Matematika

1september.ru
М АТ Е М АТ И К А Подписка: Роcпечать - 32030 (бумажная версия), 26113 (электронная); Почта России - 79073 (бумажная версия), 12717 (электронная)
июнь
2013
mat.1september.ruИЗДАЕТСЯ С 1992 г.
Методика
На ошибках
учатся
Тема номера ИКТПрактикум
Векторные методы
решения задач
по стереометрии
№6 (744)
Многообразие
видов
деятельности
Рецепт апплета
с параметром
с. 18 с. 27 с. 36
Фонтан «Шишка», с. 64

АДРЕС РЕДАКЦИИ И ИЗДАТЕЛЯ:
ул. Киевская, д. 24, Москва, 121165
Телефон/ факс: (499) 249-3138
Отдел рекламы: (499) 249-9870
Сайт:1september.ru
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ПОДПИСКА:
Телефон: (499) 249-4758
E-mail: podpiska@1september.ru
Методический журнал для учителей математики
МАТЕМАТИКАМАТЕМАТИКА
Главный редактор: Л. Рослова
Отв. секретарь: Т. Черкавская
Редакторы: П. Камаев, О. Макарова, И. Коган
Дизайн макета: И. Лукьянов
Дизайн обложки: Э. Лурье
Корректор: Л. Громова
Верстка: Д. Кардановская
Издается с 1992 г. Выходит один раз в месяц
РЕДАКЦИЯ:
ГАЗЕТА ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА:
Первое сентября – Е. Бирюкова
ПОДПИСНЫЕ ИНДЕКСЫ:
Роспечать: бумажная версия – 32030; электронная версия – 26113;
Почта России: бумажная версия – 79073; электронная версия – 12717
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ
«ПЕРВОЕ СЕНТЯБРЯ»
Главный редактор:
Артем Соловейчик
(генеральный директор)
Коммерческая деятельность:
Константин Шмарковский
(финансовый директор)
Развитие, IT и координация проектов:
Сергей Островский
(исполнительный директор)
Реклама, конференции и техническое
обеспечение Издательского дома:
Павел Кузнецов
Производство:
Станислав Савельев
Административно-хозяйственное
обеспечение: Андрей Ушков
Педагогический университет:
Валерия Арсланьян
(ректор)
ЖУРНАЛЫ ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА:
Английский язык – А. Громушкина,
Библиотека в школе – О. Громова,
Биология – Н. Иванова,
География – О. Коротова,
Дошкольное
образование – Д. Тюттерин,
Здоровье детей – Н. Сёмина,
Информатика – С. Островский,
Искусство – М. Сартан,
История – А. Савельев,
Классное руководство
и воспитание школьников –М. Битянова,
Литература – С. Волков,
Математика – Л. Рослова,
Начальная школа – М. Соловейчик,
Немецкий язык – М. Бузоева,
Русский язык – Л. Гончар,
Спорт в школе – О. Леонтьева,
Технология – А. Митрофанов,
Управление школой – Е. Рачевский,
Физика – Н. Козлова,
Французский язык – Г. Чесновицкая,
Химия – О. Блохина,
Школьный психолог – И. Вачков
МАТЕМАТИКА июнь 2013
НА УРОКЕ / ОТКРЫТЫЙ УРОК
Запись и чтение десятичных дробей
Л. Виноградова
Степень с натуральным показателем
М. Макоева
Построение графика
линейной функции
Л. Горина
Четырехугольники. Обобщающий урок
Ф. Рахимова
МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ / ПРОЕКТ
Решение с иллюстрацией
О. Шалина
МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ / МЕТОДИКА
Две задачи по курсу
наглядной геометрии
Т. Горшенина, К. Горшенин
На ошибках учатся
Е. Калинина, Н. Левинтова
В УЧИТЕЛЬСКОЙ / ОПЫТ
Работаем с одаренными детьми
Т. Овчаренко
МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ / ПРАКТИКУМ
Тригонометрия: однородные уравнения
второй степени
Д. Бабаян
Векторные методы решения задач
по стереометрии
А. Пятерикова, И. Шведова
МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ /
ЭКЗАМЕНЫ
Пробуем, и еще раз пробуем
П. Семенов
Система и критерии
ее оценивания
В. Панферов, П. Семенов
В КОМПЬЮТЕРНОМ КЛАССЕ /
ИНСТРУМЕНТАРИЙ
Рецепт апплета с параметром
А. Азевич
ПОСЛЕ УРОКА /
ОЛИМПИАДЫ, КОНКУРСЫ,
ТУРНИРЫ
Олимпиада
«Ломоносов-2012».
Заключительный тур
В. Галатенко, С. Панферов,
И. Сергеев, В. Тарасов,
В. Ушаков, В. Чирский,
И. Шейпак
ПОВЫШЕНИЕ КВАЛИФИКАЦИИ /
ЛЕКТОРИЙ
Технологии решения задач:
Лекция 13. Решение
тригонометрических уравнений
без анализа множества корней
В. Дятлов
В БИБЛИОТЕКЕ/
СТАТЬИ НА CD
Рефераты электронных публикаций
ПОСЛЕ УРОКА /
В КЛАДОВОЙ ГОЛОВОЛОМОК
Встреча диогеновцев
Н. Авилов
Магический шестиугольник
Н. Авилов
В КАБИНЕТЕ МАТЕМАТИКИ /
НА СТЕНД
Фонтан-шишка
К материалам, обозначенным этим символом, есть приложение на CD-диске.
Распространяется по подписке
Цена свободная Тираж 33 772 экз.
Тел. редакции: (499) 249-3460
E-mail: mat@1september.ru
Сайт: mat.1september.ru
УЧРЕДИТЕЛЬ: ООО «ЧИСТЫЕ ПРУДЫ»
ЗарегистрированоПИ№ФС77-44335от21.03.11
в Министерстве РФ по делам печати
Подписано в печать: по графику 14.05.13,
фактически 14.05.13 Заказ №_________
Отпечатано в ОАО «Первая Образцовая
типография» филиал «Чеховский печатный двор»
ул. Полиграфистов, д. 1, Московская область,
г. Чехов, 142300; Сайт: www.chpd.ru;
E-mail: sales@chpk.ru; факс: 8(496)726-54-10,
8(495)988-63-76
ВНОМЕРЕ
36
344
6
8
10
13
14
18
22
23
27
32
40
45
54
56
61
64
ТЕМА НОМЕРА: МНОГООБРАЗИЕ ВИДОВ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

33 МАТЕМАТИКА июнь 2013
ПОЧУВСТВУЙТЕ
МАТЕМАТИКУ!Л. РОСЛОВА
В старом-старом фильме «Весна»
был персонаж. Персонаж этот подрабатывал экспертом на
киностудии, снимавшей фильм о работе ученых. Он пока-
зывал кинематографистам, как работает ученый. Все про-
сто: сел, задумался и открыл.
Как часто нам демонстрируют фильмы, созданные при
участии таких вот шарлатанов!
Но бывают и счастливые исключения. Воспоминания
эти навеяны были новым документальным фильмом «Чув-
ственная математика», в котором шесть крупных матема-
тиков современности из разных стран мира рассказывают
о своей работе. Причем они не пытаются объяснить зрите-
лю того, что не всегда могут понять даже их коллеги, рабо-
тающие в иных отраслях математики. Они пытаются дать
зрителю почувствовать математические идеи, над которы-
ми размышляют. Идея передачи этой информации через
ассоциации с органами чувств — зрение, слух, вкус, обо-
няние, осязание, чувство равновесия, найденная режиссе-
ром фильма Екатериной Еременко, позволила объединить
в единое целое шесть самостоятельных новелл. Не все
удается понять, однако, и математикам не всегда удается
адекватно передать суть. Но фильм позволяет, пусть и на
короткое время, проникнуть в удивительный мир матема-
тики, воспринять его так, как это делают его герои. Удиви-
тельно красивый фильм о красивых людях.
Фильм уникален. Он стал возможен только благодаря
уникальности режиссера: прежде режиссерского факуль-
тета ВГИК, Екатерина Еременко закончила мехмат МГУ. От-
сюда и достоверность каждого эпизода.
Главным для меня был вопрос: что дает математика пре-
данным ей рыцарям? Я нашла на него ответ: свободу. Сво-
боду мысли и свободу творчества. Они сами создают обра-
зы, понятия и описывают законы их взаимодействия.
Фильм был с успехом показан на Московском кино-
фестивале летом прошлого года. Сейчас он вышел в про-
кат (прокат осуществляет телеканал 24_DOC), что само по
себе для документального кино необычно. Но важно, что
на него идет зритель. Я приглашаю и вас посмотреть его,
показать своим ученикам.
За информацией обращайтесь: www. 24doc.ru/
ColorsOfMath; ekozhanova@nks-media.ru

Л. ВИНОГРАДОВА,
г. Петрозаводск, Республика Карелия ЗАПИСЬИЧТЕНИЕ
ДЕСЯТИЧНЫХДРОБЕЙ
Введение десятичных дробей, обучение их чтению и записи — один из са-
мых трудных и важных разделов курса математики 5–6-х классов.
Логика предъявления материала играет здесь решающую роль.
Пропуск какого-либо звена рассуждения влечет недопонимание
материала учащимися. Предлагаю свой вариант введения в тему,
он может быть использован при обучении по любому учебнику.
Этап 1. Актуализация знаний
1. Рассмотрим с учащимися любое натуральное число, напри-
мер, 5237. Запишем его в таблицу разрядов и классов.
Классы Тысяч Единиц
Разряды сотни десятки единицы сотни десятки единицы
5 2 3 7
Далее получим ответы на следующие вопросы:
— Во сколько раз единица из разряда единиц меньше единицы из
разряда десятков, то есть меньше десятка, почему? Сколько единиц
получится, если раздробить единицу из разряда десятков?
— Во сколько раз единица из разряда десятков, то есть один де-
сяток, меньше единицы из разряда сотен, то есть одной сотни?
Сколько десятков получится, если сотню раздробить в десятки?
Аналогичные рассуждения при необходимости проведем отно-
сительно следующих разрядов. Далее учитель просит учащихся
сформулировать общий вывод относительно единиц двух рядом
стоящих разрядов: какая больше, какая меньше и во сколько раз.
Этот вывод следует повторить не один раз.
2. Повторяем с учащимися основное свойство дроби и просим
применить его для сокращения дробей, например, таких:
2
,
4
10
,
100
100
...
10 000
3. Выясняем с учениками:
Какой результат получим, если единицу разделить на десять
равных частей? Какой результат получим, если
1
10
разделить на
десять равных частей? На сколько частей разделится единица,
если каждую десятую разделим на 10 равных частей? Какой ре-
зультат получим, если
1
100
разделим на десять равных частей?
При этом рассуждения подкрепляем рассмотрением деления
круга или отрезка на десять и более равных частей.
Этап 2. Мотивация
На этапе мотивации изучения новой темы учащиеся вместе с учи-
телем вспоминают о системе счисления, использующей римскую ну-
мерацию, вспоминают систему счисления народов майя, в которой
подсчет производится пятками, и основной принцип десятичной си-
стемы счисления; почему она называется десятичной и почему ее
можно назвать позиционной, а римскую нельзя.
5–6 классы
Л. ВИНОГРАДОВА,
г. Петрозаводск, Республика Карелия
4
НАУРОКЕ/ОТКРЫТЫЙУРОК
ТЕМАНОМЕРА:МНОГООБРАЗИЕВИДОВДЕЯТЕЛЬНОСТИ

В какой системе, спрашивает учитель, проще
сложить числа XVI + XXXIX, или 16 + 39, в рим-
ской или десятичной. Поэтому же проще сло-
жить две дроби (например,
1 1
4 5
+ ), если они бу-
дут записаны в десятичной системе счисления.
С записью некоторых дробей в десятичной систе-
ме счисления мы сегодня и познакомимся.
Этап 3. Введение правил
Новый материал вводим, подводя итог преды-
дущего разговора, получая ответы на вопросы:
Какая доля единицы меньше самой единицы в
10 раз? Какая доля единицы меньше одной деся-
той в 10 раз? Какая доля единицы меньше одной
сотой в 10 раз? Ответы записываем на доске:
1
10
меньше 1 в 10 раз;
1
100
меньше
1
10
в 10 раз;
1
1000
меньше
1
100
в 10 раз.
Устанавливаемсучащимися,какпродолжитьта-
блицу внизу страницы, чтобы поместить в нее дроб-
ную часть числа и чтобы соблюдалась та же законо-
мерность, которая имела место для натуральных
чисел, когда из двух единиц рядом стоящих разря-
довправаябылав10разменьшелевой.Какпродол-
жить таблицу? Какие доли единицы будут располо-
жены справа от единицы? Продолжаем таблицу.
Выясняем далее, как во вновь полученную та-
блицу записать число
237
5 .
1000
Для этого предста-
вим его в виде суммы:
237 200 30 7 200 30 7
5 5 5
1000 1000 1000 1000 1000
+ +
= + = + + + =
2 3 7
5 .
10 100 1000
= + + +
Впишем это число в таблицу, выяснив ме-
сто цифр 2, 3 и 7 в этой таблице. Теперь это чис-
ло можно записать без знаменателя, записывая
цифры друг за другом. Но вначале надо догово-
риться, как отделить целую часть от дробной.
Получаем запись: 5,237. Сообщаем учащимся,
что такая запись числа называется десятичной
дробью, а цифры, которые стоят после запятой,
называются десятичными знаками этой дроби.
Читаем число, обращаясь к первоначальной
записи:
237
5 .
1000
Рассмотрим еще один пример, варьируя коли-
чество знаков после запятой:
24 24 20 4 20 4
15 15 15 15
100 100 100 100 100
+
= + = + = + + =
2 4
15 .
10 100
= + +
На основании двух примеров делаем вывод,
что дроби, имеющие в знаменателе единицу с ну-
лями, можно записывать без знаменателя.
Этап 4. Осознание правил
Рассмотрим далее особые случаи в записи де-
сятичных дробей:
1)
307 307 300 7 300 7
5 5 5 5
1000 1000 1000 1000 1000
+
= + = + = + + =
3 7 3 0 7
5 5 5,307;
10 1000 10 100 1000
= + + = + + + =
2)
237 237 200 30 7
5 5 5 ...
10 000 10 000 10 000
+ +
= + = + = =
2 3 7 0 2 3 7
5 5
100 1000 10 000 10 100 1000 10 000
= + + + = + + + + =
= 5,0237;
3)
82 82 82 8 2
0 0 0 0,82;
100 100 100 10 100
= = + = + + =
4)
82
... 0,082.
1000
= =
Выпишем отдельно результаты вычислений:
237
5 5,237;
1000
=
237
5 5,0237;
10 000
=
24
15 15,24;
100
=
307
5 5,307;
1000
=
82
0,82;
100
=
82
0,082.
1000
=
С помощью этих записей выясняем, какую зако-
номерностьпризаписидробей,содержащихвзнаме-
нателе единицу с нулями, без знаменателя, то есть в
видедесятичнойдроби,можнозаметить.Выясняем,
что число цифр после запятой в записи числа в виде
десятичной дроби равняется количеству нулей в за-
писи этого числа обыкновенной дробью. Выясняем
также, как можно уравнять число нулей в знамена-
теле этой дроби и число цифр в ее числителе.
Встает вопрос о выполнении обратного дей-
ствия: имеем десятичную дробь (например,
6,014). Нужно ее прочитать. Как выполнить эту
операцию? Сколько нулей было в записи знаме-
нателя этой дроби, когда она была записана в
виде обыкновенной? Получаем правило чтения.
Этап 5. Закрепление
Далее следует закрепление правил записи и
чтения десятичных дробей.
Классы Тысячи Единицы Дробная часть
Разряды сотни десятки единицы сотни десятки единицы десятые сотые тысячные

