Matrizeak determinanteak eta ekuazio linealak

MATEMATIKA II

UD3: matrizeak, determinanteak
eta ekuazio linealak

UD3 MATRIZEAK DETERMINANTEAK ETA EKUAZIO LINEALAK

H1

1. MATRIZEAK

• m x n ordenako edo dimentsioko matrize errealak parentesi
artean gordetako eta m lerrotan eta n zutabetan ordenatutako
m•n zenbaki errealien multzoak dira, eta A edo (aij) adierazten
dira:

 a11 a12 ... a1n 
 
 a21 a22 ... a2 n 
A=
  ...  
 
a am 2 ... amn 
 m1 


H1

1.1. Matrize motak.

Lerro matrizea edo errenkada matrizea: 1 x n ordena duena da.
Zutabe matrizea: m x 1 ordena duena.
Matrize karratua: n x n ordena duena.

A = ( 1 2 2 − 3)
2
 
 − 1
 6 A=  3
4 − 1
 0
 7

 − 12  4 
5 0
A=  3
 
4 2 0
 
 1 1 2 5
 

H1

1.1. Matrize motak.

A-ren aurkako matrizea: A-ren elementu guztiak aldatuz ateratzen zaiguna,
eta – A –ren bidez adierazten dugu.
A-ren matrize iraulia: A-ko lerroak eta zutabeak elkar trukatuz ateratzen
zaiguna, eta At –ren bidez adierazten dugu.

 2 − 1  − 2 21  0 
A=
0 4  −A= =
t
A   


 0 − 14  4 
  −  


H1

1.1. Matrize motak.

Matrize karratuetan:
Diagonal nagusia; a11, a22,…, ann
Diagonal sekundarioa; a1n, a2(n-1),…, an1

 a11 a12 ... a1n 
 
 a21 a22 ... a2 n 
A=
  ...  
 
a am 2 ... amn 
 m1 


H1

1.1. Matrize motak.

Matrize karratuetan:
Goi-triangeluarra: diagonal nagusiaren azpian dauden elementu guztiak
zero badira, aij=0, baldin i>j.
Behe-triangeluarra: diagonal nagusiaren gainean dauden elementu guztiak
zero badira, aij=0, baldin i<j.

1 2 2
Diagonala; diagonal nagusian ez dauden elementu guztiak zero badira,
aij=0, i ≠ j.  1 0  0
A =  0  simetrikoak diren elementuak berdinak
1 1 
A =  2  12 00 0 
Simetrikoa; diagonal nagusiarekiko
 0 0 3
 A = 0 2 1 0  2 − 1
baldin badira; a = a ∀i,j

1 3  1 
ij ji

     
A0=  2 2  1 3 
 0
 −1 3 2
 


H1

1.1. Matrize motak.

Identitate matrizea: I matrize karratu bat da; bertan, diagonal nagusiko
elementu guztiak 1 dira eta diagonalean ez dauden elementu guztiak 0.
Matrize nulua: elementu guztiak 0 dituena.

1 0
I2x2 =
0 1
 0 0
 1 0 0  
 

I 3x 3 A = 00 0 

= 0 1


  0 0   1
0 0 1
 0 0 0
 I
=  0 1 0

0
4x4 0 0 1 0
 
0 0 0 1
 


H1

2. MATRIZEEN ARTEKO ERAGIKETAK

2.1. Matrizeen batuketak.
 Demagun A=(aij) eta B=(bij) matrizeak ditugula eta biek m x n dimentsioa
dutela. Leku berean dauden elementuak batzean, m x n dimentisoko
beste matrize bat lortuko dugu, A eta B-ren batura dena;
A + B = (aij + bij )

 1 − 1  3 2   4 1 

 0 2  +  − 4 2 =  − 4 4
    
     

 1 − 1  3 2   − 2 − 3 

 0 2  −  − 4 2 =  4
    
     0 



H1

2.2. Zenbaki erreal baten eta matrize baten arteko biderketa.

 Demagun m x n ordeneko A=(aij) matrizea eta λ zenbaki erreala
ditugula. Bien arteko biderketa egitean, m x n ordeneko beste matrize
bat lortuko dugu, A-ko elementu guztiak bider λ eginez lortzen dena.

