qui tắc nhân)
Có 10 cách chọn lớp trưởng là nữ và cũng có 10 cách
chọn lớp phó là nam => có 10.10= 100 cách chọn lớp
trưởng là nữ và lớp phó chủ tịch là nam.
Vậy Xác suất P = 100/380 @ 0.26

VÀ TỔ HỢP
Ví dụ : Trong 1 nhóm gồm 100 người, xác suất để
có ít nhất 2 người có cùng ngày sinh là bao nhiêu ?

VÀ TỔ HỢP
1 năm có 365 ngày 365 ngày sinh nhật.
Không gian mẫu S bào gồm 365100 kết quả

Gọi A là biến cố ít nhất có 2 người trùng ngày sinh
=> ( hay là ) là biến cố 100 người có ngày sinh
khác nhau.
Với , số các kết quả thuận lợi cho biến cố này là:
365 x 364 x ….x 266
P (A) = 1 – P( ) = 1 – ( 365 x 364 x… x
266) / 365100 @ 0,99999997

VÀ TỔ HỢP

Ví dụ: Lance ở trong 1 nhóm gồm 100 người và
hỏi mọi người về ngày sinh. Xác suất để có ít nhất
1 người trùng ngày sinh với Lance là bao nhiêu ?

VÀ TỔ HỢP

B là biến cố ít nhất 1 người trong 99 người còn lại
có cùng ngày sinh với Lance
=> A là xác suất cả 99 người đều có ngày
sinh khác Lance
Không gian mẫu S gồm 36599 kết quả,
Số các kết quả thuận lợi cho A là 36499.
P(B) = 1- P (A ) = 1- 36499 / 365 99 @ 0.24

VÀ TỔ HỢP

Số tổ hợp chập k của n phần tử:
Là số tập con k phần tử của tập mẫu n phần tử
!
=
! C !
Ví dụ: (Poker)Rút ngẫu nhiên không hoàn 5 quân bài
từ bộ bài 52 lá. Tính xác suất
a. Không có con Rô nào

b. Có đúng k con Rô

c. Nhiều khả năng nhất là rút được mấy con Rô

VÀ TỔ HỢP

VÀ TỔ HỢP
H
FG
a. H
HI
, HK,
JF FG
b. P= H
HI

VÀ TỔ HỢP
Ví dụ :Một hộp có 10 bóng trắng, 10 bóng đỏ,
10 bóng đen. Lẫy ngẫu nhiên 5 bóng không hoàn
lại. Tính xác suất ta không lấy được đủ các màu

VÀ TỔ HỢP

Ví dụ :Một hộp có 10 bóng trong đó : 6 đỏ, 4 xanh.
Lẫy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác suất :
a. Cả 3 quả bóng đều là đỏ.
b. Có đúng 2 bóng đỏ

5. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ
CÁC BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
Giả sử B là một biến cố thỏa mãn P (B) >0.
Với mọi biến cố A, ta định nghĩa xác suất của biến
cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra là:
L -∩M
P (A|B) =
L M

Ví dụ : Tung 1 con xúc sắc.
A là biến cố thu được số chấm lẻ, B là biến cố thu
được số chấm ít nhất là 4. Tính P(A|B)

P(A|B) là xác suất đạt được số chấm lẻ khi chắc
chắn đã thu được ít nhất là 4 chấm
P(A∩B) = P ({5}) = 1/6
P (B) = ½
P(A∩B) /O
P(A|B) = = = 1/3
P (B) /&

Ví dụ : Xác suất mưa thứ 7 bằng xác suất mưa chủ
nhật là 0.5. Ta giả sử rằng xác suất để mưa ngày
nào đó trong điều kiện đã mưa hôm trước là 0.7.
Tính xác xuất để có mưa cuối tuần


