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Movimiento armonico simple
- 2. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE Consideraremos que no existen fuerzas retardadoras m m s 𝑭 = 𝒌𝒔 𝒙 𝑭 = 𝑾 𝒌𝒔 = 𝒎𝒈 𝑭 = −𝒌 𝒔 + 𝒙 + 𝒎𝒈 𝒎𝒂 = −𝒌𝒔 − 𝒌𝒙 + 𝒎𝒈 𝒎𝒂 = −𝒌𝒙 𝒎 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐 = −𝒌𝒙 Movimiento Sin estirar Equilibrio
- 3. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación de movimiento esta dada por 𝒎 𝒅𝟐 𝒙 𝒅𝒕𝟐 + 𝒌𝒙 = 𝟎 ó 𝒎𝒙′′ + 𝒌𝒙 = 𝟎 Que tiene como condiciones iniciales 𝒙 𝟎 = 𝜶 , 𝒙′ 𝟎 = 𝜷
- 4. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Consideraremos el signo para los desplazamientos como sigue 𝑥 < 0 𝑥 > 0 𝑥 = 0 Posición de equilibrio
- 5. ECUACIÓN DE MOVIMIENTO La ecuación de movimiento es una ecuación homogénea con coeficientes constantes 𝑚 𝑑2 𝑥 𝑑𝑡2 + 𝑘𝑥 = 0 𝑚𝑥′′ + 𝑘𝑥 = 0 𝑥′′ + 𝜔2 𝑥 = 0 𝑟2 + 𝜔2 = 0 ⇒ 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑘 𝑚 = 𝜔2 𝑟2 = −𝜔2 𝑟 = 0 ± 𝜔𝑖
- 6. EJEMPLO Un cuerpo que pesa 8lb sujeto a un resorte esta sometido a un movimiento armónico simple. Determine la ecuación de movimiento si la constante del resorte es 1lb/pie y si el cuerpo se suelta desde un punto que esta a 1/2pie debajo de la posición de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 3/2pie/s 𝑊 = 8 𝑘 = 1 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + 𝑘𝑥 = 0 𝑥 0 = 1/2 , 𝑥′ 0 = 3/2 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 , 𝜔2 = 𝑘 𝑚 Para hallar la masa 𝑚 𝑊 = 𝑚𝑔 → 𝑚 = 𝑊 𝑔 = 8 32 = 1 4 𝜔 = 𝑘 𝑚 = 4 = 2 𝑥 𝑡 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛2𝑡 Usando las condiciones iniciales 𝑥 𝑡 = 1 2 𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 3 4 𝑠𝑒𝑛2𝑡
- 7. EJEMPLO Un cuerpo que pesa 24 lb sujeto al extremo de un resorte lo estira en 1/3pie, obtenga la ecuación de movimiento si el peso en reposo se suelta desde un punto que está 1/4pie sobre la posición de equilibrio
- 8. FORMAALTERNATIVA DE LA SOLUCIÓN Si la solución 𝑥(𝑡) es tal que 𝑐1 ≠ 0 𝑦 𝑐2 ≠ 0 entonces 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙 Donde 𝐴 = 𝑐1 2 + 𝑐2 2 𝐴 Amplitud 𝑡𝑎𝑛𝜙 = 𝑐1 𝑐2 𝜙 ángulo fase 𝑐1 𝑐2 𝜙 𝒔𝒆𝒏𝝓 = 𝒄𝟏 𝑨 𝒄𝒐𝒔𝝓 = 𝒄𝟐 𝑨 Periodo 𝑻 = 𝟐𝝅 𝝎 Frecuencia 𝒇 = 𝟏 𝑻
- 9. EJEMPLO Un cuerpo que pesa 64 lb sujeto al extremo de un resorte lo estira 0.32pie. El cuerpo ocupa una posición que esta 2/3pie sobre la posición de equilibrio y desde ahí se le comunica una velocidad dirigida hacia abajo de 5pie/s a) Encuentre la ecuación de movimiento b) Calcule la amplitud y el periodo c) ¿Cuantas oscilaciones completas habrá realizado el peso después de 3𝜋 segundos? d) ¿En que instante pasa el cuerpo por la posición de equilibrio en dirección hacia abajo por segunda vez?