М. МАКОЕВА,
с. Плановское,
Кабардино-Балкарская Республика
«СТЕПЕНЬС
НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ»
УРОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
С ЭЛЕМЕНТАМИ ИССЛЕДОВАНИЯ
Цели урока:
— выработка навыков применения свойств степени с натуральным
показателем;
— формирование познавательного интереса учащихся к различным
аспектам математической деятельности, развитие их творче-
ской активности;
— развитие исследовательских навыков.
Ход урока
Актуализация опорных знаний
(в форме интеллектуальной игры «Счастливый случай»)
Задание 1-му ряду
1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1,
называется…
2. Степень отрицательного числа с четным показателем есть
число… [Положительное.]
3. Квадрат любого числа есть число…
[Положительное или 0.]
4. При делении степеней с одинаковыми основаниями по-
лучаем…
5. При возведении в степень произведения…
6. Как называют вторую степень числа а и почему?
7. Назовите значения степеней числа 2 от единицы до десяти.
Задание 2-му ряду
1. Степенью числа а с показателем 1 называется…
2. Степень отрицательного числа с нечетным показателем есть
число…
[Отрицательное.]
3. При умножении степеней с одинаковыми основаниями по-
лучаем…
4. Степень числа, не равного нулю, с нулевым показателем рав-
на…
5. При возведении степени в степень…
6. Как называют третью степень числа а и почему?
7. Назовите значение степеней числа 3 от единицы до пяти.
Составление задач по схемам и таблицам
Сформулировать условие и требование задачи, закодированные
в данных схемах или таблицах.
7 класс
Учебник
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.,
Нешков К.И. и др. Алгебра.
7 класс / Под. ред. С.А. Теляков-
ского. — М.: Просвещение.
6

1.
[Представить число 81
в виде степени с основаниями:
–3, 3, –9, 9.]
2.
[Представить число 64 в виде
степени с заданными
основаниями или степенями.]
3.
у6
у у5
[Представить выражение у6
в виде произведения двух
степеней с основаниями у.]
4.
[1) Представить выражение а36
в виде степени с основанием:
а) а2
; б) а3
;
2) Найти выражение, девятая
степень которого равна а36
.]
Самостоятельная работа
(с последующей самопроверкой)
Двое учащихся работают у перекидной доски,
остальные на месте.
Вариант 1
1. Запишите в виде степени:
а) а5
æа7
; б) х10
: х5
;
в) (а5
)2
; г) (аb)5
.
2. Найдите значение выражения:
а) 1 – 5х2
при х = –4; б)
2 5
7
25 5
.
5
⋅
Вариант 2
1. Запишите в виде степени:
a) 25
æ23
; б) 58
: 56
;
в) (32
)4
; г) 27
æ57
.
2. Найдите значение выражения:
а) 2а3
при а = –4; б)
15
9 2
3
.
3 9⋅
Повторение и развитие
1. Верно ли утверждение:
а) Квадрат натурального числа может оканчи-
ваться любой цифрой. [Нет.]
б) Куб натурального числа может оканчивать-
ся любой цифрой. [Да.]
в) Четвертая степень натурального числа мо-
жетоканчиватьсятолькооднойизцифр:0,1,5,6.
[Да.]
г) Пятая степень натурального числа оканчи-
вается той же цифрой, что и само число. [Да.]
2. Какой вывод можно сделать, глядя на эту
таблицу?
п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
п2
0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
п3
0 1 8 7 4 5 6 3 2 9
п4
0 1 6 1 6 5 6 1 6 1
п5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
п6
0 1 4 9 6 5 6 9 4 1
3.Чтоможносказатьпростепеничисла5,числа6?
4. Что можно сказать про последние цифры в
записи степени целого числа?
[Они периодически повторяются.]
5. Какой цифрой оканчивается:
а) 52003
; б) 42002
?
[а) 5, так как 5 в любой степени
оканчивается цифрой 5;
б) 6, так как 4 в четной степени
оканчивается цифрой 6.]
6. Целое число m оканчивается цифрой 6. Ка-
кой цифрой будет оканчиваться число:
а) m2
+ 1; б) m112
+ 25?
[а) 7; б) 1.]
7. Сравните 243
и 1æ2æ3æ4æ6æ8æ12æ24. Под-
сказка. Для преобразования выражения, стоя-
щего справа, удобно использовать «симметрию»
множителей, а именно:
1æ2æ3æ4æ6æ8æ12æ24 = 24æ24æ24æ24 = 244
.
[243
< 244
.]
Задание на дом: № 432, 460, 476.
Творческое задание
1. Найти какое-нибудь значение p, при кото-
ром число p2
+ 1 делится без остатка на 5.
2. Доказать, что 2,6æ(26n
– 1) — целое число
при любом натуральном n.

МАТЕМАТИКА июнь 2013МАТЕМАТИКА июнь 2013
Л. ГОРИНА,
gorinalw@yandex.ru,
г. Михайловск, Свердловская обл.,
ПОСТРОЕНИЕГРАФИКА
ЛИНЕЙНОЙФУНКЦИИ
На примере темы хочу показать один из способов реализации диффе-
ренцированного подхода в обучении математике на индиви-
дуальном уровне с опорой на самостоятельность учащихся, с
элементами самоконтроля и самооценки.
Урок разработан для 7-го класса, преподавание в котором ведется по
учебнику Ш.А. Алимова, но может быть проведен и в классах,
где преподавание ведется по другим учебникам.
И еще одно замечание. Такие обучающие презентации с основными
типами заданий очень удобны при работе с учащимися, про-
пускающими занятия по болезни, или с теми, у кого зритель-
ная память развита сильнее: эти презентации оставляют в их
памяти более яркий след.
Тип урока: урок самостоятельного получения новых знаний,
урок самообразования.
Цель урока (дидактическая): научить строить график линейной
функции по двум точкам.
Оборудование:
— компьютеры;
— два варианта карточек для зачетной работы. Каждый вари-
ант содержит четыре задания базового уровня и три задания по-
вышенного уровня. На этих же карточках напечатаны критерии
оценивания, чтобы ученик мог сориентироваться в выборе зада-
ний для получения желаемой отметки;
— карточки для проведения самоконтроля.
Ход урока
Вступительное слово учителя о порядке работы на уроке. За-
пись в тетради темы урока.
Самостоятельная работа за компьютером по усвоению новых
знаний (работа с обучающей презентацией).
Структура презентации, назначение слайдов
Слайд 1 Титульный, информационный
Слайд 2 Рабочий
Слайд 3
Навигационный для перехода к заданиям
на закрепление изученного
Слайды 4–5 Тест ( часть 1 и часть 2)
Слайд 6 Теоретический материал урока
Слайд 7 Заключительный
Слайды 8–11 Ответы для заданий на закрепление
7 класс
К материалу есть приложение на CD-диске.

