Praca magisterska poświęcona liniom stopnia drugiego. W niej omawiane są i udowadniane najważniejsze własności tychże krzywych.

1. Uniwersytet Śląski
Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii
Piotr Szlagor
Nr albumu: 275719
Praca magisterska
Własności linii stopnia drugiego
Promotor:
dr Damian Br¨ckner
u
Katowice, 2013

2. Wyrażam zgodę na udostępnienie mojej pracy dyplomowej dla celów naukowo-badawczych.
data
Piotr Szlagor
Słowa kluczowe: linie stopnia drugiego, stożkowe, parabola, hiperbola, elipsa.
Oświadczenie
Świadomy odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami.
Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur
związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni.
Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją
elektroniczną.
data
Piotr Szlagor

3. Spis treści
1. Wprowadzenie
2
2. Linie stopnia drugiego
4
2.1. Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1.1. Styczna do elipsy, własność odbiciowa elipsy . . . . . . . . . . . . .
6
2.1.2. Biegunowa, kierownica, mimośród . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2. Hiperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1. Styczna do hiperboli i asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2. Biegunowa, kierownica, mimośród . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.1. Styczna do paraboli, własność odbiciowa paraboli . . . . . . . . . . 27
2.3.2. Biegunowa, kierownica, mimośród . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4. Wnioski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Zmiana układu współrzędnych
34
3.1. Podstawowe pojęcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Przekształcanie układu współrzędnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3. Przykłady przekształceń . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Spis rysunków
42
Spis tabel
44
Zawartość płyty CD-ROM
45
1

4. 1. Wprowadzenie
Liniami stopnia drugiego1 nazywamy obiekty matematyczne powstałe poprzez przecięcie
powierzchni stożkowej płaszczyzną. Za ich twórcę uważa się greckiego matematyka Menaichimosa2 . Posłużyły mu one do rozwiązania problemu podwojenia sześcianu - jednego z
problemów delijskich. Z kolei Apoloniusz z Pergi3 w swoim dziele Konika 4 jako pierwszy
użył pojęć takich jak elipsa, hiperbola i parabola. Obecnie do tego podziału często dodaje
się jeszcze okrąg, który można też uznać jako specjalny przypadek elipsy.
Rys. 1.1. Grafika przedstawiająca różne przekroje stożka; autor: Szwejk; źródło: wikipedia.org
Zastosowania własności linii stopnia drugiego można doszukiwać się w różnych dziedzinach życia. Elipsy opisują orbity ciał niebieskich, a także drogę jaką pokonuje elektron
w ruchu dookoła atomu. Jej własność odbiciową wykorzystuje się w medycynie - np. w
leczeniu kamieni nerkowych, a także w architekturze. Przykładem może być katedra św.
1
Zwane również krzywymi stopnia drugiego, albo krzywymi stożkowymi
ok. 380 p.n.e. - ok. 320 p.n.e.
3
ok. 260 p.n.e. - ok. 190 p.n.e.
4
tł. Stożkowe
2
2

5. Pawła w Londynie, w której osoba szepcząca w jednym z ognisk jest dobrze odbierana w
drugim, chociaż nie słychać jej w żadnym innym miejscu po drodze.
Jednym z najbardziej znanych zastosowań paraboli w naturze jest przybliżenie przez
nią trajektorii ciała wystrzelonego w górę i ściąganego przez siłę grawitacji. Najprostszym sposobem na zaobserwowanie tego zjawiska to obserwacja wody wysyłanej przez
fontannę ku górze. Własność odbiciową paraboli wykorzystuje się w budowie reflektorów
samochodowych, anten satelitarnych czy piekarników słonecznych.
Kształt hiperboli można dojrzeć we wzorze tworzonym przez światło lampy zawieszonej
na ścianie. Ten sam kształt przyjmuje fala uderzeniowa gromu dźwiękowego wytworzonego
przez samolot lecący nad ziemią, która tworzy się na ziemi.
Powyższe przykłady pokazują jak istotne są linie stopnia drugiego w codziennym życiu.
Badanie i korzystanie z ich własności ma realny wpływ na codzienne życie.
Tematem niniejszej pracy magisterskiej jest badanie wybranych własności linii stopnia
drugiego. W pierwszym rozdziale opisywane są elipsy, hiperbole i parabole w postaci
kanonicznej oraz ich najważniejsze elementy i własności. Następnie wystosowywane są
wnioski dotyczące wspólnych cech tych linii stopnia drugiego. W kolejnym - ostatnim
rozdziale - zostaje pokazane, że każde równanie ogólne linii stopnia drugiego jesteśmy
w stanie, poprzez odpowiedni obrót i translację układu współrzędnych, przekształcić do
postaci równania elipsy, paraboli, czy hiperboli5 w kanonicznej postaci.
5
lub też punktu, czy dwóch prostych przecinających się
3

6. 2. Linie stopnia drugiego
2.1. Elipsa
Definicja 2.1.1. Elipsą nazywamy miejsce geometryczne wszystkich punktów płaszczyzny P , dla których suma odległości od dwóch ustalonych punktów F1 i F2 (ognisk) jest
stałą. Odległość |F1 F2 | nazywamy ogniskową elipsy, a odcinki F1 P i F2 P promieniami
wodzącymi punktu P (rys. (2.1)).
Rys. 2.1. Elipsa z zaznaczonymi ogniskami F1 i F2 i promieniami wodzącymi F1 P i F2 P
Uwaga 2.1.1. Warunek powyższej definicji możemy zapisać następująco:
|F1 P | + |F2 P | = 2a, gdzie |F1 F2 | < 2a
Twierdzenie 2.1.1 (Równanie osiowe elipsy). Jeśli F1 = (c, 0) i F2 = (−c, 0), to równanie
elipsy przyjmuje postać:
x2 y 2
+ 2 =1
(2.1)
a2
b
Dowód. Niech F1 = (c, 0) oraz F2 = (−c, 0) będą ogniskami elipsy i punkt P = (x, y)
należący do elipsy oraz niech te punkty spełniają warunek:
|F1 P | + |F2 P | = 2a
4

7. Mamy wówczas, że:
|F1 P | + |F2 P | =
(x − c)2 + y 2 +
(x + c)2 + y 2 = 2a
I dalej:
(x − c)2 + y 2 = 2a −
(x + c)2 + y 2
(x − c)2 + y 2 = 4a2 − 4a (x + c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2
4a (x + c)2 + y 2 = 4a2 + 4cx
a2 (x2 + 2cx + c2 + y 2 ) = a4 + 2a2 cx + c2 x2
a2 x2 + a2 c2 + a2 y 2 = a4 + c2 x2
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a4 − a2 c2
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
Różnica a2 − c2 jest dodatnia, bo a > c > 0. Niech b2 = a2 − c2 . Otrzymujemy wtedy:
b 2 x 2 + a2 y 2 = a2 b 2
I w konsekwencji:
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
Rys. 2.2. Elipsa dana równaniem
x2
16
+
y2
9
=1
Uwaga 2.1.2. Z powyższego rozumowania wynika, że
a2 = b 2 + c 2
5
(2.2)

