MÉTODO DE CROSS ■EJEMPLO 01 ➡Método de Cross ➡Viga Hiperestatica ➡4 Tramos ➡Extremos Empotrados

1. F= F= F= 10.00 Tn F= 15.00 Tn F= F= q= 12.00 Tn/m F=
a= L/2= a= 2.00 m a= 2.00 m a= a= L/2= 4.00 m L=
b= L= L= 6.00 m L/2= 4.00 m a=n n= L= 8.00 m
L= L= 8.00 m L= L=
q= q= q= q= q= q= 14.00 Tn/m q= M=
a= c= a= L/2= L= L= 6.00 m a= a=
b= L/2= b= L= L/3= L/3= 2.00 m b= b=
L= L= L= L= L=
c=
Opcion 01
6.00 m
1.00
1.00
1.00
DISTANCIA
CARGAS
E
I
EI
EMPOTRADO ARTICULADO
8.00 m
1.00
IMAG14 IMAG4
IMAG7 IMAG3
OPCION 03
Tramo 4
6.00 m8.00 m
Tramo 3
OPCION 07OPCION 14 OPCION 04
ARTICULADO
Opcion 07
Opcion 09 Opcion 10 Opcion 11 Opcion 12 Opcion 13 Opcion 14 Opcion 15
Opcion 06Opcion 02 Opcion 03
EMPOTRADO
Tramo 1 Tramo 2
Opcion 16
Opcion 08Opcion 05Opcion 04
1.00
1.00
1.001.00
N° APOYOS
N° TRAMOS
5
4
1.00
ARTICULADO
1.00
1.00
1.00
METODO DE CROSS- VIGA DE 2 - 3 - 4 TRAMOS
IMAGEN1 IMAGEN2 IMAGEN2 IMAGEN2 IMAGEN1
APOYOS
baL/2
L
b
c
L
L/2
c
L/2L/2
F
aa
F F
a a aa
F FF
aa a a aa
F FF F F
aa a/2a aa/2
F FF F F
L
q
L L L L LL
a
q
L
L/2
c
q
a
c
q
L
L/2
q
L
q
L
q
L
q
L
ba
L
m
14
14.00 Tn/m
6.00 m
4
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
2.00 m 2.00 m 2.00 m 2.00 m
7
12.00 Tn/m
4.00 m 4.00 m
3
10.00 Tn
2.00 m
10.00 Tn
2.00 m
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
1
2 2
1
2
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝐹𝑎𝑏2
𝐿2
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝑎2 𝑏
𝐿2
𝜇 𝐴 =
𝐹𝐿
8
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝐿
8
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝐹𝑎(𝐿−𝑎)
𝐿
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝑎(𝐿−𝑎)
𝐿
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
5𝐹𝐿
16
𝜇 𝐵 = −
5𝐹𝐿
16
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝐹𝐿(𝑛2−1)
12𝑛
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝐿(𝑛2−1)
12𝑛
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝐹𝐿(2𝑛2+1)
24𝑛
𝜇 𝐵 = −
𝐹𝐿(2𝑛2+1)
24𝑛
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝑞𝐿2
12
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝐿2
12
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 = 0
𝜇 𝐵 = 0
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐴 =
𝑞𝑎2
12
[6 −
𝑎
𝐿
8 − 3
𝑎
𝐿
]
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTOS DE
EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝑎3
12𝐿
[4 − 3
𝑎
𝐿
]
𝜇 𝐴 =
𝑞𝑐
12𝐿
[3𝐿2 − 4𝐶2]
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝑐
12𝐿
[3𝐿2 − 4𝐶2]
𝜇 𝐴 = 2𝑞𝑐[𝑎
𝑏2
𝐿2 −
𝑐2
𝐿2 𝑥
3𝑏−𝐿
3
]
𝜇 𝐵 = −2𝑞𝑐[𝑏
𝑎2
𝐿2 −
𝑐2
𝐿2 .
3𝑎−𝐿
3
]
𝜇 𝐴 =
5
96
𝑞𝐿2
𝜇 𝐵 = −
5
96
𝑞𝐿2
𝜇 𝐴 =
𝑞𝐿2
30
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝐿2
20
𝜇 𝐴 =
𝑞𝐿2
20
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝐿2
30
𝜇 𝐴 =
𝑞𝑏3
60𝐿
[5 − 3
𝑏
𝐿
]
𝜇 𝐵 = −
𝑞𝑏2
60
[3
𝑏2
𝐿2
+ 10
𝑎
𝐿
]
𝜇 𝐴 = 𝑚
𝑏
𝐿
(2 − 3
𝑏
𝐿
)
𝜇 𝐴 = 𝑚
𝑎
𝐿
(2 − 3
𝑎
𝐿
)
L
ba
F
6.00 m
1.00EI =
a
ANALISIS ESTRUCTURAL
METODO DE CROSS EN VIGAS HIPERESTATICAS
ROUSSELY J. VALDIVIA ZEBALLOS
rousselyvaldiviaz@gmail.com
ILO- PERU
8.00 m
1.00EI =
8.00 m
1.00EI =
6.00 m
1.00EI =