λ ⋅ A = ( λ ⋅ aij )

 1 8   4 32 
4⋅
 − 2 5  =  − 8 20 
  
   


H1

2.3. Matrizeen biderketa.

 Bi matrize biderkatzeko ez da beharrezkoa ordena berekoak izatea; bai,
ordea, lehenengoaren zutabe kopurua eta bigarrenaren lerro kopurua
berdina izatea. Lortuko dugun matrizeak berriz, lehenengoaren lerro
kopurua eta bigarrenaren zutabe kopuru berdina izango ditu.

Aaxb • Bbxd = Caxd


H1

 Matrize hauek emanda A=(aij), mxn dimentsiotakoa, eta B=(bij), nxp
dimentsiotakoa.
 a11 a12 ... a1n   b11 b12 ... b1 p 
   
 a21 a22 ... a2 n   b21 b22 ... b2 p 
A= B=
  ...     ...  
   
a ... amn  b ... bnp 
 m1 am 2   n1 bn 2 

 A-ren eta B-ren biderkadura m x p ordenako C=(cij) beste matrize bat
izango da eta matrize horretan cij elementu bakoitza lortzeko, A-ko i
lerroa eta B-ko k zutabeaz eskalarki bidertu beharko dugu.

n
cij = ∑ ij ⋅b jk
a
j=1


H1

 a11b11 + a12b21 + ... + a1nbn1 ... a11b1 p + a12b2 p + ... + a1nbnp 
 
C = ... ... ... 
 a b + a b + ... + a b ... a b + a b + ... + a b 
 m1 11 m 2 21 mn n1 m1 1 p m2 2 p mn np 


H1

2.4. Matrizeen berreketa.

Matrize karratuen multzoan, honela defini dezakegu matrizeen
berreketa;

A2 = A • A
A3 = A 2 • A = A • A • A
…
An = An-1 • A = A • A • A •…(n aldiz) •A


H2

3. ALDERANTZIZKO MATRIZEA.

 n ordenako A matrize karratu baten alderantzizko matrizea n ordenako
beste matrize bati deitzen zaio, betiere, hau betetzen badu (eta A-1 –ren
bidez adierazten dugu):

A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I
 Metodo zuzena;

 2 − 1  x y  1 0

0 1 ⋅ z
  =
 0 1

   t  


H3

4. EKUAZIO ETA SISTEMA MATRIZIALAK.

 Ezezagun edo koefizientetzat matrizeak dituzten ekuazio edo sistemei
ekuazio edo sistema matrizialak deitzen diegu.

 λ • X = A itxurakoak; X = 1/λ • A
Adibidea:
1 − 2  4 4 

1 5  ⋅ 3 X =  1 − 4 
  
   

 A • X = B itxurakoak; ala X • A = B itxurakoak

A-1 • A • X = A-1 • B X • A • A-1 = B • A-1
I • X = A-1 • B X•I = B • A-1
X = A-1 • B X = B • A-1

1 0  1 2 

1 2  ⋅ X =  6 − 2 
  
   


H3
 Ekuazio matrizialen sistema linealak ebazteko, ekuazio linealen
sistemak ebazteko erabilitako prozesu berari jarraitu beharko diogu;

Adibidea;
 2 − 3
X + Y = 
1 
  4 


2X −Y = 1
0

 2 
2
 


H4

5. DETERMINANTEAK.

 a1, a2, …, an n elementuren permutazioak n elementu horiek
ordenatzeko dituzten moduei deitzen zaie.

 Lehendabiziko n zenbaki arrunten permutazio nagusia edo
naturala deitzen zaio zenbaki horiek euren ordena
naturalean daudeneko permutazioari; α = (1,2,3,…,n).

 p eta q edozein permutazioren elementuak permutazio
nagusiaren alderantzizko ordenan daudenean, alderanzketa
osatzen dutela esaten da. Beraz, edozein permutazio
alderanzketa kopuru finitu baten konposizioa da.


H4

A n ordenako matrize karratu bat bada, A matrizearen
determinantea adierazpide honetatik ondorioztatzen den
zenbaki erreala da;

A = det A = ∑ ( − 1) ai1 j1 ⋅ ai2 j2 ⋅ ... ⋅ ain jn
t

Horretan, α = (i1, i2, …, in) eta β = (j1, j2, …, jn) 1, 2, …, n-ren bi
permutazio dira, eta t, berriz, α-tik β-ra igarotzeko balio digun
alderanzketa kopurua da.


