[Math educare] giao trinh toan cao cap 1-giai tich ham mot bien_pham phuc thinh

MATHEDUCARE.COM
BÀI GI NG TOÁN CAO C P A1 Biên so n : Gv.PH M PHÚC TH NH
Trang 1
B GIÁO D C VÀ ÀO T O
TRƯ NG CAO NG KINH T K THU T BÌNH DƯƠNG
530 i l Bình Dương, P.Hi p Thành ,TX. Th D u M t - Bình Dương
T: 0650.822847 – Fax: 0650.825992 – Email: ktktbd@gmail.com
Website://www.ktkt.edu.vn
Biên so n: Gv.Ph m Phúc Th nh
Lưu hành n i b – Tháng 08/2009

MATHEDUCARE.COM
Trang 2
L I M U
Bài gi ng môn TOÁN CAO C P A1 ư c biên so n theo chương trình ào t o
dành cho các l p Cao ng k thu t và Cao ng kinh t c a Trư ng Cao ng Kinh
T K Thu t Bình Dương.
N i dung chính bao g m 7 chương như sau :
• Chương 1: S ph c
• Chương 2: Hàm s
• Chương 3: Gi i h n và liên t c c a hàm s
• Chương 4: o hàm và vi phân c a hàm s
• Chương 5: Nguyên hàm và tích phân
• Chương 6: Gi i phương trình vi phân
• Chương 7: Chu i s
ây là tài li u tóm t t nh ng n i dung chính mà sinh viên c n ph i n m ư c
khi h c môn toán cao c p A1, vì v y n i dung t ng bài s r t cô ng. s d ng t t
tài li u này, sinh viên c n lưu ý nh ng i m chính sau
1. K t h p t t n i dung tài li u này v i vi c nghe gi ng viên gi ng bài trên
l p. Sinh viên có th không c n ph i ghi l i n i dung chính c a bài h c
do gi ng viên trình bày trên l p, mà ch c n ghi l i các ki n th c m
r ng, các ví d minh h a cho các ki n th c ã ư c trình bày trong tài
li u.
2. Sinh viên c n hi u rõ và n m ch c các ki n th c ư c trình bày trong tài
li u, vì ây là nh ng ki n th c s ph i s d ng t i b tr cho các môn
h c chuyên ngành.
3. C n th c hi n y các bài t p ã ư c ch n và ưa vào ph n cu i tài
li u có th hi u t t và bi t cách v n d ng nh ng ki n th c ã h c vào
vi c gi i quy t nh ng v n c th .
4. Trong quá trình h c t p trên l p, sinh viên có th trao i thêm v i gi ng
viên nh m t ư c hi u qu cao nh t trong h c t p
Giáo trình toán Cao c p A1 này ư c phân ra 2 ph n : Lý thuy t và bài t p giúp
cho sinh viên t rèn luy n k năng làm bài t p trong gi th c hành cũng như nhà.

MATHEDUCARE.COM
Trang 3
Trong quá trình biên so n bài gi ng m c dù ã có nhi u c g ng, nhưng ch c
ch n s không tránh kh i nh ng thi u sót, m i ý ki n óng góp xin g i v Khoa i
cương Trư ng Cao ng Kinh T K Thu t Bình Dương.
R t mong ư c s góp ý c a quý th y cô, các b n sinh viên.
Bình Dương, ngày 15 tháng 8 năm 2009
NGƯ I BIÊN SO N KI M TRA DUY T
P.CH NHI M KHOA PHÓ HI U TRƯ NG
PH M PHÚC TH NH

MATHEDUCARE.COM
Trang 4
MMMMỤỤỤỤC LC LC LC LỤỤỤỤCCCC
CHƯƠNG I : S PH C........................................................................................................................8
I - CÁC NH NGHĨA.....................................................................................................................8
1 . nh nghĩa ơn v o :..............................................................................................................8
2 . nh nghĩa s ph c : ................................................................................................................8
3 . nh nghĩa 2 s ph c b ng nhau:.............................................................................................8
4 . nh nghĩa 2 s ph c liên h p: ................................................................................................8
5 . Modun c a s ph c ..................................................................................................................8
II - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P S PH C.............................................................................8
1 . Phép c ng :...............................................................................................................................8
2 . Phép nhân v i s th c:.............................................................................................................8
3 . Phép nhân:................................................................................................................................8
4 . Phép chia:.................................................................................................................................8
III - BI U DI N HÌNH H C & LƯ NG GIÁC C A S PH C ................................................9
1 . D ng lư ng giác c a s ph c:..................................................................................................9
2 . nh lý......................................................................................................................................9
3 . H qu ......................................................................................................................................9
IV - CĂN B C n (࢔ࢠሻC A S PH C Z.......................................................................................9
1 . nh nghĩa:...............................................................................................................................9
2 . nh lý :....................................................................................................................................9
V - GI I PHƯƠNG TRÌNH B C 2 ..............................................................................................9
CHƯƠNG II : HÀM S VÀ TH ..........................................................................................10
I - CÁC NH NGHĨA...................................................................................................................10
1 . nh nghĩa hàm 1 bi n th c :.................................................................................................10
2 . nh nghĩa th c a hàm s :...............................................................................................10
3 . Hàm s ơn i u.....................................................................................................................10
4 . Hàm s ch n và hàm s l ......................................................................................................10
5 . Hàm s b ch n.......................................................................................................................10
6 . Hàm s tu n hoàn...................................................................................................................10
7 . Hàm s h p. ...........................................................................................................................11
8 . Hàm s ngư c. .......................................................................................................................11
9 . Hàm lư ng giác ngư c...........................................................................................................11
II - HÀM S SƠ C P..................................................................................................................11
1 . Hàm s sơ c p cơ b n:............................................................................................................11
2 . Hàm s sơ c p: .......................................................................................................................11
III - HÀM HAI BI N....................................................................................................................12
1 . Khái ni m v hàm hai bi n.....................................................................................................12

MATHEDUCARE.COM
Trang 5
2 . Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s .................................................................................12
CHƯƠNG III : GI I H N VÀ LIÊN T C C A HÀM S .......................................................13
I - GI I H N HÀM M T BI N ...................................................................................................13
1 . nh nghĩa gi i h n hàm 1 bi n :...........................................................................................13
2 . Các tính ch t...........................................................................................................................13
3 . Các gi i h n cơ b n................................................................................................................14
4 . Vô cùng bé – Vô cùng l n : ...................................................................................................14
II - S LIÊN T C HÀM M T BI N.........................................................................................15
1 . Các nh nghĩa :......................................................................................................................15
2 . Các nh lý v s liên t c c a hàm s :..................................................................................16
3 . Ý nghĩa hình h c c a khái ni m liên t c................................................................................16
III - GI I H N & S LIÊN T C C A HÀM 2 BI N ...............................................................17
1 . Gi i h n c a hàm 2 bi n : ......................................................................................................17
2 . S liên t c c a hàm 2 bi n : ...................................................................................................17
CHƯƠNG IV : O HÀM VÀ VI PHÂN HÀM S ...................................................................18
I - O HÀM HÀM M T BI N ..................................................................................................18
1 . Các nh nghĩa :......................................................................................................................18
2 . Các nh lý : ...........................................................................................................................18
3 . Ý nghĩa hình h c c a o hàm...............................................................................................18
4 . Quy t c tính o hàm. ............................................................................................................19
5 . B ng o hàm c a các hàm s sơ c p cơ b n.........................................................................19
6 . o hàm c p cao c a hàm m t bi n.......................................................................................19
II - VI PHÂN HÀM M T BI N .................................................................................................20
1 . nh nghĩa (vi phân c p 1) :..................................................................................................20
2 . i u ki n kh vi. ....................................................................................................................20
3 . Qui t c tính vi phân................................................................................................................20
4 . nh nghĩa vi phân c p cao :.................................................................................................20
5 . Các nh lý cơ b n c a phép tính vi phân. .............................................................................21
III - O HÀM VÀ VI PHÂN C A HÀM HAI BI N...............................................................21
1 . nh nghĩa o hàm riêng:.....................................................................................................21
2 . nh nghĩa vi phân c a hàm 2 bi n :......................................................................................22
3 . i u ki n kh vi .....................................................................................................................22
4 . o hàm c a hàm h p............................................................................................................22
IV - O HÀM RIÊNG – VI PHÂN C P CAO C A HÀM 2 BI N ........................................22
1 . o hàm riêng c p cao...........................................................................................................23
2 . Vi phân c p cao......................................................................................................................23
V - C C TR C A HÀM 2 BI N...............................................................................................23

MATHEDUCARE.COM
Trang 6
1 . nh nghĩa c c tr c a hàm 2 bi n .........................................................................................23
2 . i u ki n c n và hàm s có c c tr ...............................................................................24
VI - C C TR CÓ I U KI N ....................................................................................................24
1 . nh nghĩa c c tr có i u ki n c a hàm 2 bi n.....................................................................24
2 . M t s phương pháp tìm c c tr có i u ki n c a hàm 2 bi n ...............................................24
VII - GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T TRONG MI N ÓNG VÀ B CH N..25
1 . Nh n xét .................................................................................................................................25
2 . Cách tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm z = f(x, y)trong mi n óng và b ch n
D, v i biên c a mi n D có phương trình là ϕ(x, y) = 0..................................................................25
CHƯƠNG V : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN......................................................................26
I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC NH........................................................26
1 . Các nh nghĩa :......................................................................................................................26
2 . nh lý và b ng tích phân cơ b n :.........................................................................................26
3 . Các phương pháp tính tích phân thư ng s d ng :.................................................................27
II - TÍCH PHÂN XÁC NH ......................................................................................................28
1 . nh nghĩa tích phân xác nh : .............................................................................................28
2 . i u ki n kh tích. .................................................................................................................28
3 . Tính ch t c a tích phân xác nh............................................................................................29
4 . Công th c Newton-Leibniz....................................................................................................29
III - NG D NG C A TÍCH PHÂN XÁC NH. .....................................................................29
1 . Tính di n tích hình ph ng.......................................................................................................29
2 . Tính dài ư ng cong ph ng...............................................................................................30
3 . Tính th tích v t th ................................................................................................................30
4 . Tính di n tích m t tròn xoay ..................................................................................................30
IV - TÍCH PHÂN SUY R NG LO I 1........................................................................................30
1 . Các nh nghĩa........................................................................................................................30
2 . i u ki n h i t ......................................................................................................................31
V - TÍCH PHÂN SUY R NG LO I 2........................................................................................32
1 . nh nghĩa..............................................................................................................................32
CHƯƠNG VI : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ..............................................................................33
I - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1.........................................................................................33
1 . Các nh nghĩa :......................................................................................................................33
2 . nh lý v t n t i và duy nh t nghi m: ..................................................................................33
II - CÁC D NG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 THƯ NG G P ....................................33
1 . Phương trình phân ly bi n s ..................................................................................................33
2 . Phương trình vi phân ng c p...............................................................................................34
3 . Phương trình vi phân tuy n tính.............................................................................................34

MATHEDUCARE.COM
Trang 7
4 . Phương trình Bernoulli...........................................................................................................35
CHƯƠNG VII : LÝ THUY T CHU I..........................................................................................36
I - CHU I S .................................................................................................................................36
1 . Các nh nghĩa :......................................................................................................................36
2 . Tính ch t : ..............................................................................................................................36
II - CHU I S DƯƠNG .............................................................................................................36
1 . nh nghĩa :............................................................................................................................36
2 . Các nh lý so sánh : ..............................................................................................................36
3 . Các tiêu chu n h i t :............................................................................................................37
III - CHU I CÓ S H NG V I D U B T KỲ - CHU I AN D U .....................................37
1 . Chu i h i t tuy t i, bán h i t :.........................................................................................37
2 . Chu i an d u : ......................................................................................................................37
3 . Chu i lũy th a :......................................................................................................................38