A- biến cố mưa thứ bảy
B- biến cố mưa chủ nhật

P(A∪ A " 0.5 0.5 (A∩ A
(A∩ A =P(A).P(B|A)=0.5*0.5=0.35
P(A∪ A "0.65


Hệ quả:
Giả sử rằng các xác suất có điều kiện đã xác định,
ta có những hệ quả sau:
(a) P( |B)= 1– P (A|B)
(b) P (BA|C ) = P (B |C) – P(A∩B|C)
(c) P (A∪B|C) = P (A|C) + P(B|C) – P(A ∩ B|C)
(d) Nếu A⊆B, thì P (A|C) P(B|C)


Biến cố độc lập
Định nghĩa Nếu A, B là 2 biến cố thỏa mãn:
P A ⋂ B " P A . P B
thì ta nói A, B là 2 biến cố độc lập

C, D là 2 biến cố không đôc lập là hai biến
cố phụ thuộc.


Mệnh đề:

Nếu P (A|B) xác định, thì các biến cố A,B độc lập
với nhau khi và chỉ khi P (A) = P (A|B)

V
Nếu A và B là 2 biến cố độc lập thì, A vàA (B)
cũng là 2 biến cố độc lập với nhau.

Ví dụ : Xác suất mưa thứ 7 bằng xác suất mưa chủ
nhật là 0.5. Ta giả sử rằng mưa thứ bảy và mưa chủ
nhật là 2 biến cố độc lập. Tính xác xuất để mưa suốt
cuối tuần

P A ⋂ B =?


Gọi A là biến cố mưa vào thứ 7
B là biến cố mưa vào CN
Biến cố mưa suốt cuối tuần là A∩B
Ta có: P(A ∩ B) = P (A) . P(B) = ½ . ½ = ¼


Ví dụ Rút ngẫu nhiên 1 quân bài từ bộ bài 52 lá.
Gọi biến cố A là biến cố rút được con Át, biến cố B
là biến cố rút được con Cơ. Hỏi biến cố A và B có
độc lập với nhau không ?


Giải
Xác suất bốc được con át là P(A) = 4/52
Xác suất bốc được con cơ là P (B) = 13/52=1/4
Xác suất bốc được con Át cơ là P (A∩B) =1/52
Ta thấy P (A∩B) = P(A). P(B)
Vậy A,B là 2 biến cố độc lập
Hai biến cố độc lập có phải là hai biến cố không
giao nhau không?

Định nghĩa
Ba biến cố A,B,C độc lập với nhau khi thỏa mãn 2
điều kiện sau:
(a) Độc lập với nhau từng đôi một
(b) P (A∩B ∩ C) = P(A).P(B).P(C)
Định nghĩa
Các biến cố A1 ,A2 ,… được gọi là độc lập nếu
P(A1 ∩A2 ∩ …. ∩ Ak ) = P (A1). P (A2)….. P(Ak)
Với trình tự các số nguyên thỏa mãn i1 < i2 <….<ik ,
k=2,3,…..

Ví dụ: Tung con xúc sắc cho đến khi được 6 chấm
thì dừng lại. Tính xác suất để nó là lần thứ n
B- biến cố thu được 6 chấm
Và Ak là biến cố thu được 6 chấm ở lần thứ k
Ở đây kết quả của các lần tung xúc sắc là độc lập
A " ∩ & ∩. . . C ∩ W
" . & ... C W
C
5 5 5 1 1 5
" . . ... "
6 6 6 6 6 6


Hệ quả
Trong những lần thử độc lập lập đi lập lại, bất kì biến
cố nào với xác suất tích cực có thể xảy ra sớm hơn
hoặc muộn hơn.