H4

5.1. Bi ordenako determinanteen kalkulua

a11 a12
= a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21
a21 a22

Adibideak;

1 3 5 2 2 2
= = =
2 2 − 2 −1 3 4


H4

5.2. Hiru ordenako determinanteen kalkulua

a11 a12 a13
a21 a22 a23 = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a21 ⋅ a32 ⋅ a13 + a31 ⋅ a12 ⋅ a23
a31 a32 a33
− a13 ⋅ a22 ⋅ a31 − a23 ⋅ a32 ⋅ a11 − a33 ⋅ a12 ⋅ a21
+ zeinuko batugaiak - zeinuko batugaiak

a11 a12 a13 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a33


H4

Adibideak;

1 0 1 2 1 0 1 −1 1
2 −1 1 = −1 1 0 = 1 2 1 =
1 −3 2 1 4 2 0 4 −2


H4

5.3. “n” ordenako determinanteen kalkulua

5.3.1. Determinante bat garatzea ilara bateko elementuen bidez

 n ordenako A matrize bat emanda, aij elementuaren
azpimatrize osagarria deitzen zaio A matrizean i lerroa eta j
zutabea ezabatzean sortzen den n-1 ordenako matrizeari.
Matrize hori αij adierazten da.
1 1
α11 = 
3 2

 
1 4
α 32 = 
2 1

 
 2 1
α13 = 
 2 3

 


H4

A n ordenako matrize karratu bat bada, aij elementuaren minore
osagarria deitzen zaio aij elementuaren azpimatrize osagarriaren
determinanteari; hau da, IαijI.
α11 = −1 α 32 = −7 α13 = 4
 n ordenako A matrize karratu bat emanda, aij elementuaren
adjuntoa deitzen zaio adierazpen honek definitutako Aij zenbakiari;

Aij = ( − 1)
i+ j
⋅ α ij

A-ko elementu bakoitzaren ordez bere adjuntua jartzen badugu, A-
ren matrize adjuntu izeneko beste matrize bat izango dugu, eta
Adj(A) –ren bidez adierazten dugu.

 −1 − 2 4 
 
Adj ( A) =  16 − 6 − 7 
− 6 7 5 
 


H4

 A n ordenako matrize karratu bat bada, haren determinantea ilara
(lerro zein zutabe) bateko elementu bakoitzaren eta horren
adjunuaren biderkaduraren batura da.

 a11 a12 ... a1n 
 
a a22 ... a2 n 
A =  21
  ...  
 
a an 2 ... ann 
 n1 

det( A) = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + ... + a1n ⋅ A1n

Adibidea:
1 1 −1 2
1 −1 2 1 −1 2 1 1 2 1 1 −1
2 1 2 2
= 0 ⋅ 1 2 2 − 2 ⋅ 2 2 2 + 1⋅ 2 1 2 − 0 ⋅ 2 1 2 =
0 2 1 0
0 1 −1 3 1 −1 3 0 −1 3 0 1
3 0 1 −1

= 0 − 2 ⋅ (−20) + 1 ⋅1 − 0 = − 40 + 1 = − 41


H4

5.3. “n” ordenako determinanteen kalkulua

5.3.2. Determinante bat garatzea Pibotaren metodoaren bidez

► Bateko balioa duen determinantearen edozein aij elementu
hartu behar da. Elementu horri pibota deitzen zaio.
Hartutako determinanteak bateko balioko elementurik izango
ez balu, aij = k ≠ 0 balioko edozein hartuko genuke. Kasu
horretan, i lerroaren edo j zutabearen elementu guztiak zati k
zenbakia egin genezake, eta haren ondorioz, a ij elementua bat
bihurtuko litzateke. Eragiketa hori egitean, kontuan izan
behar da determinantea kanpotik k zenbakiaz biderkatuta
geratuko dela.

► Pibotaren lerroari eta zutabeari dagozkien elementuak
ezabatu egiten dira.


H4

► Determinantearen gainerako elementuen ordez hau jarriko
dugu: elementu horien eta pibotaren i lerroan eta j zutabean
elementuon lerro eta zutabeei dagozkien elementuen
biderkaduraren kendura.
► Sortutako determinanteak hasierakoak baino ordena
txikiagoa izango du, eta (-1)i+j zeinua.
► Prozesu hori behar adina aldiz egin daiteke, hiru ordenako
matrizea lortu arte.