MATHEDUCARE.COM
Trang 8
CHƯƠNG I : S PH C
I - CÁC NH NGHĨA
1 . nh nghĩa ơn v o :
− ơn v o, ký hi u là i, là m t s có bình phương b ng -1.
− i2
= -1
2 . nh nghĩa s ph c :
− Bi u th c có d ng a + bi trong ó a, b là các s th c ư c g i là m t s
ph c, ký hi u là z. Trong ó a g i là ph n th c c a z (ký hi u Rez), b g i
là ph n o c a z (ký hi u Imz).
− z = a + bi ư c g i là d ng i s c a s ph c.
− T p t t c s ph c ư c ký hi u là C
3 . nh nghĩa 2 s ph c b ng nhau:
− Cho 2 s ph c z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i, s z1 và z2 ư c g i là b ng
nhau (ký hi u z1 = z2) khi và ch khi a1 = a2; b1 = b2
− z1 = z2
1 1
1 2
a a
b b
=

=
4 . nh nghĩa 2 s ph c liên h p:
− Cho 2 s ph c z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i, s z2 ư c g i là s ph c liên
h p c a z1 ư c (ký hi u 1z ) khi và ch khi a1 = a2; b1 = b2
− z1 = z2
1 1
1 2
a a
b b
=

= −
5 . Modun c a s ph c
− Mô un c a z = a + bi ký hi u là z  và ư c tính như sau :
-
2 2
z a b= +
II - CÁC PHÉP TOÁN TRÊN T P S PH C
Cho 2 s ph c z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i
1 . Phép c ng :
z1 ± z2 = a1 ± a2 + i (b1 ± b2 )
2 . Phép nhân v i s th c:
cz = ca + icb (c∈R)
3 . Phép nhân:
z1.z2 = (a1a2 − b1b2 ) + i (a1b2 + a2b1 )
4 . Phép chia:
1 1 2
2
2 2
z z z
z z
=

MATHEDUCARE.COM
Trang 9
III - BI U DI N HÌNH H C & LƯ NG GIÁC C A
S PH C
1 . D ng lư ng giác c a s ph c:
Cho s ph c z = a + ib , t tương ng z v i véc
tơ OM = (a,b) g i là bi u di n hình h c c a s ph c z.
− Góc φ ư c g i là Argument c a z .
− r chính là modun c a s ph c z
− z = r(cosφ + isinφ ) g i là bi u di n lư ng
giác c a s ph c z.
2 . nh lý
Cho 2 s ph c z1 = r1 (cosφ1 + i sinφ1 ); z2 = r2 (cosφ2 + isinφ2 ), ta có
− z1.z2 = r1r2 [cos(φ1 +φ2 ) + i sin (φ1 +φ2 )]
−
1 1
2 2
z r
z r
= [cos(φ1 -φ2 ) + i sin (φ1 -φ2 )]
3 . H qu
Cho s ph c z = r (cosφ + i sinφ) ta có
IV - CĂN B C n (√ࢠ
࢔
ሻC A S PH C Z
1 . nh nghĩa:
ω ư c g i là 1 căn b c n c a s ph c z n u ωn
=z
2 . nh lý :
Cho z = r (cosφ + i sinφ ) . Khi ó ta có
√‫ݖ‬
೙
ൌ √‫ݎ‬
೙
൬ܿ‫ݏ݋‬
߮ ൅ 2݇ߨ
݊
൅ ݅‫݊݅ݏ‬
߮ ൅ 2݇ߨ
݊
൰ ; ‫ݒ‬ ݅ ݇ ൌ 0, ݊ െ 1തതതതതതതതതത
V - GI I PHƯƠNG TRÌNH B C 2
Xét phương trình: ax2
+ bx + c = 0;(a ≠ 0; a,b,c∈C ) . Khi ó nghi m c a
phương trình ã cho là x1,2=
ି௕േ√∆
ଶ௔
v i ∆=b2
– 4ac và √∆ là căn ph c.

MATHEDUCARE.COM
Trang 10
CHƯƠNG II : HÀM S VÀ TH
I - CÁC NH NGHĨA
1 . nh nghĩa hàm 1 bi n th c :
Cho X ⊂ R , m t hàm s f xác nh trên X là m t quy t c sao cho ng v i
m i giá tr c a bi n x thu c X có duy nh t m t giá tr th c c a bi n y .
Kí hi u y = f(x)
− x ư c g i là bi n c l p, y ư c g i là bi n ph thu c.
− X ư c g i là mi n xác nh c a hàm s , kí hi u là Df .
− T p Y = {y ∈ R y = f (x), x∈ Df} ư c g i là mi n giá tr c a hàm s , kí
hi u Rf .
2 . nh nghĩa th c a hàm s :
th c a hàm s y = f(x) là t p h p các i m M( x, f(x)) trong h to
Descartes. G={M(x;f(x); x∈ Df}.
3 . Hàm s ơn i u.
− Hàm s y = f(x) ư c g i là tăng trên t p E⊂Df , n u v i m i x1, x2
∈E,x1 > x2 thì f(x1) ≥ f(x2).
− Hàm s y = f(x) ư c g i là gi m trên t p E ⊂Df , n u v i m i x1, x2 ∈E,
x1 > x2 thì f(x1) ≤ f(x2).
− Hàm s y = f(x) ư c g i là hàm s ơn i u trên E ⊂Df n u nó tăng
ho c gi m trên E.
Chú ý : N u ta s d ng thu t ng trên mà không nh c n t p E thì coi như
E = Df .
4 . Hàm s ch n và hàm s l .
a . T p i x ng:
T p X ư c g i là t p i x ng qua g c to O n u v i b t kỳ x∈ X thì –
x ∈ X. Ngư i ta thư ng g i t t là t p i x ng.
b . Hàm s ch n, hàm s l
Cho hàm s y = f(x) xác nh trên t p i x ng X, khi ó ta có:
− Hàm s y = f(x) là hàm s ch n n u v i m i x thu c X thì f(-x) = f(x).
− Hàm s y = f(x) là hàm s l n u v i m i x thu c X thì f(-x) = - f(x).
Chú ý : th c a hàm s ch n i x ng qua tr c tung, th c a hàm s l i x ng
qua g c to .
5 . Hàm s b ch n.
− Hàm s y = f(x) ư c g i là b ch n dư i trên t p X⊂Df n u t n t i s a
∈R sao cho f(x) ≥ a ∀x∈X.
− Hàm s y = f(x) ư c g i là b ch n trên trên t p X⊂Df n u t n t i s b
∈R sao cho f(x) ≤ b ∀x∈X.
− Hàm s y = f(x) ư c g i là b ch n trên t p X⊂Df n u nó v a b ch n
trên v a b ch n dư i, t c là t n t i hai s a, b∈R sao cho a ≤ f(x) ≤ b
∀x∈X.
6 . Hàm s tu n hoàn.

MATHEDUCARE.COM
Trang 11
− Hàm s y = f(x) ư c g i là hàm s tu n hoàn n u t n t i s t ≠ 0 sao
cho v i m i x∈Df ta luôn có x ± t ∈Df và f(x + t) = f(x).
− S dương T nh nh t (n u có) trong các s t nói trên ư c g i là chu kỳ
c a hàm s tu n hoàn.
7 . Hàm s h p.
− Cho hai hàm s f(x) và g(x) tho Rf ⊂Dg , khi ó hàm s h p c a f(x) và
g(x) là hàm s h(x) ư c xác nh h(x) = g[f(x)] v i m i x∈Df . Kí hi u
h = g•f.
8 . Hàm s ngư c.
− Cho hàm s y = f(x) th a mãn v i m i x1, x2∈Df và x1 ≠ x2 ta luôn có
f(x1) ≠ f(x2).Khi ó hàm s f(x) có hàm s ngư c, kí hi u là g(y) và ư c
xác inh b i: x = g(y) v i y = f(x).
Chú ý:
− N u g là hàm ngư c c a hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df .
− th c a hai hàm s ngư c nhau i x ng qua ư ng th ng y = x.
− i u ki n hàm y = f(x) có hàm ngư c là hàm f ph i ơn i u trong
mi n xác nh c a nó.
9 . Hàm lư ng giác ngư c.
− Hàm y = arcsinx là hàm ngư c c a y = sinx
f : [-1,1] [െ
గ
ଶ
,
గ
ଶ
]
x հ y= arcsinx
− Hàm y = arccosx là hàm ngư c c a y = cosx
f : [-1,1] [0, π]
x հ y= arccosx
− Hàm y = arctanx là hàm ngư c c a y = tanx
f : R [െ
గ
ଶ
,
గ
ଶ
]
x հ y= arctanx
− Hàm y = arccotx là hàm ngư c c a y = cotx
f : R [0, π]
x հy= arccotx
II - HÀM S SƠ C P
1 . Hàm s sơ c p cơ b n:
Các hàm s sơ c p cơ b n là các hàm s :
− Hàm s lu th a: y = xα
(α ∈R).
− Hàm s mũ: y = ax
( 0 < a ≠ 1 )
− Hàm s logarithm: y = logax ( 0 < a ≠ 1 )
− Các hàm s lư ng giác: y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = cotgx
− Các hàm lư ng giác ngư c: y = arcsinx , y = arccosx , y = arctgx ,y =
arccotgx.
2 . Hàm s sơ c p:
− Hàm s sơ c p là nh ng hàm s ư c t o thành b i m t s h u h n các
phép toán i s thông thư ng ( c ng, tr , nhân, chia v i m u khác
không) và phép l y hàm h p t nh ng hàm s sơ c p cơ b n và các h ng
s .

MATHEDUCARE.COM
Trang 12
III - HÀM HAI BI N
1 . Khái ni m v hàm hai bi n.
− Cho t p D⊂ R2
, m t hàm s f xác nh trên t p D là m t quy t c sao cho
ng v i m i ph n t (x, y) thu c D có duy nh t m t giá tr th c z.
− Kí hi u: z = f(x, y) ư c g i là hàm 2 bi n xác nh trên t p D và t p D
ư c g i là mi n xác nh c a hàm f.
− Mi n xác nh c a hàm z = f(x, y) là t p h p các i m (x,y) trong m t
ph ng Oxy sao cho bi u th c f(x, y) có nghĩa.
Ví d
− Hàm z = x2
+ y2
có mi n xác nh D là c m t ph ng Oxy.
− Hàm z =ඥ1 െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ଶ có mi n xác nh D là m t hình tròn có bán kính
b ng 1.
− Hàm z = ln(x + y) có mi n xác nh D là n a m t ph ng n m v phía
trên c a ư ng phân giác c a góc ph n tư th II và IV.
2 . Bi u di n hình h c c a hàm hai bi n s .
− Gi s z = f (x, y) là hàm hai bi n xác
nh trên mi n D. Ta v h tr c t a
Decac vuông góc Oxyz trong không
gian. T i m M(x,y) b t kỳ trong mi n
D, ta k ư ng th ng vuông góc v i m t
ph ng (Oxy) và trên ư ng th ng ó l y
i m P sao cho MP = z = f (x, y) . Như
v y i m P (x, y, z) ∈ Oxyz.
− Khi i m M bi n thiên kh p mi n D thì
t p h p các i m P tương ng trong
không gian Oxyz v nên m t m t cong
nào ó mà hình chi u c a nó trên m t ph ng(Oxy) là mi n xác nh c a
hàm. V y th c a hàm z = f (x, y)thư ng là m t m t cong S trong
không gian Oxyz mà hình chi u c a nó trên mp(Oxy) là mi n xác nh
c a hàm.
Ví d
− Hàm z = 1 - x - y có th là m t m t c a tam giác v i các nh (1, 0, 0)
; (0, 1, 0) ; (0, 0, 1) (h4.3).
− Hàm z = x2
+ y2
có th là n a trên m t nón (h4.4).
− Hàm z = ඥ1 െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ଶ có th là n a trên m t c u tâm O bán kính
b ng 1 (h4.5).