Презентация (см. диск) загружена на ком-
пьютеры для каждого ученика. Если нет воз-
можности организовать индивидуальную рабо-
ту учащихся за компьютером, то допустима ра-
бота в парах или малых группах. Работая с пре-
зентацией индивидуально, каждый ученик вы-
бирает свой темп изучения и переходит к сле-
дующему слайду только после того, как усвое-
но и проработано все, что содержалось на пред-
ыдущих.
Примечание. Время работы за компьютером
(без смены деятельности) не превысит установ-
ленных СанПином норм, так как после работы со
слайдом 2 (рабочий слайд презентации) учащи-
еся начинают выполнение заданий на закрепле-
ние в тетрадях, отвлекаясь от компьютера, а воз-
вращаются к нему только для сверки ответов и
выполнения теста.
Выполнение письменной зачетной работы
К выполнению зачетной работы рекоменду-
ется приступать за 10–15 минут до конца уро-
ка, так как именно к этому времени все учащие-
ся класса автоматически разделятся на три груп-
пы. Дальнейшая работа на уроке и будет прояв-
лением дифференцированного подхода на инди-
видуальном уровне.
1-я группа. Ученики готовы к выполнению
письменного зачета, уверены в своих силах. Они
получают карточку с заданиями варианта 2 (см.
диск), решают их, выбирая задания соответству-
ющего уровня, и сдают работы на проверку учи-
телю. На оборотной стороне карточки с задания-
ми напечатаны критерии оценивания, чтобы уча-
щимся было легче ориентироваться в выборе.
2-я группа. Ученики готовы к выполнению
письменного зачета, но не уверены в своих си-
лах, поэтому они, получив карточку с заданиями
варианта 1, могут решить их в соответствии со
своим уровнем, но не сдавать на проверку учи-
телю, а проверить и оценить самостоятельно,
используя карту самоконтроля (см. диск), под-
готовленную для варианта 1 (в карте самокон-
троля представлены графики, которые должны
были быть построены учащимися).
3-я группа. Ученики не готовы к выполнению
зачетной работы, поэтому они продолжают рабо-
тать с презентацией, разбираются в трудных для
них вопросах с помощью учителя и тех учащихся,
которые закончили выполнение зачетной работы.
Карточка с заданиями зачетной работы
Вариант 1
Базовый уровень: задания 1–4; повышенный
уровень: задания 5–7.
1. Постройте график функции у = х + 4.
2. Постройте график функции у = 2 – х.
3. Постройте график функции у = –3х – 3.
4. Постройте график функции у = 2х – 5.
5. Постройте график функции
2
.
5
x
y
+
=
6. Постройте на одной координатной плоско-
сти графики функций у = х и
1
2
3
y x= + и найдите
точку их пересечения.
7. Постройте на одной координатной плоско-
сти графики трех функций: у = –2х, у = 3х + 5
и
6 9
.
2
x
y
−
= Выделите треугольник, полученный
в результате попарного пересечения этих графи-
ков, определите его вид и найдите периметр, из-
мерив стороны.
Критерии оценивания зачета:
отметка «3» — решены любые три или четыре
задания базового уровня;
отметка «4» — решены любые два задания по-
вышенного уровня или одно задание повышен-
ного уровня плюс три любых задания базового
уровня;
отметка «5» — решены все задания повышен-
ного уровня, не решая задания базового уровня.
Задание на дом
Домашнее задание учащиеся получают диф-
ференцированно, в зависимости от того, в соста-
ве какой группы они оказались за 10–15 минут
до конца урока.
Учащиеся 3-й группы получают карточки ва-
рианта 1 и карты самоконтроля, то есть дома
они продолжают работу, незавершенную в
классе.
Учащиеся 2-й группы получают карточки ва-
рианта 2, так как в классе они работали с вари-
антом 1.
Учащиеся 1-й группы получают опережающее
творческое задание, при выполнении которого
нужно будет показать не только знание матема-
тики, но информатики. Это задание рассчитано
на 2 недели. Цель: подготовить демонстрацион-
ный материал для темы «Графическое решение
систем линейных уравнений с двумя неизвест-
ными».
Задание для 1-й группы. Сделать слайд (не-
сколько слайдов), на котором будет показано по-
строение двух графиков линейной функции на
одной координатной плоскости и нахождение
точки их пересечения.
Подведение итогов урока
Учитель анализирует состав групп для орга-
низации работы на последующих уроках.

10МАТЕМАТИКА июнь 2013
Ф. РАХИМОВА,
г. Уфа, Республика Башкортостан
Фото предоставлены автором
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК
Урок проводится после изучения темы «Параллелограмм и трапеция.
Прямоугольник. Ромб. Квадрат» в соответствии с методиче-
скими рекомендациями к учебнику «Геометрия, 7–9» Л.С. Ата-
насяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. Использование
презентации «Четырехугольники вокруг нас» и видеофильма
«Четырехугольники в архитектуре Уфы» позволяет наглядно
представить материал, усилить эмоциональность его воспри-
ятия, повысить интерес и развить познавательную активность
и самостоятельность учащихся.
Оборудование: компьютер с мультимедийным проектором; пре-
зентация «Четырехугольники вокруг нас»; видеофильм
«Четырехугольники в архитектуре Уфы»; раздаточный мате-
риал: карточки с текстами задач; листы с чертежами к зада-
чам; листы с кроссвордами.
Ход урока
1. Мотивация учебной деятельности учащихся, сообщение
темы, целей и задач урока (слайды 1–4). Напомнить учащимся о
значении данной темы в курсе математики, при изучении других
дисциплин. Задача урока — привести в систему знания по теме и
углубить их.
2. Сообщения учащихся о применении четырехугольников
в жизни (слайды 5–15). Особое внимание уделить речи учащих-
ся, умению рассуждать, сравнивать, находить главное, существен-
ное.
Фрагменты ответов:
Четырехугольники в жизни:
— четырехугольник: рамы велосипедов (слайд 6);
— прямоугольник: стены домов, пол, потолок, грани каранда-
шей и т.д. (слайды 7, 8);
— форму ромба имеет реечный домкрат для легковых автомоби-
лей (слайд 9);
— плиточники укладывают плитки в виде ромба, квадрата,
прямоугольника, получая из них красивые узоры (слайды 10,
11);
8 класс
К материалу есть приложение на CD-диске.

— в хирургии при пересадке кожи применя-
ется специальная машинка, которая вырезает
кожу в виде квадратов. Их располагают на обо-
жженном участке в шахматном порядке, так как
кожа имеет свойство расти во всех направлени-
ях, и со временем промежутки между квадрата-
ми исчезают (слайд 12);
—всельскомхозяйстведляповышенияурожай-
ности культур применяют квадратно-гнездовой
способ посадки культур; что позволяет применять
механизированную обработку (слайд 13);
— в физике применяют правило паралле-
лограмма для нахождения равнодействующей
силы (слайд 14).
3. Видеофильм «Четырехугольники в архи-
тектуре Уфы».
4. Повторение опорных знаний.
Устная работа по готовым чертежам (слайды
15–20 (рис. 1–5)).
Рис. 1 Рис. 2
Рис. 3 Рис. 4
Рис. 5
1. Определите вид четырехугольника.
2. Перечислите свойства, которыми обладают
его диагонали.
Математический диктант (с последующей
проверкой) (слайды 21–22)
1. Диагонали, пересекаясь, делят друг друга
пополам у…
[Параллелограмма.]
2. Диагонали равны у…
[Прямоугольника.]
3. Диагонали делят углы пополам у…
[Ромба.]
4. Диагонали перпендикулярны у…
[Ромба.]
5. Противолежащие углы равны у…
[Параллелограмма.]
6. Все углы равны у…
[Прямоугольника.]
7. Диагонали равны и перпендикулярны у…
[Квадрата.]
5. Решение задач (слайды 23–27).
Карточки с задачами по теме «Четырехуголь-
ники» раздаются всем учащимся.
Задачи № 1–3 решаются у доски и в тетрадях,
задачу № 4 решаем устно несколькими способа-
ми, записать решения предстоит дома.
Задача № 1 (слайд 24). Стороны параллело-
грамма относятся как 1 : 2, а его периметр равен
30 см. Найдите стороны параллелограмма.
Задача № 2 (слайд 25). В прямоугольни-
ке ABCD диагонали пересекаются в точке О.
Найдите периметр треугольника АОВ, если
F CAD = 30°, АС = 12 см.
Задача № 3 (cлайд 26). Как плотник может от-
пилить край доски под углом 45°?
Задача № 4 (cлайд 27). Докажите, что медиа-
на прямоугольного треугольника, проведенная
к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
6. Творческое применение знаний, умений
и навыков.
Написать эссе «Опиши чертеж» (слайд 28).
Чертеж имеется у каждого ученика. Учащи-
еся составляют задачу и решают ее (рис. 6 и
рис. 7).
Рис. 6 Рис. 7
7. Подведение итогов урока. Выставление
отметок.

