Diverse berekeningen

1. PMA Levensverzekeringswiskunde
(vakcode 370894)
4. Premies en uitkeringen
per jaar en per maand

2. Periodieke betaling van premies
• Vanwege liquiditeit vaak periodieke betaling van premies (per
maand, per jaar, etc.) in plaats van koopsom
• Premies ≈ prenumerando lijfrente
• Contante waarde premies = koopsom, rekening houdend met
overlijdensrisico
• Vooralsnog alleen nettopremies (dat wil zeggen exclusief de te
maken kosten)

3. Premies van
verzekeringen op één leven
Contante waarde van n jaarpremies ter grootte van Pj (zie ook de
formule voor een koopsom voor een x-jarige van een n-jarige
prenumerando lijfrente):

4. Premies van verzekeringen op één leven:
voorbeeld 1
Een 28-jarige vrouw sluit een verzekering, groot €20.000, uit
te keren bij in leven zijn na 32 jaar. Hoe groot is de
jaarpremie?
Koopsom = €20.000 x D60/D28
P x (N28 – N60)/D28 = €20.000 x D60/D28
P = €20.000 x D60/(N28 – N60)
P = €20.000 x 15.854/(1.172.705 – 273.221)
P = €353

5. Premies van verzekeringen op één leven:
voorbeeld 2
Een 35-jarige vrouw wil nu €5.000 storten en voorts
gedurende 24 jaar €500 postnumerando. Hoe groot zal de
uitkering zijn indien deze van haar leven afhankelijk is?
Koopsom = U x D60/D35
€5.000 + €500 x (N36 – N60)/D35 = U x D60/D35
U = (€5.000 x D35 + €500 x (N36 – N60))/D60
U = (€5.000 x 35.147 + €500 x (859.693 – 273.221))/15.854
U = €29.581

6. Premies van verzekeringen op twee levens
Twee mogelijkheden:
a. Premiebetaling wordt stopgezet bij het eerste overlijden:
b. Premiebetaling wordt stopgezet bij het tweede overlijden
(verder niet behandeld):

7. Premies van verzekeringen op twee levens:
voorbeeld stopzetting premiebetaling bij eerste overlijden (1)
Een echtpaar, waarvan de man 30 en de vrouw 27 jaar
oud is, sluit een prenumerando lijfrenteverzekering af,
groot €5.000 per jaar, ingaande over 30 jaar. De uitkering
heeft plaats indien en zolang tenminste nog één
verzekerde leeft. Bereken de premie die voor deze
verzekering zal moeten worden betaald, aannemende dat
de premie verschuldigd zal zijn tot het eerste overlijden
en overigens gedurende maximaal 30 jaar.

8. Premies van verzekeringen op twee levens:
voorbeeld stopzetting premiebetaling bij eerste overlijden (2)
Koopsom =
Contante waarde premies =
Koopsom = Contante waarde premies
€5.000 x (Nman
60/D30 + Nvrouw
57/D27 – N60 57/D30 27) = Pj x (N30 27 – N60 57)/D30 27
€5.000 x (235.762/40.626 + 324.214/44.654 – 2.021.558/402.963)
= Pj x (9.950.078 – 2.021.558)/402.963
€5.000 x (5,80322946 + 7,26058136 – 5,01673355) = Pj x 19,67555334
Pj = €40.235/19,67555334 = €2.045

9. Maandpremies
In plaats van via jaarpremies of -uitkeringen, vindt betaling ook
vaak plaats via maandpremies of -uitkeringen
(≈ continue rente: ).
De contante waarde van een continue rente is het gemiddelde van
de contante waarden van een pre- en een postnumerando rente:
Zo geldt ook bij de commutatietekens:

10. Voorbeeld maandpremie
Een 40-jarige man sluit een verzekering op zijn eigen leven af; bij
in leven zijn op 65-jarige leeftijd zal er €40.000 worden
uitgekeerd. De premie is maandelijks gedurende 25 jaar
verschuldigd. Bereken de maandpremie in euro’s nauwkeurig.
Pm = (€40.000 x 12.606)/(12 x (671.509 – 157.990)) =
€504.240.000/6.162.228 = €81,83

11. Formules:
Premies van verzekeringen op één leven
Jaarpremies van verzekeringen op één leven:
Maandpremies van verzekeringen op één leven:

12. Formules:
Premies van verzekeringen op twee levens (1)
Jaarpremies van verzekeringen op twee levens:
• Premiebetaling wordt stopgezet bij het eerste overlijden:
• Premiebetaling wordt stopgezet bij het tweede overlijden
(verder niet behandeld):

13. Formules:
Premies van verzekeringen op twee levens (2)
Maandpremies van verzekeringen op twee levens:
• Premiebetaling wordt stopgezet bij het eerste overlijden: