Solución a sistemas con uno a más grados de libertad. Tratar de resolver problemas de más de un grado de libertad aplicando el método de Newmark.

1. Universidad Nacional Autónoma de Nicaragua
UNAN- Managua.
Recinto Universitario “Rubén Darío”
Facultad de Ciencias e Ingenierías
Departamento de construcción
Ingeniería Sismorresistente
Tema: Sistemas de múltiples grados de libertad
Título del Trabajo:
Solución a sistemas con uno a más grados de libertad.
Profesor: Dr. Ing. Edwin Antonio Obando.
Fechas de Entrega: 22 de octubre del 2015.
Estudiantes:
 Joel Enrique santana Peña.
 Greybin Josué Borge Castro.
“No basta tener un buen ingenio, lo principal es aplicarlo bien”
René Descartes

2. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 1
BORGE & SANTANA 2
 Cálculo de kt
=
3
ℎ
=
(3)(29 10 . )(28.1 )
(10 12)
= 1414.76 /
La masa en función de la gravedad
 Masa del torrecilindro
= 18.97 = 189.7
=
189.7 + 3000
32.2 12
= 8.255 . /
 Periodo de vibración de la estructura
= 2 = 2
. . /
. /
= 0.479951
interpolando,
0.471369 0.162835
0.479951 x
0.501593 0.137249
0.471369 − 0.479951
0.471369 − 0.501593
=
0.162835 −
0.162835 − 0.137249
= = 0.155570

3. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 1
BORGE & SANTANA 3
 Cálculo de Dmax
= ( ) ( ) ; = 0.155570 ∗ = 0.061248
= 0.061248 (
0.479951
2
) = 0.357 10
 Cálculo de la fuerza lateral
= ∗
= 1414.76 ∗ 0.357 10 = 0.5051
 Cálculo del momento basal por estática Vb=Fo
= ∗ ℎ
= 0.5051 ∗ 10 12 = 60.612 .
 Cálculo del esfuerzo flexionante máximo
= =
60.612 . (6.625 2 )
28.1
= 7.145 /

4. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 2
BORGE & SANTANA 4
= 100
= 326.32 /
= 2
= 2 326.32
= =
− =
=
0 0
0 0
0 0
; =
+ − 0
− + −
0 −
2 − 0
− 2 −
0 −
−
0 0
0 0
0 0
1
2
=
0
0
0
⎩
⎨
⎧ 2 − 0
− 2 −
0 −
−
⎣
⎢
⎢
⎡
0 0
0 0
0 0
1
2 ⎦
⎥
⎥
⎤
⎭
⎬
⎫
=
0
0
0
⎩
⎨
⎧
2 − − 0
− 2 − −
0 − −
1
2 ⎭
⎬
⎫
=
0
0
0
 Encontrar el Determinante por Sarrus.
⎣
⎢
⎢
⎡
2 − − 0
− 2 − −
0 − −
1
2
2 − −
− 2 −
0 −
⎦
⎥
⎥
⎤

5. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 2
BORGE & SANTANA 5
(2 − 2)(2 − 2) −
1
2
2
+ [(− )(− )(0)] + [(0)(− )(− )]
− (− )(− ) −
1
2
2
− [(− )(− )(2 − 2)] − [(0)(0)(2 − 2)] = 0
(4 − 4 2
+ 4) −
1
2
2
− −
1
2
2
− [2 − 2] = 0
4 − 2 2
− 4 2
+ 2 4
+ 4
−
1
2
6
− +
1
2
2
− 2 + 2
= 0
−
9
2
2
+ 3 4
−
1
2
6
= 0
∆ =
−
9
2
∆ + 3 ∆2
−
1
2
∆3
= 0
 Raíces de ∆ desde MatLab
∆ = 9411.5 =
∆ = 5043.6 =
∆ = 675.7 =
= √9411.5 = 97.01289 /
= √5043.6 = 71.0183 /
= √675.7 = 25.9942 /
Calculo de Periodos naturales.
=
2
=
2
=
2
97.01289
= 0.065
=
2
=
2
71.0183
= 0.0885
=
2
=
2
25.9942
= 0.242
 Modos de Vibración.
( − 2)∅ = 0

6. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 2
BORGE & SANTANA 6
2 − 0
− 2 −
0 −
−
0 0
0 0
0 0
1
2
2
∅
∅
∅
= 0
⎩
⎨
⎧ 2 − 0
− 2 −
0 −
−
⎣
⎢
⎢
⎡
2
0 0
0 2
0
0 0
1
2
2
⎦
⎥
⎥
⎤
⎭
⎬
⎫ ∅
∅
∅
= 0
Si =
1305.25 −652.64 0
−652.64 1305.25 −652.64
0 −652.64 652.64
−
(0.2588)(675.7) 0 0
0 (0.2588)(675.7) 0
0 0 (0.1294)(675.7)
∅
∅
∅
= 0
1,130.407 −652.64 0
−652.64 1,130.407 −652.64
0 −652.64 565.203
∅
∅
∅
= 0
1,130.407∅11 − 652.64∅21 = 0 ∅ = 1
1,130.407 − 652.64∅21 = 0
∅ =
1,130.407
652.64
∅ = 1.732
−652.64∅11 + 1,130.407∅21 − 652.64∅31 = 0
−652.64(1) + 1,130.407(1.732) − 652.64∅31 = 0
∅ =
1,305.225
652.64
∅ = 2.0
∅ =
∅
∅
∅
=
1.0
1.732
2.0
Si =
1305.25 −652.64 0
−652.64 1305.25 −652.64
0 −652.64 652.64
−
(0.2588)(5,043.6) 0 0
0 (0.2588)(5,043.6) 0
0 0 (0.1294)(5,043.6)
∅
∅
∅
= 0
−0.646 −652.64 0
−652.64 −0.646 −652.64
0 −652.64 0.323
∅
∅
∅
=
0
0
0

7. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 2
BORGE & SANTANA 7
−0.646∅12 − 652.64∅22 = 0 ∅ = 1.0
−0.646(1.0) − 652.64∅22 = 0
∅ = −
0.646
652.64
∅ = −0.001
−652.64∅12 − 0.646∅22 − 652.64∅32 = 0
−652.64(1.0) + 1,130.407(−0.001) − 652.64∅32 = 0
∅ = −1.0
∅ =
∅
∅
∅
=
1.0
−0.001
−1.0
Si =
1305.25 −652.64 0
−652.64 1305.25 −652.64
0 −652.64 652.64
−
(0.2588)(9,403.5) 0 0
0 (0.2588)(9,403.5) 0
0 0 (0.1294)(9,403.5)
∅
∅
∅
= 0
−1,128.338 −652.64 0
−652.64 −1,128.338 −652.64
0 −652.64 −564.169
∅
∅
∅
=
0
0
0
−1,128.338∅13 − 652.64∅23 = 0 ∅ = 1.0
−1,128.338(1.0) − 652.64∅23 = 0
∅ =
652.64
1,128.338
∅ = 1.729
−652.64∅13 − 0.646∅23 − 652.64∅33 = 0
−652.64(1.0) − 1,128.338(−1.729) − 652.64∅33 = 0
∅ = 1.989
∅ =
∅
∅
∅
=
1.0
−1.779
−1.01.989

8. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 2
BORGE & SANTANA 8
 Resultados de los Modos de Vibración…
 Expansión Modal de las fuerzas sísmicas.
Cálculo de desplazamiento
= ∅ ( )
Modo 1 Modo 2 Modo 3
∅ =
∅
∅
∅
=
2.0
1.732
1.0
; ∅ =
∅
∅
∅
=
−1.0
−0.001
1.0
; ∅ =
∅
∅
∅
=
1.989
−1.729
1.0
=
∅ + ∅ + ∅
∅ + ∅ + ∅
=
(0.2588)(1.0) + (0.2588)(1.732) + (0.1294)(2.0)
(0.2588)(1.0) + (0.2588)(1.732) + (0.1294)(2.0)
= 0.622
=
∅ + ∅ + ∅
∅ + ∅ + ∅
=
(0.2588)(1.0) + (0.2588)(−0.001) + (0.1294)(−1.0)
(0.2588)(1.0) + (0.2588)(−0.001) + (0.1294)(−1.0)
2 -1 1.989
1.732 0.001 -1.729
1 1 1
T1=0.242 seg T2=0.088 seg T3=0.065 seg

9. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 2
BORGE & SANTANA 9
= 0.333
=
∅ + ∅ + ∅
∅ + ∅ + ∅
=
(0.2588)(1.0) + (0.2588)(−1.729) + (0.1294)(1.989)
(0.2588)(1.0) + (0.2588)(−1.729) + (0.1294)(1.989)
= 0.044
Pseudo-aceleraciones
Para = .
T (periodo) PSA
0.237944 0.350618
0.242 X
0.2532 0.290882
0.237944 − 0.242
0.237944 − 0.2532
=
0.350618 −
0.350618 − 0.290882
= 0.334736 /
Para = .
T (periodo) PSA
0.082727 1.299758
0.088 X
0.088032 1.477262
0.082727 − 0.088
0.082727 − 0.088032
=
1.299758 −
1.299758 − 1.477262
= 1.476191 /
Para = .
T (periodo) PSA
0.064519 1.199678
0.065 X
0.068656 1.405843

10. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 2
BORGE & SANTANA 10
0.064519 − 0.065
0.064519 − 0.068656
=
1.199678 −
1.199578 − 1.477262
= 1.223648 /
= ( )
= (0.131786 / )
0.242
2
= 1.955 10
= (0.581177 / )
0.088
2
= 1.140 10
= (0.481751 / )
0.065
2
= 5.156 10
= 0.622 ∗
2.0
1.732
1.0
∗ 1.955 10 =
2.432 10
2.106 10
1.216 10
= 0.333 ∗
−1
−0.001
1
∗ 1.140 10 =
−3.796 10
− 3.796 10
3.796 10
= 0.044 ∗
1.989
−1.729
1
∗ 5.156 10 =
4.512 10
− 3.922 10
2.269 10

11. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 2
BORGE & SANTANA 11
Calculo de SRSS
= + +
= (1.216 10 ) + (3.796 10 ) + (2.269 10 )
= 1.274 10
= + +
= (2.106 10 ) + (−3.796 10 ) + (−3.922 10 )
= 2.106 10
= + +
= (2.432 10 ) + (−3.796 10 ) + (4.512 10 )
= 2.462 10

12. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 3
BORGE & SANTANA 12
Demuestre que los periodos y modos de Vibracion del sistema mostrado son :
Solución:
 Matrices M y K del sistema.
=
0 0
0 0
0 0
; =
+ − 0
− + −
0 −
 Masas en función de la gravedad
= ; = /
= /
= 0.407747 ∗ /
=
200
81 /
= 0.203874 ∗ /
 Matriz K del sistema
=
200 + 200 −200 0
−200 200 + 80 −80
0 −80 80
=
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
 Determinante
[ − ] = 0
200 + 200 −200 0
−200 200 + 80 −80
0 −80 80
−
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
= 0
Figura 1
Figura 2

13. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 3
BORGE & SANTANA 13
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
=
0
0
0
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
=
0
0
0
400 − 0.407747 −200 0
−200 280 − 0.407747 −80
0 −80 80 − 0.203874
= 0
 Resolviendo determinante:
[400 − 0.407747 ] ∗ [(280 − 0.407747 )(80 − 0.203874 )] − [(−80)(−80)] −
[−200] [(−200)(80 − 0.203874 )] − [(−80)(0)] − [0] [(−200)(−80)] − [(280 −
0.407747 )(0)] = 0
[(400 − 0.407747 ) ∗ (22400 − 57.08472 − 32.61976 + 0.0831290119( ) ) − 6400) −
(−200) ∗ (−16000 + 40.7748 ) + (0)] = 0
[8,960,000 − 22,833.888 − 13,047.904 + 33.25160476( ) − 2,560,000 −
9,133.5328 + 23.27612333( ) + 13.30060928( ) − 0.0338956052( ) +
2609.5808 − 3,200,000 + 8,154.96 ] = 0
−0.0338956052( ) + 69.82833737( ) − 34,250.784 + 3,200,000 = 0
Multiplicando por − .
queda:
−( ) + 2,060.100032( ) − 1,010,478.609( ) + 94,407,519.24 = 0
Raíces:
= 121.956 = 562.882 = 1375.262
= √121.956 = √562.882 = √1375.262
= 11.0434 = 23.7251 = 37.0845
 Periodos de vibración
Si = , entonces:
= = =
= .
= .
= .
= 0.5689 = 0.2648 = 0.1694

14. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 3
BORGE & SANTANA 14
 Modos de vibración de la estructura
[ − ] ∗ ∅ =
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
∗
∅
∅
∅
= 0
Para ∅
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
∗
∅
∅
∅
= 0
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
− 121.956
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
∗
∅
∅
∅
= 0
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
49.727193 0 0
0 49.727193 0
0 0 24.863658
∗
∅
∅
∅
= 0
1
2
3
→
→
→
350.272807∅ −200∅ 0∅
−200∅ 230.272807∅ −80∅
0∅ −80∅ 55.136342∅
= 0
Si ∅ = 1 en Ec1 entonces:
350.272807∅ − 200∅ = 0
350.272807 ∗ (1) − 200 ∗ ∅ = 0
∅ =
350.272807
200
= 1.7514
Sustituyendo valores de ∅ y ∅ en Ec2
−200∅ + 230.272807∅ − 80∅ = 0
−200 ∗ (1) + 230.272807 ∗ (1.7514) − 80∅ = 0
∅ =
203.2998
80
= 2.5412
Para ∅
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
∗
∅
∅
∅
= 0

15. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 3
BORGE & SANTANA 15
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
− 562.882
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
∗
∅
∅
∅
= 0
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
229.513447 0 0
0 229.513447 0
0 0 114.757005
∗
∅
∅
∅
= 0
1
2
3
→
→
→
170.486553∅ −200∅ 0∅
−200∅ 50.486553∅ −80∅
0∅ −80∅ −34.757005∅
= 0
Si ∅ = 1 en Ec1 entonces:
170.486553∅ − 200∅ = 0
170.486553 ∗ (1) − 200 ∗ ∅ = 0
∅ =
170.486553
200
= 0.8524
Sustituyendo valores de ∅ y ∅ en Ec2
−200∅ + 50.486553∅ − 80∅ = 0
−200 ∗ (1) + 50.486553 ∗ (0.8524) − 80∅ = 0
∅ =
−158.328399
80
= −1.962
Para ∅
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
∗
∅
∅
∅
= 0
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
− 1375.262
0.407747 0 0
0 0.407747 0
0 0 0.203874
∗
∅
∅
∅
= 0
400 −200 0
−200 280 −80
0 −80 80
−
560.758955 0 0
0 560.758955 0
0 0 280.380165
∗
∅
∅
∅
= 0
1
2
3
→
→
→
−160.758955∅ −200∅ 0∅
−200∅ −280.758955∅ −80∅
0∅ −80∅ −200.380165∅
= 0
Si ∅ = 1 en Ec1 entonces:

16. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 3
BORGE & SANTANA 16
−160.758955∅ − 200∅ = 0
−160.758955 ∗ (1) − 200 ∗ ∅ = 0
∅ =
−160.758955
200
= −0.8038
Sustituyendo valores de ∅ y ∅ en Ec2
−200∅ − 280.758955∅ − 80∅ = 0
−200 ∗ (1) − 280.758955 ∗ (−0.8038) − 80∅ = 0
∅ =
25.674048
80
= 0.3209
 Desplazamientos reales de la estructura.
= ∅ ( )
Modo 1 Modo 2 Modo 3
∅ =
∅
∅
∅
=
2.5412
1.7514
1
∅ =
∅
∅
∅
=
−1.962
0.8524
1
∅ =
∅
∅
∅
=
0.3209
−0.8038
1
=
∅ + ∅ + ∅
(∅ ) + (∅ ) + (∅ )
=
(0.407747)(1) + (0.407747)(1.7514) + (0.203874)(2.5412)
(0.407747)(1) + (0.407747)(1.7514) + (0.203874)(2.5412)
= 0.551242
=
∅ + ∅ + ∅
(∅ ) + (∅ ) + (∅ )
=
(0.407747)(1) + (0.407747)(0.8524) + (0.203874)(−1.962)
(0.407747)(1) + (0.407747)(0.8524) + (0.203874)(−1.962)
= 0.238653
=
∅ + ∅ + ∅
(∅ ) + (∅ ) + (∅ )

17. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 3
BORGE & SANTANA 17
=
(0.407747)(1) + (0.407747)(−0.8038) + (0.203874)(0.3209)
(0.407747)(1) + (0.407747)(−0.8038) + (0.203874)(0.3209)
= 0.2101
 Pseudoaceleraciones (PSA)
Interpolación para = .
T(período) (PSA)
0.567977 0.074684397
0.5689 X
0.604394 0.057055368
(0.567977 − 0.5689)
(0.567977 − 0.604394)
=
(0.074684397 − )
(0.074684397 − 0.057055368)
= = 0.074237 ∗ 1
2.54
= 0.029227 /
Interpolación para = .
T(período) (PSA)
0.2532 0.290882814
0.2648 X
0.269435 0.304566669
(0.2532 − 0.2648)
(0.2532 − 0.269435)
=
(0.290882814 − )
(0.290882814 − 0.304566669)
= = 0.300665 ∗ 1
2.54
= 0.118372 /
Interpolación para = .
T(período) (PSA)
0.163884 0.614375729
0.1694 X
0.174392 0.475749077
(0.163884 − 0.1694)
(0.163884 − 0.174392)
=
(0.614375729 − )
(0.614375729 − 0.475749077)
= = 0.541606 ∗ 1
2.54
= 0.213231 /

18. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 3
BORGE & SANTANA 18
Cálculos para
= ( )
= ( )
2
= (0.029227 / )
0.5689
2
= 2.396 10
= ( )
2
= (0.118372 / )
0.2648
2
= 2.102 10
= ( )
2
= (0.213231 / )
0.1694
2
= 1.550 10
Cálculos para
= ∅ ( )
= ∅ ( )
= 0.551242 ∗
2.5412
1.7514
1
∗ 2.396 10 =
3.356 10
2.313 10
1.321 10

19. Ingeniería Sismorresistente | Borge & Santana
Ejercicio 3
BORGE & SANTANA 19
= ∅ ( )
= 0.238653 ∗
−1.962
0.8524
1
∗ 2.102 10 =
−9.842 10
4.276 10
5.016 10
= ∅ ( )
= 0.2101 ∗
0.3209
−0.8038
1
∗ 1.550 10 =
1.045 10
−2.618 10
3.257 10
Desplazamientos totales por nivel de piso.
= ( ) + ( ) + ( )
= (1.321 10 ) + (5.016 10 ) + (3.257 10 )
= 1.450
= (2.313 10 ) + (4.276 10 ) + (−2.618 10 )
= 2.367
= (3.356 10 ) + (−9.842 10 ) + (1.045 10 )
= 3.499