Ejercicios de principio de inducción completa,numeros naturales

1. Algebra I – Prof: Matematicas – UnaF- FHu
Demostrar por inducciones completa (P.I.C)
1.
( )
1
1
2
n
i
n n
i
=
+
=∑
2. ( ) 2
1
2 1
n
i
i n
=
− =∑
3. Demostrar que la expresión 2
5n n+
es siempre impar.
4.
( )1
1
1 1
n
j
n
j j n=
=
+ +
∑ .
5. Demostrar que para todo entero
, 2n n ≥ , se verifica: ( )1 1
n
a na+ > +
6. ( )
1
2 1 ( 2)
n
j
j n n
=
+ = +∑
7. ( ) 2
1
2 1
n
j
j n
=
− =∑
8. ( )
1
3 1
3 2
2
n
j
n
j
=
−
− =∑
9. ( )
1
4 1 (2 1)
n
j
j n n
=
− = +∑
10.
1
4 2 ( 1)
n
j
j n n
=
= +∑
11. ( ) 2
1
6 3 3
n
j
j n
=
− =∑
12. ( )
1
(5 1)
5 3
2
n
j
n n
j
=
−
− =∑
13.
1
1
6 1
6
5
nn
j
j
−
=
−
=∑
14.
1
1
2 3 3 1
n
j n
j
−
=
× = −∑
15.
( ) ( ) ( ) ( )1
1 ( 3)
1 2 4 1 2
n
j
n n
j j j n n=
+
=
+ + + +
∑
16.
1
2 ( 1)
n
j
j n n
=
= +∑
17.
( ) ( ) ( )
1
1 1 2
2 6
n
j
j j n n n
=
+ + +
=∑
18. ( )
1
2 2 2 1
n
i n
j=
= −∑
19.
( )
22
3
1
1
4
n
i
n n
i
=
+
=∑
20.
( ) ( )1
1
2 4 2 1 2 1
n
k
n
k k n=
=
− + +
∑
21.
( ) ( )
2 2
1
2 1 1
1
11
n
k
k
nk k=
+
= −
++  
∑
22.
( ) ( )2
1
1 2 1
6
n
k
n n n
k
=
+ +
=∑
23.
( )
2
3
1
1
2
n
k
n n
k
=
+ 
= 
 
∑
24. 3
3n n− + es divisible por 3.
25. 2
n n+ es divisible por 2.
26. 2
2n n− + es divisible por 2.
27. 4 1n
− es divisible por 3.
28. 5 1n
− es divisible por 4.
29. 2
4 1n
− es divisible por 3.
30. 3 2
3 2n n n+ + es divisible por 6.
31. 3
10 10 5n n+
× + es divisible por 9.
32. 3
2 1n
− es divisible por 7.
33. 2n
n <
34. 2
2n
n < , para 5n ≥
35. 2
2 1n n+ < , para 3n ≥
36. 1 2 3n
n+ ≤
37.
( ) ( )
2
1 2 1
2 8
n n n+ +
<
38. 3 3n
n ≤
39.
1
1
n
n
n
 
+ < ÷
 
40.
1
2
2
2 2
n
i n
i
i n
=
+
= −∑
41.
1
1
2 2
2
3 3
i nn
n
i
+
=
 
= − ÷
 
∑
42. ( )
1
3
3 3 1
2
n
j n
j=
= × −∑
43.
( ) ( ) ( )
( )
2 ... 1
2 1
2
a a d a d a n d
n
a n d
+ + + + × + + + − × =  
= × + − ×  
44. ( )
1
(9 )
5
2
n
j
n n
j
=
−
− =∑
45.
1
1 ! 1
! !
n
k
k n
k n=
− −
=∑
1 | P á g i n a
Olmedo, Francisco Javier