1. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
“ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT VIẾT PTĐT TRONG KHÔNG GIAN “ 1
MỘT SỐ CHÚ Ý KHI VIẾT PTĐT TRONG KHÔNG GIAN
“ Phương pháp là thầy của các thầy “
Trong chương trình phổ thông hiện hành không nói về phương trình tổng quát nhưng lại nói là giao tuyến của
hai mặt phẳng và một số tài liệu, sách tham khảo cũ vẫn dùng phương trình tổng quát và cách giải cũ vẫn còn để
phương trình ở dạng tổng quát nhưng bây giờ lại yêu cầu viết phương trình ở dạng tham số hoặc chính tắc…
Chính vì thế nếu bạn sử dụng sách cũ hoặc phương pháp giải cũ thì sau khi tìm được phương trình ở dạng tổng
quát hãy chuyển về phương trình ở dạng tham số hoặc chính tắc bằng cách sau (tránh mất điểm )
Chuyển phương trình tổng quát về dạng tham số
Khi giả thiết cho đường thẳng d ở dạng tổng quát 1 1 1 1
2 2 2 2
0
:
0
a x b y c z d
d
a x b y c z d
   

   
hoặc giao tuyến của hai mặt
phẳng phân biệt   1 1 1 1: 0a x b y c x d     và   2 2 2 2: 0a x b y c x d    
Phương pháp:
Cách 1:
Bước 1: Tìm vecto chỉ phương u

của đường thẳng d
Cách 1.1: Vtcp ,u n n    
  
với n

và n

lần lượt là vtpt của   và  
Cách 1.2: Chọn hai điểm M và N phân biệt thuộc đường thẳng d, khi đó vtcp u

cùng phương với vecto MN

hay vecto MN

chính là vtcp của d
Bước 2: Tìm một điểm bất kỳ thuộc d. Bằng cách cho một ẩn bằng 0 và giải hệ hai ẩn còn lại (tuy nhiên việc
chọn ẩn nào bằng 0 là kinh nghiệm của mỗi người, thường việc chọn ẩn đó làm sao cho hai ẩn còn lại khi tính ra
thường là các số nguyên, đương nhiên có thể cho một ẩn là bằng một hằng số bất kì không nhất thiết phải bằng
0)
Bước 3: Khi chọn ra một điểm và một vecto chỉ phương chúng ta được một phương trình tham số hoặc chính
tắc
Giả sử điểm chọn là  0 0 0 0; ;M x y z và một vtcp  ; ;u MN a b c 

 phương trình tham số
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
 

 
  
với t R là tham số
 phương trình chính tắc 0 0 0x x y y z z
a b c
  
  (khi , , 0a b c  )
Với qui ước: Mẫu bằng 0 thì tử bằng 0
Cách 2: Đặt x t (hoặc y t hoặc z t ) tính hai ẩn còn lại theo t ta sẽ được một phương trình tham số
Còn việc đặt thế nào cũng là do kinh nghiệm mỗi người… để cho các ẩn còn lại là một số nguyên
Ví dụ 1: Cho đường thẳng
3 1 0
:
3 2 7 0
x y
x y z
  
 
   
. Chuyển  về dạng tham số
Giải:
Cách 1.1: Chọn một điểm  1;0;2M    và một vtcp    1 2, 6;2;8 2 3;1;4u n n    
  

2. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
“ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT VIẾT PTĐT TRONG KHÔNG GIAN “ 2
ta được phương trình tham số
1 3
:
2 4
x t
y t
z t
  

 
  
Cách 1.2: Chọn hai điểm  1;0;2M  và
5 1
; ;0
2 2
N
 
  
 
thuộc  . Đường thẳng  đi qua điểm M và có vtcp
 
3 1 1
; ; 2 3;1;4
2 2 2
u MN
 
       
 
 
ta được phương trình tham số
1 3
:
2 4
x t
y t
z t
  

 
  
Cách 2:
Đặt y t tính ,x z theo t ta được phương trình tham số
1 3
:
2 4
x t
y t
z t
  

 
  
Ví dụ 2: Cho đường thẳng
2 4 7 0
:
4 5 14 0
x y z
d
x y z
   

   
. Chuyển d về dạng tham số
Giải:
Cách 1.1: Chọn một điểm
7
;0;0
2
M
 
 
 
và một vtcp    1 2, 9; 6; 6 3 3; 2; 2u n n        
  
ta được phương trình tham số
7
3
2
: 2
2
x t
d y t
z t

 

 
  


