УСИЛЕНИЕ ИНТЕГРАТИВНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ СПОСОБ ДОСТИЖЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ ШКОЛЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СТАНДАРТОВ
Жохов Владимир Иванович — заслуженный учитель РФ, автор школьных учебников математики (г. Москва)
УСИЛЕНИЕ ИНТЕГРАТИВНОЙ ФУНКЦИИ МЕТОДОВ ОБУЧЕНИЯ КАК ЭФФЕКТИВНЫЙ СПОСОБ ДОСТИЖЕНИЯ УЧАЩИМИСЯ ШКОЛЫ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ СТАНДАРТОВ
Жохов Владимир Иванович — заслуженный учитель РФ, автор школьных учебников математики (г. Москва)
1. 1september.ru
М АТ Е М АТ И К А Подписка: Роcпечать - 32030 (бумажная версия), 26113 (электронная); Почта России - 79073 (бумажная версия), 12717 (электронная)
май
2013
mat.1september.ruИЗДАЕТСЯ С 1992 г.
Тема номера
Современный
урок
математики
Мастерим
бумажную
сферу
Практикум
Избранные
задачи
на делимость
целых чисел
Методическая консультация
Опорные задачи:
сфера, куб
и правильный
тетраэдр
№5 (743)
Практическая работа
c. 43c. 26c. 9
Пантеон, с. 64
3. 33 МАТЕМАТИКА май 2013
ДАВАЙТЕ
ПОГОВОРИМ
ОБУЧЕБНИКАХЛ. РОСЛОВА
Учебник — одна из основных тем, за-
нимающих учителя. Взять хотя бы интерес к мероприятиям
прошедшего педагогического марафона, связанным с пред-
ставлением новых учебников или обновленных действую-
щих. У меня тоже часто спрашивают совета, какой учебник
выбрать. Информацию эту учитель может получить чаще
всего только от коллег. Но она не может быть полной, по-
скольку редко в каком регионе (не говоря уже об иных тер-
риториальных уровнях) представлено все многообразие
учебников, допущенных и рекомендованных к использо-
ванию в учебном процессе. Да и список этих учебников ме-
няется ежегодно. Разве уследишь? Издательства, правда,
проводят свои эксперименты (внедрение), но не всегда по
учебникам, прошедшим экспертизу и получившим гриф, ча-
сто наоборот — по учебникам, которые пройти эту проце-
дуры не могут в силу невысокого качества.
Какой учебник ищет учитель? Прежде всего, эффектив-
ный — чтобы позволял достичь приличных результатов об-
учения даже в несильном классе. Грубо оценить эффектив-
ность можно по результатам экзаменов, диагностик, атте-
стаций школ. Например, в некоторых регионах такого рода
информация собирается и систематизируется в рамках про-
ведения ГИА. А вот проводится ли работа по результатам это-
го анализа? Имеет ли учитель данные о том, позволяет ли
учебник, по которому он работает, добиваться требуемых
стандартом результатов? Ответ, скорее всего, будет отрица-
тельным.
Официальной информации федерального уровня об эф-
фективности учебников нет. Спасибо, что дает информацию
TIMSS, но она не является статистически значимой для пода-
вляющего большинства учебников, входящих в перечень, в
силу того, что в выборку они попадают малым числом.
Вот и решила я предложить вам — читателям журна-
ла — обменяться своими впечатлениями об учебниках,
по которым работаете. Но не эмоциями, а взвешенно. Со-
знательно ли выбрали, что привлекло, в каком объеме ис-
пользуете (комплект, только учебник, только задачи и т.д.).
Если перешли на новый учебник, то есть ли преимущества,
оправдались ли ожидания, что получается лучше, чем рань-
ше, а что хуже. Только не забудьте указать точные данные
учебника — обязательно с годом издания. Я не предлагаю
писать трактатов и диссертаций — можно коротко, самое
главное. Письмо можно отправить через личный кабинет,
по электронной почте или по почте, написанное от руки.
Мы попробуем собрать ваши мнения и создать общую кар-
тину. Всем миром, так сказать.
4. 4МАТЕМАТИКА май 2013
О. БАГИШОВА,
bagishova1032@yandex.ru,
г. Москва
СОВРЕМЕННЫЙ
ТРАДИЦИОННЫЙ
УРОК!
Современный урок или традиционный урок?
Дилемма. Но действительно ли нужно противопоставлять их?
Можно ли утверждать, что традиционный урок изжил себя? По-
смотрим на проблему с разных сторон.
Урок — традиционная форма проведения школьных занятий с
детьми. Сложившиеся правила проведения урока стали для учи-
телей, проработавших в школе не один десяток лет, отражени-
ем их ежедневной педагогической деятельности, их стиля рабо-
ты. Качество преподавания, что было 20–30 лет назад, подтверж-
дают и нынешнее поколение 40–50-летних людей («я это учил
30 лет назад, а до сих пор помню!»), и преподаватели вузов («сту-
денты, мол, нынче не те»). Получается, что традиционный стиль
работы учителей приносил плоды, а это, безусловно, говорит в
пользу традиционных методов.
Стиль урока должен меняться, если меняются его цели. «Совре-
менный» мир требует «новых» людей, готовых творчески подхо-
дить к решению проблем, компетентных как в своей профессио-
нальной области, так и в целом. А может ли школа готовить имен-
но таких выпускников?
Что требует от нас, учителей, сегодняшний день? Умения быть
креативным. Творчески подходить к своей работе. Учитывать из-
менения, произошедшие в сознании и здоровье учащихся. Быть
в курсе современных событий. Уверенно владеть современными
технологиями... Учитель, который учитывает эти требования, мо-
жет считать себя современным.
Но разве традиционное обучение — это череда монотонных, безли-
ких, скучных уроков, проводимых безынициативными, неинформи-
рованными учителями? Разве мог учитель раньше проводить урок,
не отвечающий возможностям своих учеников? Давайте отдадим дань
уважения учителям «со стажем». Не имея под рукой ни электронной
почты, ни электронного дневника, не отправляя sms родителям, они
добивались высоких результатов обучения своему предмету.
Кто сказал, что знания, которые давала «старая» школа, не-
нужные? Я работаю учителем математики и понимаю, что мно-
гим моим ученикам в жизни не пригодятся ни косинусы, ни ло-
гарифмы. Но неспроста математика всегда входила в обязатель-
ный перечень учебных предметов классических гимназий и лице-
ев. Человек, освоивший математику, приводил свой мозг в рабо-
тоспособное состояние. После этого можно было получить свою
узкую профессиональную специализацию и с уверенностью ска-
зать, что в выбранной профессиональной области человек будет
успешным.
Решение математических задач знакомило ребенка с тем, как
устроена любая задача, и давало навык прокладывать путь от из-
ВУЧИТЕЛЬСКОЙ/МНЕНИЕ
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
5. 55 МАТЕМАТИКА май 2013
вестных элементов к неизвестным. Упорное и
многолетнее освоение математических наук «за
письменным столом» формировало характер че-
ловека, воспитывало трудолюбие, умение сосре-
дотачиваться, не упуская мелочей, не отвлекать-
ся от работы. А разве не нужны эти качества на-
шим нынешним выпускникам?! Страшно пред-
ставить себе хирурга или, например, водителя,
который не считает важным быть собранным в те-
чение достаточно длительного времени.
С тех пор как мир стал другим, стал «современ-
ным», быть аккуратными необязательно — чудо-
порошок все отстирает. Теперь все делается легко!