МАТЕМАТИКА июнь 2013 1212
Домашнее задание
1. Решить несколькими способами задачу № 4
из карточки.
2. Заполнить кроссворд «Четырехугольники».
По горизонтали: Как называется:
4. Четырехугольник, у которого противо-
положные стороны попарно параллельны.
5. Четырехугольник, только две противо-
положные стороны которого параллельны.
8. Параллелограмм, у которого все углы
прямые.
9. Общая точка двух соседних сторон че-
тырехугольника.
По вертикали: Как называется:
1. Отрезок, соединяющий противополож-
ные вершины четырехугольника.
2. Прямоугольник, все стороны которого
равны.
3. Параллелограмм, у которого все сторо-
ны равны.
4. Сумма длин всех сторон четырехуголь-
ника.
6. Отрезок, соединяющий соседние верши-
ны.
7. Одна из параллельных сторон трапеции.
ФОТО НА КОНКУРС
Неужели и в нашем треугольнике сумма углов равна 180°?
Автор:
О.М. Шалина,
учитель математики
средней школы № 236,
г. Москва

О. ШАЛИНА,
г. Москва
Фото предоставлены автором
РЕШЕНИЕ
СИЛЛЮСТРАЦИЕЙ
Если сделать красочный чертеж, то задача лучше воспринимается.
Посмотрите, как можно сделать запоминающейся геометри-
ческую задачу на построение. А сколько положительных эмо-
ций при этом получили мои ученики – учащиеся 5 «А» класса
средней школы № 236 г. Москвы. Мы вместе с ребятами про-
верили все выполненные ими чертежи и рисунки, выбрали
самые лучшие и красочные и послали их в журнал «Матема-
тика».
Задание 1. В некотором королевстве жил-был король, и было
у него две дочери. Когда принцессы выросли, решил он подарить
каждой по красивому замку. Король очень любил своих дочерей и
распорядился, чтобы каждый из замков был построен на равном
расстоянии от его дворца и обязательно на берегу красивой реки,
протекавшей поблизости.
Выполните чертеж на листе ватмана и оформите его как иллю-
страцию к сказке. (Считайте, что река на этом отрезке — прямо-
линейна.)
Задание 2. Постройте равнобедренный треугольник по двум
сторонам и углу между ними, проведите биссектрису одного из его
углов, а рисунок оформите так, чтобы треугольник оказался эле-
ментом объекта, встречающегося в повседневной жизни.
МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ/ПРОЕКТ

Т. ГОРШЕНИНА, К. ГОРШЕНИН,
г. Москва ДВЕЗАДАЧИПО
КУРСУНАГЛЯДНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
В курсе наглядной геометрии особую роль играют задачи, при ре-
шении которых ученик совершает комбинации действий, в
совокупности составляющих геометрическую деятельность:
наблюдение, воображение, графические действия, конструи-
рование, измерения. Такие задачи могут использоваться при
изучении различных тем курса. В данной работе рассматрива-
ются две задачи. Они были основой для заданий контрольной
работы, предлагавшейся обучающимся на дистанционном
курсе повышения квалификации «Методика преподавания
наглядной геометрии учащимся 5–6-х классов» (педагоги-
ческий университет «Первое сентября», [1], [2]). Мы приво-
дим варианты использования этих задач в курсе наглядной
геометрии. Даны краткие комментарии по поводу места и
значения задач для изучения свойств геометрических фигур,
приведены фрагменты уроков, где в ходе работы учащиеся
выполняют эти задания.
Задача 1. У параллелепипеда длина равна 5 см, ширина — 3 см,
высота — 2 см. Начертите все различные грани этого параллеле-
пипеда в натуральную величину.
1. Задача 1 может рассматриваться как материал для закрепле-
ния представлений об элементах прямоугольного параллелепи-
педа, а также как составная часть обучения построению разверт-
ки прямоугольного параллелепипеда. Кроме того, навыки графи-
ческих действий, закрепляемые при решении данной задачи, ис-
пользуются при построении рисунков и проекционных чертежей
прямоугольного параллелепипеда. Предполагается, что к момен-
ту ее рассмотрения учащиеся знакомы с понятием прямоугольно-
го параллелепипеда, его вершин, ребер и граней, а также облада-
ют навыками построения прямоугольника на клетчатой бумаге с
помощью линейки.
Фрагмент урока «Прямоугольный параллелепипед»
Цель: построение развертки прямоугольного параллелепипеда.
Метод: построение развертки с помощью модели параллеле-
пипеда и построение граней параллелепипеда по заданным раз-
мерам.
Форма: фронтальная работа, индивидуальная работа.
Время: 25 минут.
Дополнительноеоборудование:моделипараллелепипедасодина-
ковой раскраской противоположных граней (на каждого ученика).
Краткий сценарий
Учитель. Возьмите модель параллелепипеда и поставьте
ее на тетрадный лист. Обведите карандашом грань, на кото-
рой стоит параллелепипед. Отодвиньте параллелепипед и рас-
МЕТОДОБЪЕДИНЕНИЕ/МЕТОДИКА
14

красьте изображение грани в цвет грани па-
раллелепипеда. Снова поставьте параллеле-
пипед той же гранью на изображение. Пере-
катите параллелепипед с одной грани на дру-
гую и повторите предыдущие действия с уче-
том цвета новой грани. Работа будет заверше-
на, если у вас в тетради появится изображе-
ние шести граней.
Получившееся изображение будем называть
разверткой прямоугольного параллелепипеда.
Сколько прямоугольников каждого цвета у вас
получилось?
Сколько пар прямоугольников получилось?
Сравните прямоугольники одного цвета.
(Учащиеся отвечают на вопросы.)
Сделаем вывод. Грани прямоугольного парал-
лелепипеда попарно равны.
А теперь выполните задание. У параллелепи-
педа длина равна 5 см, ширина — 3 см, высо-
та — 2 см. Начертите все различные грани это-
го параллелепипеда в натуральную величину.
Раскрасьте прямоугольники в различные цве-
та и по образцу развертки, полученной в пред-
ыдущем задании, постройте развертку прямоу-
гольного параллелепипеда с заданными разме-
рами.
(Учащиеся выполняют задание.)
Подведем итог. Мы научились строить раз-
вертку прямоугольного параллелепипеда с за-
данными размерами. Это поможет вам в созда-
нии модели прямоугольного параллелепипеда.
2. Задача 1 может рассматриваться как состав-
ная часть решения задачи о площади поверхно-
сти прямоугольного параллелепипеда. Задача,
дающая наглядное представление о том, что кон-
кретно нужно сделать для решения общей зада-
чи, — найти площадь различных граней.
Фрагмент урока «Площадь поверхности
прямоугольного параллелепипеда»
Цель: научить вычислять площадь поверхно-
сти прямоугольного параллелепипеда.
Метод: применение свойств противополож-
ных граней параллелепипеда и формулы для вы-
числения площади прямоугольника.
Форма: фронтальная работа, индивидуальная
работа.
Дополнительное оборудование: модели пря-
моугольного параллелепипеда.
Учитель. Сегодня нам предстоит познако-
миться с понятием площади поверхности прямо-
угольного параллелепипеда. Вспомним, какими
фигурами являются грани прямоугольного па-
раллелепипеда?
Учащиеся. Грани прямоугольного параллеле-
пипеда являются прямоугольниками.
Учитель. Каким свойством обладают проти-
воположные грани прямоугольного параллеле-
пипеда?
Учащиеся. Они попарно равны.
Учитель. Назовите формулу для вычисления
площади прямоугольника.
(На доске один из учащихся записывает фор-
мулу.)
По имеющимся у нас моделям выполни-
те необходимые измерения и вычислите пло-
щадь каждой грани. Полученные результа-
ты запишите в тетрадь. Сумма площадей всех
граней прямоугольного параллелепипеда на-
зывается площадью его поверхности. Найди-
те сумму площадей всех граней. Теперь срав-
ните площади противоположных граней. Сде-
лайте вывод.
Учащиеся. Площади противоположных гра-
ней равны.
Учитель. Сделанный вами вывод помога-
ет упростить вычисление площади поверхности
прямоугольного параллелепипеда. Подумайте,
каким образом.
(Учащиеся приходят к выводу о возможно-
сти сложить площади трех граней, имеющих
общую вершину, а затем удвоить результат.
Учитель помогает сформулировать этот вы-
вод.)
А теперь выполните задание. У параллелепи-
педа длина равна 5 см, ширина — 3 см, высо-
та — 2 см. Начертите все различные грани этого
параллелепипеда в натуральную величину. Вы-
числите площади этих прямоугольников и най-
дите площадь поверхности прямоугольного па-
раллелепипеда.
(Учащиеся выполняют задание.)
Задача 2. Вырежьте из бумаги два равных
неравнобедренных треугольника и сложите