MATHEDUCARE.COM
Trang 13
CHƯƠNG III : GI I H N VÀ LIÊN T C C A HÀM S
I - GI I H N HÀM M T BI N
Trong ph n này ta luôn gi s f(x) là hàm s ư c xác nh trong lân c n
i m x0, không nh t thi t ph i xác nh t i x0.
1 . nh nghĩa gi i h n hàm 1 bi n :
a . nh nghĩa 1
S L ư c g i là gi i h n c a hàm s f(x) khi x → x0 n u v i m i ε > 0 cho
trư c (bé tùy ý) t n t i s δ dương sao cho v i m i x th a 0 < |x − x0 |< δ ta có
|f(x) − L|<ε .
Ký hi u : 0
lim ( ) hay f(x) L
x x
f x L
→
= →
khi x x0
b . nh nghĩa 2
S L ư c g i là gi i h n ph i ( trái ) c a hàm s f(x) khi x → x0 n u v i
m i ε > 0 cho trư c ( bé tùy ý) t n t i s δ dương sao cho v i m i x th a x0 < x <
x0 + δ ( x0 −δ < x < x0 ) ta có |f(x) − L|<ε.
Ký hi u : 0 0
lim ( ) (lim ( ) )
x x x x
f x L f x L+ −
→ →
= =
c . nh nghĩa 3
S L ư c g i là gi i h n c a hàm s f(x) khi x → ∞ n u v i m i ε > 0 (bé
tùy ý) t n t i s M > 0 ( l n tùy ý) sao cho v i m i x thoã x >M ta có f(x) −
L < ε .
Ký hi u :
lim ( ) hay f(x) L
x
f x L
→∞
= →
khi x ∞
2 . Các tính ch t.
− N u f(x) có gi i h n thì gi i h n ó là duy nh t.
− N u hàm s f(x) có gi i h n là L khi x→x0 và L > a (hay L < a) thì trong
m t lân c n nào ó c a x0 (không k x0) ta có f(x) > a (hay f(x)<a).
− N u f(x) ≤ g(x) trong m t lân c n nào ó c a i m x0 và ta có
0
lim ( )
x x
f x a
→
= ;
0
lim ( )
x x
g x b
→
= thì a ≤b.
− N u f(x) = C ( C là h ng s ) thì
0
lim ( ) lim ( )
x x x
f x f x C
→ →∞
= =
− N u f(x) là m t hàm s sơ c p xác nh t i i m x0 và trong lân c n x0
thì
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
=
− Gi s f(x), g(x) và h(x) là nh ng hàm s ư c xác nh trong m t
lân c n nào ó c a i m x0, không nh t thi t xác nh t i x0. Khi
ó, n u các hàm s f(x), g(x) và h(x) th a mãn i u ki n : g(x) ≤
f(x) ≤ h(x) và
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
g x h x L
→ →
= = thì
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
− Gi s hàm s f(x) xác nh t i m i x dương l n tuỳ ý, khi ó n u
hàm f(x) là hàm s ơn i u tăng và b ch n trên thì f(x) có gi i h n
khi x→ + ∞ . Gi s hàm s f(x) xác nh t i m i x âm l n tuỳ ý v

MATHEDUCARE.COM
Trang 14
giá tr tuy t i, khi ó n u hàm f(x) là hàm s ơn i u gi m và b
ch n dư i thì f(x) có gi i h n khi x → - ∞ .
− N u các hàm s f(x) và g(x) có gi i h n khi x→x0 thì t ng, hi u,
tích,thương c a chúng cũng có gi i h n khi x→x0 và ta có:
lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x).
lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x).
-
0
( ) limf( )
lim
( ) limg( )x x
f x x
g x x→
=
(
0
lim ( ) 0
x x
g x
→
≠
3 . Các gi i h n cơ b n.
Chú ý: Khi tính gi i h n c a hàm s chúng ta thư ng g p các d ng vô nh
như
଴
଴
;
ஶ
ஶ
; ∞ െ ∞; 1ஶ
ta ph i tìm cách kh d ng vô nh i. Sau ây là m t s ví
d minh h a
4 . Vô cùng bé – Vô cùng l n :
a . nh nghĩa 1
Hàm f(x) ư c g i là vô cùng bé( hay vô cùng l n) khi x → x0 n u
0
lim ( ) 0
x x
f x
→
= (hay
0
lim ( )
x x
f x
→
= +∞ ). ( ây x0 có th h u h n ho c vô h n).

MATHEDUCARE.COM
Trang 15
Nh n xét :
N u hàm f(x) là m t VCB khi 0 x → x và khác 0 thì
ଵ
௙ሺ௫ሻ
là m t VCL Khi x
→ x0 . N u f(x) là m t VCL khi x → x0 thì
ଵ
௙ሺ௫ሻ
là m t VCB x → x0.
• M t h ng s có tr tuy t i bé n âu thì cũng không ư c coi là hàm VCB,
m t h ng s dù có tr tuy t i l n n âu thì nó cũng ch là m t s l n ch
không ph i là VCL.
b . nh nghĩa 2
Gi s f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0 . Ta b o chúng là các VCB(VCL)
so sánh ư c n u t n t i gi i h n
0
( )
lim
( )x x
f x
c
g x→
= khi ó
• N u c ≠ 0 ,c ≠ ∞thì ta nói r ng f(x) và g(x) là nh ng VCB(VCL) cùng c p.
• N u c = 0 thì ta nói r ng f(x) m t VCB c p cao hơn (VCL c p th p hơn) so v i
g(x).
• N u t n t i r > 0 sao cho f(x) cùng c p v i [g(x)]r
thì ta nói r ng f(x) là VCB
(VCL) c p r i v i g(x).
Ví d
Khi x → 0 thì 1 – cos x và x2
là hai VCB cùng c p v i nhau. Vì
c . Quy t c ng t b VCB c p cao:
Gi s f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0 , ng th i f(x), g(x) u là t ng
c a nhi u VCB thì gi i h n c a t s
௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
b ng gi i h n c a t s gi a hai VCB có
c p th p nh t t s và m u s .
Ví d :
d . Vô cùng bé tương ương
Gi s f(x), g(x) là hai VCB khi x → x0, ta b o chúng là các VCB tương
ương khi x → x0 . n u:
0
( )
lim 1
( )x x
f x
g x→
= . Kí hi u: f(x) ∼ g(x).
Ví d :
e . Các tính ch t.
• T ng c a hai VCB là m t VCB (khi x → x0 ) .
• Tích c a m t VCB v i m t i lương b ch n là m t VCB (khi x→ x0).
•
0
lim ( )
x x
f x L
→
= (h u h n) khi và ch khi f(x)– L = α(x) là VCB khi x→ x0 .
II - S LIÊN T C HÀM M T BI N
1 . Các nh nghĩa :
a . nh nghĩa 1
Cho hàm s f(x) xác nh t i x0 và trong lân c n x0, khi ó hàm f(x) ư c
g i là liên t c t i x0 n u
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x
→
= .
b . nh nghĩa 2
Hàm f(x) ư c g i là liên t c trái ( ph i )t i i m x0 n u:

MATHEDUCARE.COM
Trang 16
• Hàm f(x) xác nh t i i m x0 và trong lân c n trái (ph i ) i m x0.
•
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x−
→
= (
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x+
→
= .
c . nh nghĩa 3
- Hàm f(x) ư c g i là liên t c trong kho ng (a; b) n u f(x) liên t c t i m i
x thu c kho ng (a; b).
- Hàm f(x) ư c g i là liên t c trên [a; b] n u f(x) liên t c trong kho ng (a;
b) và liên t c ph i t i x = a và liên t c trái t i x = b.
d . nh nghĩa 4
- Hàm s f(x) ư c g i là gián o n t i x0 n u nó không liên t c t i x và x0
ư c g i là i m gián o n c a hàm f(x).
Ngư i ta ã chia các i m gián o n c a f(x) làm hai lo i:
• N u x0 là i m gián o n c a hàm s và gi i h n trái, ph i c a hàm s
f(x)khi x d n t i x0 u là h u h n thì x0 g i là i m gián o n lo i m t
c a hàm s f(x),còn ω =
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x− +
→ →
− ư c g i là bư c nh y c a
f(x) t i x0. N u
0 0
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x f x− +
→ →
= ư c g i là i m gián o n b
ư c.
• Các i m gián o n không ph i là i m gián o n lo i m t thì g i là
i m gián o n lo i hai.
Chú ý:
i u ki n c n và cho hàm f(x) liên t c t i x0 là hàm f(x) ph i liên t c
trái và liên t c ph i t i x0 .
Hàm sơ c p f(x) liên t c t i m i i m trong mi n xác nh c a nó.
2 . Các nh lý v s liên t c c a hàm s :
a . nh lý 1
− N u f(x), g(x) là nh ng hàm s liên t c t i i m x0 thì t ng, hi u (f(x) ±
g(x));tích (f(x) . g(x)); thương
௙ሺ௫ሻ
௚ሺ௫ሻ
(g(x)≠0) cũng là nh ng hàm s liên
t c t i i m x0.
b . nh lý 2
− N u u = u(x) là hàm s liên t c t i x =
x0, còn hàm f(u) liên t c t i u = u0 thì
hàm f[u(x)] cũng là liên t c t i x0.
c . nh lý 3
− Cho f(x) xác nh, liên t c trong
kho ng I=(α,β), cho a,b∈I và
f(a).f(b)<0. Khi ó ∃c∈(a,b) sao cho
f(c)=0
d . H qu
− Cho f(x) xác nh, liên t c trong kho ng [a,b] khi ó f(x) l y t t c các
giá tr t f(a) n f(b).
e . nh lý 4
− N u hàm f(x) liên t c trên [a, b] thì nó b ch n trên [a, b].
− N u hàm f(x) liên t c trên [a; b] thì nó t giá tr nh nh t và giá tr l n
nh t.
3 . Ý nghĩa hình h c c a khái ni m liên t c
f(a)
f(b)
f(c)

MATHEDUCARE.COM
Trang 17
− N u hàm s y = f(x) liên t c trên [a; b] thì th c a nó là m t ư ng
cong li n không b ng t quãng n i hai i m A(a, f(a)); B(b, f(b)).
III - GI I H N & S LIÊN T C C A HÀM 2 BI N
1 . Gi i h n c a hàm 2 bi n :
a . nh nghĩa 1
− Trong R2
cho i m M0(x0, y0) và s th c ε > 0, lân c n c a i m M0 bán
kính ε là t p h p Nε(M0)={M∈R2 : MM0<ε}, v i
MM0=ඥሺ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ሻଶ ൅ ሺ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ሻଶ.
b . nh nghĩa 2
− S L (h u h n ) ư c g i là gi i h n c a hàm z = f(x, y) khi (x, y) d n v
(x0,y0) n u v i m i s dương ε , t n t i s dương δ =δ (ε ) sao cho v i
m i i m (x, y)tho 0<ඥሺ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ሻଶ ൅ ሺ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ሻଶ ൏ δ thì f(x,y) − L< ε
− Ký hi u :
0
0
lim ( , )
x x
y y
f x y L
→
→
=
− Ví d :
Chú ý: Gi i h n c a hàm hai bi n có các tính ch t tương t như hàm
m t bi n.
2 . S liên t c c a hàm 2 bi n :
a . nh nghĩa 1
− Trong R2
cho i m M0(x0, y0) và s th c ε > 0, lân c n c a i m M0 bán
kính ε là t p h p Nε(M0)={M∈R2 : MM0<ε}, v i
MM0=ඥሺ‫ݔ‬ െ ‫ݔ‬଴ሻଶ ൅ ሺ‫ݕ‬ െ ‫ݕ‬଴ሻଶ.