ВолеваясторонаупервоклассниковXXIвеканераз-
витавтоймере,чтотридцатьлетназад.Затоэмоци-
ональный порог зашкаливает за все разумные гра-
ницы. Чтобы удивить современного ребенка, надо
быть настоящим волшебником!
Вот и появилось требование к современной
школе — что-то такое показать на уроке, чтобы
поразить воображение наших современных де-
тей. Уберем плакаты — повесим интерактивные
доски. Уберем телевизор — поставим компьюте-
ры. Уберем «бумажные» учебники — раздадим
электронные. Вот тогда наши ученики, заинте-
ресованные новым чудом, будут смотреть на до-
ску и слушать учителя.
И да, и нет. Слушать, конечно, будут. И инте-
рес возрастет. Но только это еще не все. Структу-
ра «традиционного» урока всегда предполагала
ряд этапов знакомства с новым материалом. Пер-
вый этап, ознакомительный: интуитивное зна-
комство с новым, демонстрация опытов, рассказ
о новом понятии. Но после этого начиналась та
самая монотонная деятельность ученика по из-
учению свойств нового объекта: решение задач,
чтение параграфа, выполнение упражнений, рас-
крывающих сущность нового понятия. По време-
ни второй этап во много раз превосходил первый.
Попробуем разнообразить второй этап. Допол-
ним этот перечень поиском и использованием
информации из Интернета, подготовкой докла-
дов, выполнением проектов, групповой работой
над проблемой. Последние штрихи превращают
«традиционный урок» в «современный», но тре-
буется ряд оговорок. Первая. Монотонный труд
для многих «современных» детей непривычен.
А он необходим! Яркие стороны «современного»
урока делают их привлекательными. Вторая. Мы
всегда должны выбирать: «Или, или…». Или ре-
шаем задачи, или готовим доклады. Урок — это
45 мин. Учебный план жестко определил, сколь-
ко времени нам дано на общение. Третья. Успеет
ли сформироваться характер нашего выпускни-
ка, если сократить время, в течение которого уче-
ник «просто решает задачи»?
Появление компьютеров, конечно, существен-
но изменило нашу жизнь, расширило наши воз-
можности. Очевидное удобство компьютер-
ной техники — возможность сканирования лю-
бых учебных материалов с последующей демон-
страцией их на экране (можно работать с графи-
ком или текстом задачи, а можно разобрать ти-
пичные ошибки учащихся). Можно использо-
вать чертежи, позволяющие увидеть объект со
всех сторон. Все это повышает понимание мате-
риала, но все же истинные знания придут в ходе
собственной интеллектуальной работы. В таком
случае, так ли важно, какой учебник, бумажный
или электронный, мы перелистывали, чтобы за-
писать условие?
Мне нравится на уроке использовать оргтех-
нику. Когда сбылась моя мечта о проекторе, на
уроках появились презентации, проекции фраг-
ментов учебных книг. Фронтальная работа с
классом стала эффективнее, так как стало легче
организовать ее. Но при этом в кабинете востре-
бованы три обычные доски!
Компьютеры, как и мел, надо полюбить. Они
должны использоваться на уроке тогда, когда
их применение эффективнее, а не моднее. Кон-
серватизм учителей — это основа стабильности
в образовании. Пожилые учителя, которые не
владеют компьютерными технологиями, собра-
лись уходить на пенсию. Осознание, какой бес-
ценный человеческий капитал мы теряем, при-
дет позже! Молодые учителя, пришедшие в шко-
лу в последние годы, уже работают иначе. Сохра-
нив разные поколения, можно создать разумный
баланс между разными технологиями.
Работа учителя, какой урок он проведет —
«традиционный» или «современный», зависит
от очень многих факторов. Школа — это един-
ство многих. Пусть это будет единство многих
разнообразных учителей, работающих в есте-
ственных для себя условиях. Пусть у кого-то бу-
дет «более современный» урок, у кого-то — «бо-
лее традиционный». Кому-то комфортно пе-
реключать на уроке слайды, а кто-то будет по-
прежнему использовать мел.
Когда учителю нравится его деятельность,
она, эта деятельность, приносит пользу. Надо
взвесить все «за» и все «против», прежде чем
голосовать за ту или иную форму урока. До-
бавляя новое, нельзя терять проверенное ста-
рое. Нельзя идти на поводу у тех, кто оправды-
вает бездельников-детей тем, что им неинтерес-
но «просто решать задачи», и ратует за яркие
компьютерные образы. Надо поощрять и про-
пагандировать опыт тех «современных» учи-
телей, которые нашли золотую середину в этом
вопросе.
6. М. ПАВЛОВА,
г. Санкт-Петербург НЕОБЫКНОВЕННЫЙ
ПОЛЕТ
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИГРА
Цели игры:
образовательная — обобщить знания учащихся по теме «Действия с
обыкновенными дробями»;
развивающая — формировать знания о первых полетах в космос;
воспитательная — формировать товарищеские отношения, чувство
ответственности, умение работать командой. Способствовать
нравственно-патриотическому воспитанию школьников.
Форма проведения. Если игра проводится в классе во время урока, то
три ряда парт и есть три команды-экипажа. Если игра прово-
дится для параллели, то классы представлены командами по
9–10 человек. Каждый этап проходит в отдельном кабинете.
Полет — это математика.
В. Чкалов
Ход урока
Вступительное слово учителя
12 апреля весь мир отмечает День авиации и космонавтики. Это
особенный день — в этот день в 1961 году Ю.А. Гагарин первым
в мире совершил орбитальный полет в космос, открыв тем самым
эпоху пилотируемых космических полетов. В этом большая заслу-
га многих ученых-математиков — покорение космоса невозможно
без математических расчетов.
Сегодня и мы совершим космическое путешествие прямо из ка-
бинета математики. Каждая команда — это экипаж ракеты, кото-
рому предстоит совершить полет. Победит тот экипаж, который
наберет больше очков.
Каждый этап полета в зависимости от количества верно решен-
ных примеров оценивается звездами разного цвета: коричневая —
1 балл; желтая — 2 балла; зеленая — 3 балла; синяя — 4 балла;
красная — 5 баллов.
Предполетная подготовка
А знаете ли вы…
1. Как звали первого космонавта? [Ю.А. Гагарин.]
2. Кого называют отцом космонавтики? [К.Э. Циолковский]
3. Когда был запущен первый искусственный спутник Земли?
[4 октября 1957 г.]
4. Как назывался космический корабль, на котором Ю. Гагарин
совершил путешествие по орбите? [«Восток».]
5. В 1971 г. была выведена на орбиту первая орбитальная стан-
ция. Это был настоящий летающий дом, состоящий из нескольких
комнат-отсеков, в которых свободно разместился экипаж из трех
человек, проработавший в космосе почти месяц. Как называлась
эта первая орбитальная станция? [«Салют».]
5–6 классы
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИКА май 2013
6
7. 77 МАТЕМАТИКА май 2013
Название корабля, на котором полетит ваш
экипаж, вы узнаете, выполнив предстартовую
подготовку (оценивается скорость и правиль-
ность ответов). Каждая дробь написана на от-
дельной карточке, на обороте которой стоит бук-
ва, приведенная в скобках. Расположив дроби в
указанном порядке и перевернув карточки, вы
узнаете название своего экипажа.
I. Расположите дроби в порядке возрастания:
а)
13
18
(Ю),
14
36
(А),
5
18
(С),
2
3
(Л),
19
15
(Т);
б)
16
40
(С),
3
4
(Т),
3
20
(В),
7
20
(О),
17
20
(О),
21
20
(К).