2. 16.800
-25.200
0.125
0.125
0.167
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS
#N/A #N/A
#N/A #N/A
#N/A ####################### ####################### ####################### #######################
PRIMER TRAMO
OPCION 14 F.MOMENTO 14
Reemplazando datos :FORMULAS DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FACTOR DE DISTRIBUCION
Formula de coeficiente de distribucion
1.000
1.000
1.000
= 0.571
= 0.429
= 0.500
= 0.571
= 0.500
= 0.429
RIGIDEZ RELATIVA
Formula de rigidez relativa
=
=
=
= 0.167
#N/A #N/A
#¡REF! #¡REF!
#N/A ####################### ####################### ####################### #######################
MOMENTO14
14
14.00 Tn/m
6.00 m
4
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
2.00 m 2.00 m 2.00 m 2.00 m
7
12.00 Tn/m
4.00 m 4.00 m
3
10.00 Tn
2.00 m
10.00 Tn
2.00 m
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
1 2 2
1
26.00 m 8.00 m 8.00 m 6.00 m
1.00EI= 1.00EI= 1.00EI= 1.00EI=
1 2 3 4 5
𝑲 =
𝑬𝑰
𝑳
𝑹𝒊𝒈𝒊𝒅𝒆𝒛 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 =
𝑴𝒐𝒅𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝑬𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒙(𝑰𝒏𝒆𝒓𝒄𝒊𝒂)
𝑫𝒊𝒔𝒕𝒂𝒏𝒄𝒊𝒂
𝐾1−2 = 𝐾2−1 =
𝐸𝐼
𝐿
𝐾2−3 = 𝐾3−2 =
𝐸𝐼
𝐿
𝐾3−4 = 𝐾4−3 =
𝐸𝐼
𝐿
𝐾4−5 = 𝐾5−4 =
𝐸𝐼
𝐿
𝐾1−2 = 𝐾2−1 =
𝐾2−3 = 𝐾3−2 =
𝐾3−4 = 𝐾4−3 =
𝐾4−5 = 𝐾5−4 =
1.00
6.00 m
1.00
8.00 m
1.00
8.00 m
1.00
6.00 m
𝑪𝒐𝒆𝒇. 𝑫𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 =
𝑹. 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒂−𝒃
𝑹. 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒃−𝒂 + 𝑹. 𝒓𝒆𝒍𝒂𝒕𝒊𝒗𝒂 𝒃−𝒄
𝝁 𝒂−𝒃 =
𝑲 𝒂−𝒃
𝑲 𝒃−𝒂 + 𝑲 𝒃−𝒄
𝜇2−1 =
𝐾2−1
𝐾1−2 + 𝐾2−3
𝜇2−3 =
𝐾2−3
𝐾3−2 + 𝐾2−1
𝜇3−2 =
𝐾3−2
𝐾2−3 + 𝐾3−4
𝜇3−4 =
𝐾3−4
𝐾4−3 + 𝐾3−2
𝜇4−5 =
𝐾4−3
𝐾3−4 + 𝐾4−5
𝜇5−4 =
𝐾5−4
𝐾4−5 + 𝐾4−3
𝜇2−1 =
0.167
0.167 0.125+
𝜇2−1 =
0.125
0.125 0.167+
𝜇2−1 =
0.125
0.125 0.125+
𝜇2−1 =
0.167
0.167 0.125+
+
𝜇2−1 =
0.125
0.167 0.125++
𝜇2−1 =
0.125
0.167+0.125 +
14
14.00 Tn/m
6.00 m
4
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
2.00 m 2.00 m 2.00 m 2.00 m
7
12.00 Tn/m
4.00 m 4.00 m
3
10.00 Tn
2.00 m
10.00 Tn
2.00 m
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
1 2 2 12
6.00 m 8.00 m 8.00 m 6.00 m
1.00EI = 1.00EI = 1.00EI = 1.00EI =
14
14.00 Tn/m
6.00 m
6.00 m
14
𝜇 𝐴 =
𝜇 𝐵 =