8. Uwaga 2.1.3. Mając równanie elipsy dane wzorem (2.1) mamy, że odległość środka układu współrzędnych od punktów przecięcia się elipsy z osią OX i OY wynosi odpowiednio
a i b.
Uwaga 2.1.4. Jeżeli w równaniu elipsy (2.1) zachodzi, że a = b, to elipsa jest okręgiem.
Twierdzenie 2.1.2 (Własności elipsy). Jeżeli elipsa dana jest równaniem (2.1), to:
1. Każda elipsa posiada dwie osie symetrii dane równaniami x = 0 i y = 0.
2. Posiada środek symetrii w punkcie (0, 0).
Dowód. Wystarczy zauważyć, że jeżeli punkt P = (x, y) należy do elipsy, to należą do
niej również punkty P1 = (−x, y), P2 = (x, −y) oraz P3 = (−x, −y).
Definicja 2.1.2. Punkt S, w którym przecinają się osie symetrii elipsy nazywamy środkiem elipsy. Odcinek łączący dwa dowolne punkty elipsy nazywamy cięciwą elipsy, a każdą
cięciwę przechodzącą przez środek elipsy nazywamy średnicą elipsy.
Definicja 2.1.3. Najdłuższą średnicę elipsy nazywamy osią wielką, a najkrótszą - osią
małą 1 .
Uwaga 2.1.5. W elipsie o równaniu (2.1) oś wielka przechodzi przez ogniska elipsy, a oś
mała przechodzi przez środek elipsy i jest prostopadła do osi wielkiej.
Definicja 2.1.4. Okrąg, którego średnicą jest oś wielka nazywamy okręgiem opisanym
na elipsie. Okrąg, którego średnicą jest oś mała nazywamy okręgiem wpisanym w elipsę.
2.1.1. Styczna do elipsy, własność odbiciowa elipsy
Twierdzenie 2.1.3 (Równanie stycznej do elipsy). Ustalmy punkt P0 (x0 , y0 ) należący
do elipsy o równaniu (2.1). Wówczas równanie
x0 x y 0 y
+ 2 =1
a2
b
(2.3)
opisuje styczną do elipsy w punkcie P0 .
Dowód. Niech (2.1) będzie równaniem elipsy. Pokażemy, że prosta dana równaniem (2.3)
jest styczną do elipsy, przechodzącą przez punkt P = (x0 , y0 ).
Zauważmy, że elipsa i prosta będą się przecinały w tylu punktach, ile rozwiązań będzie
miał układ równań
 2
 x

1
y2
−
b2
0
+ y2 y
b
+
a2
x0
x
a2
1=0
−1=0
Jeżeli elipsa jest okręgiem, to nie ma sensu rozróżniać osi wielkiej i osi małej
6

9. Rys. 2.3. Elipsa z zaznaczoną styczną przechodzącą przez punkt P0
0
0
Wektor kierunkowy prostej danej w drugim równaniu ma postać u = [− y2 , x2 ]. Możemy
b
a
w takim razie zapisać powyższy układ równań w następującej postaci:
 2
 x2

 a

+
y2
b2
−1=0
x = x0 −




y = y0 +
y0
t
b2
x0
t
a2
Będzie on równoważny równaniu:
0
0
(x0 − y2 t)2 (y0 + x2 t)2
b
a
+
−1=0
a2
b2
Po przekształceniach dostaniemy równanie:
(
2
y 0 x2 2
0
2
+ 2 )t = −(b2 x2 + a2 y0 − a2 b2 )
0
2
b
a
Dzieląc je obustronnie przez a2 b2 otrzymamy
y2
x2
2
0
0
( b2 + a2 )t2
x2 y 0
0
= −( 2 + 2 − 1)
a2 b 2
a
b
Z założenia mówiącego, że punkt P = (x0 , y0 ) należy do elipsy mamy
t2 = 0
Powyższe równanie jest prawdziwe tylko dla t = 0. Pokazaliśmy zatem, że prosta dana
równaniem (2.3) ma z elipsą (2.1) tylko jeden punkt wspólny, a więc jest jej styczną.
Uwaga 2.1.6 (Równanie prostej prostopadłej do stycznej). Prosta prostopadła do stycznej przechodzącej przez punkt P0 = (x0 , y0 ) ma równanie
−
y 0 x x0 y
x 0 y 0 x0 y 0
+ 2 = 2 − 2
2
b
a
a
b
7
(2.4)

10. Rys. 2.4. Ilustracja do Twierdzenia 2.1.4
Twierdzenie 2.1.4. Styczna w punkcie P0 do elipsy o ogniskach F1 i F2 jest dwusieczną
kąta zewnętrznego F1 P0 F2 trójkąta F1 P0 F2 .
Dowód. (Hp.) Załóżmy, że dwusieczna kąta zewnętrznego F1 P0 F2 trójkąta F1 P0 F2 nie jest
styczną do elipsy przechodzącą przez punkt P0 . Wówczas dwusieczna przecina elipsę w
pewnym punkcie Q0 różnym od P0 .
Niech F będzie odbiciem punktu F1 w dwusiecznej. Z własności symetrii wynika, że
|F1 P0 | = |F P0 |
i dalej, że:
|F2 P0 | + |F P0 | = 2a
gdzie 2a oznacza długość osi wielkiej.
Podobnie możemy pokazać, że
|F2 Q0 | + |F Q0 | = 2a
Zauważmy, że punkty F , P0 i F2 są współliniowe. Wynika to z własności dwusiecznej kąta,
mówiącej iż jest to miejsce geometryczne punktów równo oddalonych od ramion kąta oraz
z faktu, iż punkt F jest odbiciem symetrycznym punktu F1 w dwusiecznej.
Mamy więc, że:
|F2 P0 | + |F P0 | < |F2 Q0 | + |F Q0 |
Otrzymujemy sprzeczność, gdyż
|F2 P0 | + |F P0 | = 2a = |F2 Q0 | + |F1 Q0 |
8

11. Rys. 2.5. Ilustracja do dowodu twierdzenia 2.1.4
Uwaga 2.1.7 (Własność odbiciowa elipsy). Z powyższego twierdzenia wynika, że prosta prostopadła do stycznej elipsy przechodzącej przez punkt P0 jest dwusieczną kąta
zawartego między promieniami wodzącymi elipsy poprowadzonymi do tego punktu.
Własność odbiciowa elipsy mówi o tym, że każdy promień wystrzelony z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od krawędzi elipsy trafi do drugiego ogniska (rys. (2.6)). Fakt ten
jest wykorzystywany np. przy projektowaniu budynków, by akustyka w nich była odpowiednia. Wówczas orkiestra grająca w jednym z ognisk elipsoidalnej sali będzie dobrze
słyszalna dla odbiorcy będącego w owym czasie w drugim ognisku tego pomieszczenia.
Jedną z najbardziej znanych sal o tej własności jest Statuary Hall znajdująca się w budynku Kapitolu Stanów Zjednoczonych2 .
Rys. 2.6. Promień wysłany z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od krawędzi trafia do drugiego.
2
Zob. plik: wlasnosc-odbiciowa-elipsy.ggb
9

12. 2.1.2. Biegunowa, kierownica, mimośród
Definicja 2.1.5. Niech Q0 (x0 , y0 ) będzie dowolnym punktem płaszczyzny. Biegunową
punktu Q0 , nazywamy prostą o równaniu
x0 x y 0 y
+ 2 =1
a2
b
(2.5)
Twierdzenie 2.1.5. Jeżeli punkt Q0 należy do elipsy, to biegunowa jest jej styczną
przechodzącą przez punkt Q0
Dowód. Własność ta wynika wprost z poprzednich rozważań.
Definicja 2.1.6. Biegunową ogniska elipsy nazywamy kierownicą elipsy.
Rys. 2.7. Elipsa z ogniskami F1 i F2 z zaznaczonymi kierownicami
Twierdzenie 2.1.6. Kierownica elipsy (2.1) w ognisku F1 = (−c, 0) (F2 = (c, 0)) przyjmuje równanie
a2
c
Kierownica elipsy w ognisku F2 = (c, 0) przyjmuje równanie
x=−
x=
a2
c
(2.6)
(2.7)
Dowód. Niech dana będzie elipsa o równaniu (2.1) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 =
(c, 0).
Wstawiając do równania biegunowej elipsy (2.5) współrzędne ogniska F1 otrzymamy równanie
−cx
=1
a2
które jest równoważne równaniu
x=−
10
a2
c