II. Расположите дроби в порядке убывания:
1
8
(Н),
17
24
(У),
29
24
(Б),
7
24
(А),
30
48
(Р).
Итак, в полет отправляются экипажи «Вос-
ток», «Салют», «Буран».
Если мероприятие проводится в виде игры по
станциям, капитанам вручаются маршрутные
листы, в которых указывается порядок прохож-
дения этапов.
Орбитальный научный эксперимент
Экипаж делится на три группы. Каждая груп-
па получает карточку с тремя примерами и пе-
речень ответов к ним. Решив примеры и записав
номер выбранного ответа, группы сдают задания
судьям.
1-я
группы
Номер
ответа
2-я
группа
Номер
ответа
3-я
группа
Номер
ответа
1 2
4 9
+
3 5
7 6
+
4 2
9 3
+
3 1
8 4
−
4 2
5 9
−
7 1
8 2
−
1
6
10
−
3
7
13
−
2
5
3
−
Предполагаемые ответы:
1.
1
4 .
3
2.
11
1 .
42
3.
34
.
35
4.
1
1 .
9
5.
17
.
36
6.
10
1 .
33
7.
7
.
10
8.
9
5 .
10
9.
1
.
2
10.
3
.
8
11.
5
.
14
12.
10
6 .
13
13.
26
.
45
14.
3
.
4
15.
1
.
8
Пока судьи проверяют решения — рассказ о
первом спутнике.
Учитель. Освоение космического простран-
ства началось 4 октября 1957 года, когда был
запущен первый искусственный спутник Зем-
ли. Спутник вращался вокруг Земли и подавал
сигналы: «Я здесь, я лечу!». Он представлял со-
бой шар из алюминиевых сплавов диаметром
58 см и весом 83,6 кг. Аппарат имел двухметро-
вые усы-антенны, а внутри размещались два ра-
диопередатчика. Скорость спутника составляла
28 800 км/ч. За полтора часа спутник облетал
весь земной шар, а за сутки полета совершал
16 оборотов.
Сейчас на земной орбите находится множе-
ство спутников. Одни используются для телера-
диосвязи, другие являются научными лаборато-
риями.
На оборотной стороне Земли
Экипаж делится на две группы. Члены груп-
пы по очереди решают по одному примеру. От-
вет записывают в пустую клетку. Ответ преды-
дущего примера является первым числом в сле-
дующем примере. Цель: правильно и быстро вы-
полнить это задание. Время ограничено.
Пять правильно решенных примеров — крас-
ная звезда, 4 — синяя, 3 — зеленая, 2 — желтая,
1 —коричневая.
1 5
4 6
+ = → 3
1
8
+ = → 5
1
12
− = →
→ 3
3
8
+ = → 5
2
12
− =
Пока судьи проверяют решения — рассказ о
первых живых существах на орбите.
Учитель. После удачно осуществленного поле-
та первого искусственного спутника Земли перед
учеными встала задача — вывести на орбиту жи-
вое существо. Дорогу в космос для человека про-
ложили собаки и мыши. В космос слетали 21 се-
рая и 19 белых мышей. Собаки прошли все виды
испытаний. Они длительно находились в кабине
без движения, переносили большие перегрузки,
вибрацию. Ученые фиксировали биотоки сердца,
мышц, мозга, артериальное давление, характер
дыхания и т.д., изучая воздействие на организм
невесомости. В честь животных, отдавших жизнь
во имя науки, перед Парижским обществом защи-
ты собак воздвигли гранитную колонну. Ее верши-
ну венчает устремленный ввысь спутник, из кото-
рого выглядывает Лайка — собака-космонавт.
Внештатная ситуация —
метеоритный дождь
Необходимо устранить неисправность ракеты.
Экипаж делится на две команды. Каждой ко-
манде выдается карточка, в которой приведены
решения четырех примеров, но в них допуще-
ны ошибки. Нужно найти эти ошибки и испра-
вить решения. Выполненные задания сдаются
судьям. Время ограничено.
Критерии оценивания: 4 правильно исправ-
ленных решения — красная звезда, 3 — синяя,
2 — зеленая, 1 — желтая.
8. МАТЕМАТИКА май 2013 88
1-я команда 2-я команда
3 3
2 1 1
4 4
− =
5 2 3
2 1 1 2
6 3 3
− = =
2 4 6
5 6 11
+ =
4 4
6 2 4
9 9
− =
4 2 4
2 1 1
15 6 9
− =
2 5 2 5 7
3 1 4 4
9 8 72 72
+
+ = =
1 1 1 1 2
3 2 5 5
3 9 9 9
+
+ = =
2 4 6 1
9 15 24 4
+ = =
Пока судьи проверяют решения — рассказ об
основателях космонавтики.
Учитель. Константин Эдуардович Циолков-
ский — один из отцов космонавтики, гордость
России. Ему принадлежат слова: «Земля — ко-
лыбель человечества, но нельзя вечно жить в ко-
лыбели». Он указал человечеству путь к иным
мирам и звездам, заложив основы реактивно-
го движения. Идеи Циолковского были разви-
ты Фридрихом Артуровичем Цандером и Юрием
Васильевичем Кондратюком. А заветные меч-
ты основоположников космонавтики воплотил
в жизнь Сергей Павлович Королев — главный
конструктор.
Космический обед
Во время обеда космонавты вспоминают о Ро-
дине.
Перед вами — панно из цветов, на каждом ле-
пестке — задание на действия с дробями. Эки-
паж делится на две команды. Каждая решает
свой пример. Номера примеров указаны в серд-
цевине цветка. Решения выполняются на листах
бумаги.
Для 1-й команды первое число
4
2 .
7
Для 2-й команды первое число
8
1 .
15
Критерии оценивания: за 5 правильных отве-
тов — красная звезда, 4 — синяя, 3 — зеленая,
2 — желтая, 1 — коричневая.
Пока судьи проверяют решения — рассказ о
Ю.А. Гагарине.
Учитель. Юрий Алексеевич Гагарин (1934–
1968) — космонавт № 1, советский военный лет-
чик, первым побывавший в космосе. Родился 9
марта 1934 года в Смоленской области. Пошел в
школу в 1941 году, затем продолжил учебу в ре-
месленномучилище.В1951годусталпосещатьаэ-
роклуб, а уже через год совершил свой первый по-
лет на самолете «Як-18». В марте 1960-го стал од-
ним из кандидатов в космонавты. 12 апреля 1961
года корабль «Восток» с Гагариным на борту вы-
шел в космос и сделал один оборот вокруг Земли.
Погиб 27 марта 1968 года, осуществляя трени-
ровочный полет на самолете «МиГ-15».
Мягкая посадка
Чтобы успешно завершить полет, проведем
конкурс капитанов.
1. Попрыгунья Стрекоза половину времени
каждых суток красного лета спала, третью часть
каждых суток танцевала, шестую часть — пела.
Остальное время она решила посвятить подго-
товке к зиме. Сколько часов в сутки Стрекоза го-
товилась к зиме? [0 ч]
2. Малыш может съесть 600 г варенья за 6 ми-
нут, а Карлсон в 2 раза быстрее. За какое время
они съедят это варенье вместе? [2 мин.]
3. Дана дробь
13
.
19
Какое число нужно приба-
вить к обоим числам этой дроби, чтобы она обра-
тилась в
5
?