Cách 1.2: Chọn hai điểm
7
;0;0
2
M
 
 
 
và
7 7
0; ;
3 3
N
 
 
 
thuộc  . Đường thẳng  đi qua điểm M và có vtcp
 
7 7 7 7
; ; 3; 2; 2
2 3 3 6
u MN
 
      
 
 
ta được phương trình tham số
7
3
2
: 2
2
x t
d y t
z t

 

 
  


Cách 2:
Đặt y t tính ,x z theo t ta có
7 3
2 7 4
2 2
4 14 5
x z t x t
x z t
z t

     
 
    
ta được phương trình tham số
7 3
2 2
:
x t
y t
z t

 

 
 


Chuyển phương trình tham số về chính tắc và ngược lại

3. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
“ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT VIẾT PTĐT TRONG KHÔNG GIAN “ 3
Từ phương trình tham số
0 0
0 0 0
0 0
0 0
x x at x x at
x x y y z z
y y bt y y bt t
a b c
z z ct z z ct
    
   
         
     
Ví dụ: Cho đường thẳng
1 3
:
2 4 1
x y z 
   chuyến  về dạng tham số
Giải:
Đặt
1 3
2 4 1
x y z
t
 
   tính , ,x y z theo t ta được phương trình tham số
1 2
: 3 4
x t
y t
z t
 

  
 
Hoặc: Nhìn vào phương trình đường thẳng  ta biết được một điểm  1;3;0M và một vtcp  2;4;1u 

thì
được phương trình tham số  như trên
Chú ý:
- Một phương trình tổng quát thì có nhiều phương trình tham số (hoặc chính tắc) nhưng một phương trình tham
số (hoặc chính tắc) thì chỉ có một phương trình tổng quát
- Khi giả thiết cho đường thẳng ở dạng chính tắc mà yêu cầu điểm thuộc đường thẳng thì chúng ta chuyển
phương trình đường thẳng ở dạng chính tắc sang dạng tham số để thuận lợi cho việc tìm điểm
- Một đường thẳng có vô số vecto chỉ phương (vtcp), các vecto này sai khác nhau bởi một hằng số khác 0. Khi
tìm được vecto chỉ phương mà các tọa độ có hệ số tỉ lệ nào đó thì chúng ta có quyền chọn vecto chỉ phương
Ví dụ: Khi tính được vecto chỉ phương là    3; 9;12 3 1; 3;4u    

thì chúng ta có quyền chọn vecto chỉ
phương là  1; 3;4u  

hoặc  
1 3 1
; ;0 1;3;0
2 2 2
u
 
  
 

chọn  1;3;0u 

LỜI BÌNH: Để viết được một phương trình đường thẳng  ở dạng tham số (hoặc chính tắc) chúng ta chỉ cần
nắm bí quyết võ công sau. Tìm một điểm và một vtcp hoặc hai điểm phân biệt bất kì thuộc đường thẳng
 , muốn làm được điều đó các bạn phải nắm được vị trí tương đối của (đường thẳng với đường thẳng), (đường
thẳng với mặt phẳng), (đường thẳng với mặt cầu). Đôi khi phải kết hợp với giả thiết về góc, khoảng cách, diện
tích, thể tích … Để giải ẩn tìm vtcp của 
Thông thường vtcp cho ở hai dạng sau
Trực tiếp:
- Có một vecto  ; ;u a b c

cho trước
- Song song với một đường thẳng d cho trước du u 
 
- Vuông góc với một mặt phẳng (P) cho trước Pu n 
 
Gián tiếp:
- Có một cặp vecto chỉ phương a

và b

cho trước ,u a b
    
 
- Vuông góc với hai đường thắng d1 và d2 cho trước  1 2,u u u 
  
- Song song với hai mặt phẳng (P1) và (P2) cho trước  1 2,u n n 
  
- Vuông góc với một đường thẳng d và song song với một mặt phẳng (P)  ,d Pu u n 
  
- Vuông góc với một đường thẳng d và nằm trong mặt phẳng (P)  ,d Pu u n 
  
- Nếu đi qua hai điểm phân biệt vàA B u AB 
 
Chú ý:

4. Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Changngoc203@gmail.com
“ TRÍCH TRONG TẬP CÁC KĨ THUẬT VIẾT PTĐT TRONG KHÔNG GIAN “ 4
- Nếu giả thiết là vuông góc với một vecto c

bất kì thì hiểu c

là vtcp
- Nếu giả thiết là song song với một vecto d

thì hiểu d

là vtpt
- Trước khi tính tích có hướng nhớ phải kiểm tra các cặp vecto đó cùng phương hay không nếu không cùng
phương thì đó mới là vtcp cần tìm