13. W analogiczny sposób, wstawiając do równania biegunowej współrzędne ogniska F2 otrzymamy równanie prostej
x=
a2
c
Definicja 2.1.7. Mimośrodem elipsy nazywamy parametr ε będący wartością opisującą
stosunek długości ogniskowej do długości osi wielkiej.
Twierdzenie 2.1.7. Niech dana będzie elipsa o równaniu (2.1) i ogniskach F1 = (−c, 0)
oraz F2 = (c, 0). Wówczas
ε=
c
a
(2.8)
Dowód. Ustalmy elipsę o równaniu (2.1) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0).
Długości ogniskowej i osi wielkiej są odpowiednio równe 2c oraz 2a.
c
Wówczas stosunek długości ogniskowej do długości osi wielkiej jest równy a .
Twierdzenie 2.1.8. Dla każdej elipsy zachodzą nierówności:
0
ε<1
Dowód. Ustalmy elipsę o równaniu (2.1) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0). Wówczas mimośród elipsy jest opisany równaniem ε =
√
2
c
a
2
Korzystając z (2.2) mamy, że ε = a a−b . Oczywiście a
√
Z faktu, iż a2 − b2 0 i a > 0 wynika, że ε 0.
√
Mamy również, że ε =
a2 −b2
a
b.
√
<
a2
a
= 1.
Pokazaliśmy zatem, że
0
ε<1
Mimośród jest parametrem opisującym stopień spłaszczenia elipsy. Będzie on równy
0 wówczas, gdy a = b, a więc gdy sama elipsa jest okręgiem. Gdy mimośród dąży do 1,
elipsa ulega spłaszczeniu ( a dąży do nieskończoności).
b
Uwaga 2.1.8. Dwie elipsy są do siebie podobne, jeśli mają taki sam mimośród.
Twierdzenie 2.1.9. Stosunek odległości dowolnego punktu elipsy od ogniska do odległości od odpowiedniej kierownicy jest stały i równy mimośrodowi (rys. 2.8).
Dowód. Ustalmy elipsę daną równaniem (2.1) z ogniska F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0). Jej
c
mimośród ε jest oczywiście równy a . Dodatkowo ustalmy punkt P = (x0 , y0 ) należący do
elipsy oraz punkty P1 i P2 , będące rzutami punktu P na kierownice ognisk odpowiednio
11

14. Rys. 2.8
F1 i F2 .
Korzystając z równości b2 = a2 − c2 dostajemy równanie elipsy w następującej postaci
x2
y2
0
+ 2 0 2 =1
a2 a − c
i dalej
a2 − c2
2
+ y 0 = a2 − c 2
a2
c2
2
x2 (1 − 2 ) + y0 = a2 − c2
0
a
c2
2
c2 ± 2cx0 + x2 + y0 = 2 x2 ± 2cx0 + a2
0
a 0
c2
a2 a4
2
c2 ± 2cx0 + x2 + y0 = 2 x2 ± 2x0 + 2
0
0
a
c
c
x2
0
2
c2 ± 2cx0 + x2 + y0 = ε2 x2 ± 2x0
0
0
2
(c ± x0 ) +
2
y0
=ε
2
a2
x0 ±
c
a2 a4
+ 2
c
c
2
Otrzymaliśmy zatem prawdziwość dla dwóch równości:
|P F1 | = ε|P P1 | i |P F2 | = ε|P P2 |
Uwaga 2.1.9. Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie elipsy jako miejsca geometrycznego punktów płaszczyzny P , dla których stosunek odległości od pewnego ustalonego
punktu (ogniska) do pewnej prostej (kierownicy) jest równy ε, gdzie ε ∈ [0, 1)
Pojęcie mimośrodu ma szerokie zastosowanie w fizyce. Pierwsze prawo Keplera 3 mówi
bowiem iż
3
Opublikowane w 1609 roku w dziele Astronomia nova
12

15. Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po orbicie w
kształcie elipsy, w której w jednym z ognisk jest Słońce.
Isaac Newton dowiódł później, że orbity zawsze są stożkowymi. Mimośród jest wykorzystywany jako parametr opisu orbit ciał niebieskich. W Układzie Słonecznym są to wartości
stosunkowo niewielkie (Tab. 2.1). Z kolei kometa Halleya ma mimośród ε ≈ 0, 96727, a
kometa Hale’a Boppa ε ≈ 0, 995086.
Tab. 2.1. Planety i mimośrody ich orbit
Planeta
Mimośród ε (Wartości przybliżone)
Merkury
0,206
Wenus
0,007
Ziemia
0,017
Mars
0,093
Jowisz
0,043
Saturn
0,051
Uran
0,046
Neptun
0,004
Oczywiście im wartość ε jest bliższa zeru, tym orbita danego ciała niebieskiego jest
bardziej zbliżona do okręgu.
Rys. 2.9. Porównanie elips o kształtach orbit Merkurego, Ziemi i Neptuna
13

16. Znając wartość mimośrodu i długość półosi wielkiej orbity można w łatwy sposób
policzyć perycentrum4 i apocentrum
5
takiej orbity. Te odległości to odpowiednio q =
a(1 − ε) i Q = a(1 + ε).
4
Punkt na orbicie ciała niebieskiego okrążającego dany obiekt, znajdujący się w miejscu najbliższego
zbliżenia ciała do tego obiektu
5
Punkt na orbicie ciała niebieskiego okrążającego dany obiekt, znajdujący się w miejscu największego
oddalenia ciała do tego obiektu
14

17. 2.2. Hiperbola
Definicja 2.2.1. Hiperbolą nazywamy miejsce geometryczne wszystkich punktów płaszczyzny P , dla których moduł różnicy odległości od dwóch punktów F1 i F2 (ognisk) jest
stałą. Odległość |F1 F2 | nazywamy ogniskową hiperboli, a odcinki F1 P i F2 P promieniami
wodzącymi punktu P .
Uwaga 2.2.1. Warunek powyższej definicji możemy zapisać następująco:
||F1 P | − |F2 P || = 2a, gdzie |F1 F2 | > 2a
Twierdzenie 2.2.1 (Równanie osiowe hiperboli). Jeśli F1 = (c, 0) i F2 = (−c, 0), to
równanie hiperboli przyjmuje postać:
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
(2.9)
Dowód. Niech F1 = (c, 0) oraz F2 = (−c, 0) będą ogniskami hiperboli i punkt P = (x, y)
należący do hiperboli oraz niech te punkty spełniają warunek:
||F1 P | − |F2 P || = 2a
Przyjmijmy również, że |F1 P | > |F2 P |. Mamy wówczas, że:
|F1 P | − |F2 P | =
(x − c)2 + y 2 −
(x + c)2 + y 2 = 2a
I dalej:
(x − c)2 + y 2 = 2a +
(x + c)2 + y 2
(x − c)2 + y 2 = 4a2 + 4a (x + c)2 + y 2 + (x + c)2 + y 2
−4a (x + c)2 + y 2 = 4a2 + 4cx
a2 (x2 + 2cx + c2 + y 2 ) = a4 + 2a2 cx + c2 x2
a2 x 2 + a2 c 2 + a2 y 2 = a4 + c 2 x 2
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a4 − a2 c2
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
Różnica a2 − c2 jest ujemna, bo c > a > 0. Niech −b2 = a2 − c2 . Otrzymujemy wtedy:
−b2 x2 + a2 y 2 = −a2 b2
I w konsekwencji:
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
Sytuacja będzie się miała analogicznie, gdy przyjmiemy, że |F2 P | > |F1 P |.
15