7
[2]
4. Имеется запись: 5*683 < 506*1 (звездочкой
отмечены пропущенные цифры). Какие это циф-
ры? [0; 9]
5. Какая часть квадрата закрашена?
1
64
⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
Литература
1. Бунимович Е.А., Дорофеев Г.В., Суворова
С.Б. и др. Математика. 5 класс. — М.: Просве-
щение: Сферы, 2010.
2. Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс. — М.:
Мнемозина, 2008.
3. Кордемский Б.А. Математическая смекал-
ка. — М.: Изд-во технико-теоретической литера-
туры, 1955.
4. http://repetitors.info/library.php?b=200
5. http://rcio.pnzgu.ru/personal/26/1/6/Page2.
htm
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
9. 9МАТЕМАТИКА май 2013
Г. АДЖЕМЯН
adzhemyan@i.home-edu.ru,
г. Москва, д. Румянцево
Фото предоставлены автором
МАСТЕРИМ
БУМАЖНУЮСФЕРУ
В поисках путей для формирования уни-
версальных учебных действий на уроках математики в 5–6-х
классах особую значимость приобретает форма организации
учебной деятельности учащихся.
Перед учителем математики стоит нелегкая задача организо-
вать учебный процесс, который способствовал бы развитию уни-
версальных учебных действий учащихся.
Особую роль в разрешении данной проблемы играет группо-
вая форма организации учебной деятельности. Она позволя-
ет учащимся участвовать в совместной деятельности, которая
способствует формированию дополнительной мотивации обуче-
ния.
Совместная деятельность — такая форма организации учебной
деятельности младших подростков, которая объединяет учащих-
ся общими учебными целями, но при этом каждый из них игра-
ет определенную ему в этой работе роль. Она наиболее примени-
ма и целесообразна при проведении различных практических ра-
бот. Рассмотрим пример открытого урока, который проводился в
режиме онлайн с учениками 5-го класса СОШ № 26 пос. Кропаче-
во Ашинского района Челябинской обл.
При подготовке и проведении открытого урока большую орга-
низационную работу провели Наталья Владимировна Софина,
учитель МХК, изобразительного искусства и черчения, и родите-
ли учеников, которые оказывали помощь своим детям. В этом и
есть ценность совместной учебной работы!
Фотоконспект урока
Цели:
1. Ввести понятие шара и сферы; формировать представление
о геометрических фигурах в пространстве, развивать простран-
ственное воображение.
2. Развивать базовые математические умения: построение ма-
тематической модели реального объекта, владение языком мате-
матики как средством коммуникации, организация речи и дея-
тельности. Развивать универсальные умения: интеллектуальные,
организационно-деятельностные и коммуникативные.
Оборудование: компьютер, видеопроектор, экран.
На каждой парте: плотный воздушный шарик, листы белой
неплотной бумаги, газета, вода, две пустые пластмассовые тарел-
ки, три кисточки, клей ПВА.
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
10. МАТЕМАТИКА май 2013 1010
Мотивация и стимулирование
деятельности учащихся
Для мотивации детей к работе учитель делает
краткое сообщение о сфере, демонстрирует ро-
лик, выполненный в среде «Cabri 3D v2».
Ролик состоит из следующих частей:
• Шар — «родственник» круга в простран-
стве . Круг — это часть плоскости, ограничен-
ная окружностью. Окружность – граница круга
(рис. 1).
Рис. 1
• Границей шара является сфера (рис. 2).
Рис. 2
• Поверхность сферы состоит из множества то-
чек. Внутри сферы пусто (рис. 3).
Рис. 3
• Все точки шаровой оболочки удалены на оди-
наковое расстояние от центра сферы (рис. 4).
Рис. 4
Измерения проверяются при динамическом
изменении чертежа: длины радиусов меняются,
но соотношения между ними остаются неизмен-
ными.
Вывод: все точки шаровой оболочки удалены
от ее центра на одинаковое расстояние.
Далее учитель проводит беседу с учащи-
мися на тему «Шарообразные формы вокруг
тебя».
Рассматривает примеры из окружающей сре-
ды, приведенные детьми.
Лук Христофа Белая смородина Одуванчик
Практическая работа
Учитель. Математики, чтобы различить шар,
заполненный внутри, и шаровую поверхность,
полую внутри, ввели термины шар и сфера. Се-
годня мы изготовим модель сферы.
Знакомство учащихся с инструкцией по вы-
полнению практической работы.
Инструкция
по изготовлению бумажной сферы
1. Надуть шарик небольшого размера.
2. Плотно завязать, не допускать, чтобы
он сдулся в дальнейшем.
3. Нарезать куски газеты небольшого раз-
мера.
4. Накладывать намоченные газетные ку-
сочки на поверхность шарика без промежут-
ков (вплотную друг к другу).
5. Нарезать кусочки белой бумаги неболь-
шого размера.
6. Нанести клей на кусочки белой бумаги по
всей поверхности и плотно прижать к шаро-
вой оболочке без промежутков.
7. Удалить воздушный шарик только по-
сле полного высыхания бумажной сферы.
Если не получится достать шарик, лучше
оставить его внутри, чтобы не деформиро-
вать сферу.
Задание для практической работы и инструк-
ция выводятся на экран.
Учащиеся делятся на 7 групп по 3 человека.
Учитель напоминает правила поведения в груп-
пе. Дети в ходе диалога распределяют роли и
обязанности в группе.
Ход работы
Шаг 1. Ученики между собой договаривают-
ся, кто какую работу будет выполнять: надо на-
дуть воздушный шарик, приготовить воду в не-
глубокой посуде, мелко нарезать кусочки газе-
ты.
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
11. 1111 МАТЕМАТИКА май 2013
Шаг 2. Необходимо надуть шарик небольшого
размера и хорошо его завязать, чтобы он в даль-
нейшем не сдулся.
Шаг 3. Кусочки газеты, намоченные в воде,
накладывают на поверхность надутого шарика
как можно плотнее друг к другу. Работу необхо-
димо выполнить достаточно быстро, чтобы ку-
сочки газеты не успели подсохнуть.
Вид шарика, полностью обложенного мокры-
ми кусочками газеты.
Шаг 4. Нарезать кусочки белой тонкой бумаги.
Шаг 5. Клей из тюбика вылить в неглубокую
посуду.
Шаг 6. Шарик обклеить кусочками белой бумаги
поверх газетного слоя, прикладывая их как можно
плотнее к поверхности шарика, так, чтобы уголки
листочков плотно прилегали к ней.
Вот так должна выглядеть бумажная сфера:
ровной и аккуратной.
12. МАТЕМАТИКА май 2013 1212
Шаг 7. После того как клей хорошо высохнет,
развязать воздушный шарик, сдуть его и уда-
лить. Сфера готова.
Изготовленная бумажная сфера используется
в практической работе.
Итог урока
Дети слушают выступления каждой груп-
пы, сравнивают полученные результаты, об-
мениваются впечатлениями, оценивают рабо-
ту групп.
На «отлично» оценивается работа тех групп,
у которых бумажная сфера получилась гладкой,
без искажений.
На «хорошо» или «удовлетворительно» —
тех групп, у которых сфера получилась не очень
гладкой, шарик сдувался во время просушива-
ния и сфера получилась искаженной. Такие сфе-
ры сохраняются с целью использования отдель-
ных их фрагментов в следующей практической
работе.
Учитель благодарит всех ребят за проведен-
ную работу и дружную обстановку во время за-
нятия. Уточняет, что все группы работали как
КОМАНДА, что все – молодцы.
