The document provides data from an experiment with 50 measurements of x and y values. It asks to calculate: a) the linear regression line, b) the slope (m), c) the y-intercept (b), d) the standard deviations of the slope and intercept, and e) the coefficient of determination (R2) using the method of least squares. The key results are: a) the linear regression line is y = 1.001x + 1.043, b) the slope is 1.001, c) the y-intercept is 1.043.

1. Según la siguiente tabla de datos:
Por el método de los mínimo cuadrados obtenga los siguientes valores:
a) Grafique la recta más probable.
b) Pendiente de la recta (m).
c) Intersección o punto de corte en “y” (b).
d. Desviación estándar de la pendiente (sm).
e. Desviación estándar de la intersección en “y” (sb).
f. Coeficiente de determinación (R2).
n x y
1 0,000 0,000 0,000 -7,246 52,505 -8,296 68,824 60,113 -1,043 1,087
2 0,000 1,100 0,000 -7,246 52,505 -7,196 51,782 52,142 0,057 0,003
3 0,500 0,000 0,250 -6,746 45,509 -8,296 68,824 55,965 -1,543 2,381
4 0,500 6,900 0,250 -6,746 45,509 -1,396 1,949 9,417 5,357 28,696
5 1,000 1,000 1,000 -6,246 39,013 -7,296 53,232 45,571 -1,044 1,089
6 1,500 1,500 2,250 -5,746 33,017 -6,796 46,186 39,050 -1,044 1,090
7 1,500 2,000 2,250 -5,746 33,017 -6,296 39,640 36,177 -0,544 0,296
8 2,000 2,000 4,000 -5,246 27,521 -6,296 39,640 33,029 -1,045 1,091
9 2,000 6,700 4,000 -5,246 27,521 -1,596 2,547 8,373 3,655 13,361
10 2,000 0,000 4,000 -5,246 27,521 -8,296 68,824 43,521 -3,045 9,270
11 2,500 7,000 6,250 -4,746 22,525 -1,296 1,680 6,151 3,455 11,936
12 3,000 0,000 9,000 -4,246 18,029 -8,296 68,824 35,225 -4,046 16,368
13 3,000 2,500 9,000 -4,246 18,029 -5,796 33,594 24,610 -1,546 2,389
14 3,500 4,300 12,250 -3,746 14,033 -3,996 15,968 14,969 -0,246 0,061
15 3,500 3,000 12,250 -3,746 14,033 -5,296 28,048 19,839 -1,546 2,391
16 4,000 5,000 16,000 -3,246 10,537 -3,296 10,864 10,699 -0,047 0,002
17 4,000 7,500 16,000 -3,246 10,537 -0,796 0,634 2,584 2,453 6,019
18 4,500 1,800 20,250 -2,746 7,541 -6,496 42,198 17,838 -3,747 14,042
19 4,500 8,000 20,250 -2,746 7,541 -0,296 0,088 0,813 2,453 6,016
20 5,000 5,000 25,000 -2,246 5,045 -3,296 10,864 7,403 -1,048 1,098
21 5,000 7,600 25,000 -2,246 5,045 -0,696 0,484 1,563 1,552 2,410
22 5,500 5,600 30,250 -1,746 3,049 -2,696 7,268 4,707 -0,948 0,899
23 5,500 7,000 30,250 -1,746 3,049 -1,296 1,680 2,263 0,452 0,204
24 6,000 6,000 36,000 -1,246 1,553 -2,296 5,272 2,861 -1,049 1,100
25 6,500 6,500 42,250 -0,746 0,557 -1,796 3,226 1,340 -1,049 1,101
26 7,000 7,000 49,000 -0,246 0,061 -1,296 1,680 0,319 -1,050 1,102
27 7,500 10,200 56,250 0,254 0,065 1,904 3,625 0,484 1,650 2,722
28 8,000 7,000 64,000 0,754 0,569 -1,296 1,680 -0,977 -2,051 4,206
29 8,500 11,700 72,250 1,254 1,573 3,404 11,587 4,269 2,149 4,617
30 9,000 12,500 81,000 1,754 3,077 4,204 17,674 7,374 2,448 5,994