18. Rys. 2.10. Hiperbola dana równaniem
x2
4
−
y2
4
=1
Definicja 2.2.2. Jeżeli w równaniu hiperboli (2.9) zachodzi, że a = b, to hiperbolę
nazywamy hiperbolą równoosiową Jej równanie osiowe ma postać
x 2 − y 2 = a2
Definicja 2.2.3. Punkty przecięcia hiperboli z prostą zawierającą ogniska hiperboli nazywamy wierzchołkami hiperboli. Odcinek łączący wierzchołki hiperboli nazywamy osią
rzeczywistą hiperboli.
Twierdzenie 2.2.2. Wierzchołki hiperboli o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (c, 0) oraz
F2 = (−c, 0) mają współrzędne A1 = (−a, 0) i A2 = (a, 0).
Dowód. Ustalmy hiperbolę o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (c, 0) oraz F2 = (−c, 0).
Pokażemy, że wierzchołki hiperboli mają współrzędne A1 = (−a, 0) i A2 = (a, 0).
Wierzchołki hiperboli będą punktami przecięcia prostej zawierającej oś rzeczywistą hiperboli oraz samej hiperboli. Ich współrzędne będą zatem rozwiązaniami następującego
układu równań.
 2
 x
a2

−
y2
b2
−1=0
y=0
Po odpowiednich przekształceniach otrzymamy równanie
x 2 = a2
Korzystając z faktu, iż a > 0 otrzymujemy, co mieliśmy do udowodnienia.
Twierdzenie 2.2.3 (Własności hiperboli). Jeżeli hiperbola dana jest równaniem (2.9),
to:
1. Hiperbola posiada dwie osie symetrii dane równaniami x = 0 i y = 0,
16

19. 2. Posiada środek symetrii w punkcie (0, 0).
Dowód. Wystarczy zauważyć, że jeżeli do hiperboli należy punkt P = (x, y), to należy do
niej również punkt P1 = (−x, y), P2 = (x, −y) i P3 = (−x, −y).
Definicja 2.2.4. Środek symetrii hiperboli nazywamy środkiem hiperboli. Odcinek łączący dwa różne punkty hiperboli nazywamy cięciwą hiperboli. Cięciwy przechodzące przez
środek hiperboli nazywamy średnicami hiperboli.
2.2.1. Styczna do hiperboli i asymptoty
Twierdzenie 2.2.4 (Równanie stycznej do hiperboli). Ustalmy punkt P0 (x0 , y0 ) należący
do hiperboli o równaniu (2.9). Wówczas równanie
x0 x y 0 y
− 2 =1
a2
b
(2.10)
opisuje styczną do hiperboli w punkcie P0 .
Rys. 2.11. Hiperbola z zaznaczoną styczną przechodzącą przez punkt P0
Dowód. Niech (2.9) będzie równaniem hiperboli. Pokażemy, że prosta dana równaniem
(2.10) jest styczną do hiperboli, przechodzącą przez punkt P = (x0 , y0 ) należący do niej.
√
b
Zbadajmy wpierw jak wygląda równanie stycznej do wykresu y = a x2 − a2 w punkcie
P0 = (x0 , y0 ). Pochodna tej funkcji jest równa
y =
b
x
·√ 2
a
x − a2
Korzystając z własności pochodnej możemy zapisać równanie stycznej do funkcji w punkcie P0 = (x0 , y0 ), należącym do wykresu tej funkcji, jako
y − y0 =
b
x
·√ 2
(x − x0 )
a
x − a2
17

20. Korzystając z równości y0 =
b
a
x2 − a2 otrzymujemy
0
y − y0 =
b x0
·
(x − x0 )
a a y0
b
i dalej
b2
(xx0 − x2 )
0
a2
2
yy0 − y0
xx0 − x2
0
=
2
2
b
a
Dokonując teraz prostych przekształceń arytmetycznych oraz korzystając z faktu, iż punkt
2
yy0 − y0 =
P0 należy do hiperboli otrzymujemy to, co należało udowodnić:
x0 x y 0 y
− 2 =1
a2
b
W analogiczny sposób będzie przebiegało wyznaczanie stycznej w punkcie P0 = (x0 , y0 )
√
b
dla funkcji y = − a x2 − a2 .
Twierdzenie 2.2.5 (Własność odbiciowa hiperboli). Styczna w punkcie P0 do hiperboli
o ogniskach F1 i F2 jest dwusieczną kąta wewnętrznego F1 P0 F2 trójkąta F1 P0 F2 .
Rys. 2.12. Ilustracja do Twierdzenia 2.2.5
Dowód. (Hp.) Załóżmy, że dwusieczna kąta wewnętrznego F1 P0 F2 trójkąta F1 P0 F2 nie
jest styczną do hiperboli przechodzącą przez punkt P0 . Wówczas dwusieczna przecina
hiperbolę w pewnym punkcie Q0 różnym od P0 .
Niech F będzie odbiciem punktu F1 w dwusiecznej. Z własności symetrii wynika, że
|F1 P0 | = |F P0 |
i dalej, że:
||F2 P0 | − |F P0 || = 2a
18

21. gdzie 2a oznacza długość osi rzeczywistej hiperboli.
Podobnie możemy pokazać, że
||F2 Q0 | − |F Q0 || = 2a
Z własności dwusiecznej mamy, że F leży na prostej F2 P0 . Wynika stąd, że punkty F , P0
i F2 są współliniowe. Mamy również, że F , Q0 i F2 są niewspółliniowe.
Korzystając teraz z odwrotnej nierówności trójkąta6 dostaniemy, że
||F Q0 | − |F2 Q0 ||
|F F2 | = ||F P0 | − |F2 P0 ||
Otrzymujemy sprzeczność, gdyż
||F2 P0 | − |F P0 || = 2a = ||F2 Q0 | − |F Q0 ||
Rys. 2.13. Ilustracja do dowodu Twierdzenia 2.2.5
Własność odbiciowa hiperboli mówi o tym, że każdy promień zmierzający w kierunku
jednego z ognisk hiperboli, po odbiciu od jej brzegu wpadnie w drugie z ognisk. Z drugiej
strony - promienie wysyłane z jednego ogniska hiperboli, są tak odbijane od niej, że zdają
się wychodzić z drugiego z ognisk7 .
Twierdzenie 2.2.6. Prosta y = mx, przechodząca przez środek hiperboli (2.9), przecina
b
hiperbolę, w dwóch punktach równo odległych od środka, gdy |m| < a , a nie przecina
hiperboli, gdy |m|
6
7
b
.
a
∀x,y∈R ||x| − |y|| |x − y|
Zob. plik: wlasnosc-odbiciowa-hiperboli.ggb
19

22. Rys. 2.14. Promień skierowany na jedno ognisko hiperboli, po odbiciu od trafia do drugiego
ogniska
Dowód. Ustalmy hiperbolę daną równaniem (2.9) oraz prostą y = mx, gdzie m ∈ R. Liczba punktów przecięcia hiperboli i prostej będzie tożsama z liczbą rozwiązań następującego
układu równań
 2
 x
a2

−
y2
b2
−1=0
y = mx
Będzie on równoważny równaniu
x2 (mx)2
−
−1=0
a2
b2
i dalej
x2 =
(ab)2
b2 − (am)2
Liczba rozwiązań powyższego równania zależy zatem od znaku wyrażenia b2 −(am)2 . Jego
b
b
wartość będzie mniejsza od zera, gdy |m| > a , a większa od zera, gdy |m| < a . Dodatkowo
b
powyższy układ równań będzie sprzeczny, gdy |m| = a .
Gdy |m| <
b
a
rozwiązaniami naszego równania będą liczby x1 = √
ab
b2 −(am2 )
oraz x2 =
−√
ab
.
b2 −(am2 )
Pokazaliśmy zatem, iż prosta y = mx nie ma z hiperbolą daną równaniem (2.9) punktów
wspólnych, gdy |m|
b
,
a
b
a gdy |m| < a , to hiperbola i prosta mają ze sobą dwa punkty
wspólne równo odległe od środka hiperboli.
Definicja 2.2.5. Jeśli hiperbola jest dana równaniem (2.9), to proste dane równaniami
b
b
y= xiy=− x
a
a
nazywamy asymptotami hiperboli (rys. (2.15)).
20
(2.11)