MATHEDUCARE.COM
Trang 18
CHƯƠNG IV : O HÀM VÀ VI PHÂN HÀM S
I - O HÀM HÀM M T BI N
a . nh nghĩa 1
Cho hàm s y = f (x) có mi n xác nh D⊆R; x0∈D. f ư c g i là có o
hàm t i i m x0 n u
0
0
x x
0
f(x) f (x )
lim
x x→
−
−
t n t i h u h n và ký hi u giá tr gi i h n trên
là f’(x).
− Ký hi u ∆y = f (x) − f (x0) là s gia c a y, ∆x = x − x0 là s gia c a x.
Khi ó: f'(x0)=
x 0
y
lim
x∆ →
∆
∆
Chú ý :
- Ta có th kí hi u o hàm c a hàm s dư i các d ng sau : y’;
dy df (x)
;
dx dx
;
f’(x).
- Giá tr o hàm t i i m x0 c a hàm s ư c bi u di n như sau :
0x x
y' =
;
0 0x x x x
dy df (x)
;
dx dx= =
; f’(x0).
b . nh nghĩa 2
Gi s hàm s y = f(x) xác nh t i x0 và t i ∀ x > x0 ( hay ∀ x < x0 ). N u
gi i h n ' '0 0 0 0
0 0
x 0 x 0
f (x x) f(x ) f (x x) f(x )
lim f (x ) hay ( lim f (x )
x x+ −+ −
∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ −
= =
∆ ∆
t n t i
h u h n thì gi i h n ó g i là o hàm ph i ( hay o hàm trái) c a hàm f(x) t i
i m x0.
c . nh nghĩa 3:
− Hàm s f(x) có o hàm trên kho ng (a, b) n u nó có o hàm t i m i
i m thu c kho ng ó.
− Hàm s f(x) có o hàm trên o n [a,b] n u nó có o hàm trên kho ng
(a, b) và có o hàm ph i t i a, có o hàm trái t i b.
d . nh nghĩa 4:
− N u f’(x)=∞ (hay -∞) thì f(x) g i là có o hàm vô cùng t i x=x0.
2 . Các nh lý :
a . nh lý 1
i u ki n c n và hàm s y = f(x) có o hàm t i x là hàm s f(x) có
o hàm trái và o hàm ph i b ng nhau.
b . nh lý 2
Gi s hàm s f(x) xác nh t i x0 và trong lân
c n c a nó, n u hàm f(x)có o hàm t i x0 thì nó liên
t c t i x0.
Chú ý: N u hàm s f(x) liên t c t i i m x0 thì
chưa th suy ra nó có o hàm t i x0.
3 . Ý nghĩa hình h c c a o hàm.
f’(x0) là h s góc c a góc t o b i ti p tuy n
c a th hàm s t i i m M0(x0, y0) v i chi u

MATHEDUCARE.COM
BÀI GI NG TOÁN CAO C P A1
dương c a tr c Ox.
N u f(x) có
Oy.
4 . Quy t c tính
a . nh lý v
Gi s f(x), g(x) là các hàm s
hi u,tích, thương c a chúng c
b . nh lý o hàm c
N u hàm s u = u(x) có
ch a i m u0 = u(x0
f[u(x)] có o hàm t
c . nh lý o hàm c
Gi s hàm y = f(x) có hàm ng
x0 và f’(x0)≠0 thì g(y) có
5 . B ng o hàm c
6 . o hàm c p cao c
Biên so
o hàm vô cùng t i x=x0 thì lúc ó ti p tuy
o hàm.
o hàm c a t ng, hi u, tích, thương2 hàm s
f(x), g(x) là các hàm s có o hàm t i x, khi
a chúng cũng có o hàm t i x và:
o hàm c a hàm h p:
u = u(x) có o hàm t i x0, hàm f(u) xác
0) và hàm f(u) có o hàm t i i m u0
i i m x0 và h’(x0) = h’(u0).u’(x0).
o hàm c a hàm ngư c:
hàm y = f(x) có hàm ngư c là x = g(y). N u hàm f(x) có
ì g(y) có o hàm t i y0 = f(x0) và g’(y0) =
o hàm c a các hàm s sơ c p cơ b n.
p cao c a hàm m t bi n
Biên so n : Gv.PH M PHÚC TH NH
Trang 19
p tuy n song song v i
ng2 hàm s :
i x, khi ó các hàm t ng,
, hàm f(u) xác nh trong kho ng
thì hàm h p h(x) =
u hàm f(x) có o hàm t i

MATHEDUCARE.COM
Trang 20
a . nh nghĩa o hàm c p hai c a hàm m t bi n
Gi s hàm s y = f(x) có o hàm y’ = f’(x) trong kho ng (a, b), ta g i
f’(x) là o hàm c p 1c a hàm f(x). B n thân f’(x) cũng là hàm s nên nó có th có
o hàm,n u hàm f’(x) có o hàm t i x thu c kho ng (a, b) thì ta g i o hàm c a
hàm f’(x) là o hàm c p 2 c a hàm f(x) và kí hi u y”=f”(x)=
2 2
2 2
d (y) d f
dx dx
=
b . nh nghĩa o hàm c p n c a hàm m t bi n
o hàm c p n c a hàm f(x) là o hàm c a o hàm c p (n – 1) c a nó.
Ký hi u : y(n)
=f(n)
(x)=
n n
n n
d (y) d f
dx dx
=
c . Quy t c
− (f+g)(n)
= f(n)
+ g(n)
− (fg)(n)
=
n
k (n k) (k)
n
k 0
C f g−
=
∑
II - VI PHÂN HÀM M T BI N
1 . nh nghĩa (vi phân c p 1) :
Cho hàm s f(x) xác nh t i x0 và trong lân c n c a nó. Cho x m t s gia
∆x tuỳ ý, n u t i x s gia c a hàm s ∆y = f(x0 + ∆x) – f(x0) vi t ư c dư i d ng :
∆y = A∆x +α(∆x), trong ó A là i lư ng không ph th c vào ∆x và α(∆x) là vô
cùng bé b c cao hơn ∆x ( nghĩa là α(∆x)→0 khi ∆x →0 ) thì ta nói hàm s f(x) kh
vi t i i m x0 và i lư ng A ∆ x ư c g i là vi phân c a hàm s t i i m x0.
Kí hi u: dy = A∆x .
Nh n xét: T nh nghĩa ta suy ra ∆y = dy +α (∆x) hay ∆y − dy =α (∆x) .
V y n u f(x)kh vi thì s gia c a hàm s sai khác vi phân m t lư ng vô cùng bé
không áng k . Do ó ta có: ∆y ≈ dy khi ∆x →0 .
2 . i u ki n kh vi.
a . nh lý v i u ki n kh vi:
i u ki n c n và hàm s y = f(x) kh vi t i i m x là f(x) có o hàm
h u h n t i i m x. Khi ó ta có: df = f '(x)∆x
b . Chú ý:
Ta xét hàm f(x) = x ⇒ f ' (x)= 1⇒df = dx = 1.∆x = ∆x , t c là s gia ∆x c a
bi n c l p trùng v i vi phân dx c a nó. Khi ó công th c vi phân c a hàm f(x)
có d ng: df = f '(x) dx .
3 . Qui t c tính vi phân.
a . nh lý:
− Gi s f(x), g(x) là các hàm s kh vi, khi ó ta có:
d(f ± g) = df ± dg
d(fg) = gdf + fdg
2
f gdf fdg
d
g g
  −
= 
  (g≠0)
− Gi s y =f(u) và u = u(x) là nh ng hàm s kh vi, khi ó ta có
df[u(x)] = f’[u(x)]dx = f’(u).u’(x).dx = f’(u).du
4 . nh nghĩa vi phân c p cao :

MATHEDUCARE.COM
Trang 21
− Vi phân c p hai c a hàm f(x) là vi phân c a vi phân c p m t, kí hi u:
d2
f(x).
− Vi phân c p n c a hàm f(x) là vi phân c a vi phân c p n - 1 c a hàm
f(x).Kí hi u: dn
f(x).
Ta có: dn
f(x) = f(n)
(x).dxn
.
5 . Các nh lý cơ b n c a phép tính vi phân.
a . nh nghĩa
Hàm s f(x) t c c i ( hay c c ti u) t i i m x0∈(a, b)∈Df n u t n t i
m t lân c n c a i m x0 sao cho v i m i x thu c lân c n ó ta có: f(x)≤f(x0) (hay
f(x)≥f(x0))
i m x0 g i là i m c c i (hay c c ti u) c a hàm s , i m c c i hay
c c ti u g i chung là i m c c tr . Giá tr hàm s t i i m c c i (hay c c ti u)
g i là giá tr c c i (hay c c ti u) và g i chung là giá tr c c tr .
b . nh lý Fermat
N u hàm s f(x) xác nh trong kho ng (a, b), t c c i hay c c ti u t i
i m x0 ∈(a, b) và t n t i f '(x0) thì f '(x0) = 0.
c . nh lý Cauchy
N u các hàm s f(x), g(x) liên t c trên o n [a, b], kh vi trên kho ng (a, b)
và g'(x) ≠ 0 v i ∀x∈(a,b) thì t n t i ít nh t m t i m c∈(a, b) sao cho:
d . nh lý Lagrange
N u hàm s f(x) liên t c trên o n [a, b] và kh vi trong kho ng (a, b) thì
t n t i ít nh t m t i m c∈(a, b) sao cho
f(b) f (a)
f '(c)
b a
−
=
−
Ý nghĩa: Trên cung AB (v i A(a,f(a)) và B(b, f(b)) có th tìm ư c ít nh t
m t i m M mà t i ó ti p tuy n song song v i ư ng th ng AB.
e . nh lý Rolle
N u hàm s f(x) liên t c trên o n [a, b], kh vi trên kho ng (a, b) và f(a) =
f(b) thì t n t i ít nh t m t i m c∈(a, b) sao cho f’(c) = 0.
Ý nghĩa: Trên cung AB (v i A(a,f(a)) và B(b, f(b)) có th tìm ư c ít nh t
m t i m M mà t i ó ti p tuy n song song v i tr c Ox.
f . nh lý Qui t c L’Hospital th hai
Gi s :
− f(x) và g(x) là các hàm s kh vi trong lân c n c a i m x0 .
- 0 0x x x x
lim f (x) lim g(x)
→ →
= = ∞
− g'(x) ≠ 0 trong lân c n c a x0.
−
0x x
f '(x)
lim A
g '(x)→
=
Khi ó 0x x
f (x)
lim A
g(x)→
=
III - O HÀM VÀ VI PHÂN C A HÀM HAI BI N
1 . nh nghĩa o hàm riêng:

MATHEDUCARE.COM
Trang 22
Cho hàm z = f(x;y) xác nh trong mi n D và i m (x0, y0)∈D. C nh y =
y0, n u hàm f(x, y0) có o hàm theo bi n x t i x = x0 thì o hàm ó ư c g i là
o hàm riêng c a hàm s f(x, y) theo bi n x t i (x0, y0).
Cho hàm z = f(x;y) xác nh trong mi n D và i m (x0, y0)∈D. C nh x =
x0, n u hàm f(x0, y) có o hàm theo bi n y t i y = y0 thì o hàm ó ư c g i là
o hàm riêng c a hàm s f(x, y) theo bi n y t i (x0, y0).
Như v y: Mu n tính o hàm riêng theo m t bi n s nào ó ta ch vi c xem
hàm s ch ph thu c vào bi n ó còn các bi n khác xem như không i và áp
d ng qui t c tính o hàm i v i hàm m t bi n tính o hàm riêng.
2 . nh nghĩa vi phân c a hàm 2 bi n :
a . nh nghĩa 1
Xét hàm z = f(x; y) xác nh t i i m (x, y) và trong lân c n c a nó, cho x
m t s gia ∆x, cho y m t s gia ∆y n u s gia toàn ph n c a hàm z = f(x; y) t i
i m (x; y) tương ng v i các s gia ∆x, ∆y ư c vi t dư i d ng:
∆z = A. ∆x + B. ∆y + α (∆x; ∆y)
Trong ó A, B là nh ng i lư ng không ph thu c vào ∆x, ∆y. Còn α(∆x;
∆y) là m t vô cùng bé c p cao hơn ( ) ( )
2 2
x y∆ + ∆ khi ∆x →0 và ∆y →0 .
Ta nói r ng hàm s z = f(x; y) kh vi t i i m (x; y). Bi u th c: A.∆x +
B.∆y g i là vi phân toàn ph n c a hàm s z = f(x; y) t i i m (x; y).
Ký hi u : dz hay df(x; y)
b . nh nghĩa 2
N u hàm z = f(x; y) kh vi t i m i i m (x; y) ∈ D thì ta nói r ng hàm z
=f(x; y) kh vi trong mi n D.
3 . i u ki n kh vi
a . nh lý i u ki n c n hàm z = f(x, y) kh vi
N u hàm z = f(x,y) kh vi t i i m (x,y) thì t i i m (x, y) hàm z = f(x, y)có
các o hàm riêng theo bi n x, bi n y và
z z
dz x y
x y
∂ ∂
= ∆ + ∆
∂ ∂
Chú ý: vi phân c a hàm z = f(x, y) thư ng ư c vi t dư i d ng:
z z
dz dx dy
x y
∂ ∂
= +
∂ ∂
b . nh lý i u ki n hàm z = f(x, y) kh vi
N u t i i m (x, y) hàm z = f(x; y) có các o hàm riêng theo bi n x, y liên
t c thì hàm s z = f(x; y) kh vi t i i m (x, y).
4 . o hàm c a hàm h p
Cho hàm s z = f(u; v) v i u = u(x, y); v = (x; y) là các hàm s kh vi. Khi
ó ta có:
IV - O HÀM RIÊNG – VI PHÂN C P CAO C A HÀM 2 BI N

MATHEDUCARE.COM
Trang 23
1 . o hàm riêng c p cao
a . nh nghĩa 1 :
Gi s hàm z = f(x,y) có các o hàm riêng
z z
;
x y
∂ ∂
∂ ∂
các o hàm riêng này
ư c g i là các o hàm riêng c p m t c a hàm z. Ta th y các o hàm riêng này
cũng là hàm theo bi n x, y. N u chúng l i có o hàm riêng thì các o hàm riêng
này ư c g i là o hàm riêng c p hai c a hai c a hàm z theo bi n x, y.
b .
c . nh nghĩa 2 :
Các o hàm riêng c a các o hàm riêng c p (n – 1) c a hàm z = f(x,y)
ư c g i là các o hàm riêng c p n c a hàm z.
d . nh lý Schwartz
N u hàm z = f(x,y) có các o hàm riêng c p hai
2 2
z z
;
x y y x
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
u liên t c
trong mi n D thì trong mi n ó
2 2
z z
x y y x
∂ ∂
=
∂ ∂ ∂ ∂
2 . Vi phân c p cao
a . nh nghĩa 1 :
Gi s hàm z = f(x, y) kh vi, ݀‫ݖ‬ ൌ
డ௭
డ௫
݀‫ݔ‬ ൅
డ௭
డ௬
݀‫ݕ‬ ư c g i là vi phân
toàn ph n c p m t c a hàm z. Vi phân toàn ph n c p m t dz l i là hàm c a hai
bi n x,y c l p, n u dz có vi phân toàn ph n thì vi phân ó ư c g i là vi phân
toàn ph n c p hai c a hàm z.
Ký hi u :
b . nh nghĩa 2 :
Vi phân toàn ph n c a vi phân toàn ph n c p (n – 1) là vi phân toàn ph n
c p n. Kí hi u: dn
z = d(dn – 1
z)=ቀ
డ
డ௫
݀‫ݔ‬ ൅
డ
డ௬
݀‫ݕ‬ቁ
௡
‫ݖ‬
c . Các chú ý :
− Công th c trên ư c hi u m t cách hình th c là lu th a b c n c a nh
th c, sau khi khai tri n hàm z ư c t vào sau d u ∂ .
− N u hàm z = f(x, y) v i x = x(s, t); y = y(s, t) thì công th c trên không
còn úng khi n ≥ 2.
V - C C TR C A HÀM 2 BI N
1 . nh nghĩa c c tr c a hàm 2 bi n
a . nh nghĩa 1:
Gi s hàm z = f(x, y) xác nh và liên t c trong mi n D và i m (x0,
y0)∈D. Ta nói hàm z = f(x, y) t c c i (hay c c ti u) t i i m (x0, y0) n u t i
m i i m (x; y) thu c m t lân c n nào ó c a i m (x0; y0) thì f( x, y) ≤ f(x0, y0)
(hay f( x, y) ≥ f(x0, y0) ). C c ti u và c c i ư c g i chung là c c tr c a hàm s .
b . nh nghĩa 2:

MATHEDUCARE.COM
Trang 24
− i m (x0, y0) ư c g i là i m c c tr c a hàm s n u hàm s t c c tr
t i i m (x0, y0).
− i m (x0, y0) ư c g i là i m d ng c a hàm z = f(x, y) n u
݂௫
ᇱሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ ൌ ݂௬
ᇱሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ ൌ 0.
− i m (x0, y0) ư c g i là i m kỳ d c a hàm z = f(x, y) n u ݂௫
ᇱሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ
hay ݂௬
ᇱሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ không t n t i.
2 . i u ki n c n và hàm s có c c tr .
a . nh lý i u ki n c n
N u hàm z = f(x, y) t c c tr t i i m (x0; y0) và t i ó t n t i các o
hàm riêng ݂௫
ᇱሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ, ݂௬
ᇱሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ thì ݂௫
ᇱሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ ൌ ݂௬
ᇱሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ ൌ 0.
b . nh lý i u ki n
Gi s hàm z = f(x, y) có i m (x0, y0) là i m d ng và các o hàm riêng
c p hai liên t c trong lân c n c a i m (x0, y0)
Ta t :
− N u B2
– AC < 0 và A < 0 thì z = f(x, y) t c c i t i i m (x0, y0).
− N u B2
– AC < 0 và A > 0 thì z = f(x, y) t c c ti u t i i m (x0, y0).
− N u B2
– AC = 0 thì ta chưa k t lu n ư c gì v s t n t i c c tr c a
hàm z = f(x, y) t i i m (x0, y0).
− N u B2
– AC > 0 thì z = f(x, y) không t c c tr t i i m (x0, y0).
VI - C C TR CÓ I U KI N
1 . nh nghĩa c c tr có i u ki n c a hàm 2 bi n
C c tr c a hàm z = f(x, y) v i i u ki n ràng bu c ϕ(x, y) = 0 ư c g i là
c c tr có i u ki n.
2 . M t s phương pháp tìm c c tr có i u ki n c a hàm 2 bi n
a . Phương pháp th
Gi s t i u ki n ràng bu c ϕ(x; y) = 0 ta bi n i ư c v d ng y = y(x)
(hay x = (y)). Khi ó vi c tìm c c tr có i u ki n c a hàm z = f(x, y) ư c quy v
vi c tìm c c tr t do c a hàm z = f(x, y(x)) (hay z = f(x(y),y).
Ví d : Tìm c c tr c a hàm z = ඥ1 െ ‫ݔ‬ଶ െ ‫ݕ‬ଶ v i i u ki n x + y - 1 = 0.
b . Phương pháp nhân t Lagrange
nh lý v i u ki n c n hàm s t c c tr có i u ki n
Cho i m (x0, y0) là i m c c tr c a hàm z = f(x,y) v i i u ki n ràng bu c
ϕ(x, y) = 0. Gi s :
− Các hàm f(x, y) và ϕ (x, y) có các o hàm riêng c p m t liên t c trong
lân c n c a i m (x0, y0).
− Các o hàm riêng ߮௫
ᇱ
ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ và ߮௬
ᇱ
ሺ‫ݔ‬଴, ‫ݕ‬଴ሻ không ng th i b ng 0.
Khi ó s t n t i m t s λ0 sao cho i m (x0, y0, λ0) là i m d ng c a hàm
F(x, y, λ ) = f(x, y) + λ ϕ(x, y)
( Trong ó, s λ ư c g i là nhân t Lagrange, hàm F(x, y, λ ) ư c g i là
hàm Lagrange).
nh lý v i u ki n hàm s t c c tr có i u ki n

MATHEDUCARE.COM
Trang 25
Gi s các hàm f(x, y) và ϕ(x, y) có các o hàm riêng liên t c n c p hai
trong lân c n c a i m (x0, y0) và i m (x0, y0, λ0) là i m d ng c a hàm
Lagrange.Xét vi phân
Khi ó :
− N u d2
F(x0 ,y0)< 0 thì hàm f(x, y) t c c i t i i m (x0, y0).
− N u d2
F(x0 ,y0)> 0 thì hàm f(x, y) t c c ti u t i i m (x0, y0).
− N u d u c a d2
F(x0 ,y0) không xác nh thì hàm f(x, y) không t c c tr
t i i m (x0, y0).
Ví d : Tìm c c tr c a hàm f(x, y) = xy v i i u ki n ràng bu c
ϕ(x,y) = (x – 1)2
+ y2
–1 = 0.
VII - GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T TRONG MI N ÓNG
VÀ B CH N.
1 . Nh n xét
Hàm z = f(x, y) liên t c trên mi n óng và b ch n trong mi n D thì nó t ít
nh t m t l n giá tr l n nh t và m t l n giá tr nh nh t trong mi n D. N u z =
f(x,y) t giá tr l n nh t hay giá tr nh nh t t i m t i m trong mi n D thì i m
ó ph i là i m c c tr c a hàm. Ngoài ra giá tr l n nh t hay giá tr nh nh t c a
hàm còn có th t ư c ngay trên biên c a mi n D.
2 . Cách tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm z = f(x, y)trong mi n
óng và b ch n D, v i biên c a mi n D có phương trình là ϕϕϕϕ(x, y) = 0.
− Tìm i m d ng trong mi n D, to i m d ng (x,y) là nghi m c a h
ቊ
ࢠ࢞
′
ൌ ૙
ࢠ࢟
′
ൌ ૙
− Tìm i m d ng trên biên c a mi n D, to i m d ng (x,y) là nghi m
c a h ቐ
ࢠ࢞
′
൅ ࣅ࣐࢞
′
ൌ ૙
ࢠ࢟
′
൅ ࣅ࣐࢟
′
ൌ ૙
࣐ሺ࢞, ࢟ሻ ൌ ૙
− Tính giá tr c a hàm z t i t t c các i m d ng, giá tr l n nh t (hay nh
nh t) c a hàm z t i các i m d ng là giá tr l n nh t hay giá tr nh nh t)
c a hàm z trên mi n D.
Ví d Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm z = x2
– y2
trong hình
tròn óng x2
+ y2
≤ 4.