из них различные параллелограммы. Сколь-
ко различных параллелограммов вам удалось
сложить? А если взять два равнобедренных
треугольника? Два равносторонних треуголь-
ника?
Задача основана на свойстве диагонали па-
раллелограмма, разбивающей его на два рав-
ных треугольника. Далее, при составлении па-
раллелограмма из двух равных треугольников
легко увидеть и свойство равенства противопо-
ложных сторон. Поэтому изучение свойств па-
раллелограмма — самая очевидная тема, в ко-
торой можно использовать данную задачу. Кро-
ме того, заметим, что при составлении фигур
из частей естественным образом закрепляется
представление об аддитивности площади и гра-
дусной меры угла.
Однако потенциал задачи 2 этим не исчерпы-
вается. Ниже приводятся два примера использо-
вания этой задачи, возможно, не столь очевид-
ных.
1. Складывание фигур из частей является на-
глядным аналогом дополнительного построения
и достраивания до новой фигуры с известными
свойствами, широко используемых в планиме-
трии как в задачах на построение, так и в зада-
чах на доказательство. Поэтому задачу 2 можно
использовать в качестве составной задачи о на-
хождении площади произвольного треугольни-
ка, относящейся в 5–6-х классах к задачам твор-
ческого уровня, одновременно осуществляя про-
педевтику приемов решения планиметрических
задач и закрепление знаний свойств диагонали
параллелограмма.
Фрагмент урока «Площадь треугольника»
Цель: изучить практический пример на-
хождения площади треугольника с помощью
площади параллелограмма; смоделировать
построение различных видов параллелограм-
мов.
Метод: исследование связи площадей тре-
угольника, параллелограмма, прямоугольника.
Форма: фронтальная работа, индивидуальная
работа.
Учитель. Вырежьте из бумаги два равных не-
равнобедренных треугольника и сложите из них
различные параллелограммы.
Сколько различных параллелограммов вам
удалось сложить?
А если взять два равных равнобедренных тре-
угольника?
Два равносторонних треугольника?
(Учащиеся выполняют задание и отвечают
на вопросы.)
Сделаем вывод. Диагональ параллелограмма
делит его на два равных треугольника. Следова-
тельно, треугольник можно достроить до парал-
лелограмма. Количество способов построения
зависит от вида треугольника.
Теперь вспомним о практическом приеме вы-
числения площади параллелограмма путем пе-
рекраивания его в прямоугольник.
(На доске один из учащихся выполняет чер-
теж, иллюстрирующий этот прием.)
Так как диагональ параллелограмма делит его
на два равных треугольника, то площадь парал-
лелограмма равна сумме площадей равных тре-
угольников, то есть удвоенной площади треу-
гольника. Поэтому, вычислив площадь парал-
лелограмма и разделив ее пополам, мы получим
площадь треугольника.
(Учащиеся получают карточки с изображе-
ниями различных треугольников на клетча-
той бумаге и с помощью изученного приема вы-
числяют их площади.)
2. Задачу 2 можно использовать в процессе
изучения видов параллелограмма. При этом
классификация видов получается исключи-
тельно на основе наглядного практического
построения и в то же время полностью анало-
гична классификации, выстраиваемой в пла-
ниметрии логическим путем. Для данной цели
формулировка задания скорректирована, од-
нако по сути задание сохранено полностью, в
том числе такая важная его часть, как самосто-
ятельное построение и вырезание учащимися
равных треугольников. Предполагается, что к
моменту решения этой задачи учащиеся зна-
комы с понятием параллелограмма и его свой-
ствами, а также обладают навыками измере-
ния градусной меры угла с помощью транспор-
тира.

Фрагмент урока «Виды параллелограммов»
Цель: изучить виды параллелограммов; смо-
делировать построение различных видов парал-
лелограммов.
Метод: конструирование различных видов
параллелограммов из предварительно заготов-
ленных моделей треугольников.
Форма: практическая работа.
Дополнительное оборудование: комплекты
моделей попарно равных треугольников, изго-
товленные учащимися дома.
Учитель. Возьмите первый комплект тре-
угольников, состоящий из двух равных разно-
сторонних треугольников, и сложите из них
различные параллелограммы. Сколько раз-
личных параллелограммов вам удалось сло-
жить?
Учащиеся. Три различных параллелограмма.
Учитель. Сделайте в тетради чертеж парал-
лелограмма. Обозначьте его вершины буква-
ми A, B, C, D. Запишите: «ABCD — параллело-
грамм». Теперь возьмите второй комплект тре-
угольников, состоящий из двух равных равно-
бедренных треугольников с углом при вершине,
не равным 90°, и сложите из них различные па-
раллелограммы.
В чем различие этих параллелограммов?
(Учащиеся приходят к выводу, что получает-
ся два вида параллелограммов, причем в одном
случае стороны параллелограмма попарно рав-
ны, а в другом — равны все стороны.)
Параллелограмм, у которого все стороны рав-
ны, называется ромбом. Сделайте в тетради чер-
теж ромба. Обозначьте вершины буквами E, F,
G, H. Запишите: «EFGH — ромб». Теперь возь-
мите третий комплект треугольников, состоя-
щий из двух равных неравнобедренных прямо-
угольных треугольников, и сложите из них раз-
личные параллелограммы.
С помощью транспортира измерьте углы па-
раллелограммов.
В чем различие параллелограммов?
Найдите параллелограмм, у которого все углы
равны.
(Учащиеся приходят к выводу, что в одном
случае в параллелограмме все углы прямые, а в
остальных — при вершинах есть острые и ту-
пые углы.)
Параллелограмм, у которого все углы пря-
мые, называется прямоугольником. Сделай-
те в тетради чертеж прямоугольника. Обозначь-
те его вершины буквами K, L, M, N. Запишите:
«KLMN — прямоугольник». Теперь возьмите
четвертый комплект треугольников, состоящий
из двух равных равнобедренных прямоугольных
треугольников, и сложите из них различные па-
раллелограммы.
Измерьте углы параллелограмма, сложенные
из двух острых углов прямоугольных треуголь-
ников.
В чем различие параллелограммов?
(Учащиеся приходят к выводу, что в одном из
параллелограммов есть острые и тупые углы,
а стороны попарно равны. В другом же парал-
лелограмме все углы прямые (а значит, он яв-
ляется прямоугольником), и все стороны рав-
ны.)
Прямоугольник, у которого все стороны рав-
ны, называется квадратом. Сделайте в тетра-
ди чертеж квадрата. Обозначьте его вершины
буквами P, Q, R, S. Запишите: «PQRS — ква-
драт».
Учитель записывает на доске, а учащиеся в те-
тради схему видов параллелограмма:
Параллелограмм
Прямоугольник
К
вадрат
Ромб
Пояснения к этой схеме также могут быть за-
писаны в тетради.
Литература
1. Рослова Л.О. Методика преподавания на-
глядной геометрии учащимся 5–6 классов. Лек-
ции 1–4. — М.: Педагогический университет
«Первое сентября», 2009.
2. Рослова Л.О. Методика преподавания на-
глядной геометрии учащимся 5–6 классов. Лек-
ции 5–8. — М.: Педагогический университет
«Первое сентября», 2009.

