MÉTODO DE CROSS ■EJEMPLO 02 ➡Método de Cross ➡Viga Hiperestatica ➡4 Tramos ➡Extremos Articulados

1. F= F= F= F= F= 2.00 Tn F= q= F=
a= L/2= a= a= a= 2.00 m a= L/2= L=
b= L= L= L/2= a=n 6.00 m n= L=
L= L= L= 12.00 m L=
q= q= 10.00 Tn/m q= q= 15.00 Tn/m q= q= q= 5.00 Tn/m M=
a= c= 3.00 m a= L/2= 3.00 m L= L= a= 3.00 m a=
b= L/2= 4.00 m b= L= 6.00 m L/3= L/3= b= 3.00 m b=
L= L= 8.00 m L= L= 6.00 m L=
c=
Opcion 01
12.00 m
1.00
1.00
1.00
DISTANCIA
CARGAS
E
I
EI
ARTICULADO ARTICULADO
6.00 m
1.00
IMAG5 IMAG12
IMAG10 IMAG15
OPCION 15
Tramo 4
6.00 m8.00 m
Tramo 3
OPCION 10OPCION 05 OPCION 12
ARTICULADO
Opcion 07
Opcion 09 Opcion 10 Opcion 11 Opcion 12 Opcion 13 Opcion 14 Opcion 15
Opcion 06Opcion 02 Opcion 03
ARTICULADO
Tramo 1 Tramo 2
Opcion 16
Opcion 08Opcion 05Opcion 04
1.00
1.00
1.001.00
N° APOYOS
N° TRAMOS
5
4
1.00
ARTICULADO
1.00
1.00
1.00
METODO DE CROSS- VIGA DE 2 - 3 - 4 TRAMOS
IMAGEN2 IMAGEN2 IMAGEN2 IMAGEN2 IMAGEN2
APOYOS
baL/2
L
b
c
L
L/2
c
L/2L/2
F
aa
F F
a a aa
F FF
aa a a aa
F FF F F
aa a/2a aa/2
F FF F F
L
q
L L L L LL
a
q
L
L/2
c
q
a
c
q
L
L/2
q
L
q
L
q
L
q
L
ba
L
m
5
2.00Tn
2.00 m
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00 m2.00 m
2.00 m
2.00 m
2.00 m
12
15.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
10
4.00 m 4.00 m
3.00 m 3.00 m
10.00 Tn/m
15
5.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
2
2 2
2
2
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝐹𝑎𝑏2
𝐿2
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝑎2 𝑏
𝐿2
𝜇 𝐴 =
𝐹𝐿
8
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝐿
8
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝐹𝑎(𝐿−𝑎)
𝐿
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝑎(𝐿−𝑎)
𝐿
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
5𝐹𝐿
16
𝜇 𝐵 = −
5𝐹𝐿
16
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝐹𝐿(𝑛2−1)
12𝑛
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝐿(𝑛2−1)
12𝑛
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝐹𝐿(2𝑛2+1)
24𝑛
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝐿(2𝑛2+1)
24𝑛
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝑞𝐿2
12
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝐿2
12
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 = 0
𝜇 𝐵 = 0
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝑞𝑎2
12
[6 −
𝑎
𝐿
8 − 3
𝑎
𝐿
]
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝑎3
12𝐿
[4 − 3
𝑎
𝐿
]
𝜇 𝐴 =
𝑞𝑐
12𝐿
[3𝐿2 − 4𝐶2]
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝑐
12𝐿
[3𝐿2 − 4𝐶2]
𝜇 𝐴 = 2𝑞𝑐[𝑎
𝑏2
𝐿2 −
𝑐2
𝐿2 𝑥
3𝑏−𝐿
3
]
𝜇 𝐵 = −2𝑞𝑐[𝑏
𝑎2
𝐿2 −
𝑐2
𝐿2 .
3𝑎−𝐿
3
]
𝜇 𝐴 =
5
96
𝑞𝐿2
𝜇 𝐵 = −
5
96
𝑞𝐿2
𝜇 𝐴 =
𝑞𝐿2
30
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝐿2
20
𝜇 𝐴 =
𝑞𝐿2
20
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝐿2
30
𝜇 𝐴 =
𝑞𝑏3
60𝐿
[5 − 3
𝑏
𝐿
]
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝑏2
60
[3
𝑏2
𝐿2
+ 10
𝑎
𝐿
]
𝜇 𝐴 = 𝑚
𝑏
𝐿
(2 − 3
𝑏
𝐿
)
𝜇 𝐴 = 𝑚
𝑎
𝐿
(2 − 3
𝑎
𝐿
)
L
ba
F
12.00 m
1.00EI =
a
ANALISIS ESTRUCTURAL
METODO DE CROSS EN VIGAS HIPERESTATICAS
ROUSSELY J. VALDIVIA ZEBALLOS
rousselyvaldiviaz@gmail.com
ILO- PERU
6.00 m
1.00EI =
8.00 m
1.00EI =
6.00 m
1.00EI =