MATHEDUCARE.COM
Trang 26
CHƯƠNG V : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN KHÔNG XÁC NH
a . nh nghĩa 1
Hàm s F(x) ư c g i là nguyên hàm c a hàm s f(x) trên kho ng (a, b)
n u F'(x) = f (x) v i ∀x∈(a,b) .
N u hàm F(x) là nguyên hàm c a hàm f(x)trên kho ng (a, b) thì F(x) + C
cũng là nguyên hàm c a hàm f(x). Ngư c l i, m i nguyên hàm c a hàm f(x) trên
kho ng (a,b) u có th bi u di n dư i d ng (F(x) + C).
b . nh nghĩa 2
T p h p t t c các nguyên hàm c a hàm f(x) trên kho ng (a, b) ư c g i là
tích phân b t nh c a hàm f(x).
Kí hi u: ∫f (x)dx .
Chú ý : n u hàm f(x) có nguyên hàm là F(x) thì ∫f(x)dx = F(x) + C.
2 . nh lý và b ng tích phân cơ b n :
a . nh lý
Cho f(x) và g(x) là các hàm s có nguyên hàm trên kho ng (a,b), khi ó:
[∫f(x)dx]’ = f(x) .
d∫f(x)dx = f(x)dx .
∫f'(x)dx = f (x) + C hay ∫df (x) = f (x) + C .
∫αf (x)dx =α ∫ f (x)dx (α ≠ 0) .
∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f (x)dx + ∫g(x)dx .
b . B ng tích phân cơ b n
Cho f(x) và g(x) là các hàm s có nguyên hàm trên kho ng (a,b), khi ó:

MATHEDUCARE.COM
Trang 27
3 . Các phương pháp tính tích phân thư ng s d ng :
a . Phương pháp i bi n s
nh lý :
N u ∫f(x)dx = F(x) + C thì ∫f[ϕ(t)]ϕ'(t)dt = F[ϕ(t)]+ C v i ϕ (t) là hàm s
có o hàm liên t c.
D ng 1:
Gi s F(x) là m t nguyên hàm c a hàm f(x), n u hàm s h p f[u(x)] v i
u(x) là hàm kh vi thì :
∫f[u(x)]u'(x)dx = ∫f(u)du = F(u) + C = F[u(x)] + C
Ví d :
D ng 2:
Cho ∫f(x)dx , gi s x=x(t) kh vi và có hàm ngư c. N u f[x(t)].x'(t) có
nguyên hàm là hàm F(t) thì ∫f(x)dx = ∫f[x(t)]x'(t)dt = F(t) + C = F[t(x)]+ C .
Ví d : tính I=
2 2
a x dx−∫
b . Phương pháp tích phân t ng ph n
nh lý :
Cho các hàm u(x), v(x) kh vi và u' (x).v(x) có nguyên hàm. Khi ó u(x).v'
(x) cũng có nguyên hàm và ∫u(x).v'(x)dx = u(x).v(x) − ∫u'(x).v(x)dx .
Chú ý : Vì du = u'(x)dx và dv = v'(x)dx nên công th c trên thư ng ư c vi t
dư i d ng ∫udv = uv − ∫vdu
Ví d : tính I=
3
x ln xdx∫

MATHEDUCARE.COM
Trang 28
II - TÍCH PHÂN XÁC NH
1 . nh nghĩa tích phân xác nh :
a . nh nghĩa 1
Cho f(x) là hàm s xác nh trên o n [a, b], chia o n [a, b] m t cách tuỳ ý
thành n o n nh b i các i m chia a= x0< x1< x2< …< xk <xk+1< …<xn = b.
Trên m i o n [xi-1, xi] l y i m ξi( i = 1..n ) tuỳ ý, l p t ng In=
n
i i
i 1
f ( ) x
=
ξ ∆∑ và g i là t ng tích phân c a hàm f(x) trên [a, b].
Tăng i m chia lên vô h n (n →∞) sao cho max{Δxi }→0 v i i =1..n, n u
trong quá trình ó In →I ( h u h n ) mà không ph thu c vào cách chia o n [a, b]
và cách l y i m ξi thì I ư c g i là tích phân xác nh c a hàm f(x) trên [a, b].
Khi ó ta nói hàm f(x) kh tích trên [a, b].
b . Nh n xét
−
b
a
f (x)dx∫ n u có thì ch ph thu c vào hàm f(x) và hai c n a, b không ph
thu c vào bi n s , t c là
b
a
f (x)dx∫ =
b
a
f (t)dt∫
− Khi nh nghĩa tích phân xác nh ta coi a < b. N u a > b thì
b
a
f(x)dx∫ =
-
a
b
f (x)dx∫ và khi a = b thì
b
a
f(x)dx∫ =
a
a
f(x)dx∫
2 . i u ki n kh tích.
a . nh lý 1:
− M i hàm s f(x) liên t c trên o n [a, b] n u kh tích trên o n ó .
b . nh lý 2:
− N u trên o n [a, b], hàm s f(x) b ch n và ch có m t s i m gián
o n thì nó kh tích trên o n ó.
c . nh lý 3 :
− N u hàm s f(x) ơn i u và b ch n trên o n [a, b] thì nó kh tích trên
o n ó.
d . nh lý 4: ( Các tính ch t c a hàm kh tích )
− N u hàm s f(x) kh tích trên o n [a, b] thì các hàm f (x) và k.f(x) cũng
kh tích trên o n [a, b].
− N u hai hàm s f(x) và g(x) kh tích trên o n [a, b] thì t ng, hi u và
tích c a chúng cũng kh tích trên o n [a, b].

MATHEDUCARE.COM
Trang 29
− N u hàm s f(x) kh tích trên o n [a, b] thì nó kh tích trên m i o n
[α,β ]⊂ [a,b]. Ngư c l i, n u ta chia o n [a, b] thành các o n nh và
f(x) kh tích trên t ng o n nh ó thì f(x) kh tích trên o n [a, b].
3 . Tính ch t c a tích phân xác nh.
Gi s f(x) và g(x) là các hàm kh tích trên o n [a, b], khi ó:
7/ ( nh lý giá tr trung bình c a hàm s )
N u hàm s f(x) kh tích trên o n [a, b] và m ≤ f (x) ≤ M ∀x∈[a,b] thì t n
t i s µ ∈[m,M] sao cho
b
a
f (x)dx∫ = µ(b-a)
c bi t: N u hàm s f(x) liên t c trên o n [a, b] thì t n t i s c∈[a,b] sao
cho
b
a
f (x)dx∫ =f(c)(b-a)
Giá tr f(c)=
b
a
1
f(x)dx
b a− ∫ ư c g i là giá tr trung bình c a hàm s f(x) ký
hi u là f .
4 . Công th c Newton-Leibniz.
nh lý :
N u hàm s f(x) liên t c trên [a, b] và F(x) là m t nguyên hàm c a nó thì
Nh n xét: Công th c này cho phép tính tích phân xác nh thông qua
nguyên hàm c a hàm f(x) mà không c n s d ng nh nghĩa.
III - NG D NG C A TÍCH PHÂN XÁC NH.
1 . Tính di n tích hình ph ng

MATHEDUCARE.COM
Trang 30
N u hàm s f(x) liên t c trên o n [a, b] thì di n tích hình ph ng gi i h n
b i th c a hàm s y = f(x) và các ư ng th ng x = a ; x = b ; y = 0 ư c tính
theo công th c:
N u các hàm s f(x) và g(x) liên t c trên o n [a, b] thì di n tích hình
ph ng gi i h n b i th c a các hàm s y = f(x) ; y = g(x) và các ư ng th ng x=
a ; x = b ư c tính theo công th c:
2 . Tính dài ư ng cong ph ng
Cung cho b i ư ng cong có phương trình y = f(x), trong ó f(x) là hàm s
ơn tr và có o hàm liên t c trên o n [a, b]. dài cung AB, v i A(a, f(a))và
B(b, f(b)) ư c tính theo công th c:
3 . Tính th tích v t th
a . V t th b t kỳ:
Là v t th ư c gi i h n b i m t m t cong kín v i hai m t ph ng x = a; x =
b vuông góc v i Ox. Gi s S(x) là di n tích thi t di n gi a v t th và m t ph ng
vuông góc v i Ox t i x ( x∈[a,b] ) và S(x) là hàm s liên t c trên o n [a, b]. Khi
ó th tích c a v t th ư c tính theo công th c
b
a
V S(x)dx= ∫
b . V t th tròn xoay:
Là v t th ư c t o ra khi quay hình thang cong gi i h n b i ư ng y= f(x),
x = a, x = b và y = 0 quanh tr c Ox. Khi ó th tích v t th tròn xoay ư c tính
theo công th c
b
y
a
V 2 x f(x) dx= π∫
4 . Tính di n tích m t tròn xoay
M t tròn xoay là m t m t cong sinh ra do ta quay quanh tr c Ox m t cung
ư ng cong ph ng AB có phương trình y = f(x), x∈[a,b] (v i f(x) là hàm s ơn tr
và có o hàm liên t c trên o n [a, b] ; A(a, f(a)), B(b, f(b))). Di n tích m t tròn
xoay ư c tính theo công th c:
IV - TÍCH PHÂN SUY R NG LO I 1
1 . Các nh nghĩa
a . nh nghĩa 1:

MATHEDUCARE.COM
Trang 31
Gi s hàm f(x) xác nh trên [a,+∞) và kh tích trên m i o n [a, b]. Gi i
h n ( n u có ) c a tích phân
b
a
f (x)dx∫ khi b → +∞ g i là tích phân suy r ng c a hàm
f(x) trên [a,+∞). Kí hi u:
a
f(x)dx
+∞
∫
− N u
b
b
a
lim f (x)dx
→+∞ ∫ h u h n thì
a
f(x)dx
+∞
∫ h i t và hàm f(x) kh tích
trên [a; +∞].
− N u
b
b
a
lim f (x)dx
→+∞ ∫ vô h n ho c không t n t i thì
a
f(x)dx
+∞
∫ phân kỳ.
b . nh nghĩa 2:
Gi s hàm f(x) xác nh trên (-∞;a] và kh tích trên m i o n [a, b]. Gi i
h n (n u có) c a tích phân
a
b
f (x)dx∫ khi b → -∞ g i là tích phân suy r ng c a hàm
f(x) trên (-∞;a] Kí hi u:
a
f (x)dx
−∞
∫
Lưu ý : Tính h i t và phân kỳ c a
a
f (x)dx
−∞
∫ cũng tương t như nh
nghĩa 1.
c . nh nghĩa 3
d .
2 . i u ki n h i t .
a . nh lý 1:
Gi s f(x) và g(x) là các hàm kh tích trên m i o n h u h n [a, b] và 0 ≤ f
(x) ≤ g(x) ∀x ≥ a , khi ó ta có :
b . nh lý 2:
Gi s f(x) và g(x) là các hàm không âm và kh tích trên m i o n h u h n
[a, b]. Khi ó:

MATHEDUCARE.COM
Trang 32
c . nh lý 3 :
N u a
f (x) dx
+∞
∫
h i t thì a
f(x)dx
+∞
∫
h i t
d . nh nghĩa h i t tuy t i
V - TÍCH PHÂN SUY R NG LO I 2
1 . nh nghĩa
Chú ý: i u ki n h i t c a tích phân suy r ng lo i hai tương t như i u
ki n h i t c a tích phân suy r ng lo i m t.

