Verschillende soorten verzekeringen op twee levens

1. PMA Levensverzekeringswiskunde
(vakcode 370894)
3. Verzekeringen op twee levens

2. Verzekeringen op twee levens
- Verzekeringen met uitkering mits beide personen leven
- Verzekeringen op de langstlevende:
niet beïnvloed door het overlijden van de 1e persoon, maar eindigend bij het
overlijden van de 2e
- Overlevingsverzekeringen (bijvoorbeeld bij nabestaandenpensioen):
- Weduwepensioen
- Weduwnaarspensioen
- Wezenpensioen (voor wezenpensioen en erfrente wordt verwezen naar Van As
e.a., in het bijzonder §4.4.3)
In de voorbeelden wordt hierbij vaak uitgegaan van een combinatie van
een man en een vrouw. Voor combinaties van twee personen van
hetzelfde geslacht kan men gebruik maken van de aantallen levenden in
de overlevingstabellen.

3. Voorbeeld van kapitaalverzekering indien
beide personen leven
Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw willen tegen koopsombetaling
een kapitaal van €50.000 ontvangen over 35 jaar mits zij beiden in leven
zijn.
Overlevingskans man = l65/l30 (GBM) = 8610212/9860917 = 0.8732
Overlevingskans vrouw = l63/l28 (GBV) = 9166121/9916378 = 0.9243
Overlevingskans stel = l65/l30 (GBM) x l63/l28 (GBV) = 0.8071
Koopsom = €50.000 x l65/l30 (GBM) x l63/l28 (GBV) x
€50.000 x 0.8071 x 1.03-35 = €14.341
Of (zie verbindingstafel GB): €50.000 x D65 63/D30 28 =
€50.000 x 115553/402860 = €14.342
353
A 

4. Voorbeeld van lijfrente
indien beide personen leven
Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw willen een 35 jaar
uitgestelde, levenslange, prenumerando lijfrente ontvangen, zolang
ze beiden leven. De uitkeringen zijn €10.000 per jaar.
Koopsom = €10.000 x 35|ä30 28 = €10.000 x N65 63/D30 28 =
€10.000 x 1326007/402860 = €32.915
Bij direct ingaan van de lijfrente:
Koopsom = €10.000 x ä30 28 = €10.000 x N30 28/D30 28 =
€10.000 x 9912576/402860 = €246.055

5. Voorbeeld van lijfrente
op de langstlevende persoon
Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw willen een direct ingaande,
levenslange, prenumerando lijfrente ontvangen, zolang een van hen beiden leeft.
De uitkeringen zijn €10.000 per jaar.
Dit komt feitelijk neer op een combinatie
oftewel één uitkering indien beiden leven, dan wel één uitkering indien een van
beiden leeft, dan wel geen uitkering indien geen van beiden leeft.
Koopsom = €10.000 x €10.000 x
€10.000 x
€10.000 x (1042410/40626 + 1172705/43342 – 9912576/402860) =
€10.000 x (25,6587 + 27,0570 – 24,6055) = €10.000 x 28,1102 = €281,102
man vrouw
x y x ya a a 
 
 
 
30 28 30 28
man vrouwa a a 
  
 
  
30 28
a 
30 2830 28
30 28 30 28
man vrouw NN N
D D D
 
 
 
  
 
  

6. Voorbeeld van overlevingsverzekering:
nabestaandenpensioen - weduwe
Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw sluiten een verzekering waarbij de vrouw een
levenslange prenumerando lijfrente ontvangt, wanneer de man komt te overlijden. De
uitkeringen zijn €10.000 per jaar.
Dit komt feitelijk neer op een combinatie
oftewel één uitkering indien de man is overleden en de vrouw nog leeft, dan wel geen
uitkering indien beiden leven, geen van beiden leeft, of de man leeft en de vrouw is
overleden. Zo geldt voor het weduwnaarspensioen
Koopsom = €10.000 x €10.000 x
€10.000 x
€10.000 x (1172705/43342 – 9912576/402860) =
€10.000 x (27,0570 – 24,6055) = €10.000 x 2,4515 = €24.515
vrouw
y x ya a 
 
 

man
x x ya a 
 
 

30|28
a  28 30 28
vrouwa a 
 
 
 
30 2828
28 30 28
vrouw NN
D D
 
 
 
 
 
 

7. Voorbeeld van overlevingsverzekering:
nabestaandenpensioen - weduwnaar
Een 30-jarige man en een 28-jarige vrouw sluiten een verzekering waarbij
de man een levenslange prenumerando lijfrente ontvangt, wanneer de
vrouw komt te overlijden. De uitkeringen zijn €10.000 per jaar
Koopsom = €10.000 x
€10.000 x
€10.000 x
€10.000 x (1042410/40626 – 9912576/402860) =
€10.000 x (25,6587 – 24,6055) = €10.000 x 1,0532 = €10.532
28|30
a 
30 30 28
mana a
 
 
 
 

30 2830
30 30 28
man NN
D D
 
 
 
 
 
 
 

8. Opmerkingen over
verzekeringen op twee levens
- Er is geen verschil tussen de koopsom van een prenumerando
weduwepensioen en een postnumerando weduwepensioen,
aangezien er geen verschil is in het startmoment van de
uitkeringen (begin van het jaar na overlijden c.q. eind van het
jaar van overlijden).
- Koopsom indien beiden leven €246.055
+ Koopsom weduwepensioen €24.515
+ Koopsom weduwnaarspensioen €10.532
= Koopsom langstlevende €281.102

9. Formules:
indien beide personen leven (1)
- Koopsom voor uitkering over n jaar, van een kapitaal U voor een
x-jarige man en een y-jarige vrouw, mits beiden leven:
Koopsom = 1
nx y
U A 
x n y n
x y
D
U
D
  
1 1
1 1
x n y n x n y n
x y x y
N N
U
N N
 
 
 
 
 
 
 
 
     
 




10. Formules:
indien beide personen leven (2)
- Koopsom voor een n jaar uitgestelde, levenslange, prenumerando
lijfrente met periodieke uitkering van U, voor een x-jarige man
en een y-jarige vrouw, mits beiden leven:
Koopsom =
n x y
U a 
x n y n
x y
N
U
D
 

11. Formules:
op de langstlevende persoon
- Koopsom voor een n jaar uitgestelde, levenslange, prenumerando
lijfrente met periodieke uitkering van U, voor een x-jarige man
en een y-jarige vrouw, zolang een van hen beiden leeft:
Koopsom =
n x y
U a 
x yx y
n n n
U a a a
 
 
 
 
 
   
vrouwman
y n x n y nx n
x y x y
N NN
U
D D D
 
 
 
 
 
 
    

12. Formules:
nabestaandenpensioenen (1)
- Koopsom voor een x-jarige man en een y-jarige vrouw, voor een
weduwepensioen met periodieke uitkering van U zolang de
vrouw leeft, na het overlijden van de man:
Koopsom =
|x y
U a 
y x yU a a 
  
 
  
vrouw
y x y
y x y
N N
U
D D
 
 
 
 
 
 
 

13. Formules:
nabestaandenpensioenen (2)
- Koopsom voor een x-jarige man en een y-jarige vrouw, voor een
weduwnaarspensioen met periodieke uitkering van U zolang de
man leeft, na het overlijden van de vrouw:
Koopsom =
|yx
U a 
x x yU a a 
  
 
  
man x yx
x x y
NNU
D D
 
 
 
 
 
 
 