Бумажные сферы, выполненные учениками,
размещаются на выставке в кабинете.
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
Сделать это несложно: надо лишь написать статью и при-
слать ее в редакцию журнала. И еще одно условие — она
должна быть интересна и полезна вашим коллегам.
Требования к оформлению статьи таковы:
Материал должен быть напечатан на компьютере или
на пишущей машинке.
Рисунки должны быть четкими, аккуратными, выполнен-
ными на белой нелинованной или клетчатой бумаге с помо-
щью чертежных инструментов. Если вы хорошо владеете ком-
пьютером, можете воспользоваться для этого программой
Corel Draw.
Рисунки надо пронумеровать, нумерация должна соот-
ветствовать их нумерации в тексте.
Фотографии должны быть цветными. Формат фото-
графий, отпечатанных на бумаге, не менее 10 × 15 см.
Размер цифровых фотографий не менее 800 × 600 пикселей,
формат JPG, качество, используемое при сохранении JPG-
файлов, высокое (high).
Прислать статью можно по почте или по электронной
почте. Всю необходимую для этого информацию вы найде-
те на странице 2 журнала.
Для выплаты гонорара необходимо заполнить автор-
скую карточку.
Приглашаем вас к сотрудничеству и желаем удачи!
Данные автора
Фамилия
Имя
Отчество
Дата рождения
Место рождения
Паспорт
Серия № Когда выдан
Кем выдан
Адрес прописки
Индекс город
Улица
Дом корпус квартира
Адрес проживания
Индекс город
Улица
Дом корпус квартира
Телефон
Номер пенсионного страхового свидетельства
ИНН (можно не указывать)
КАКСТАТЬАВТОРОМ ЖУРНАЛА«МАТЕМАТИКА»?
13. В. ПАРШЕВА,
г. Северодвинск, Архангельская обл.
http://festival.1september.ru/
authors/101-833-510
МАТЕМАТИКАПЛЮС
ИНФОРМАТИКА
Курс информатики представляется дисциплиной с ярко выражен-
ным межпредметным характером. Тесная связь информатики
и математики существует в силу общей тенденции к исполь-
зованию абстракций и символических представлений. Меж-
предметные связи информатики и математики базируются на
теории построения математических и информационных мо-
делей. А это способствует развитию у учащихся активизации
познавательной деятельности, формированию мотивации к
обучению, развитию творческих способностей.
Технология компьютерного моделирования является одной из наи-
более продуктивных технологий современного научного под-
хода, приближает процесс обучения к реальному процессу
познания окружающего мира. Моделирование задач на дви-
жение, на сравнение величин, на работу доступно уже учени-
кам 5–6-х классов, причем делают они это с увлечением.
Работа с графиками, сечениями,
решение исследовательских задач
Неоценимую помощь моделирование на компьютере оказывает
на уроках алгебры при работе с графиками, при решении исследо-
вательских задач.
Приведем фрагмент интегрированного урока алгебры и информа-
тикив9-мклассепотеме«Решениесистемдвухуравненийвторойсте-
пени с двумя неизвестными». Одна из задач этого урока: формирова-
ние понимания решения систем двух уравнений второй степени с по-
мощью графической иллюстрации, выполненной на компьютере.
На доске один ученик решает систему уравнений
2 2
10,
3
x y
xy
⎧ + =⎪
⎨
= −⎪⎩
способом подстановки.
Получил ответ: (3; –1); (–3; 1); (1; –3); (–1; 3).
В это время другой ученик делает на компьютере иллюстрацию.
Выполненная модель дает возможность понять содержательную
сторону решения системы. Координаты точек пересечения окруж-
ности и гиперболы – это пары чисел, которые и являются реше-
ниями данной системы. Ученики отмечают, что окружность и ги-
пербола симметричны относительно начала координат. Точки, со-
ответствующие решениям системы, также симметричны относи-
тельно начала координат.
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИКА май 2013
13
14. МАТЕМАТИКА май 2013 1414
Приведем пример построения модели при ре-
шении задачи исследовательского характера.
Задача-исследование. Система уравнений
2 2
2
4,
,
x y
y x b
⎧ + =⎪
⎨
= +⎪⎩
где b — произвольное число, мо-
жет иметь одно, два, три или четыре решения,
а также может не иметь решений. Выясните
число решений системы в зависимости от зна-
чений b. Проиллюстрируйте каждый случай
графически.
С помощью программы «Живая геометрия»
ученики строят графики (внизу страницы) и де-
лают выводы.
Выводы:
1. Данная система двух уравнений второй сте-
пени с двумя переменными имеет:
— одно решение при b = 2;
— два решения при –2 < b < 2 и при
1
4 ;
4
b = −
— три решения при b = –2;
— четыре решения при
1
4 2;
4
b− < < −
— не имеет решений при
1
4
4
b < − и при b > 2 .
2. Окружность и парабола у = х2
+ а симме-
тричны относительно оси ординат. Точки их пе-
ресечения также симметричны относительно оси
ординат.
В старших классах ученикам приходится при-
менять моделирование при выполнении бо-
лее сложных исследовательских работ. Напри-
мер, при выполнении работы «Асимптоты гра-
фиков дробно-рациональной функции» учени-
це 10-го класса пришлось построить более десят-
ка графиков различных дробно-рациональных
функций. Выполнив ряд преобразований
и вычислив асимптоты графика функции
2
2
3
( ) ,
4
x
y x
x
=
−
ученица получила графическую ил-
люстрацию, которая приведена на следующей
странице.
При b = –1; b = 1
Система имеет два
решения
При b = 2
Система имеет одно
решение
При b = –2
Система имеет три
решения
При b = –3; b = –4
Если
1
4 2,
4
b− < < −
то система имеет
четыре решения
При
1
4
4
b = −
Система имеет два
решения
При b = –5; b = –7
Если
1
4 ,
4
b < −
то система
не имеет решений
При b = 3; b = 5
Если b > 2,
то система
не имеет решений
Данная система двух
уравнений второй сте-
пени имеет не более
четырех решений
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
15. 1515 МАТЕМАТИКА май 2013
Y x( )
3x
2
x
2
4−
:= K x( )
12
x
2
4−
:=
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10
4
2
2
4
6
8
10
12
Y x( )
L x( )
K x( )
x1
x2
При выполнении работ «Сечения куба плоско-
стью» и «Сечения призмы» ученики для иссле-
дования вида сечения в зависимости от выбора
точек, через которые проходит сечение, делают
множество построений с помощью компьютера,
при этом видна динамика построений.
Работа с алгоритмами
Знакомиться с алгоритмами учащиеся начи-
нают еще до изучения информатики. Например,
на уроках математики ученики решают опреде-
ленный класс задач по указанному алгоритму,
составляют алгоритмы по нахождению значе-
ний выражений, составляют программы для вы-
числения на микрокалькуляторе. Информатика
предъявляет другие требования к составлению и
правилам записи алгоритмов.
В математике при решении задач от учащихся
требуется умение оперировать абстрактными об-
разами, что снижает наглядность решения дан-
ных задач. Программирование математических
задач способствует повышению мотивации обу-
чения, решаемые задачи становятся привлека-
тельнее и интереснее.
При решении задач и дальнейшем их програм-
мировании возникает ряд трудностей:
— ученики, как правило, не сразу понимают
смысл записи алгоритма;
— уходит достаточно много времени на то,
чтобы ученик понял, что вычислительное дей-
ствие при составлении алгоритма не только при-
водит к изменению значений каких-то величин,
но и к ветвлению или повторению определенной
серии команд.
