materi struktur aljabar tentang ring

1. Nana Yuniar
Kelompok 3
201114001

3. Ring yang memuat pembagi nol dibedakan
dengan 2 macam yaitu :
 Ring tanpa pembagi nol (0)
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 ≠ 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 𝑧 𝑎. 𝑏 ≠ 𝑧 𝑑𝑎𝑛 𝑏. 𝑎 ≠ 𝑧
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑎 = 𝑧 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑏 = 𝑧 𝑎. 𝑏 = 𝑧
 Ring pembagi nol (0) (modulo)
𝑎 ≠ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑏 ≠ 0 𝑎. 𝑏 = 0
3. RING TANPA PEMBAGI NOL

4.  Contoh Ring Tanpa Pembagi Nol
- Himpunan ring bilangan bulat yang
memenuhi syarat 1
- Himpunan ring bilangan genap dan
ganjil yang memenuhi syarat 2
 Contoh Ring pembagi nol
- Himpunan K {penjumlahan dan
perkalian bilangan mod 6}

5. syarat-syarat dari Integral Domain
adalah
sebagai berikut :
a. (R, + , ∙) merupakan ring komutatif
b. (R, + , ∙) memiliki elemen kesatuan
c. (R, + , ∙) tidak mempunyai elemen
pembagi nol (tanpa pembagi nol)

6. M =
𝒂 𝟎
𝟎 𝒂
𝒂 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒓𝒆𝒂𝒍} terhadap operasi penjumlahan dan
perkalian matriks adalah gelanggang. Buktikan ring ini suatu integral
domain.
Penyelesaian :
Misalkan 𝒂 ∈ 𝑴 𝒅𝒂𝒏 𝒃 ∈ 𝑴
𝒂 =
𝒂 𝟎
𝟎 𝒂
𝒅𝒂𝒏 𝒃 =
𝒃 𝟎
𝟎 𝒃
maka jelas 𝒂 ≠ 𝟎 𝒅𝒂𝒏 𝒃 ≠ 𝟎
𝒂. 𝒃 =
𝒂 𝟎
𝟎 𝒂
.
𝒃 𝟎
𝟎 𝒃
=
𝒂𝒃 𝟎
𝟎 𝒂𝒃
≠
𝟎 𝟎
𝟎 𝟎
Maka jelaslah matriks M tidak memuat elemen pembagi nol sejati
sehingga matriks M merupakan ring integral domain.

7. Tunjukkan (𝒁𝟒,×) bukan integral domain
Tabel Cayley
x 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
𝟐 × 𝟐 = 𝟎
Sehingga 2 pembagi nol
sejati maka ring (𝒁𝟒,×)
bukan ring integral
domain