7 0 1 5
3− 4⋅7 1− 0 ⋅ 4 0 − 4⋅5
3 1 4 0
= ( − 1) 1+3 ⋅ 2 − 1⋅ 7 − 3 − 1⋅ 0 6 − 1⋅ 5 = 510
2 −3 1 6
4 − (−3) ⋅ 7 5 − (−3) ⋅ 0 2 − (−3) ⋅ 5
4 5 −3 2


H4

5.5. Determinanteen propietateak

1. Matrize baten determinantea haren irauliaren
determinantearekin bat dator.
A= A
t

2. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe permutatuz gero,
haren determinantea zeinuz aldatzen da.
5 4 −1 − 2 4 5
= −6 =6 =6
−1 − 2 5 4 − 2 −1

3. Matrize bateko lerro edo zutabe bat zenbaki batez
biderkatuz gero, determinantea ere zenbaki horrekin
biderkatuta geratuko da.

5 4 10 8 5 4 10 8
= −6 = −12 2⋅ =
−1 − 2 −1 − 2 −1 − 2 −1 − 2


H4

4. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe berdinak badira, haren
determinantea zero izango da.
Bi lerro edo bi zutabe permutatzean determinantearen zeinua aldatzen
dela esan dugu lehen, baina bi lerro edo zutabeak berdinak badira, hau
beteko da;
det (A) = - det (A) det (A) = 0

5. Matrize bateko lerro edo zutabe bateko elementu guztiak
muluak badira, determinantearen balioa zero izango da.

6. Matrize bateko bi lerro edo bi zutabe proportzionalak
badira, haren determinantea zero izango da.
Lerro edo zutabe proportzionaletako bat p zenbaki egoki batez
biderkatzen badugu, bi lerro edo zutabe berdin lortuko ditugu, eta, beraz:
p · det(A) = 0 det(A) = 0


H4

7. Matrize triangeluar baten determinantea haren diagonal
nagusiko elementuen arteko biderkaduraren berdina da.

8. Matrize bateko lerro edo zutabe bateko elementu
guztiak bi batugaien batuketa gisa deskonposatzen
badira, haren determinantea ere deskonposatzen da,
modu honetan, bi determinanteren batuketa gisa:
a11 + b a12 a13 a11 a12 a13 b a12 a13
a21 + c a22 a23 = a21 a22 a23 + c a22 a23
a31 + d a32 a33 a31 a32 a33 d a32 a33

9. Matrize bateko lerro edo zutabe bati beste baten konbinazio
lineal bat batzen bazaie, ondorioztatzen den matrizearen
determinantea hasierakoaren berdina izango da.


H4

6. ALDERANTZIZKO MATRIZEA KALKULATZEA.

 Matrize karratu batek alderantzikoa badu, haren
determinantea zeroaren desberdina da. Orduan, matrizea
erregularra dela esaten da.
Beste moduan esanda, matrize baten determinantea zero bada, matrize
horrek ez du alderantzizkorik.

 A matrize karratu erregular bat bada, haren alderantzizko
matrizea honela kalkulatu daiteke;

⋅ Adj ( At )
1
A−1 =
A


H5

7. MATRIZE BATEN HEINA.

 A matrize baten heina linealki independenteak diren A-ren
lerro edo zutabeen gehienezko kopurua da.
 1 3 − 1  1 3 −1   1 4 − 1
     
A =  1 3 2  rang ( A) = 2 B =  1 3 − 1  rang ( B) = 1 C =  1 1 2  rang (C ) = 3
2 6 1   2 6 − 2 2 6 1 
     

7.1. Heinaren kalkulua; Gauss-en metodoa.
 Adibide baten bidez aztertuko dugu;

 1
1 2
23 −1
3 −1

 

A=
A= 0
0 5
51 7 
1 7 

 2 −1 5 − 9

 2 − 1 5 − 9



H5

7.2. Heinaren kalkulua; Determinanteen metodoa.

 A matrize baten p orndenako minoreak deituko diegu p
ordenako A azpimatrize karratuen determinanteei.