6. ĐỊNH LÝ XÁC SUẤT TỔNG
VÀ CÔNG THỨC BAYES

Định lý xác suất tổng
Giả sử B1 ,B2 ,….là các biến cố thỏa mãn
(a) P(Bk) >0 với k = 0,1,2,3…
(b) Bi và Bk xung khắc với i ≠k
(c) S= ⋃ Ak
Với biến cố A bất kì, ta có
P(A) = ∑ (A|Bk). P(Bk)


B1 B2 A
A ∩ B2 A ∩ Bk


Hệ quả:
Nếu 0< P(B) <1. Ta có:
P(A) = P(A|B). P(B) + P(A| A ). P(A )


Ví dụ: Ở Hoa Kỳ, nguy cơ bị ung thư phổi là 0.1%
trong dân số. 20% dân số là những người hút thuốc
lá. Trong số đó nguy cơ ung thư phổi là 0.4%. Tính
nguy cơ bị ung thư phổi của những người không hút
thuốc lá


Công thức Bayes
Với các giả sử trong định lý xác suất tổng và
nếu P(A) > 0 với mọi biến cố Bj ta có:
P (A|Z[).P(Z[)
P(Z[ |A)= ∑
,]J L (A|Z^ ).P(Z^ )


Hệ quả: Nếu 0 < P(B) <1 và P (A) > 0. Ta có:
L - M .L M
P(B|A) =
L - M .L M _L - M` .L M `

Ví dụ: Bài thi GMAT là yêu cầu để vào học chương
trình học sau Đại học tại Hoa Kỳ với điểm đạt được
sẽ từ 200 đến 800. Có nhiều khóa học chuẩn bị thi
GMAT. Thống kê cho thấy:52% những người đạt
điểm GMAT trên 650 có tham gia khóa học chuẩn bị.
23% những người đạt điểm GMAT dưới 650 đã tham
gia khóa học chuẩn bị.
Một người chuẩn bị thi GMAT, xác suất để anh ta
trên 650 là 10%.
Anh chỉ tham gia khóa học chuẩn bị chi phí $500
nếu như cơ hội đạt được điểm GMAT trên 650 cao
hơn gấp đôi. Vậy anh ta có nên tham gia khóa học
chuẩn bị không ?


Trước tiên ta đặt tên các biến cố
A = điểm GMAT từ 650 trở lên P(A)=0.1
= điểm GMAT thấp hơn 650 P( )=0.9
B = Tham gia khóa học chuẩn bị P(B|A) = 0.52
A " Không tham gia khóa học chuẩn bị
P(B| ) = 0.23


Sử dụng sơ đồ hình cây, ta có:
P(A∩B)=0.052
P(B|A) = 0.52
P(A)=0.1 P(A∩ A |)=0.052
P (A |A)=0.48

P( ∩ A)=0.0207
P( )=0.9
P( ∩ A ) =0.693


Sử dụng sơ đồ hình cây, ta có:


P(B) = P(A∩B) + P( V ∩ A = 0.52 + 0.207 =0.259
P(A∩B)
P(A|B) = = 0.201
P(B)
Cùng kết quả


Phương pháp đệ qui
Ý tưởng: Đặt điều kiện trên 1 số trường hợp có
thể giải quyết một cách dễ dàng rồi nó sẽ dẫn dắt ta
quay trở lại với vấn đề gốc.


Phương pháp đệ qui
Ví dụ: Trong bộ phim Người Tốt, Kẻ Xấu và Tên Vô Lại
( The Good, the Bad and the Ugly (1966).
Ba cao bồi đứng ở ba góc trên sân Nghĩa trang sẵn sàng,
súng đã lên đạn và sẵn sàng nhả đạn vào nhau. Blondie bắn
trúng 100% mục tiêu. Angel Eyes bắn chính xác với xác
suất là 0.9 còn Tuco là 0.5. Giả sử họ sẽ bắn lần lượt ( trừ
phi bị bắn và Tuco là người đầu tiên bắn. Vậy Tuco sẽ bắn
thế nào để tăng xác suất sống sót của hắn.


S- Tuco sống sót
H- Tuco bắn trúng đích
Giả sử:Tuco bắn Blondie.
Nếu trượt, Blondie sẽ hạ Angel Eyes
và đến lượt Tuco bắn hạ Bloondie
phát nữa

P (S) = P(S|H).P(H)+ P(S|f )P(f )

Slide 1

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Slide 1

Similar to Slide 1 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (12)

Slide 1