Dowód twierdzenia, że w czworokącie przeciwne kąty są równe, wtedy gdy jest to równoległobok

1. Dowód Twierdzenia (WKW) W czworokącie przeciwne kąty wtedy i tylko wtedy, gdy ten czworokąt jest równoległobokiem

2. Część 1. => Zgodnie z założeniami mamy następującą sytuację: <DAB = <BCD = α <ABC = <CDA = β

3. Z faktu, że ABCD jest czworokątem mamy, że: α + β + α + β = 360 o i dalej α + β = 180 o β = 180 o - α 1

4. Opuśćmy wysokości z wierzchołków A i C na przedłużenia boków (odpowiednio) CD i AB . Zaznaczmy punkty przecięcia się wysokości i przedłużeń boków i opiszmy je jako E i F . 2

5. 3 Z 1 i 2 wynika, że: <ADE = <CBF = α <EAD = <FCB = 90 o - α

6. 4 Z 4 i z faktu, że: <ADE + <DEA = <CBF + <BFC = 90 o – α + α = 90 o Jasno wynika, że czworokąt AFCE jest prostokątem, a więc boki AB i CD są względem siebie równoległe. Po opuszczeniu wysokości z wierzchołków A i C na boki BC i AD i przeprowadzeniu analogicznego rozumowania Dojdziemy to faktu, że odcinek BC jest równoległy do AD . Czworokąt ABCD ma dwie pary boków równoległych, a więc jest równoległobokiem .

7. Część 2. <= Zgodnie z założeniami mamy następującą sytuację: Gdzie AB || CD i BC =|| AC

8. 1 Korzystając z własności trójkąta, kątów i prostych równoległych przeciętych dowolną prostą otrzymamy: <DAB = <BCD = α <ABD = <CDB = β <BDA = <DBC = γ Dowód skończony