Ученикам не всегда понятен тот факт, что на-
писанная программа воспринимается компьюте-
ром формально, а не так, как они имели в виду.
Поэтому для осознания сущности понятия
«алгоритм» используются математические за-
дачи, решение которых осуществляется при по-
мощи алгоритмов. На начальном этапе, в 5–6-х
классах, ученики знакомятся с алгоритмами,
составленными на основе хорошо известных
примеров из их деятельности. На этом уровне
ученики учатся составлять алгоритмы на соот-
ветствующем уровне детализации, полностью
описывая деятельность в правильной после-
довательности шагов ее выполнения. Ученики
должны прийти к пониманию формального ис-
полнения алгоритма, к различию понимания в
способах выполнения одного и того же алгорит-
ма человеком и компьютером. В дальнейшем
учащиеся самостоятельно начинают составлять
алгоритмы с последующей реализацией на ком-
пьютере для решения физических и математи-
ческих задач. На последнем этапе школьники
используют навыки по составлению алгорит-
мов для решения новых задач из различных об-
ластей с проведением соответствующего анали-
за полученного результата. Примером состав-
ления и применения алгоритмов может быть
урок по теме «Решение квадратных уравнений
по формуле его корней». На уроке ученики со-
ставляют и реализуют программу для решения
квадратного уравнения в общем виде. Для бо-
лее осознанного понимания процесса сначала
составляется словесное описание алгоритма, а
затем блок-схема.
1. Ввести a, b, c.
2. Присвоить d = b2
– 4ac.
3. Если d < 0 перейти к 8.
4. Присвоить x1 = (–b – SQRT(d)) / (2*a).
5. Присвоить x2 = (–b + SQRT(d)) / (2*a).
6. Выдать x1, x2.
7. Перейти к 9.
8. Выдать «Действительных решений нет».
9. Закончить.
16. МАТЕМАТИКА май 2013 1616
Ученикам предлагается написать программу
на известном им языке программирования.
Программа решения квадратного уравнения
на языке программирования Pascal имеет вид:
Prograv KwUr;
var
a, b, c: integer;
d, x1,x2: real;
begin
write (‘задай коэффициенты’);
read (a, b, c);
d; b*d – 4*a*c;
if d < 0 then
writeln (‘уравнение не имеет действитель-
ных корней’)
else
begin
x1:= (–b + sgrt (d)/(2*a);
x2:= (–b – sgrt (d)/(2*a);
write (‘корни уравнения равны’);
write (x1:6:3, x2:6:3)
end;
end.
Можно ученикам предложить решить ква-
дратное уравнение с помощью программы «Уни-
версальный математический решатель. Версия
5.0.2.8» (производитель: Бука/MathePhysics
Cjnrseware Ltd, 2007). Тем самым продемон-
стрировать возможности компьютерных про-
грамм для изучения математики.
Моделирование является одним из основных
методов познания. Математическая модель отра-
жает количественные и пространственные свой-
ства объектов, а основным способом представле-
ния знаний об объектах является информацион-
ная модель. Для записи математических моде-
лей используются формулы, уравнения, геомет-
рические образы, набор правил или соглаше-
ний. Применение математических методов зача-
стую является сложным процессом, а примене-
ние компьютера облегчает эту работу. Компью-
терная модель является реализацией математи-
ческой или информационной модели с использо-
ванием компьютера.
На уроках геометрии в 7-м классе при реше-
нии задач на построение с помощью циркуля и
линейки ученики составляют алгоритм реше-
ния, а затем выполняют построение на компью-
тере.
При изучении темы «Правильные много-
угольники» в 6-м классе ученики выполняют на
компьютерах практическую работу по созданию
паркета (мозаики) из правильных многоуголь-
ников.
Такая работа результативна и для математи-
ки, и для информатики.
Подготовка интегрированного урока
Как правило, при подготовке интегрирован-
ного урока нужно выбирать тему по математике
и связывать ее с информатикой.
Назовем темы некоторых таких уроков:
«Задачи на движение» (5-й класс);
«Правильные многоугольники» (6-й класс);
«Пентаграмма глазами математика» (6-й
класс);
Урок-практикум «Решение квадратных урав-
нений» (8-й класс);
«Свойства квадратичной функции» (9-й
класс);
«Зависимость расположения графика квадра-
тичной функции от значений коэффициентов»
(9-й класс);
«Решение систем двух уравнений второй сте-
пени с двумя переменными» (9-й класс).
Ученикам нравятся такие уроки. Наглядность
дает более глубокое усвоение материала. У уча-
щихся появляется стимул научиться решать ма-
тематические задачи с помощью компьютерных
программ. Некоторых школьников всерьез заин-
тересовывают занятия программированием.
Нашим детям жить в компьютеризированном
обществе, и они должны уметь применять ком-
пьютер в любых жизненных ситуациях. Но это
вовсе не значит, что уроки с применением ком-
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
b sqrt(d)
x1
2a
− −
=
b sqrt(d)
x2
2a
− +
=
да
нет
17. 1717 МАТЕМАТИКА май 2013
пьютера всегда можно назвать интегрированны-
ми. Хотелось бы, чтобы компьютер был в любом
кабинете и, являясь рабочим инструментом пе-
дагога, многократно усиливал эффективность
учебного процесса. Если компьютер лишь ин-
струмент, то урок вряд ли интегрированный. Ин-
тегрированный урок обязан предполагать взаи-
мопроникновение математики в информатику и
наоборот. А для этого должно произойти согла-
сование материала, изучаемого на уроке одного
предмета и другого. Только в этом случае от та-
кого урока будет толк (в смысле интегрирован-
ности, то есть видения учеником взаимосвязи).
Будет ли урок интегрированным, если учитель
информатики применяет материал из математи-
ки? Да, даже если в его подготовке учитель ма-
тематики участия не принимал. А если учитель
математики на уроке применил CD по предме-
ту? Здесь скорее речь идет именно об использо-
вании компьютера на уроке. Нужно обеспечить
действительную связь между предметами.
В обычном кабинете информатики 10–15 ком-
пьютеров. Чтобы все ученики имели возмож-
ность на уроке поработать на компьютере, мож-
но организовать групповую или индивидуаль-
ную работу с целым классом, поочередно меняя
учащихся за компьютером в течение урока.
Интеграцию информатики в математику и ма-
тематики в информатику можно выполнить при
изучении многих вопросов обеих дисциплин.
Но стоит помнить, что «интегрирование пред-
метов» и «применение компьютерных техноло-
гий на уроках» математики — это разные поня-
тия, и учителю нужно их различать и применять
в зависимости от цели и задач урока. И еще, ко-
нечно, нужна большая и серьезная подготовка
к каждому уроку, согласованность в действиях
учителей, ведущих урок.
Урок по теме
«Решение систем двух уравнений
второй степени с двумя переменными»
Цели: закрепление решения систем двух урав-
нений второй степени с двумя переменными спо-
собом подстановки, сложения; формирование
понимания решения систем двух уравнений вто-
рой степени с помощью графической иллюстра-
ции, выполненной на компьютере.
Учебник: Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Буни-
мович Е.А. и др. Алгебра. 9 класс. Учебник для
общеобразовательных учреждений. — М.: Про-
свещение, 2004 и посл. изд.