23. Rys. 2.15. Hiperbola z zaznaczonymi asymptotami
Uwaga 2.2.2. Asymptoty rozdzielają proste przechodzące przez środek hiperboli danej
równaniem (2.9) na dwie klasy, z których jedne mają punkty wspólne z hiperbolą, a drugie
ich nie mają.
Twierdzenie 2.2.7. Każda prosta równoległa do jednej z asymptot i od niej różna przecina hiperbolę w dokładnie jednym punkcie.
Dowód. Ustalmy hiperbolę daną równaniem (2.9). Posiada ona oczywiście asymptoty dane równaniami y =
b
x
a
b
oraz y = − a x. Proste równoległe do asymptot mają równania
b
b
odpowiednio y = a x + r i y = − a + r, gdzie r ∈ R {0}.
Zajmijmy się wpierw pierwszą z wymienionych prostych. Będzie ona miała tyle punktów
przecięcia z hiperbolą, ile rozwiązań będzie miał układ równań
 2
 x
a2

y2
b2
b
x
a
−
y=
−1=0
+r
Będzie miał on tyle samo rozwiązań, ile równanie
b
b2 x2 − a2 ( x + r)2 = a2 b2
x
Jest ono równoważne równaniu
a(b2 − r2 )
2br
Powyższe równanie ma tylko jedno rozwiązanie.
x=−
Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla prostej równoległej do drugiej z asymptot.
21

24. Rys. 2.16. Hiperbole utworzone przez stożki światła przecięte ścianą; autor: GuidoB, źródło:
wikipedia.org
2.2.2. Biegunowa, kierownica, mimośród
Definicja 2.2.6. Niech Q0 (x0 , y0 ) będzie dowolnym punktem płaszczyzny. Biegunową
punktu Q0 , nazywamy prostą o równaniu
x0 x y 0 y
− 2 =1
a2
b
(2.12)
Twierdzenie 2.2.8. Jeżeli punkt Q0 należy do hiperboli, to biegunowa jest jej styczną
przechodzącą przez punkt Q0
Dowód. Własność ta wynika wprost z poprzednich rozważań.
Definicja 2.2.7. Biegunową ogniska hiperboli nazywamy kierownicą hiperboli.
Twierdzenie 2.2.9. Kierownica hiperboli (2.9) w ognisku F1 = (−c, 0) (F2 = (c, 0))
przyjmuje równanie
x=−
22
a2
c
(2.13)

25. Kierownica hiperbola w ognisku F2 = (c, 0) przyjmuje równanie
a2
x=
c
(2.14)
Rys. 2.17. Hiperbola z zaznaczonymi kierownicami jej poszczególnych ognisk
Dowód. Niech dana będzie hiperbola o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz
F2 = (c, 0).
Wstawiając do równania biegunowej hiperboli (2.12) współrzędne ogniska F1 otrzymamy
równanie
−cx
=1
a2
które jest równoważne równaniu
a2
c
W analogiczny sposób, wstawiając do równania biegunowej współrzędne ogniska F2 otrzyx=−
mamy równanie prostej
x=
a2
c
Definicja 2.2.8. Mimośrodem hiperboli nazywamy parametr ε będący wartością opisującą stosunek długości ogniskowej do odległości między wierzchołkami hiperboli.
Twierdzenie 2.2.10. Jeżeli dana jest hiperbola o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (−c, 0)
oraz F2 = (c, 0), to
c
(2.15)
a
Dowód. Ustalmy hiperbolę o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0).
ε=
Długości ogniskowej i odległość między wierzchołkami hiperboli są odpowiednio równe 2c
oraz 2a.
c
Wówczas stosunek długości ogniskowej do długości osi wielkiej jest równy a .
23

26. Twierdzenie 2.2.11. Niech dana będzie hiperbola o równaniu (2.9) i ogniskach F1 =
(−c, 0) oraz F2 = (c, 0). Wówczas
1<ε
Dowód. Ustalmy hiperbolę o równaniu (2.9) i ogniskach F1 = (−c, 0) oraz F2 = (c, 0).
Wówczas mimośród elipsy jest opisany równaniem ε =
c
a
Z definicji hiperboli mamy, że c > a, stąd
1=
c
a
<= = ε
a
a
Uwaga 2.2.3. Dwie elipsy są do siebie podobne, jeśli mają taki sam mimośród.
Twierdzenie 2.2.12. Stosunek odległości dowolnego punktu hiperboli od ogniska do
odległości od odpowiedniej kierownicy jest stały i równy mimośrodowi (rys. 2.18).
Rys. 2.18
Dowód. Ustalmy hiperbolę daną równaniem (2.9) z jej ogniskami F1 = (−c, 0) oraz F2 =
c
(c, 0). Jej mimośród ε jest równy a . Dodatkowo ustalmy punkt P = (x0 , y0 ) należący do
hiperboli oraz punkty P1 i P2 , będące rzutami punktu P na kierownice ognisk odpowiednio
F1 i F2 .
Korzystając z równości b2 = c2 − a2 dostajemy równanie hiperboli w następującej postaci
x2
y2
0
− 2 0 2 =1
a2 c − a
i dalej
x2
y2
0
+ 2 0 2 =1
a2 a − c
24

27. a2 − c 2
2
+ y 0 = a2 − c 2
2
a
c2
2
x2 (1 − 2 ) + y0 = a2 − c2
0
a
c2
2
c2 ± 2cx0 + x2 + y0 = 2 x2 ± 2cx0 + a2
0
a 0
c2
a2 a4
2
c2 ± 2cx0 + x2 + y0 = 2 x2 ± 2x0 + 2
0
0
a
c
c
x2
0
2
c2 ± 2cx0 + x2 + y0 = ε2 x2 ± 2x0
0
0
2
(c ± x0 ) +
2
y0
=ε
2
a2
x0 ±
c
a2 a4
+ 2
c
c
2
Otrzmaliśmy zatem prawdziwość dla dwóch równości:
|P F1 | = ε|P P1 | i |P F2 | = ε|P P2 |
Uwaga 2.2.4. Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie hiperboli jako miejsca
geometrycznego punktów płaszczyzny P , dla których stosunek odległości od pewnego
ustalonego punktu (ogniska) do pewnej prostej (kierownicy) jest równy ε, gdzie ε > 1
25

28. 2.3. Parabola
Definicja 2.3.1. Parabolą nazywamy miejsce geometryczne wszystkich punktów płaszczyzny P , których odległości od punktu F (ogniska) i od prostej stałej k (kierownicy),
nieprzechodzącej przez punkt F są równe.
Uwaga 2.3.1. Warunek powyższej definicji możemy zapisać następująco:
|F P | = d(P, k)
Twierdzenie 2.3.1 (Równanie wierzchołkowe paraboli). Jeśli F = (c, 0) i k : x + c = 0,
to równanie paraboli przyjmuje postać:
y 2 = 2px , gdzie p > 0
(2.16)
Dowód. Ustalmy punkt F = (c, 0) i prostą k : x + c = 0. Niech punkt P = (x, y) należy
do paraboli. Wówczas możemy zapisać następującą równość:
(x − c)2 + y 2 =
|1x + 0y + c|
√
12 + 02
Po przekształceniach równanie przyjmie postać
y 2 = 4xc
Podstawiając teraz 2c = p. Otrzymujemy żądaną postać równania wierzchołkowego paraboli.
Rys. 2.19. Parabola o równaniu y 2 = x z zaznaczoną kierownica i ogniskiem
Uwaga 2.3.2 (Własności paraboli). Jeżeli parabola dana jest równaniem (2.16), to
26