 1 2 − 1 1 2 1 −1 2 −1
A=
1 0 1   = −2 =2 =2
  1 0 1 1 0 1

 A matrize baten heina, rang(A), nulua ez den matrize horren
minorerik handienaren ordena da.
Adibide baten bidez aztertuko dugu;

 1 2 3 −1 
 
A= 0 5 1 7 
 2 −1 5 − 9 
 


H6

8. EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK.

8.1. Ekuazio linealak.

 Ekuazio lineal bat, honako berdintza bat da;
a1· x1+ a2· x2+ a3· x3+ … + an· xn = b
Ekuazio horretan, a1, a2, a3, … , an eta b zenbaki errealak dira
eta koefizienteak deitzen zaie, eta x1, x2, x3, … xn balio
ezezaguneko zenbaki errealak dira, eta ezezagunak deitzen
zaie.
Ekuazio lineal baten emaitza, ekuazioa betetzen duen n-kote
(α1, α2, α3,…, αn ) oro da.
Ekuazioaren emaitza bakoitzari emaitza partikularra deitzen
zaio, eta emaitza partikular guztien multzoari, berriz,
ekuazioaren emaitza orokorra.


H6

 n ezezaguneko ekuazio lineal baten emaitza orokorra n – 1
parametroaren araberakoa da. n – 1 zenbakiari ekuazioaren
indeterminazio maila deitzen zaio.

8.2. Ekuazio linealen sistemak.

 n ezezaguneko m ekuazio linealen sistema bat honelako m
berdintzaz osaturiko multzoa da;
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2  

........................................... 
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm  

 Ekuazio horretan, aij eta bi zenbaki erreal ezagunak dira; aij
zenbakiak koefizienteak dira eta bi zenbakiak, sistemaren gai
askeak.


H6

 Sistema bat ebaztea, haren emaitza guztiak aurkitzea da.
 Ekuazio linealen sistema haien koefizienteek eta gai askeek
mugatzen dute. Zenbaki horiek taula batean jarriz gero,
sisteman duten posizio berberetan, multzo ordenatu bat
lortuko dugu; multzo hori matrizea da eta sistemaren
adierazgarri da. Koefizienteek osatutako matrizea sistemaren
matrizea da, edo koefizienteen matrizea. Matrize horri gai
askeak gehituz gero, matrize zabaldua lortzen da.

Koefiziente matrizea
Koefiziente matrizea Matrize zabaldua
Matrize zabaldua
a11 a12 ... a11n 
a a12 ... an a11 a12 ... a11n b11 
a a12 ... an b
 11   11 
a21 a22 ... a22nn
a21 a22 ... a a21 a22 ... a22nn b22 
a21 a22 ... a b
 ...   ... 
 ... ... ... ... 
... ... ...  ... ... ... ... ... 
... ... ... ...
a  a 
 am1 am 22 ... amn 
m1 am ... amn   am1 am 22 ... amn bm 
m1 am ... amn bm 


H6

8.3. Ekuazio linealen sistemen sailkapena.


H6

8.4. Sistema baliokideak.

 Ekuazio linealen bi sistema baliokideak dira, baldin eta
ezezagun berberak badituzte eta emaitza berberak badituzte.
Emandako sistema baten baliokidea den sistema bat lortzeko,
transformazio hauek egin daitezke;
 Sistemako ekuazio bat nulua ez den zenbaki batez
biderkatzea.
 Ekuazioen ordena aldatzea.
 Gainerako ekuazioen konbinazio lineala den ekuazio
bat eranstea edo ezabatzea.
 Sistemako ekuazio bat eta zero ez den zenbaki batez
biderkatutako beste bat batzea.
 Ekuazio bateko ezezaguna bakantzea eta hori
gainerakoetan ordezkatzea.


H6

9. EKUAZIO LINEALEN SISTEMEN EBAZPENA.

9.1. Gauss-en metodoa.
 Gauss-en metodoa (triangelaketa metodoa ere deitzen zaio)
laburketa metodoan oinarritzen da. Demagun n ezezaguneko
m ekuazio linealen sistema bat dugula;
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2  

........................................... 
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm  

 Gauss-en metodoa sistema hori baliokide eta mailakatu
bihurtzean datza. Hau da, honelako batetan bihurtzean datza;


H6

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 
a22 x2 + ... + a2 n xn = b2  

........................ 
amn xn = bm  
 Sistema mailakatu bat ebazteko, bateragarria baldin bada,
sistemako azken ekuaziotik hasi behar dugu.
 Adibideak;
x − 2 y + 4 z = 1 3 x + y − 2 z = 4
 