31 9,000 14,100 81,000 1,754 3,077 5,804 33,686 10,180 4,048 16,388
32 9,500 9,300 90,250 2,254 5,081 1,004 1,008 2,263 -1,252 1,568
33 10,000 11,500 100,000 2,754 7,585 3,204 10,266 8,824 0,447 0,200
34 10,000 13,200 100,000 2,754 7,585 4,904 24,049 13,506 2,147 4,611
35 10,500 12,100 110,250 3,254 10,589 3,804 14,470 12,378 0,547 0,299
36 11,000 11,000 121,000 3,754 14,093 2,704 7,312 10,151 -1,054 1,110
37 11,000 12,000 121,000 3,754 14,093 3,704 13,720 13,905 -0,054 0,003
38 11,500 11,500 132,250 4,254 18,097 3,204 10,266 13,630 -1,054 1,112
39 12,000 12,000 144,000 4,754 22,601 3,704 13,720 17,609 -1,055 1,113
40 12,000 11,900 144,000 4,754 22,601 3,604 12,989 17,133 -1,155 1,334
41 12,500 17,800 156,250 5,254 27,605 9,504 90,326 49,934 4,245 18,017
42 13,000 14,500 169,000 5,754 33,109 6,204 38,490 35,698 0,444 0,197
43 13,000 12,000 169,000 5,754 33,109 3,704 13,720 21,313 -2,056 4,226
44 13,500 19,300 182,250 6,254 39,113 11,004 121,088 68,819 4,744 22,502
45 14,000 20,000 196,000 6,754 45,617 11,704 136,984 79,049 4,943 24,435
46 14,000 11,600 196,000 6,754 45,617 3,304 10,916 22,315 -3,457 11,950
47 14,500 16,800 210,250 7,254 52,621 8,504 72,318 61,688 1,243 1,544
48 14,500 12,500 210,250 7,254 52,621 4,204 17,674 30,496 -3,057 9,347
49 14,800 12,900 219,040 7,554 57,063 4,604 21,197 34,779 -2,958 8,748
50 15,000 12,400 225,000 7,754 60,125 4,104 16,843 31,822 -3,658 13,380
∑ 362,300 414,800 3727,290 0,000 1102,064 0,000 1389,419 1103,179 0,000 285,124
(𝒙𝒊−𝒙) (𝒚𝒊−𝒚)
(𝒙𝒊−𝒙) 𝟐
(𝒚𝒊−𝒚) 𝟐 (𝒙𝒊−𝒙)(𝒚𝒊−𝒚)
𝒙𝟐 𝒚𝒊 − (𝒃 + 𝒎𝒙𝒊) (𝒚𝒊 − (𝒃 + 𝒎𝒙𝒊))𝟐
Referencias Bibliográficas
Christian, G. (2009). Química Analítica (Sexta ed.). México: McGraw-Hill / Interamericana Editores, S. A. de C. V.
Purcell, E., Varberg, D., & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial integral (Novena ed.). Naucalpan de Juárez,, México:
Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Skoog, D., West, D., Holler, F., & Crouch, S. (2015). Fundamentos de química analítica (Novena ed.). México D.F., México:
Cengage Learning Editores, S.A. de C.V.
Ciudad Bolívar, Venezuela Agosto, 2020 / Revisión. 00
Método de Mínimos Cuadrados (ejemplo)
#MicroClasesDeCastro Por: José Luis Castro Soto
n x y n x y n x y n x y n x y
1 0,000 0,000 11 2,500 7,000 21 5,000 7,600 31 9,000 14,100 41 12,500 17,800
2 0,000 1,100 12 3,000 0,000 22 5,500 5,600 32 9,500 9,300 42 13,000 14,500
3 0,500 0,000 13 3,000 2,500 23 5,500 7,000 33 10,000 11,500 43 13,000 12,000
4 0,500 6,900 14 3,500 4,300 24 6,000 6,000 34 10,000 13,200 44 13,500 19,300
5 1,000 1,000 15 3,500 3,000 25 6,500 6,500 35 10,500 12,100 45 14,000 20,000
6 1,500 1,500 16 4,000 5,000 26 7,000 7,000 36 11,000 11,000 46 14,000 11,600
7 1,500 2,000 17 4,000 7,500 27 7,500 10,200 37 11,000 12,000 47 14,500 16,800
8 2,000 2,000 18 4,500 1,800 28 8,000 7,000 38 11,500 11,500 48 14,500 12,500