2. 11.667
-11.667
0.167
0.125
0.167
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS
#N/A #N/A
#N/A #N/A
#N/A ####################### ####################### ####################### #######################
PRIMER TRAMO
OPCION 05 F.MOMENTO 05
Reemplazando datos :FORMULAS DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FACTOR DE DISTRIBUCION
Formula de coeficiente de distribucion
1.000
1.000
1.000
= 0.333
= 0.667
= 0.571
= 0.571
= 0.429
= 0.429
RIGIDEZ RELATIVA
Formula de rigidez relativa
=
=
=
= 0.083
#N/A #N/A
#¡REF! #¡REF!
#N/A ####################### ####################### ####################### #######################
MOMENTO5
5
2.00Tn
2.00 m
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00 m2.00 m
2.00 m
2.00 m
2.00 m
12
15.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
10
4.00 m 4.00 m
3.00 m 3.00 m
10.00 Tn/m
15
5.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
2 2 2
2212.00 m 6.00 m 8.00 m 6.00 m
1.00EI= 1.00EI= 1.00EI= 1.00EI=
1 2 3 4 5
𝑲 =
𝑬𝑰
𝑳
𝑹𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 =
𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑬𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒙(𝑰𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂)
𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂
𝐾1−2 = 𝐾2−1 =
𝐸𝐼
𝐿
𝐾2−3 = 𝐾3−2 =
𝐸𝐼
𝐿
𝐾3−4 = 𝐾4−3 =
𝐸𝐼
𝐿
𝐾4−5 = 𝐾5−4 =
𝐸𝐼
𝐿
𝐾1−2 = 𝐾2−1 =
𝐾2−3 = 𝐾3−2 =
𝐾3−4 = 𝐾4−3 =
𝐾4−5 = 𝐾5−4 =
1.00
12.00 m
1.00
6.00 m
1.00
8.00 m
1.00
6.00 m
𝑪𝒐𝒆𝒇. 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 =
𝑹. 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒂−𝒃
𝑹. 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒃−𝒂 + 𝑹. 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒃−𝒄
𝝁 𝒂−𝒃 =
𝑲 𝒂−𝒃
𝑲 𝒃−𝒂 + 𝑲 𝒃−𝒄
𝜇2−1 =
𝐾2−1
𝐾1−2 + 𝐾2−3
𝜇2−3 =
𝐾2−3
𝐾3−2 + 𝐾2−1
𝜇3−2 =
𝐾3−2
𝐾2−3 + 𝐾3−4
𝜇3−4 =
𝐾3−4
𝐾4−3 + 𝐾3−2
𝜇4−5 =
𝐾4−3
𝐾3−4 + 𝐾4−5
𝜇5−4 =
𝐾5−4
𝐾4−5 + 𝐾4−3
𝜇2−1 =
0.083
0.083 0.167+
𝜇2−1 =
0.167
0.167 0.083+
𝜇2−1 =
0.167
0.167 0.125+
𝜇2−1 =
0.167
0.167 0.125+
+
𝜇2−1 =
0.125
0.167 0.167++
𝜇2−1 =
0.125
0.167+0.125 +
5
2.00Tn
2.00 m
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00 m2.00 m
2.00 m
2.00 m
2.00 m
12
15.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
10
4.00 m 4.00 m
3.00 m 3.00 m
10.00 Tn/m
15
5.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
2 2 2 22
12.00 m 6.00 m 8.00 m 6.00 m
1.00EI = 1.00EI = 1.00EI = 1.00EI =
5
2.00Tn
2.00 m
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00 m2.00 m
2.00 m
2.00 m
2.00 m
12.00 m
5
𝜇 𝐴 =
𝜇 𝐵 =