4 x + y − z = −3 2x − z = 2 
3x + y + 2 z = 4 x + 4z = 1  


H6

9.2. Cramer-en erregela.

 n ekuazio linealeko eta n ezezaguneko sistema batek
emaitza du, eta bakarra da, koefiziente matrizea A erregularra
denean, hau da, │A │≠ 0 denean.
 (x1, x2,…, xn) sistemaren emaitzako xi osagai bakoitza bi
determinanteen arteko zatidurak emanda dago; orokorrean,
demagun honako sistema dugula;

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2  

........................................... 
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm  


H6

 Orduan honela kalkulatu ditzakegu ezezagunak;
b1 a12 ... a1n
b2 a22 ... a2 n
... ... ... ...  Ekuazio eta ezezagun kopuru
∆1 bn a2 n ... ann
x1 =
∆
=
A
berdina duten eta koefizienteen
matrizea erregularra duten sistemei
a11 b1 ... a1n Cramerren sistemak deitzen zaie, eta
a21 b1 ... a2 n
sistema mota horiei soilik aplika
... ... ... ...
∆1 an1 b1 ... ann daiteke Cramerren erregela, eta ez
x2 = =
∆ A beste motetan.
..............................................  Adibidea;
a11 a21 ... b1 x − 2 y + 4 z = 1 3 x + y − 2 z = 4
a21 a22 ... b2  
... ... ... ... 4 x + y − z = −3 2x − z = 2 
xn =
∆1
∆
=
an1 a2 n
A
... bn
3x + y + 2 z = 4 x + 4z = 1  


H6

9.3. Alderantzizko matrizeen bidezko ebazpena.
 Azkenik, honako sistema bat izanik, alderantzizko matrizeen
bidez ere kalkulatu ditzakegu ezezagunen balioa;
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2  

........................................... 
am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = bm  
 Orduan;
 a11 a12 ... a1n   x1   b1 
     
 a21 a22 ... a2 n   x2   b2 
 ... ... ... ...  ⋅  ...  =  ... 
     
a am 2 ... amn   xn   bn 
 m1     

A⋅ X = B
X = A−1 ⋅ B


H6

 Hau da, alderantzizko matrizeen bidez ere posible da
ekuazio linealen sistemak ebaztea, horretarako A matrize
erregularra izan behar duelarik.
 Adibidez;

x − 2 y + 4 z = 1 3 x + y − 2 z = 4
 
4 x + y − z = −3 2x − z = 2 
3x + y + 2 z = 4 x + 4z = 1  


H7

10. EKUAZIO LINEALEN SISTEMEN EZTABAIDA.

10.1. Rouchéren teorema.
 S ekuazio linealen sistema bat bateragarria izango da
baldin, eta soilik baldin, A koefizienteen matrizearen heina
A/B matrize zabalduaren heinaren berdina bada, hau da;
S bateragarria da ⇔ heina(A) = heina(A/B)
 Frogapena;
⇒S sistema bateragarria baldin bada, (s1, s2, …, sn) emaitza bat badago,
gutxienez eta horrek hau betetzen du; Z1· s1+ Z2· s2, …, + Zn· sn = B; beraz,
B gai askeen zutabea Z1, Z2, …, Zn koefizienteen matrizearen zutabeen
konbinazio lineala da; hortaz,
heina(Z1, Z2, …, Zn) = heina (Z1, Z2, …, Zn, B), hau da;
heina(A) = heina(A/B)


H7

 Frogapena;
⇐ Demagun heina(A) = heina(A/B) dela; beraz,
heina(Z1, Z2, …, Zn) = heina (Z1, Z2, …, Zn, B).
Horren ondorioz, Z1, Z2, …, Zn –ren konbinazio lineala da B. Beraz, n
zenbaki erreal daude, s1, s2, …, sn, honako hau egiaztatzen dutenak;
Z1· s1+ Z2· s2, …, + Zn· sn = B. Horren ondorioz, (s1, s2, …, sn)
sistemaren emaitza bat da, eta S bateragarria da, frogatu nahi
genuen moduan.
 Beraz, Rouchéren teoremak sistema bat bateragarria izateko
baldintza bat ematen du; hau da, koefizienteen matrizearen heinak
eta matrize zabalduaren heinak erlazionatzen ditu.

 Koefiziente matrizearen eta matrize zabalduaren heinak kontutan
harturik, honela sailka ditzakegu n ezezaguneko eta m ekuazioko
sistema linealak;


H7

Matrizeak determinanteak eta ekuazio linealak

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

More from jmancisidor

More from jmancisidor (20)

Matrizeak determinanteak eta ekuazio linealak