ШИБКИ
УЧУ
ЕННИИККООВВ—
Э
ТО
НАНН
ШААИОШИБ
КИ
Ч
ИТАТТ
ЙААВОПРО
С
ИОТВЕЧАЧЧЙАА
Н
А
НН
НЕГО
Е. КАЛИНИНА, Н. ЛЕВИНТОВА,
г. Москва НАОШИБКАХ
УЧАТСЯ
В предыдущей своей статье (см. № 2, 2012) мы говорили о методах
проверки выполненных заданий. Но есть и другой подход к
работе над ошибками: не искать их и исправлять, а предупре-
ждать. Это отнюдь не новость: на ошибках учиться легче, чем
на позитивном опыте выполнения заданий. С ошибками мож-
но работать на упреждение: не делай так, и не будет ошибки.
Два вида деятельности — профилактика ошибок и поиск их
при самоконтроле — не противоречат друг другу, а, напро-
тив, взаимно дополняют друг друга.
Расставляя флажки-акценты: «Вот тут можно ошибиться, и тут тоже»,
мы контролируем не результат, а процесс выполнения, на-
правляя усилия на поиск сигнальных флажков.
Работаем с классом
Начнем с простого. Ученик решает квадратное уравнение. Фор-
мулу корней он выучил, применять ее умеет, но, как назло, это
уравнение упорно не решается. Корни какие-то странные, ирра-
циональные. А такие в бланк ГИА не вписываются. И тогда уче-
ник вспоминает, что учитель, написав на доске формулу корней,
тремя разноцветными кружочками выделил опасные места в фор-
муле и еще один кружочек нарисовал в формуле дискриминанта.
Значит, нужно проверить, правильно ли выбран знак при b, не за-
был ли извлечь корень из дискриминанта, не потеряна ли «двой-
ка» в знаменателе, да и в дискриминанте проверить знак между
слагаемыми:
1, 2 ,
2
b D
x
a
±
=
–
D = b2
– 4ac.
Работабудетэффективнее,еслиобэтихкружочкахучениквспом-
нит еще до применения формулы. Вот этому стоит его научить на
уроке, формируя навык предупреждения типичных ошибок.
Вспомним такую «знаменитую» ошибку: сокращение дроби. При-
чина которой, на наш взгляд, в том, что во многих учебниках прави-
ло сокращения дроби плохо сформулировано. Например:
Чтобы сократить дробь, нужно разделить числитель и зна-
менатель на одно и то же число, неравное 0.
Учащиеся, пользуясь этим правилом, зачастую сокращают
дробь на общее слагаемое или на множители в слагаемых. Поэто-
му мы предлагаем иную формулировку:
Чтобы сократить дробь, нужно числитель и знаменатель ее
представить в виде произведений, а затем разделить каждый из
них на общий множитель.
Если замена формулировки кажется вам слишком смелым пред-
ложением, можно перед каждой дробью выставить флажок:
УБЕДИСЬ, ЧТО ЧИСЛИТЕЛЬ И ЗНАМЕНАТЕЛЬ
ВЫРАЖЕНЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯМИ
УУУБЕДИИСЬ,ЧТОЧЧИСЛ
И
ТЕЛЬ ИИ ЗЗННААММЕНАТЕ
Л
Ь
ВВЫЫЫРАРРЖАЕНЫППРРООИ
ЗЗЗ
ВВВЕДЕНИЯМИ.
СЛЕДИ
ЗА
ЗЗНАКАМААИВЫРАРР
ЖА
ЕНИЙ—ЭТОСАССМАММ
ЯА
Ч
АСА
ТАТТ
ЯА
ОШИБКА
ССЛЛЕДИЗААЗНА
КОМ
ВЫРАРРЖАЕНИЯ,СТ
ОЯЩЩ
ЕЕ
ДГ
ДДЕЕЕЯЯНЯТАКООММ
ЛОГАГГ
РИФМА ЛИБО КО
РРННЯ.

С самого начала изучения алгебры и до расста-
вания с нею у порога школы путают ученики два
выражения: 2а и а2
. То ли их сбивает с толку ра-
венство этих выражений при а = 2, то ли прене-
брежение рассуждениями при изучении нового
материала и желание запомнить зрительные об-
разы. От этой болезни помог излечиться малень-
кий плакат — сигнальный флажок на стенде:
aæa не равно a + a
3æ3 ≠ 3 + 3
7æ7 ≠ 7 + 7
А упорное желание школьников заменить ко-
рень из суммы и разности суммой и разностью
корней можно предупредить таким плакатом-
флажком:
16 9 16 9+ ≠ +
Попробуем проанализировать некоторые за-
дания ЕГЭ и ГИА с точки зрения возможных
ошибок.
ЕГЭ (В1). На теплоходе 350 пассажиров и 25
членов экипажа. Сколькими спасательными
шлюпками должен быть оборудован теплоход,
если в каждой шлюпке может разместиться 30
человек?
Стандартный прием решения этой задачи: де-
ление числа всех людей, присутствующих на те-
плоходе, на 30.
Возможные ошибки:
— получение ответа в виде дробного числа;
— неверное округление чисел.
Расставив флажки-предупреждения
ПОЛТОРА ЧЕЛОВЕКА —
ЭТО НЕГУМАННО
ОКРУГЛЕНИЕ
поможем выпускнику предупредить ошибку, да
еще напомним, в воспитательных целях, об ответ-
ственности за результат любой деятельности.
ЕГЭ (В2). С помощью представленного рисун-
ка ответить на вопросы о зависимости между
двумя величинами и указать требуемые значе-
ния одной из них, либо их число.
Возможные ошибки, о которых просигнализи-
ровать можно словесно:
ВНИМАНИЕ НА ЦЕНУ ДЕЛЕНИЯ
ОСМЫСЛИ ТЕКСТ ЗАДАНИЯ
ЕГЭ (В4). Информация о стоимости това-
ров (услуг), различных либо по ассортименту,
либо по фирме (магазину и т.п.), предоставляю-
щей услуги (товар), представлена в виде табли-
цы. Следует произвести необходимые расчеты и
определить оптимальные затраты.
Ошибки в этом задании связаны с вычислени-
ями и с неверно понятым текстом. Как просигна-
лить ученикам о «подводных камнях»?
Скажем им:
ИНФОРМАЦИЮ ИЩИ И В ТАБЛИЦЕ,
И В ТЕКСТЕ
А еще пропишем сигнальное слово:
ВЫЧИСЛЕНИЯ!
Можно сделать заметку о дополнительных
условиях:
УЧТИ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
ЕГЭ (В5). Уравнение или неравенство, содер-
жащие логарифмы либо иррациональные выра-
жения.
Если бы на уроках мы добились усвоения
свойств элементарных функций (прежде всего,
области определения), то и говорить было бы не
о чем. Но не смогли… Какой пошлем сигнал?
СЛЕДИ ЗА ЗНАКОМ
добавив к нему
ВЫРАЖЕНИЯ, СТОЯЩЕГО ПОД ЗНАКОМ
ЛОГАРИФМА ЛИБО КОРНЯ
Типичную ошибку перехода от одного нера-
венства к другому:
loga
f(x) < loga
g(x) ⇔ f(x) < g(x),
где a > 1, предупредим плакатом-флажком
ПОМНИ О ЗНАКЕ МЕНЬШЕЙ ФУНКЦИИ
ЕГЭ (В7). Нахождение значения выражения.
Если выражение тригонометрическое, это
уже повод напрячься. В сто первый раз учитель
должен сказать:
ПОМНИ О ЗНАКЕ
и добавить, что знак функции и ее четность —
отнюдь не одно и то же. Равенство cos (–x) =
= cos x не означает, что косинус всегда прини-
мает положительные значения. Хотя бы перед