3. Longitud 6.00 Longitud 8.00 Longitud 8.00 Longitud 6.00
EI 1.00 EI 1.00 EI 1.00 EI 1.00
Rigidez R. 0.167 Rigidez R. 0.125 Rigidez R. 0.125 Rigidez R. 0.167
Apoyo empotrado intermedio intermedio intermedio intermedio intermedio intermedio empotrado
F.D. 0.000 0.571 0.429 0.500 0.500 0.429 0.571 0.000
MEP 16.800 -25.200 37.500 -37.500 64.000 -64.000 13.333 -13.333
0.000 0.000
-3.514 -7.029 -5.271 -2.636
0.000 0.000 -5.966 -11.932 -11.932 -5.966
1.705 3.409 2.557 1.278 12.136 24.271 32.362 16.181
0.000 0.000 -3.354 -6.707 -6.707 -3.354 0.000 0.000
0.958 1.916 1.437 0.719 0.719 1.437 1.916 0.958
0.000 0.000 -0.359 -0.719 -0.719 -0.359 0.000 0.000
0.103 0.205 0.154 0.077 0.077 0.154 0.205 0.103
0.000 0.000 -0.038 -0.077 -0.077 -0.038 0.000 0.000
0.011 0.022 0.016 0.008 0.008 0.016 0.022 0.011
0.000 0.000 -0.004 -0.008 -0.008 -0.004 0.000 0.000
0.001 0.002 0.002 0.001 0.001 0.002 0.002 0.001
0.000 0.000 0.000 -0.001 -0.001 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
0.000 0.000 0.000
0.000
∑M 16.063 -26.673 26.673 -57.496 57.496 -47.841 47.841 3.921
Reemplazando datos :
37.500
SEGUNDO TRAMO
TERCER TRAMO
CUARTO TRAMO
OPCION 04 F.MOMENTO 04
OPCION 07 F.MOMENTO 07
Reemplazando datos :
64.000
-37.500
-64.000
FORMULAS DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
MOMENTO4
MOMENTO7
MOMENTO3
OPCION 03 F.MOMENTO 03
Reemplazando datos :
13.333
DISTRIBUCION DE MOMENTOS
TRAMO 1 TRAMO 2 TRAMO 3 TRAMO 4
-13.333
FORMULAS DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
FORMULAS DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO
4
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
2.00 m 2.00 m 2.00 m 2.00 m
7
12.00 Tn/m
4.00 m 4.00 m
3
10.00 Tn
2.00 m
10.00 Tn
2.00 m
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
8.00 m
8.00 m
6.00 m
4
3
7
𝜇 𝐴 =
𝜇 𝐴 =
𝜇 𝐴 =
𝜇 𝐵 =
𝜇 𝐵 =
𝜇 𝐵 =

4. R1 12.232 R2 29.768
R2 18.647 R3 26.353
R3 49.207 R4 46.793
R4 18.62695 R5 1.373
R1 = 12.23171 =
R2 = 29.768 + 18.647 =
R3 = 26.353 + 49.207 =
R4 = 46.793 + 18.62695 =
R5 = 1.373 =
PRIMER TRAMO
OPCION 14
SEGUNDO TRAMO
SUMATORIA DE MOMENTOS SUMATORIA DE FUERZAS EN Y
CALCULO DE REACCIONES
OPCION 04
TERCER TRAMO
OPCION 07
RESUMEN DE REACCIONES
#¡REF! #¡REF!
#¡REF! #¡REF!
SUMATORIA DE MOMENTOS SUMATORIA DE FUERZAS EN Y
SUMATORIA DE MOMENTOS SUMATORIA DE FUERZAS EN Y
SUMATORIA DE MOMENTOS SUMATORIA DE FUERZAS EN Y
CUARTO TRAMO
OPCION 03
12.232 Tn
48.415 Tn
75.560 Tn
65.420 Tn
1.373 Tn
#¡REF! ####################### ####################### ####################### #######################
14
14.00 Tn/m
6.00 m
4
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
2.00 m 2.00 m 2.00 m 2.00 m
7
12.00 Tn/m
4.00 m 4.00 m
3
10.00 Tn
2.00 m
10.00 Tn
2.00 m
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
6.00 m
8.00 m
8.00 m
6.00 m
R1 R2
R2 R3
R3 R4
R4 R5
16.063 -26.673
26.673 -57.496
57.496 -47.841
47.841 3.921
Σ𝑀1 = 0 Σ𝐹𝑦 = 0
Σ𝑀1 = 0 Σ𝐹𝑦 = 0
Σ𝑀1 = 0 Σ𝐹𝑦 = 0
Σ𝑀1 = 0 Σ𝐹𝑦 = 0
14
14.00 Tn/m
6.00 m
4
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
2.00 m 2.00 m 2.00 m 2.00 m
7
12.00 Tn/m
4.00 m 4.00 m
3
10.00 Tn
2.00 m
10.00 Tn
2.00 m
15.00Tn
15.00Tn
15.00Tn
1 2 2 12
6.00 m 8.00 m 8.00 m 6.00 m
1.00EI= 1.00EI= 1.00EI= 1.00EI=
12.232 Tn 48.415 Tn 75.560 Tn 65.420 Tn 1.373 Tn

5. COMPROBACION DE RESULTADOS
DIAGRAMA CORTANTE
DIAGRAMA CORTANTE