Ход урока
Учитель математики. Сегодня мы прове-
дем урок-бенефис одной системы двух уравне-
ний второй степени с двумя переменными. Из
курса алгебры 8-го класса вам известны два ал-
гебраических способа решения систем двух ли-
нейных уравнений: способ подстановки и способ
сложения. Известен также и графический спо-
соб решения таких систем. В этом учебном году
вы научились решать более сложные системы,
в которых только одно уравнение линейное. Та-
кую систему всегда можно решить способом под-
становки. На прошлом уроке вы решали систе-
мы, в которых оба уравнения второй степени.
Вообще говоря, решение таких систем — задача
довольно трудная, но в некоторых случаях воз-
можны простые решения. Сегодня на уроке мы
попытаемся разобраться в некоторых способах
решения таких систем уравнений второй степе-
ни. Обращаю ваше внимание на то, что одну и ту
же систему мы будем решать разными способа-
ми. Попробуйте оценить каждый способ с раз-
ных позиций.
Учитель информатики. Группа учеников вы-
полняет построение графиков на компьютере.
Этим ученикам надо подготовить графическую
иллюстрацию способов решения системы двух
уравнений второй степени с двумя переменными.
Учитель математики. У каждого из вас
карточки с системой двух уравнений второй сте-
пени. Ваша задача: решить эту систему разны-
ми способами. Задание 1: решите систему спо-
собом подстановки. При выполнении этого зада-
ния вам будут помогать консультанты — твор-
ческая группа, которая помогала нам готовить
данный урок. Можете пользоваться учебником,
п. 3.5, пример 4: «Для тех, кому интересно. Ре-
шение систем уравнений второй степени».
(Работа дается в четырех вариантах, ниже
приведен один из них.)
Задание 1. (3 мин.) Решите систему уравне-
ний:
2 2
5,
2.
x y
xy
⎧ + =⎪
⎨
= −⎪⎩
Ответы: (1; –2); (–1; 2); (–2; 1); (2; –1).
(Правильность выполнения работы проверя-
ют консультанты, при необходимости оказы-
вают помощь.)
Задание 2. (3 мин.) На доске следующую си-
стему уравнений
2 2
10,
3
x y
xy
⎧ + =⎪
⎨
= −⎪⎩
решает …
Получаетответ:(3;–1);(–3;1);(1;–3);(–1;3).
Работа с учебником. Автор разбирает решение
системы
2 2
10,
3.
x y
xy
⎧ + =⎪
⎨
= −⎪⎩
Графическая иллюстрация
18. МАТЕМАТИКА май 2013 1818
к решению, сделанная автором учебника, дает
возможностьпонятьсодержательнуюсторонуре-
шения системы. Координаты точек пересечения
окружности и гиперболы — это пары чисел, ко-
торые и являются решениями данной системы.
Задание 3. (10 мин.) Вернемся к системе, ре-
шенной на доске. Посмотрите на нее вниматель-
но. Нельзя ли решить другим способом?
(Один ученик решает на доске.)
Данная система «распадается» на две более
простые:
2,
3
x y
xy
+ =⎧
⎨
= −⎩
и
2,
3,
x y
xy
+ = −⎧
⎨
= −⎩
которые легко решаются способом подстановки.
Решения этих систем удовлетворяют исходной
системе, это можно проверить подстановкой, и
других решений данная система не имеет.
Графическая иллюстрация. Покажем в одной
системе координат графическое решение си-
стем
2,
3
x y
xy
+ =⎧
⎨
= −⎩
и
2,
3.
x y
xy
+ = −⎧
⎨
= −⎩
Каждая из прямых
x + y = 2 и x + y = –2 пересекает гиперболу
3
y
x
= −
в двух точках, всего четыре точки пересечения.
Данная система имеет четыре решения. Это те
же точки, что получились и при пересечении ги-
перболы и окружности.
Задание 4. (7 мин.) Продолжим поиск спосо-
бов решения.
Решение.
2 2
10,
3,
x y
xy
⎧ + =⎪
⎨
= −⎪⎩
2 2
10,
2 6.
x y
xy
⎧ + =⎪
⎨
= −⎪⎩
При сложении двух уравнений получим
(x + y)2
= 4, а при вычитании — (x – y)2
= 16.
Тогда
2
2
( ) 16,
( ) 4;
x y
x y
⎧ − =⎪
⎨
+ =⎪⎩
4,
2;
x y
x y
− = ±⎧
⎨
+ = ±⎩
4
4,
2
2.
x y
x y
x y
x y
− =⎧⎡
⎪⎢ − = −⎪⎣
⎨
+ =⎡⎪
⎢⎪ + = −⎣⎩
Эта система «распадается» на четыре системы
линейных уравнений:
4,
2,
x y
x y
− =⎧
⎨
+ =⎩
4,
2,
x y
x y
− =⎧
⎨
+ = −⎩
4,
2
x y
x y
− = −⎧
⎨
+ =⎩
и
4,
2.
x y
x y
− = −⎧
⎨
+ = −⎩
Решения этих систем дают четыре решения
данной системы.
Графическая иллюстрация. Если в одной си-
стеме координат построить эти четыре прямые,
то получаются те же точки пересечения, что и в
предыдущих решениях.
Сегодня на уроке каждый из вас решил систе-
му уравнений способом подстановки.
Задание 5. (10 мин.) Еще один, можно ска-
зать, универсальный способ — способ заме-
ны переменных. Решим систему уравнений
2 2
10,
3
x y
xy
⎧ + =⎪
⎨
= −⎪⎩
этим способом.
Решение. Пусть y = mx,
2 2 2
10,
3,
x m x
x mx
⎧ + =⎪
⎨
⋅ = −⎪⎩
2 2 2
2
10,
3.
x m x
mx
⎧ + =⎪
⎨
= −⎪⎩
Подставив в первое уравнение 2 3
,x
m
= −
получим:
3
3 10,m
m
− − = –3m2
+ 10m + 3 = 0.
Тогда
1
,
3
m = − m = –3. Отсюда x2
= 1 и x2
= 9.
Значит, x = ±1, y = å3 и x = ±3, y = å1.
Ответ. (3; –1), (–3; 1), (1; –3), (–1; 3) — реше-
ния данной системы уравнений.
Учитель информатики. В течение урока уче-
ники, работая на компьютере, решили систему
всеми рассмотренными алгебраическими спо-
собами и сделали к ним графические иллюстра-
ции.
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
19. 1919 МАТЕМАТИКА май 2013
(Иллюстрации на компьютере демонстриру-
ются учащимся.)
Подведение итогов
Учащиеся решили системы двух уравнений
методом подстановки, познакомились с но-
вой идеей двух способов, когда данная систе-
ма «распадается» на 2, 4 и более простых си-
стемы.
Увидели, что к каждому способу решения мож-
но сделать графическую иллюстрацию.
Убедились, что способом замены переменной
можно решать и системы уравнений.
Учитель математики. Обратите внима-
ние, что разными способами мы решали систе-
му одного типа. Решение систем двух уравне-
ний второй степени с двумя неизвестными —
это интересная, хотя и трудная задача, разви-
вающая творческое математическое мышление.
Оценку вашей работы на уроке дадут консуль-
танты. Домашнее задание записано на доске и
на вашей карточке, выберите посильную для
себя работу.
Задание на дом
1. Для тех, кто любит математику: творческий
проект или исследовательская работа «Способы
решения систем двух уравнений второй степени
с двумя переменными» (может быть групповая
работа) — срок 2 недели. Консультация по про-
екту (число и время).
2. Домашняя контрольная работа (срок 3
дня).