3. Longitud 12.00 Longitud 6.00 Longitud 8.00 Longitud 6.00
EI 1.00 EI 1.00 EI 1.00 EI 1.00
Rigidez R. 0.083 Rigidez R. 0.167 Rigidez R. 0.125 Rigidez R. 0.167
Apoyo articulado intermedio intermedio intermedio intermedio intermedio intermedio articulado
F.D. 1.000 0.333 0.667 0.571 0.429 0.429 0.571 1.000
MEP 11.667 -11.667 28.125 -28.125 48.750 -48.750 1.313 -4.313
-11.667 -5.833
-1.771 -3.542 -7.083 -3.542
1.771 0.885 -4.881 -9.762 -7.321 -3.661
0.666 1.332 2.664 1.332 10.950 21.899 29.199 14.599
-0.666 -0.333 -3.509 -7.018 -5.263 -2.632 -5.143 -10.287
0.640 1.281 2.561 1.281 1.666 3.332 4.443 2.221
-0.640 -0.320 -0.842 -1.684 -1.263 -0.631 -1.111 -2.221
0.194 0.387 0.775 0.387 0.373 0.747 0.996 0.498
-0.194 -0.097 -0.217 -0.435 -0.326 -0.163 -0.249 -0.498
0.052 0.105 0.209 0.105 0.088 0.177 0.235 0.118
-0.052 -0.026 -0.055 -0.110 -0.083 -0.041 -0.059 -0.118
0.014 0.027 0.054 0.027 0.021 0.043 0.057 0.029
-0.014 -0.007 -0.014 -0.028 -0.021 -0.010 -0.014 -0.029
0.003 0.007 0.014 0.007 0.005 0.011 0.014 0.007
-0.003 -0.002 -0.003 -0.007 -0.005 -0.003 -0.004 -0.007
0.001 0.002 0.003 0.002 0.001 0.003 0.004 0.002
-0.001 0.000 -0.001 -0.002 -0.001 -0.001 -0.001 -0.002
0.000 0.000 0.001 0.000 0.000 0.001 0.001 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
0.000
∑M 0.000 -17.801 17.800 -47.572 47.572 -29.680 29.680 0.000
Reemplazando datos :
28.125
SEGUNDO TRAMO
TERCER TRAMO
CUARTO TRAMO
OPCION 12 F.MOMENTO 12
OPCION 10 F.MOMENTO 10
Reemplazando datos :
48.750
-28.125
-48.750
FORMULAS DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
MOMENTO12
MOMENTO10
MOMENTO15
OPCION 15 F.MOMENTO 15
Reemplazando datos :
1.313
DISTRIBUCION DE MOMENTOS
TRAMO 1 TRAMO 2 TRAMO 3 TRAMO 4
-4.313
FORMULAS DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
12
15.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
10
4.00 m 4.00 m
3.00 m 3.00 m
10.00 Tn/m
15
5.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
6.00 m
8.00 m
6.00 m
12
15
10
𝜇 𝐴 =
𝜇 𝐴 =
𝜇 𝐴 =
𝜇 𝐵 =
𝜇 𝐵 =
𝜇 𝐵 =

4. R1 3.517 R2 6.483
R2 17.538 R3 27.462
R3 32.236 R4 27.764
R4 6.19673 R5 1.303
R1 = 3.51664 =
R2 = 6.483 + 17.538 =
R3 = 27.462 + 32.236 =
R4 = 27.764 + 6.19673 =
R5 = 1.303 =
PRIMER TRAMO
OPCION 05
SEGUNDO TRAMO
SUMATORIA DE MOMENTOS SUMATORIA DE FUERZAS EN Y
CALCULO DE REACCIONES
OPCION 12
TERCER TRAMO
OPCION 10
RESUMEN DE REACCIONES
#¡REF! #¡REF!
#¡REF! #¡REF!
SUMATORIA DE MOMENTOS SUMATORIA DE FUERZAS EN Y
SUMATORIA DE MOMENTOS SUMATORIA DE FUERZAS EN Y
SUMATORIA DE MOMENTOS SUMATORIA DE FUERZAS EN Y
CUARTO TRAMO
OPCION 15
3.517 Tn
24.022 Tn
59.698 Tn
33.960 Tn
1.303 Tn
#¡REF! ####################### ####################### ####################### #######################
5
2.00Tn
2.00 m
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00 m2.00 m
2.00 m
2.00 m
2.00 m
12
15.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
10
4.00 m 4.00 m
3.00 m 3.00 m
10.00 Tn/m
15
5.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
12.00 m
6.00 m
8.00 m
6.00 m
R1 R2
R2 R3
R3 R4
R4 R5
0.000 -17.801
17.800 -47.572
47.572 -29.680
29.680 0.000
Σ𝑀1 = 0 Σ𝐹𝑦 = 0
Σ𝑀1 = 0 Σ𝐹𝑦 = 0
Σ𝑀1 = 0 Σ𝐹𝑦 = 0
Σ𝑀1 = 0 Σ𝐹𝑦 = 0
5
2.00Tn
2.00 m
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00Tn
2.00 m2.00 m
2.00 m
2.00 m
2.00 m
12
15.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
10
4.00 m 4.00 m
3.00 m 3.00 m
10.00 Tn/m
15
5.00 Tn/m
3.00 m 3.00 m
2 2 2 22
12.00 m 6.00 m 8.00 m 6.00 m
1.00EI= 1.00EI= 1.00EI= 1.00EI=
3.517 Tn 24.022 Tn 59.698 Tn 33.960 Tn 1.303 Tn

5. COMPROBACION DE RESULTADOS
DIAGRAMA CORTANTE
DIAGRAMA CORTANTE