29. 1. parabola posiada jedną oś symetrii daną równaniem y = 0,
2. parabola leży tylko po dodatniej stronie osi x .
Definicja 2.3.2. Punkty przecięcia się paraboli z jej osią symetrii nazywamy wierzchołkiem paraboli.
Twierdzenie 2.3.2. Wierzchołek paraboli o równaniu (2.16) ma współrzędne A = (0, 0).
Dowód. Niech będzie dane ognisko paraboli F = (c, 0) oraz kierownica dana k : x + c =
0. Najkrótszy odcinek łączący ognisko z kierownicą jest tożsamy z odcinkiem łączącym
ognisko i rzut tego ogniska na kierownicę. Oznaczając ten rzut jako F otrzymamy, że
F = (−c, 0). Korzystając następnie ze wzoru na środek odcinka i oznaczając ten środek
jako A otrzymujemy, że A = (0, 0).
Definicja 2.3.3. Oś symetrii paraboli nazywamy osią paraboli. Odcinek łączący dwa
różne punkty paraboli nazywamy cięciwą paraboli.
2.3.1. Styczna do paraboli, własność odbiciowa paraboli
Twierdzenie 2.3.3 (Równanie stycznej do paraboli). Ustalmy punkt P0 (x0 , y0 ) należący
do paraboli o równaniu (2.16). Wówczas równanie
y0 y = p(x + x0 )
(2.17)
opisuje styczną do paraboli w punkcie P0 .
Dowód. Niech (2.16) będzie równaniem paraboli. Pokażemy, że prosta dana równaniem
(2.17) jest styczną do paraboli, przechodzącą przez punkt P0 = (x0 , y0 ) należący do niej.
√
Zbadajmy wpierw jak wygląda równanie stycznej do wykresu y = 2px w punkcie P0 =
(x0 , y0 ). Pochodna tej funkcji jest równa
y =√
p
2px
Korzystając z własności pochodnej możemy zapisać równanie stycznej do funkcji w punkcie P0 = (x0 , y0 ), należącym do wykresu tej funkcji, jako
y − y0 = √
Korzystając z równości y0 =
√
p
(x − x0 )
2px0
2px0 otrzymujemy
y − y0 =
p
(x − x0 )
y0
i dalej
2
yy0 − y0 = px − px0
27

30. Ponownie korzystając z równości y0 =
√
2px0 i dokonując prostych przekształceń arytme-
tycznych otrzymujemy to, co należało udowodnić:
yy0 = p(x + x0 )
W analogiczny sposób będzie przebiegało wyznaczanie stycznej w punkcie P0 = (x0 , y0 )
√
dla funkcji y = − 2px.
Twierdzenie 2.3.4. Dwie styczne do paraboli są do siebie prostopadłe wtedy i tylko
wtedy, gdy ich punkt przecięcia leży na kierownicy.
Rys. 2.20. Parabola wraz ze stycznymi przecinającymi się na jej kierownicy
2
2
l
Dowód. Ustalmy parabolę o równaniu (2.16) oraz dwa punkty K = ( k , k) i L = ( 2p , l)
2p
leżące na paraboli, przy czym zakładamy, że liczby k i l są różnych znaków.
p
Prosta k, będąca styczną do paraboli w punkcie K ma równanie y = k x + k , a prosta l 2
l
styczna do paraboli w punkcie L ma równanie y = p x + 2 .
l
⇒
Korzystając z założenia mówiącego o prostopadłości prostych k i l, otrzymujemy równość
p2
= (−1)
kl
By znaleźć punkt przecięcia się prostych k i l musimy rozwiązać układ równań


p
y = kx +

y = px +
l
k
2
l
2
Dokonując podstawienia, otrzymujemy równanie
p
k
p
l
x+ = x+
k
2
l
2
28

31. i dalej:
x
pk − pl
kl
k−l
2
=
Korzystając z założenia mówiącego o prostopadłości prostych otrzymujemy równanie
x −
k−l
p
=
k−l
2
Dzieląc równanie obustronnie przez − k−l otrzymujemy równość
p
x= −
p
= (−c)
2
Pokazaliśmy zatem, że odcięta punktu przecięcia się prostych k i l jest równa −c, co jest
równoznaczne z tym, iż punkt przecięcia się prostych k i l leży na kierownicy paraboli.
⇐
Prosta k przecina kierownicę w punkcie S1 = (−c, −cp + k ), a prosta l przecina kierownicę
k
2
l
w punkcie S2 = (−c, −cp + 2 ). Korzystając z założenia mówiącego, iż proste k i l przecinają
l
się w tym samym punkcie mamy:
−cp k
−cp l
+ =
+
k
2
l
2
Korzystając z równości p = 2c otrzymujemy
p2
p2
k
l
−
+ − =0
2l 2k 2 2
i dalej:
p2 (k − l) k − l
+
=0
2kl
2
Dzieląc następnie to równanie przez k−l , otrzymujemy równość:
2
p2
= (−1)
kl
Udowodniliśmy, że jeżeli dwie styczne przecinają się na kierownicy, to są względem siebie
prostopadłe.
Twierdzenie 2.3.5 (Własność odbiciowa paraboli). Niech dana będzie parabola o równaniu (2.16) oraz punkt P0 należący do niej. Wówczas kąt między prostą prostopadłą do
kierownicy paraboli, przechodzącą przez punkt P0 a styczną do paraboli w punkcie P0
jest równy kątowi między styczną przechodzącą przez punkt P0 a promieniem wodzącym
poprowadzonym z ogniska do punktu P0 .
29

32. Rys. 2.21. Prosta prostopadła do kierownicy po odbiciu od paraboli trafia do jej ogniska.
Dowód. Niech dana będzie parabola o równaniu (2.16) i punkt należący do tej paraboli
y2
0
P0 = ( 2p , y0 ). Korzystając z równania stycznej do paraboli (2.17) otrzymujemy, punkt
y2
0
przecięcia stycznej z osią X dany jako T = (− 2p , 0).
Zauważmy, że w trójkącie P0 T F mamy, że:
|T F | = |T A| + |AF | =
2
y0
+c
2p
gdzie A to wierzchołek paraboli.
Dodatkowo mamy również, że:
|F P0 | =
2
y0
−c
2p
2
2
+ y0
Przekształcając powyższe równanie otrzymamy, że:
2
y0
+c
|F P0 | =
2p
Skoro |T F | = |F P0 |, to dostajemy, że trójkąt P0 T F jest trójkątem równoramiennym, a
więc | P0 T F | = | T P0 F |.
Zauważmy teraz, że prosta prostopadła do kierownicy i przechodząca przez P0 tworzy ze
styczną przechodzącą przez P0 kąt odpowiadający do kąta P0 T F , o takiej samej mierze
jak kąt T P0 F .
Własność odbiciowa paraboli mówi o tym, że każdy promień wpadający do paraboli i
będący prostopadłym do kierownicy, po odbiciu od jej brzegu trafi do ogniska. Z drugiej
strony - promienie wysyłane z ogniska paraboli, po odbiciu od jej brzegu będą tworzyły
wiązkę równoległą8 .
8
Zob. plik: wlasnosc-odbiciowa-paraboli.ggb
30

33. Rys. 2.22. Ilustracja do dowodu Twierdzenia 2.3.5
Zjawisko to jest wykorzystywane w wielu dziedzinach ludzkiego życia. W krajach trzeciego świata używa się Solar Cookerów - piekarników wykorzystujących energię słoneczną
do podgrzewania i pieczenia potraw. Są to paraboloidy wyłożone od środka materiałem
odbijającym światło słoneczne. Po ustawieniu takiego piekarnika w kierunku Słońca promienie świetlne będą skupiały się w ognisku paraboloidy, podgrzewając wszystko, co
znajdzie się w jego pobliżu.
Dokładnie na tej samej zasadzie działają anteny satelitarne, czy mikrofony kierunkowe,
których przekrojem jest parabola. Fale, po odbiciu od wewnętrznej części talerza trafiają
do głowicy anteny.
Rys. 2.23. Piekarnik słoneczny; źródło: wikipedia.org
Innym zastosowanie własności odbiciowych paraboli są reflektory paraboidalne i wielo
paraboidalne, spotykane w samochodach. Światło wysyłane z żarówki jest odbijane od
31