MATHEDUCARE.COM
Trang 33
CHƯƠNG VI : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
I - PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1
a . nh nghĩa 1
Phương trình vi phân c p 1 là phương trình có d ng :
trong ó, x là bi n s c l p; y là hàm ph i tìm; y’ là o hàm c p 1 c a y.
b . nh nghĩa 2
Hàm s y = ϕ(x, c) th a mãn phương trình (I), v i c là h ng s tùy ý ư c
g i là nghi m t ng quát c a m t phương trình (I). T nghi m t ng quát khi ta cho
c = c0 ta ư c y = ϕ(x, c0) g i là nghi m riêng c a m t phương trình (I) (c0 thư ng
ư c suy ra t i u ki n y(x0) = y0).
ng th c φ(x, y, c) = 0 th a mãn phương trình (I), v i c là h ng s tùy ý
ư c g i là tích phân t ng quát c a m t phương trình (I). T tích phân t ng quát
khi ta cho c = c0 ta ư c φ(x, y, c0) = 0 g i là tích phân riêng c a m t phương trình
(I) ( c0 thư ng ư c suy ra t i u ki n y(x0) = y0).
Gi i phương trình (I) là i tìm nghi m t ng quát hay tích phân t ng quát
c a phương trình (I).
2 . nh lý v t n t i và duy nh t nghi m:
Cho phương trình y’ = f(x, y).
N u hàm f(x, y) liên t c trong m t mi n ch a (x0, y0) thì phương trình ã
cho s t n t i m t nghi m y = y(x0) tho mãn i u ki n y0 = y(x0).
Ngoài ra, n u
f
y
∂
∂
cũng liên t c trong mi n nói trên thì y = y(x) là nghi m
duy nh t c a phương trình ã cho.
i u ki n y0 = y(x0) ư c g i là i u ki n u c a phương trình c a
(I),thư ng ư c ký hi u: 0
0x x
y y=
=
II - CÁC D NG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 1 THƯ NG G P
1 . Phương trình phân ly bi n s
a . Khái ni m
Phương trình vi phân có bi n phân lý là phương trình có d ng:
M(x)dx + N(y)dy = 0 (*)
Trong ó, M(x); N(y) là nh ng hàm ph thu c x, y ( x là bi n c l p; y là
hàm c n tìm)
b . Cách gi i:
L y tích phân hai v :
c . Chú ý:
Xét phương trình vi phân d ng: M1(x) N1(y)dx + M2(x) N2(y)dy = 0 (**).
(I)

MATHEDUCARE.COM
Trang 34
− N u M2(x)≠ 0, N1(y) ≠ 0 thì chia hai v cho (M2(x). N1(y)), ta có
(**) 1 2
2 1
M (x) N (y)
dx dy 0
M (x) N (y)
+ = ây là phương trình vi phân có bi n
phân ly.
− N u M2(x)=0⇒ x=a thì x=a cũng là nghi m c a phương trình (**).
− N u N1(y)=0⇒ y=b thì y=b cũng là nghi m c a phương trình (**).
2 . Phương trình vi phân ng c p
a . Khái ni m
Phương trình vi phân ng c p là phương trình d ng:
y’ =
y
x
 
ϕ 
  (***)
b . Cách gi i :
3 . Phương trình vi phân tuy n tính
a . Khái ni m
Phương trình vi phân tuy n tính là phương trình d ng:
y’ + p(x)y = q(x) (1)
Trong ó: p(x), q(x) là nh ng hàm s liên t c c a bi n x.
− N u q(x) = 0 thì (1) y’ + p(x)y = 0 (2) g i là phương trình tuy n tính
thu n nh t.
− N u q(x) ≠ 0 thì (1) g i là phương trình tuy n tính không thu n nh t.
b . Cách gi i
tìm nghi m t ng quát c a phương trình (1), trư c h t ta tìm nghi m t ng
quát c a phương trình (2).
T (2), ta có:
dy
dx =-p(x)y
Khi y≠0
dy
y =-p(x)dx
dy
p(x)dx
y
= −∫ ∫
ln y p(x)dx ln C= − +∫
y
ln p(x)dx
C
= −∫
y=
p(x)dx
Ce
−∫
(***)
(***)

MATHEDUCARE.COM
Trang 35
Ta th y y = 0 cũng là nghi m phương trình (2)( ng v i C = 0 ).
V y nghi m t ng quát c a phương trình (2) là y =
p(x)dx
Ce
−∫
Ta s tìm nghi m t ng quát c a phương trình (2) dư i d ng: y=
p(x)dx
Ce
−∫ C
là hàm s c a bi n x
4 . Phương trình Bernoulli
a . Khái ni m
Phương trình vi phân Bernoulli là phương trình d ng:
y’ + p(x)y = q(x)yα
(1)
Trong ó: p(x), q(x) là nh ng hàm s liên t c c a bi n x, α là m t s th c
b t kỳ và α ≠ {0,1}
b . Cách gi i
Gi thi t y ≠ 0, ta chia c hai v (5.7) cho yα. Ta có y’.y-α + p(x).y1-α = q(x).
(1)
(1)

MATHEDUCARE.COM
Trang 36
CHƯƠNG VII : LÝ THUY T CHU I
I - CHU I S
a . nh nghĩa chu i s
− Cho dãy s u1; u2; u3 ... un; ... Bi u th c n
n 1
u
∞
=
=∑ u1+u2+…+un+… ư c
g i là chu i s .
− u1; u2; u3 ... un; ... ư c g i là các s h ng c a chu i s .
− un g i là s h ng t ng quát.
b . nh nghĩa t ng riêng ph n th n c a chu i s
− Bi u th c Sn=
n
k
k 1
u
=
=∑ u1+u2+…+un ư c g i là t ng riêng ph n th n c a
chu i s .
− Bi u th c Rn= k
k n 1
u
∞
= +
=∑ un+1+u n+2+… ư c g i là ph n dư th n c a chu i
s .
c . nh nghĩa chu i s h i t , chu i s phân kỳ
− N u Sn S khi n ∞ thì n
n 1
u
∞
=
∑ ư c g i là chu i h i tu và có t ng b ng
S.
− N u Sn không S khi n ∞ thì n
n 1
u
∞
=
∑ ư c g i là chu i phân kỳ.
2 . Tính ch t :
a . nh lý v s h ng t ng quát c a chu i h i t
− N u chu i n
n 1
u
∞
=
=∑ u1+u2+…+un+… h i t thì s h ng t ng quát un 0
khi n ∞
− N u n
n
lim u
→∞
≠ 0 thì chu i n
n 1
u
∞
=
∑ phân kỳ.
b . Tính ch t
− N u chu i n
n 1
u
∞
=
∑ S thì chu i n
n 1
u
∞
=
α∑ αS
− N u chu i n
n 1
u
∞
=
∑ S1; n
n 1
v
∞
=
∑ S2 thì chu i n n
n 1
(u v )
∞
=
+∑ S1+ S2.
− Tính h i t ho c phân kỳ c a m t chu i không thay i khi ta b t i h u
h n s h ng u tiên.
II - CHU I S DƯƠNG
1 . nh nghĩa :
− Chu i s dương là chu i s mà các s h ng un u là s dương v i m i
n.
2 . Các nh lý so sánh :
a . nh lý 1

MATHEDUCARE.COM
Trang 37
Cho 2 chu i dương chu i n
n 1
u
∞
=
∑ và n
n 1
v
∞
=
∑ , gi s un≤ vn v i ∀n ≥ n0, khi ó :
− N u chu i n
n 1
v
∞
=
∑ h i t thì chu i n
n 1
u
∞
=
∑ h i t .
− N u chu i n
n 1
u
∞
=
∑ phân kỳ thì chu i n
n 1
v
∞
=
∑ phân kỳ.
b . nh lý 2
Cho 2 chu i dương n
n 1
u
∞
=
∑ và n
n 1
v
∞
=
∑ , n u t n t i gi i h n h u h n n
n
n
u
lim k
v→∞
=
v i 0<k<∞ thì hai chu i s cùng h i t ho c cùng phân kỳ.
3 . Các tiêu chu n h i t :
a . Tiêu chu n D’Alembert
Cho chu i dương
n
n 1
u
∞
=
∑
, xét n 1
n
n
u
lim k
u
+
→∞
= ,
− N u k<1 thì chu i s ã cho h i t .
− N u k>1 thì chu i s ã cho phân kỳ.
b . Tiêu chu n Cauchy (tiêu chu n căn s )
Cho chu i dương
n
n 1
u
∞
=
∑
, xét n
n
n
lim u k
→∞
= ,
− N u k<1 thì chu i s ã cho h i t .
− N u k>1 thì chu i s ã cho phân kỳ.
c . Tiêu chu n tích phân
Gi s hàm f(x) liên t c, dương, gi m trên kho ng [1;+∞) và d n t i 0 khi
x +∞. Khi ó tích phân suy r ng
1
f (x)dx
+∞
∫ và chu i s n
n 1
u
∞
=
∑ v i un=f(n) cùng
tính ch t.
III - CHU I CÓ S H NG V I D U B T KỲ - CHU I AN D U
1 . Chu i h i t tuy t i, bán h i t :
Cho chu i n
n 1
u
∞
=
∑ v i các s h ng un có d u b t kỳ
a . nh lý :
N u chu i
n
n 1
u
∞
=
∑
h i t thì chu i
n
n 1
u
∞
=
∑
cũng h i t .
b . nh nghĩa :
− Chu i n
n 1
u
∞
=
∑ ư c g i là h i t tuy t i n u chu i n
n 1
u
∞
=
∑ h i t .
− Chu i n
n 1
u
∞
=
∑ ư c g i là bán h i t n u chu i Chu i n
n 1
u
∞
=
∑ h i t nhưng
chu i n
n 1
u
∞
=
∑ phân kỳ.
2 . Chu i an d u :

MATHEDUCARE.COM
Trang 38
a . nh nghĩa :
Chu i s có d ng n
n
n 1
( 1) u
∞
=
−∑ ư c g i là chu i an d u.
b . nh lý Leibnitz:
N u dãy s dương ui (i=1..∞) gi m và d n t i 0 khi n ∞ thì chu i an d u
n
n
n 1
( 1) u
∞
=
−∑ h i t .
3 . Chu i lũy th a :
a . nh nghĩa chu i hàm s :
Xét chu i n
n 1
u (x)
∞
=
∑ mà các s h ng un(x) là nh ng hàm xác nh trên t p
X⊂R ư c g i là chu i hàm s .
b . nh nghĩa chu i lũy th a :
Chu i lũy th a là m t chu i hàm s có d ng
n
n
n 1
a x
∞
=
∑ = a0 + a1x + a2x2
+…+ anxn
+…
c . nh lý :
N u chu i lũy th a n
n 1
u (x)
∞
=
∑ h i t t i x = x0 ≠ 0 thì nó h i t tuy t i t i
m i x v i 0x x< .
d . H qu :
N u chu i lũy th a n
n 1
u (x)
∞
=
∑ phân kỳ t i x = x1 thì nó phân kỳ t i m i x v i
1x x> .
e . Bán kính h i t c a chu i lũy th a :
Cho chu i lũy th a n
n 1
u (x)
∞
=
∑ , n u t n t i R>0 sao cho chu i h i t v i m i x
: x <R thì R g i là bán kính h i t c a chu i.
f . Quy t c tìm bán kính h i t :
N u n 1
n
n
a
lim
a
+
→∞
= ρ ho c n
n
n
lim a
→∞
= ρthì bán kính h i t R c a chu i lũy th a
n
n 1
u (x)
∞
=
∑ ư c xác nh b i
0
1
R 0
0
 ρ = +∞


= < ρ < +∞
ρ
+∞ ρ =
Kho ng (-R; R) ư c g i là kho ng h i t c a chu i lũy th a.
Sau khi tìm ư c R, ta c n xét thêm s h i t t i 2 u mút – R và R suy
ra mi n h i t c a chu i lũy th a.