9 2,000 6,700 19 4,500 8,000 29 8,500 11,700 39 12,000 12,000 49 14,800 12,900
10 2,000 0,000 20 5,000 5,000 30 9,000 12,500 40 12,000 11,900 50 15,000 12,400
Tabla de valores:
0,000
2,000
4,000
6,000
8,000
10,000
12,000
14,000
16,000
18,000
20,000
0,000 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000 12,000 14,000
a) Gráfica de la recta más probable
𝒚 =
𝒚𝒊
𝑵
=
𝟒𝟏𝟒, 𝟖𝟎𝟎
𝟓𝟎
= 𝟖, 𝟐𝟗𝟔
Media muestral en “y”
𝒙 =
𝒙𝒊
𝑵
=
𝟑𝟔𝟐, 𝟑𝟎𝟎
𝟓𝟎
= 𝟕, 𝟐𝟒𝟔
Media muestral en “x”
𝑵 = 𝟓𝟎
Número de mediciones (N)
𝑺𝒙𝒚 = 𝒙𝒊 − 𝒙 𝒚𝒊 − 𝒚 = 𝟏𝟏𝟎𝟑, 𝟏𝟕𝟗
𝑺𝒚𝒚 = (𝒚𝒊 − 𝒚)𝟐
= 𝟏𝟑𝟖𝟗, 𝟒𝟏𝟗
𝑺𝒙𝒙 = (𝒙𝒊 − 𝒙)𝟐
= 𝟏𝟏𝟎𝟐, 𝟎𝟔𝟒
Numerador para la varianza en “x” Numerador en la covarianza de “x - y”
Numerador para la varianza en “y”
𝒎 =
𝑺𝒙𝒚
𝑺𝒙𝒙
=
𝟏𝟏𝟎𝟑, 𝟏𝟕𝟗
𝟏𝟏𝟎𝟐, 𝟎𝟔𝟒
= 𝟏, 𝟎𝟎𝟏 𝒃 = 𝒚 − 𝒎𝒙 = 𝟖, 𝟐𝟗𝟔 − 𝟏, 𝟎𝟎𝟏 × 𝟕, 𝟐𝟒𝟔 = 𝟏, 𝟎𝟒𝟑
c) Intersección o punto de corte en “y” (b)
b) Pendiente de la recta (m)
𝑺𝑺𝒕𝒐𝒕 = 𝑺𝒚𝒚 = (𝒚𝒊 − 𝒚)𝟐
= 𝟏𝟑𝟖𝟗, 𝟒𝟏𝟗 𝑹𝟐
=
𝑺𝑺𝒕𝒐𝒕 − 𝑺𝑺𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅
𝑺𝑺𝒕𝒐𝒕
=
𝟏𝟑𝟖𝟗, 𝟒𝟏𝟗 − 𝟐𝟖𝟓, 𝟏𝟐𝟒
𝟏𝟑𝟖𝟗, 𝟒𝟏𝟗
= 𝟎, 𝟕𝟗𝟒𝟖
f) Coeficiente de determinación (R2)
Suma total de los cuadrados (SStot)
𝑺𝑺𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅 = 𝒚𝒊 − (𝒃 + 𝒎𝒙𝒊) 𝟐
= 𝟐𝟖𝟓, 𝟏𝟐𝟒 𝒔𝒓 =
𝑺𝑺𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅
𝑵 − 𝟐
=
𝟐𝟖𝟓, 𝟏𝟐𝟒
𝟓𝟎 − 𝟐
=
𝟐𝟖𝟓, 𝟏𝟐𝟒
𝟒𝟖
= 𝟓, 𝟗𝟒𝟎 = 𝟐, 𝟒𝟑𝟕
Desviación estándar de la regresión (sr):
Suma de cuadrados de los residuales (SSresid)
𝒔𝒃 = 𝒔𝒓
𝟏
𝑵 −
𝒙𝒊
𝟐
𝒙𝒊
𝟐
= 𝟐, 𝟒𝟑𝟕
𝟏
𝟓𝟎 −
𝟑𝟔𝟐, 𝟑𝟎𝟎 𝟐
𝟑𝟕𝟐𝟕, 𝟐𝟗𝟎
= 𝟐, 𝟒𝟑𝟕
𝟏
𝟓𝟎 − 𝟑𝟓, 𝟐𝟏𝟔
= 𝟐, 𝟒𝟑𝟕 𝟎, 𝟎𝟔𝟕𝟔 = 𝟎, 𝟔𝟑𝟒
e) Desviación estándar de la intersección en “y” (sb)
𝒔𝒎 =
𝒔𝒓
𝟐
𝑺𝒙𝒙
=
𝟐, 𝟒𝟑𝟕 𝟐
𝟏𝟏𝟎𝟐, 𝟎𝟔𝟒
=
𝟐, 𝟒𝟑𝟕
𝟏𝟏𝟎𝟐, 𝟎𝟔𝟒
=
𝟐, 𝟒𝟑𝟕
𝟑𝟑, 𝟏𝟗𝟕
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟑
d) Desviación estándar de la pendiente (sm)
Ejercicio de práctica
La concentración del ion sulfato en el agua natural puede determinarse al medir la turbiedad que resulta cuando se añade un
exceso de BaCl2 a una cantidad determinada de la muestra. Un turbidímetro, fue calibrado con una serie de disoluciones
estándar de Na2SO4. Los siguientes datos fueron obtenidos en la calibración para las concentraciones de sulfato, cx: (mg
𝑆𝑂4
2−
/𝐿) fueron: 0,00; 5,00; 10,00; 15,00 y 20,00. Las correspondientes lecturas del turbidímetro (R) fueron: 0,06; 1,48; 2,28;
3,98 y 4,61. Suponiendo que hay una relación lineal entre la lectura del instrumento y la concentración, realice un análisis de
mínimos cuadrados de los datos de calibración. Calcule: a) la pendiente (m) y la intersección en la ordenada “y” (b), para la
mejor línea recta entre los puntos, b) la desviación estándar de la pendiente (sm) y la desviación estándar de la intersección
(sb), c) la desviación estándar alrededor de la regresión (sr), y d) el coeficiente de determinación (R2).
Respuestas: a) m = 0,232 ; b = 0,162 , b) sm = 0,017 ; sb = 0,213, c) sr = 0,275 d) R2 = 0,983.