34. powierzchni odbłyskowej, a następnie wysyłane w postaci jednej wiązki światła.
2.3.2. Biegunowa, kierownica, mimośród
Definicja 2.3.4. Niech Q0 (x0 , y0 ) będzie dowolnym punktem płaszczyzny. Biegunową
punktu Q0 , nazywamy prostą o równaniu
y0 y = p(x + x0 )
(2.18)
Twierdzenie 2.3.6. Jeżeli punkt Q0 należy do paraboli, to biegunowa jest jej styczną
przechodzącą przez punkt Q0
Dowód. Własność ta wynika wprost z poprzednich rozważań.
Twierdzenie 2.3.7. Biegunową ogniska paraboli pokrywa się z kierownicą tej paraboli.
Dowód. Mając daną parabolę (2.16), a następnie wstawiając do równania biegunowej
(2.18) współrzędne ogniska F = (c, 0) otrzymujemy równość:
0 = p(x + c)
Dokonując na tej równości odpowiednich przekształceń otrzymamy, że:
x = −c
Dowiedliśmy zatem, że biegunowa ogniska paraboli jest prostą pokrywającą się z kierownica paraboli.
Definicja 2.3.5. Mimośrodem paraboli nazywamy parametr ε będący wartością opisującą
stosunek odległości dowolnego punktu paraboli od ogniska - do odległości tego punktu od
kierownicy.
Twierdzenie 2.3.8. Wartość mimośrodu paraboli jest stale równa 1.
Dowód. Wynika wprost z definicji paraboli.
Uwaga 2.3.3. Dowolne dwie parabole są do siebie podobne.
Uwaga 2.3.4. Powyższe twierdzenie pozwala na zdefiniowanie paraboli jako miejsca geometrycznego punktów płaszczyzny P , dla których stosunek odległości od pewnego ustalonego punktu (ogniska) do pewnej prostej (kierownicy) jest stały i równy ε, gdzie ε = 1
32

35. 2.4. Wnioski
Rozdziały poświęcone elpisie, hiperboli i paraboli pozwalają na dokonanie klasyfikacji
krzywych stopnia drugiego na podstawie wartości ich mimośrodu
Tab. 2.2. Klasyfikacja linii stopnia drugiego na podstawie wartości ich mimośrodu
Nazwa linii stopnia drugiego
Mimośród
Okrąg
0
Elipsa
(0,1)
Parabola
1
Hiperbola
(1, ∞)
33

36. 3. Zmiana układu współrzędnych
3.1. Podstawowe pojęcia
Twierdzenie 3.1.1. Jeśli początek układu współrzędnych OXY przesuniemy o wektor
v = [p, q], to punkt P o współrzędnych (x0 , y0 ) w układzie OXY , będzie miał w nowym
układzie O X Y współrzędne (x , y ) takie, że spełnione będą równania
x = x0 − p
y = y0 − q
Rys. 3.1. Translacja układu współrzędnych o wektor v
Dowód. Ustalmy punkt P , który ma współrzędne (x0 , y0 ) w starym układzie współrzędnych i (x , y ) w nowym układzie współrzędnych. Nowy układ współrzędnych powstał
poprzez przesunięcie starego o wektor v = [p, q]. Można wówczas zapisać, że
−
−
−→
−
−
→ −→ −→
OP = OO + O P = v + O P
i dalej
[x0 , y0 ] = [p, q] + [x , y ]
34

37. [x0 , y0 ] = [p + x , q + y ]
Mamy więc, że:
x0 = p + x
y0 = q + y
Dokonując następnie odpowiednich przekształceń, dostajemy
x = x0 − p
y = y0 − q
Twierdzenie 3.1.2. Jeśli obrócimy układ współrzędnych OXY dookoła punktu O o kąt
α, to punkt P o współrzędnych (x0 , y0 ) w starym układzie, będzie miał w nowym układzie
OX Y współrzędne (x , y ) takie, że:
x = x0 cos α + y0 sin α
y = −x0 sin α + y0 cos α
Rys. 3.2. Obrót układu współrzędnych o kąt α
Dowód. Ustalmy punkt P , który ma współrzędne (x0 , y0 ) w starym układzie współrzędnych i (x , y ) w nowym układzie współrzędnych. Nowy układ współrzędnych powstał
poprzez obrót starego o kąt skierowany α. Można wówczas zapisać współrzędne punktu
P tak, że
(x0 , y0 ) = (r · cos β, r · sin β)
oraz
(x , y ) = (r · cos(β − α), r · sin(β − α))
35

38. Z powyższych tożsamości, możemy zapisać:
x = r(cos β cos α + sin β sin α)
y = r(sin β cos α − cos β sin α)
Dokonując następnie odpowiednich przekształceń, dostajemy
x = x0 cos α + y0 sin α
y = −x0 sin α + y0 cos α
Definicja 3.1.1. Każdą linię przedstawioną równaniem postaci
ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0
(3.1)
gdzie współczynniki a, b, c, ..., f są dowolne, byle trzy pierwsze nie były jednocześnie
równe zeru, nazywamy linią stopnia drugiego.
36

39. 3.2. Przekształcanie układu współrzędnych
Ustalmy równanie linii stopnia drugiego dane jako:
ax2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0
Dokonując w powyższym równaniu podstawienia
x = x cos α − y sin α
y = x sin α + y cos α
a więc obracając układ współrzędnych o zadany kąt α, otrzymamy nowe równanie postaci
a x 2 + 2b x y + c y 2 + 2d x + 2e y + f = 0
Współczynniki w tym równaniu wyrażają się wzorami:
a = a cos2 α + b sin 2α + c sin2 α
1
b = 2 (c − a) sin 2α + b cos 2α
c = a sin2 α − b sin 2α + c cos2 α
d = d cos α + e sin α
e = e cos α − d sin α
f =f
Łatwo widać, że kąt obrotu α możemy dobrać tak, by b = 0. Wystarczy wziąć kąt α taki,
że ctg 2α =
a−c
.
2b
W nowym układzie współrzędnych otrzymamy wówczas równanie linii
stopnia drugiego, przystającej do linii (3.1), postaci:
ax2 + bx + cy 2 + dy + e = 0
(3.2)
Załóżmy teraz, że a · c = 01 . Wówczas równanie (3.2) można wówczas zapisać w postaci
a(x +
b 2
d
b
d
) + c(y + )2 + e − ( )2 − ( )2 = 0
2a
2c
2a
2c
i dalej:
a(x + b )2 + c(y + d ) − e = 0
Przesuwając układ współrzędnych o wektor v = [−b , −d ], co jest równoważne z dokonaniem podstawienia
x =x+b
y =y+d
a następnie dzieląc je obustronnie przez współczynnik e, przy założeniu, że jest on różny
od 0, otrzymujemy równanie
ax2 +cy2 = 1
1
Czyli a i c są jednocześnie różne od zera
37