а) Решить систему уравнений
2
3,
3
x y
x y
⎧ − =⎪
⎨
+ =⎪⎩
гра-
фически.
б) Решить систему уравнений
2 2
3 12,
6
x y
xy
⎧ − =⎪
⎨
=⎪⎩
методом подстановки.
в) Решить систему уравнений
2 2
2 2
2 4,
2 12
x y
x y
⎧ − = −⎪
⎨
+ =⎪⎩
методом сложения.
P.S.Проектно-исследовательскиеработы«След-
ствие ведут графики» и «Способы решения систем
двух уравнений с двумя переменными второй сте-
пени» , выполненные учениками, были представ-
лены на школьную научно-практическую конфе-
ренцию, на городскую конференцию школьни-
ков «Ученые будущего» и региональную научно-
практическую конференцию школьников, прово-
димую в рамках студенческих Ломоносовских чте-
ний математическим факультетом Поморского го-
сударственного университета им. М.В. Ломоносо-
ва, где заняли призовые места.
Литература
1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А.
и др. Алгебра. 9 класс. — М.: Просвещение, 2004
и посл. изд.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра.
Дополнительные главы к школьному учебнику
9 класса. Учебное пособие для учащихся школ
и классов с углубленным изучением математи-
ки. — М.: Просвещение, 1997 и посл. изд.
3. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Сурвилло Г.С.
и др. Алгебра. 8 класс. — М.: Просвещение,
2006.
4. Мордкович А.Г. Алгебра. 9 кл. — М.: Мне-
мозина, 2003.
20. 20МАТЕМАТИКА май 2013
В. ЛЮБИМОВА,
adelly@yandex.ru,
Колпино, Санкт-Петербург
Фото предоставлены автором
ЗАДАЧИ
НАДВИЖЕНИЕ?
БИАТЛОН!
Сюжетные задачи нередко вызывают у уча-
щихся затруднения и, как следствие, снижение интереса к их ре-
шению. Для активизации учащихся в процессе решения задач
можно использовать различные методические приемы: элемен-
ты соревнования, групповую работу, взаимообучение, взаимокон-
троль и т.п. Также необходимо создание ситуаций успеха, особен-
но при работе в классе с невысоким уровнем математической под-
готовки.
В качестве примера рассмотрим прием организации группо-
вой работы с элементами соревнования — игру «Математический
биатлон», разработанную совместно с учащимися 10-го класса
оборонно-спортивного профиля. Элемент соревнования построен
на аналогии с соответствующим видом спорта: необходимо решить
предложенные задачи не только правильно, но и как можно бы-
стрее.
Эта игровая модель впервые была использована на занятии
элективного курса, посвященного подготовке к ЕГЭ по математи-
ке. Элективный курс имеет модульную структуру, и один из мо-
дулей посвящен решению сюжетных задач (в частности, три заня-
тия по теме «Задачи на движение»). Так как класс имеет оборонно-
спортивный профиль, то обращение к спортивной тематике не слу-
чайно, при этом создаются условия для развития общекультурных
компетенций (знакомство с правилами реальной спортивной игры
и их интерпретация на учебном материале).
Осуществление данной игровой модели создает условия для
развития метапредметных умений, установленных Федераль-
ным государственным образовательным стандартом среднего
(полного) общего образования.
На предшествующем игре занятии учащимся дается задание: проа-
нализировать интернет-банк задач (прототипы задач В4, В13), выбрав
задачи по заданной теме (в данном случае — «Задачи на движение»),
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:СОВРЕМЕННЫЙУРОКМАТЕМАТИКИ
Объяснение правил игры Консультанты работают над заданием
К материалу есть приложение на CD-диске.
21. 2121 МАТЕМАТИКА май 2013
выделить основные типы задач, попробовать их по-
решать, чтобы определить возможные затрудне-
ния. Мотивация подкрепляется тем, что чем боль-
ше задач учащиеся смогут решить самостоятельно
(с привлечением любых доступных источников),
тем лучше они подготовятся к следующему заня-
тию, а значит, покажут лучшие результаты.
На этом этапе создаются условия для разви-
тия информационных умений: поиск нужной
информации по заданной теме в источниках раз-
личного типа, отделение основной информации
от второстепенной, умение анализировать и си-
стематизировать информацию, развернуто обо-
сновывать суждения, давать определения.
Дляучастиявигреколлективклассаделитсяна
команды по 4–6 человек (в зависимости от коли-
чества учащихся в классе). Групповая работа дает
возможность учащимся с низким уровнем подго-
товки получить консультацию у одноклассников,
что полезно и для тех, кто получает ответ на свой
вопрос (развивается умение грамотно формули-
ровать вопрос, чтобы получить конкретный от-
вет; учащиеся меньше стесняются показать свое
незнание, чем при обращении с вопросом к учи-
телю), и для тех, кто объясняет (также развива-
ется умение грамотно формулировать мысль,
воспитывается ответственность за правильность
объяснения). Таким образом, создаются условия
для развития коммуникативных умений: умения
корректно отстаивать свою точку зрения и ува-
жать чужое мнение, умения аргументированно и
понятно излагать свои мысли.
Прием организации групповой работы в фор-
ме соревнования также создает условия для раз-
вития рефлексивных умений: умения планиро-
вать работу, принимать решения, нести ответ-
ственность за результат своей деятельности. Пра-
вила игры таковы, что каждая команда должна
выбрать оптимальную стратегию: или распреде-
лить задачи между членами группы и сдать отве-
ты сразу же, как только решены все задачи, чтобы
результат по времени был лучшим, или же потра-
тить время, но проверить решение друг у друга во
избежание ошибок. Такая ситуация воспитыва-
ет ответственность каждого участника за свое ре-
шение (ведь от этого зависит общий результат), а
также навыки самооценки и самоконтроля (на-
сколько можно доверять решению, выполненно-
му учащимся, без дополнительной проверки).
При организации деятельности учащихся на за-
нятии минимизируется роль учителя (на данном
занятии задачи еще предлагались учителем, но в
идеале и тренировочные задания готовят сами уча-
щиеся): в роли консультантов выступают учащие-
ся, проверяют ответы, разбирают на доске решения
задач также учащиеся. Учитель наблюдает за про-
цессом, вмешиваясь лишь при необходимости.
Взаимообучение способствует развитию ма-
тематической речи учащихся, дает им возмож-
ность попробовать себя в роли учителя, и этот
опыт побуждает их более серьезно относиться к
изучаемому материалу.
Запись итогового ответа в специальный бланк
подготавливает учащихся к выполнению зада-
ний с кратким ответом в формате ЕГЭ. При этом
требуется точно отвечать на вопрос задачи, что
способствует развитию внимательности.
В качестве домашнего задания учащимся
предлагается записать в свою тетрадь решение
всех задач, разобранных на занятии, и решить
по одной аналогичной задаче из открытого бан-
ка, что помогает лучшему усвоению материала.
В конце занятия анализируются допущенные
ошибки, обсуждается, как можно было этих оши-
бок избежать. Акцентирование внимания уча-
щихся на допущенных ошибках способствует со-
знательному усвоению материала и снижает ко-
личество подобных ошибок в дальнейшем.
Таким образом, занятие строится на основе
деятельностного подхода в соответствии с дей-
ствующим стандартом среднего (полного) обще-
го образования.
Заметим, что прием «Биатлон» может исполь-
зоваться не только на занятиях элективного кур-
са, но и на уроках математики, например, при
решении геометрических задач.
Команды дают отчет Подведение итогов игры
