MATEMATIKA BATXI 2 UD2 Integralak

1. UD2: ANALISI MATEMATIKOA
INTEGRAZIOA

2. 1. INTEGRAL MUGAGABEA.
2
1.1. Funtzio baten jatorrizkoa.
[a, b] tartean definituta dauden f(x) eta F(x) bi funtzio izanik, esango
dugu F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizko funtzioa dela, baldin eta F(x)-ren
deribatua f(x) bada tartean.
Demagun F(x) funtzioa f(x)-ren jatorrizkoa dela [a,b] tartean; f(x)-ren
integral mugagabea deritzogu haren jatorrizko guztien multzoari, F(x)
+ K eta honela adierazten dugu:

3. 1.2. Berealako integralak.
2

4. 2

5. 1.3. Integral mugagabeen propietateak.
2

6. 1.4. Integral motak.
2
1.4.1. Deskonposizio bidezko integralak.
af ( x )
bg ( x ) dx
a
f ( x ) dx
b
g ( x ) dx

7. 1.4. Integral motak.
2
1.4.2. Ordezkapen metodoa.

8. 1.4. Integral motak.
2
1.4.3. Zatikako integrazio metodoa.

9. 1.4. Integral motak.
2
1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.

10. 1.4. Integral motak.
2
1.4.4. Funtzio razionalen integrazioa.

11. 1.4. Integral motak.
2
1.4.5. Funtzio Trigonometrikoen integrazioa.

12. 1
2
2. INTEGRAL MUGATUA.
2.1. Kurba baten azpiko azalera.
3
4
Weierstrass- en teorema:
F(x) funtzioa jarraitua bada [a,b] tartean, tarte horretako bi puntutan
f(x) funtzioak maximoa eta minimoa ditu.
Tarte horretan funtzioak duen maximoari M deituko diogu eta
minimoari, m

13. 1
2

14. 1
2
[a,b] tartean jarraitua den f funtzio bat izanik, f-ren integral mugatua
[a,b]-n deritzogu goi eta behe baturek biek duten limiteari, eta honela
adierazten dugu:

15. 1
2.2. Funtzio integrala.
2
Barrow-ren erregela:
Izan bedi f(x) funtzioa jarraitua [a,b]-n, eta F(x), f(x)-en jatorrizkoa
[a,b]-n. Orduan;
Integral mugatuen propietateak:

16. 1
2

17. 1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
F(x) funtzioa jarraitua eta positiboa bada [a,b]-n;
F(x)-en grafikoak, x=a eta x=b zuzenen eta abzisa ardatzak
mugatzen duten eskualdearen azalera adierazpen hinek
emandakoa da:

18. 1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
F(x) funtzioa jarraitua, postiboa eta negatiboa bada [a,b]-n;

19. 1
2
2.3. Eskualde lau baten azalera.
f(x) eta g(x) funtzioa jarraituak, [a,b]-n;