40. Jest to równanie linii stopnia drugiego danej równaniem (3.2), po przesunięciu układu
współrzędnych o wektor v = [−b , −d ]. Równanie tej linii przyjmuje postać:
ax2 + cy 2 = 1
(3.3)
Zauważmy, że w zależności od znaków współczynników a i c, otrzymujemy równanie elipsy
(w szczególności okręgu), lub hiperboli. Gdyby współczynnik e = 0, to po translacji
układu współrzędnych, otrzymamy równanie nowej linii stopnia drugiego postaci:
ax2 + cy 2 = 0
Rozwiązaniem tego równania jest punkt (0, 0)2 albo para prostych3 przecinająca się w
punkcie (0, 0) dana równaniami
y = −ax
c
y = ax
c
Załóżmy teraz, że w równaniu (3.2) zachodzi a · c = 04 . Bez straty ogólności możemy
założyć, że a = 0 i c = 0. Wówczas równanie (3.2) przyjmie postać:
bx + cy 2 + dy + e = 0
i dalej:
d 2
d
) = −bx + e + ( )2
2c
2c
2
c(y + d ) = −b(x + e )
c(y +
Dokonując w powyższym równaniu podstawienia
x =x+e
y =y+d
otrzymujemy równanie
cy 2 = −bx
Jest to równanie linii stopnia drugiego (3.2) po translacji układu współrzędnych o wektor
v = [−e , −d ]. Równanie tej linii przyjmuje postać:
cy 2 = −bx
(3.4)
Jeżeli c · b = 0, to powyższe równanie, po obustronnym podzieleniu przez współczynnik c
b
i podstawieniu − c = 2p, przyjmie postać
y 2 = 2px
2
gdy a · c > 0
gdy a · c < 0
4
Czyli a = 0 albo c = 0. Zauważmy, że te współczynniki nie mogą być jednocześnie zerami, gdyż nie
3
byłoby to wówczas równanie linii stopnia drugiego
38

41. Powyższe równanie opisuje oczywiście parabolę. Jeśli współczynnik b albo c przyjmie
wartość 0, to równanie przyjmie odpowiednio postać y = 0 albo x = 0.
Pokazaliśmy zatem, że równanie linii stopnia drugiego (3.1), poprzez wykonanie odpowiedniego obrotu i/lub translacji układu współrzędnych, można sprowadzić do równania
osiowego elipsy, równania osiowego hiperboli, równania wierzchołkowego paraboli, punktu
(0, 0) lub dwóch prostych przecinających się w punkcie (0, 0).
39

42. 3.3. Przykłady przekształceń
Przykład 3.3.1. Ustalmy równanie linii stopnia drugiego
x2 + y 2 + 4x + 6y − 12 = 0
Zbadamy jaki rodzaj linii stopnia drugiego będzie ono przedstawiało.
Zauważmy wpierw, że jest to ono równoważne równaniu
(x + 2)2 + (y + 3)2 = 25
Przesuwając następnie układ współrzędnych o wektor v = [−2, −3] otrzymujemy równanie
postaci
x2 + y 2 = 25
i dalej:
x2 y 2
+
=1
25 25
Równanie linii stopnia drugiego przedstawia więc okrąg o środku (−2, −3) (w wyjściowym
układzie współrzędnych) i promieniu 5 (rys. 3.3).
Rys. 3.3. Linia stopnia drugiego dana równaniem x2 + y 2 + 4x + 6y − 12 = 0
Przykład 3.3.2. Zbadamy teraz równanie postaci
√
√
√
21 2 10 3
31
x +
xy + y 2 + (18 + 4 3)x + (18 3 − 4)y+ = 0
4
4
4
Chcąc zredukować współczynnik stojący przy xy, musimy obrócić układ równań o pewien
kąt α. Kąt ten wyliczymy z równania ctg 2α =
a−c
.
2b
Dostaniemy z niego, iż
√
10
a−c
3
4
ctg 2α =
= − 10√3 = −
2b
3
4
40

43. Wnioskujemy więc, że układ równań należy obrócić o kąt −30◦ . Po dokonaniu tego przekształcenia, równanie tejże linii przyjmie postać
4x2 + 9y 2 + 8x + 36y + 4 = 0
Powyższa równość jest równoważna równaniu:
(x + 1)2 (y + 2)2
+
=1
9
4
Przesuwając teraz układ współrzędnych o wektor v = [−1, −2], otrzymamy równanie
x2 y 2
+
=1
9
4
Jest to oczywiście równanie elipsy.
Nie dla każdego równania linii stopnia drugiego należy uciekać się do obracania i
przesuwania układu współrzędnych. Czasami można w prostszy sposób zobaczyć z jaką
linią mamy do czynienia.
Rys. 3.4. Dwie proste zadane równaniem 2x2 + 2xy − 3xy + 3y 2 = 0
Przykład 3.3.3. Ustalmy równanie linii stopnia drugiego
2x2 − xy + 3y 2 = 0
Zbadamy jaki rodzaj linii stopnia drugiego będzie ono przedstawiało.
Zauważmy, że powyższe równanie da się przekształcić do postaci:
2x2 + 2xy − 3xy + 3y 2 = 0
i dalej:
2x(x + y) − 3y(x + y) = 0
(2x − 3y)(x + y) = 0
Zadana linia przedstawia więc dwie proste przecinające się w punkcie (0, 0) (rys. 3.4).
41

44. Spis rysunków
1.1. Grafika przedstawiająca różne przekroje stożka; autor: Szwejk; źródło: wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.1. Elipsa z zaznaczonymi ogniskami F1 i F2 i promieniami wodzącymi F1 P i
F2 P
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Elipsa dana równaniem
x2
16
+
y2
9
4
=1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3. Elipsa z zaznaczoną styczną przechodzącą przez punkt P0 . . . . . . . . . .
7
2.4. Ilustracja do Twierdzenia 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.5. Ilustracja do dowodu twierdzenia 2.1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.6. Promień wysłany z jednego ogniska elipsy, po odbiciu od krawędzi trafia
do drugiego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.7. Elipsa z ogniskami F1 i F2 z zaznaczonymi kierownicami . . . . . . . . . . 10
2.8.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.9. Porównanie elips o kształtach orbit Merkurego, Ziemi i Neptuna . . . . . . 13
2.10. Hiperbola dana równaniem
x2
4
−
y2
4
= 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11. Hiperbola z zaznaczoną styczną przechodzącą przez punkt P0 . . . . . . . 17
2.12. Ilustracja do Twierdzenia 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.13. Ilustracja do dowodu Twierdzenia 2.2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.14. Promień skierowany na jedno ognisko hiperboli, po odbiciu od trafia do
drugiego ogniska
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.15. Hiperbola z zaznaczonymi asymptotami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.16. Hiperbole utworzone przez stożki światła przecięte ścianą; autor: GuidoB,
źródło: wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.17. Hiperbola z zaznaczonymi kierownicami jej poszczególnych ognisk . . . . . 23
2.18.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.19. Parabola o równaniu y 2 = x z zaznaczoną kierownica i ogniskiem . . . . . 26
2.20. Parabola wraz ze stycznymi przecinającymi się na jej kierownicy . . . . . 28
2.21. Prosta prostopadła do kierownicy po odbiciu od paraboli trafia do jej
ogniska. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
42

45. 2.22. Ilustracja do dowodu Twierdzenia 2.3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.23. Piekarnik słoneczny; źródło: wikipedia.org . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1. Translacja układu współrzędnych o wektor v . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2. Obrót układu współrzędnych o kąt α . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3. Linia stopnia drugiego dana równaniem x2 + y 2 + 4x + 6y − 12 = 0 . . . . 40
3.4. Dwie proste zadane równaniem 2x2 + 2xy − 3xy + 3y 2 = 0 . . . . . . . . . 41
43

46. Spis tabel
2.1. Planety i mimośrody ich orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Klasyfikacja linii stopnia drugiego na podstawie wartości ich mimośrodu . . 33
44

47. Zawartość płyty CD-ROM
Wraz z niniejszą pracą dołączona jest płyta CD zawierająca:
1. Elektroniczną wersję pracy w formacie LaTeX i PDF.
2. Pliki programu Geogebra użyte do zilustrowania pracy.
3. Instalator programu Geogebra.
45