MATHEDUCARE.COM
Trang 39
PHẦN BÀI TẬP
BÀI T P CHƯƠNG I : S PH C
1. Cho các s ph c z1=1+2i; z2=-2+3i; z3=1-i. Tính
a. z1+ z2 + z3
b. z1 z2+ z2 z3 + z3 z1
c. z1
2
+ z2
2
+ z3
2
d. 31 2
2 3 1
zz z
z z z
+ +
e. 1
2
2 2
2
2 2
3
z z
z z
+
+
2. Th c hi n các phép tính sau
a.
16 8
1 i 1 i
1 i 1 i
+ −   
+   
− +   
b. i2000
+ i1999
+ i201
+ i82
+ i47
c. i-5
+ (-i)-7
+ (-i)13
+ i-100
+ (-i)94
3. Gi i các phương trình b c 2 sau :
a. z2
– 8(1-i)z+63-16i=0
b. iz2
+(1+2i)z+1=0
c. (1+i)z2
+ 2+11i =0
4. Cho x1, x2 là nghi m c a phương trình b c 2 : x2
- x + 1 = 0 , tính
a.
2000 2000
1 2x x+
b.
1999 1999
1 2x x+
c.
n n
1 2x x+ v i n∈N
BÀI T P CHƯƠNG II : HÀM S
Tìm mi n xác nh c a các hàm s sau :
1. f(x,y)= y x ln(y x)− +
2. f(x,y)=
2 2
1
4 x y− −
3. f(x,y)= x ln y
4. f(x,y)=
2 2
1 x y− −
5. f(x,y)=ln(x+y-1)
6. f(x,y)=
1 1
x y x y
+
+ −
7. f(x,y)=
2
x
cos y
BÀI T P CHƯƠNG III : GI I H N & LIÊN T C C A HÀM S
1. Xét tính liên t c c a các hàm s sau :
a.
sin 2x
x 0
f(x,y) x
2 x 0

≠
= 
 =

MATHEDUCARE.COM
Trang 40
b.
2 2
2 2
1
(x y )sin (x,y) (0,0)
x yf(x,y)
0 (x,y) (0,0)

+ ≠
+= 
 =
c. 2 2
xy
(x, y) (0,0)
f(x, y) x y
0 (x, y) (0,0)

≠
= +
 =
d.
2 2
2 2
x y
(x, y) (0,0)
f(x, y) x y
0 (x, y) (0,0)
 −
≠
= +
 =
2. Tính các gi i h n sau :
a.
(x,y) (0,0)
lim f(x, y)
→
v i f(x,y)=
2 2
xy
x y+
(x,y)≠(0,0)
b. 2 2
(x,y) (1,2)
lim (x y )
→
c. 2
2
x
2
sinx
lim( tan x)
cos xπ
→
−
d.
(x,y) (0,0)
lim f(x, y)
→
v i f(x,y)=
2 2
2 2
x y
x y
−
+
(x,y)≠(0,0)
e.
(x,y) (0,0)
lim f(x, y)
→
v i f(x,y)=
3 3
2 2
x y
x y
+
+
(x,y)≠(0,0)
BÀI T P CHƯƠNG IV : O HÀM VÀ VI PHÂN HÀM S
1. Tính các o hàm riêng c p 1và 2 c a hàm s :
a. f(x,y)=xy2
ln(1 + xy).
b. f(x,y)=x2
y3
+ x4
c. f(x,y)=x2
ln(x + y).
d. f(x,y)=x2
y + x y
e. f(x,y)=sin(x + y) + cos(x – y).
2. Tính o hàm c a hàm h p
a. z=uev
+ve-u
v i u=ex
; v=x2
y
b. z=
2 2
u 2v
e −
v i u = cosx; v= 2 2
x y+
c. z=ln(u2
+ v2
) v i u=xy; v =
x
y
v i y ≠0
d. z=x2
lny v i y=3u – 2v; x =
u
v
v i y ≠0
3. Tính vi phân toàn ph n c a hàm s
a. f(x,y)=x3
y3
b. f(x,y)= 2 2
x y+
c. f(x,y)=arctan
x y
x y
+
−
d. f(x,y)=xy + sin(x+y)
e. f(x,y)=
1
2
ln(x2
+ y2
)

MATHEDUCARE.COM
Trang 41
4. Tìm c c tr c a các hàm 1 bi n sau
a. f(x)=x4
– 2x2
+1
b. f(x)=x2
(2– x)2
c. f(x) = x + 2 x−
d. f(x) =x 2
4 x−
5. Tìm c c tr c a các hàm 2 bi n sau
a. f(x,y)=x2
+ xy + y2
+ x – y + 1
b. f(x,y)=3xy – x3
– y3
c. f(x,y)= x2
– y2
d. f(x,y)= x3
+ 2y3
– 3x – 6y
e. f(x,y)= -x2
– y2
+ 2x + 4y + 6
6. Tìm c c tr có i u ki n c a các hàm 2 bi n sau
a. f(x,y)=x2
+ y2
v i i u ki n
x y
1
4 3
+ =
b. f(x,y)=
1 1
x y
+ v i i u ki n 2 2 2
1 1 1
x y a
+ =
7. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm sô
a. f(x)=sin2x – x v i x∈ ;
2 2
π π 
− 
 
b. f(x)=
2
x 2x 3
x 1
+ +
−
v i 1<x≤3
c. f(x)=3x4
- 8x3
+6x2
trên [-2;2]
d. f(x)=xx
v i
1
x
10
≤ ≤ ∞
e. f(x)=
x
2
+cosx v i 0 ≤x ≤2π
BÀI T P CHƯƠNG V : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1. Tính các tích phân suy r ng :
a.
0
cosxdx
+∞
∫
b.
1
2
dx
x
−
−∞
∫
c. 2
dx
1 x
+∞
−∞
+∫
d. 2
2
dx
x x 2
+∞
+ −∫
e.
1
0
dx
x∫
f.
1
0
dx
(2 x) 1 x− −∫
2. Kh o sát tính h i t c a tích phân suy r ng:
a. 2
0
sin(x )dx
+∞
∫
b. 10
1
dx
1 x
+∞
+∫
c.
2
4 2
1
x
dx
x x 1
+∞
− +∫
d.
2
0
sin x
dx
x
+∞
∫
e. 3 2
1
1
dx
1 x. 1 x
+∞
+ +
∫
f.
1
ln(1 x)
dx
x
+∞
+
∫
BÀI T P CHƯƠNG VI : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
1. Gi i các phương trình phân ly bi n s :

MATHEDUCARE.COM
Trang 42
a. xdx + (y + 1)dy = 0.
b. x2
(y + 1)dx + (x3
– 1)(y – 1)dy = 0.
c. y’= 2
x
x 1+
(y2
-1)
d. xyy’ = y2
– 1
e. (1 + x)ydx + (1 - y)xdy=0
f. xy’ - y = y2
g. y – xy’ = a(1 + x2
y’)
h. x(1 + y2
)2
dx + y((1 + x2
)2
dy=0
i. (x2
- yx2
)y’ + y2
+ xy2
=0
j. (1+ex
)yy’=ex
v i i u ki n ban u là x=0, y(0)=1
k. (1 + ex
)yy’=ex
v i i u ki n ban u là x=0, y(0)=1
2. Gi i các phương trình ng c p :
a. y’=
2 2
x y
2xy
+
b. y’=
x y
x y
+
−
c. (x – y)ydx – x2
dy = 0
d. y’=
x ay
ax y
+
−
v i a là h ng s
e. xy’ = x + y
3. Gi i các phương trình tuy n tính :
a. y’ – 2xy = x
b. y’ -
2
x
y = x3
c. (x2
+ 1)y’ + xy = -x
d. ey
dx + (xey
-1)dy = 0 (phương trình tuy n tính theo y)
e. (x2
+ 1)y’ + xy = 1 v i i u ki n ban u x=0; y(0)=2
f. y’ +
3
x
y = 3
2
x
g. y’ – ysinx = sinx.cosx
h. xy’ – y2
+1 = 0
i. y’ + y.cosx = 2x.e-sinx
4. Gi i các phương trình Bernoulli :
a. y’ – y = xy5
b. y’ – 2xy = x3
y2
c. y’ - 4
y
x y
x
=
d. y’ + 2xy = 2x3
y3
e. y’ + y =
x
2
e y
BÀI T P CHƯƠNG VII : CHU I S
1. Ch ng minh r ng chu i
n 1
1
n(n 1)
∞
= +
∑ là chu i h i t .
2. Ch ng minh r ng chu i n
n 1
1
2 1
∞
= +
n
n 1
1 2
n 5
∞
=
 
 
 

MATHEDUCARE.COM
Trang 43
n 1
n
2
∞
=
5. Ch ng minh r ng chu i 2
n 1
1
n
∞
=
∑ là chu i h i t
n 1
1
n!
∞
=
∑ là chu i h i t
n 1
1
n 1
∞
= +
∑ là chu i h i t
n 1
ln n
n
∞
=
∑ là chu i h i t
n 1
1
2 n
∞
=
10.Ch ng minh r ng chu i
n
n 1
2
n!
∞
=
n 1
1
n.ln n
∞
=
12.Tính t ng riêng Sn và t ng S n u có c a chu i
n 1
1
n(n 1)(n 2)
∞
= + +
∑ .
13.Tính t ng riêng Sn và t ng S n u có c a chu i 2 2
n 1
2n 1
n (n 1)
∞
=
+
+
∑ .
14.Tính t ng riêng Sn và t ng S n u có c a chu i n
2
n 1
1
( 1)
n 1
∞
=
−
−
∑ .
15.Tính t ng riêng Sn và t ng S n u có c a chu i
n n
n
n 1
2 3
5
∞
=
−
∑ .
16.Xét s h i t c a chu i
n
n 1
( 1)
n
∞
=
−
∑
n 1
n 1
2n 1
∞
=
+
+
∑
18.Xét s h i t c a chu i n 1
n 1
1
2
∞
−
=
∑
n 1
1
n
∞
=
∑
n 1
2n 1
2n
∞
=
−
∑ là chu i phân kỳ
n 1
1
n(n 1)
∞
= +
n 1
1
2n
∞
=
n 1
1
2n 1
∞
= −
24.Ch ng minh r ng chu i 2
n 1
n!
n
∞
=

MATHEDUCARE.COM
Trang 44
TÀI LI U THAM KH O
1. Toán h c cao c p – Nguy n ình Trí (ch biên) – NXB Giáo d c 2001
2. Bài t p toán cao c p – Nguy n ình Trí (ch biên) – NXB Giáo d c 2001

[Math educare] giao trinh toan cao cap 1-giai tich ham mot bien_pham phuc thinh

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (19)

Similar to [Math educare] giao trinh toan cao cap 1-giai tich ham mot bien_pham phuc thinh

Similar to [Math educare] giao trinh toan cao cap 1-giai tich ham mot bien_pham phuc thinh (20)

More from Nguyen Vietnam

More from Nguyen Vietnam (7)

Recently uploaded

Recently uploaded (10)

[Math educare] giao trinh toan cao cap 1-giai tich ham mot bien_pham phuc thinh