окончанием школы поймем, что выражения а и
–а не означают, что первое принимает положи-
тельные значения, а второе — отрицательные.
Но эти рассуждения должны были быть усво-
енными в другое время. Сейчас ученик должен
осознать, что при изменении знака аргумента
значение косинуса не изменяется. Хорошей ил-
люстрацией является:
1
cos120
2
° = − и − ° = −( ) 1cos 120
2
ЕГЭ (В10), ГИА. Задания по темам теории ве-
роятностей и математической статистики иногда
воспринимаются выпускниками школы как са-
мое легкое. Рассмотрим одно из таких заданий:
определить вероятность того, что при двукрат-
ном бросании игральной кости сумма выпавших
очков будет не меньше 6.
Во-первых, замечаем, что сумма очков может
быть от 2 до 12. Всего различных результатов ис-
пытаний 6æ6 = 36. Интересующих нас:
1 + 5, 1 + 6,
2 + 4, 2 + 5, 2 + 6,
3 + 3, 3 + 4, 3 + 5, 3 + 6,
4 + 2, 4 + 3, 4 + 4, 4 + 5, 4 + 6,
5 + 1, 5 + 2, 5 + 3, 5 + 4, 5 + 5, 5 + 6,
6 + 1, 6 + 2, 6 + 3, 6 + 4, 6 + 5, 6 + 6,
всего 26. Вероятность выражается рациональ-
ным числом
13
,
18
которое требуется представить
в виде десятичной дроби, округленной до 0,01.
И здесь следует обратить внимание на ошибку,
недостойную старшеклассника, но тем не менее
отнюдь не редкую:
ОШИБКА ПЕРЕСЧЕТА
ЕГЭ (В13). Решить текстовую задачу. Здесь
очень обидна ошибка, когда в ответ записыва-
ется не искомое число, а значение другой вели-
чины. Например, нашли значение времени, а
нужно ответить на вопрос, какова скорость, или
нашли значение меньшей величины, потому что
было удобно именно ее обозначить буквой х, а
в ответе требуется записать значение большей.
Необходимое предупреждение:
ЧИТАЙ ВОПРОС И ОТВЕЧАЙ НА НЕГО
Традиционно авторство ошибок приписы-
вают «слабому звену», но и сильнейшие не
безгрешны. Им сигнальные флажки нужны
не меньше, чем их менее обремененным зна-
ниями товарищам. Поэтому неустанно повто-
ряем:
СЛЕДИ ЗА ЗНАКАМИ ВЫРАЖЕНИЙ —
ЭТО САМАЯ ЧАСТАЯ ОШИБКА
И называем опасные «знаковые» места:
— раскрытие скобок;
— перенос слагаемых из одной части равен-
ства в другую;
— действия над числами с разными знаками;
— умножение и деление обеих частей нера-
венства на одно и то же число;
— применение формул сокращенного умно-
жения.
Говорить об ошибках можно долго, в них, увы,
недостатка нет. Пока мы говорили лишь о ти-
пичных ошибках, но к системе предупреждения
ошибок нужно отнести работу по предупрежде-
нию индивидуальных ошибок. Современные ме-
тоды анализа контрольных работ позволяют опре-
делить слабые места в усвоении учебного матери-
ала у каждого ученика. Но ждать, пока электрон-
ный журнал МРКО, в котором есть функция «Ана-
лиз контрольной работы», представит нам полную
картину индивидуальных затруднений учащих-
ся — долго. Да и причиной многих ошибок явля-
ются не проблемы понимания учебного материа-
ла, а особенности развития ученика: особенности
его внимания, памяти, модальность, доминирова-
ние полушарий мозга, степень развитости общеу-
чебных умений. Если мы решили ошибки преду-
преждать, то необходимо упредить их появление
и предложить систему мер по их недопущению.
Работаем с каждым
Разнообразие ошибок поражает своей кра-
сочностью и неожиданностью. В нашей практи-
ке был случай, когда совсем не глупый ученик
11-го класса стал делить трехзначное число на
однозначное с конца записи, девочка-отличница
неожиданно стала терять 0 в середине записи
частного. И ошибки эти повторялись от раза к
разу. Таким учащимся достаточно было указать
на ошибку, акцентировать на ней внимание – и
довольно скоро ошибка исчезала из их работ.
В начале учебного года 25 будущим творцам
ошибок была дана возможность их совершить
сейчас. Им был предложен примерно такой тест:
1. Выполните действия:
1 2
1,5 2 9,2 5
3 3
.
4 1
( 2,8) 2 : 2,8 1
5 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ − ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠
2. Решите неравенство
( )2
( 6) 9 4 2 3
0.
2 3
x x
x
− − + −
>
−
Небольшое число заданий вполне компенси-
ровалось большим числом промежуточных опе-

раций, требующих умения работать с теми эле-
ментами содержания, которые мы считаем наи-
более «опасными». Необходимость получения
ответа заставит выполнить все эти операции. А
нам останется уловить ошибки и занести их в за-
ранее подготовленную матрицу:
№
п/п
Спи-
сок
уча-
щихся
Возможные ошибки
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
В таблице цифрами обозначено: 1 — замена
обыкновенной дроби ее десятичным приближе-
нием; 2 — знак при сложении/вычитании чи-
сел с разными/одинаковыми знаками; 3 — сло-
жение/вычитание смешанных чисел; 4 — заме-
на смешанного числа неправильной дробью; 5 —
приведение дробей к общему знаменателю при
умножении дробей; 6 — потеря знака «по забыв-
чивости»; 7 — перемена мест делимого и дели-
теля; 8 — порядок действий; 9 — неверный знак
при делении/умножении обеих частей неравен-
ства на отрицательное число; 10 — сокращение
дроби на слагаемое; 11 — ошибка при примене-
нии формулы сокращенного умножения.
Последние два-три столбца оставляем пусты-
ми в ожидании «сюрпризов».
Проверив работы, получим представление об
индивидуальных затруднениях. Дальнейшие
действия сводятся к следующему:
1. Предоставить каждому ученику информа-
цию о его индивидуальных затруднениях.
2. Выяснить причину затруднения: неусвоен-
ный учебный материал, невнимание, психоло-
гические затруднения.
3. Если корни ошибки уходят в психологиче-
ские особенности стиля учебных действий, сле-
дует снабдить каждую ошибку, допущенную
учеником, памяткой-сигналом (см. текст выше).
Ученик должен знать свои «слабые места» и
вспоминать о сигнале при приближении к ним.
4.Еслипричинойошибкиявляетсянеусвоенный
учебный материал, то даем информацию о распо-
ложении в учебном пособии соответствующих эле-
ментов содержания учебного материала либо даем
задание произвести поиск этих элементов (правил,
свойств, алгоритмов) с использованием иных обра-
зовательных ресурсов, в том числе цифровых.
5. Сообщить информацию об индивидуальных
затруднениях учеников их родителям и при-
влечь родителей к ликвидации пробелов.
Коррекционная работа над затруднениями не
включена нами в предложенный план действий.
Не потому, что мы отрицаем ее значимость, а по-
тому, что она является частью другой техноло-
гии: работы над ошибками. Мы же нацелились
на предупреждение ошибок и обращаемся к пси-
хологическим особенностям ученика, который
знает и правила, и свойства, и другие положе-
ния теории, но применяет их не каждый раз.
Предложенный тест хорош именно для нача-
ла года, ибо провоцирует ученика выпустить на
волю своих «тараканов», заползших в пустоты
мышления. Чтобы выявить другие индивиду-
альные ошибки, не нужно специальных тестов-
ловушек: контрольные и диагностические рабо-
ты «добывают» столько ошибок, что впору со-
ставлять сборник «…И учитель отпал».
Послесловие
Хотя…Истиннойпричинойошибокявляетсявсе
же некачественная работа с учебным материалом.
Осмысление понятий и действий, их свойств, вза-
имосвязей, способность к графической интерпре-
тации, разнообразие приемов и методов — вот чего
не хватает сегодняшней системе математического
образования, сильно увлекшейся «подготовкой к
ЕГЭ и ГИА», скатывающейся в сторону натаски-
вания на результат. Сюда же можно добавить объ-
ем знаний, которые не успевают стать прочными
из-за сокращения времени на их формирование.
Эта характеристика образования сегодня подле-
жит поруганию и порицанию (хорошо хоть, что не
отрицается). «Не заучивать, а понимать, не сумма
знаний, а путь познания и т.п.» — лозунги нашего
времени. А опыт обучения вопиет о другом: нель-
зя же одновременно ухудшать условия для проч-
ного усвоения знаний путем сокращения време-
ни на изучение школьниками пресловутой суммы
знаний и в то же время предлагать им задания, ко-
торые невозможно выполнить без того, что укоре-
нилось в твоей памяти. Решение этого противоре-
чия между желаемым качеством обучения и усло-
виями их усвоения возложено на новые техноло-
гии. Их много, каждая направлена на внутренние
и внешние изменения образовательного процесса.
Предлагаемая система предупреждения ошибок,
не претендуя на коренные преобразования во всем
образовательном пространстве, призвана компен-
сировать недостатки в процессах учения и оцени-
вания знаний: не успели довести обучающихся до
требуемого уровня знаний, так хотя бы предупре-
дите их о возможных ошибках. Предупреждение
ошибок — один из инструментов сотрудничества
учителя с учениками. Выбор методов обучения и
инструментов для реализации педагогических за-
мыслов — за нами. Это ответственно и сложно.
Давайте всегда помнить о нашем сигнальном
флажке:
ОШИБКИ УЧЕНИКОВ — ЭТО НАШИ ОШИБКИ

Matematika

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (6)

Similar to Matematika

Similar to Matematika (20)

Matematika