Ejercicios :3

1. MATEMATICA
PRODUCTOS NOTABLES
A) Binomio al cuadrado
PRIMERO
(√3 x + 2)
2
= (√3 x)
2
+ 2(√3 x)(2) + 22
(√3 x + 2)
2
= √3
2
x2
+ 4√3 x + 4
(√3 x + 2)
2
= √3
2
x2
+ 4√3 x + 4
SEGUNDO
(5x + 3y2
z4)2
= (5x)2
+ 2(5x)(3y2
z4) + (3y2
z4)2
(5x + 3y2
z4)2
= 25x2
+ 30xy2
z4
+ 9y4
z8
B) Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
PRIMERO
(x 𝑎+1
− x 𝑎+2
)2
= (x 𝑎+1
)2
− 2(x 𝑎+1
)(x 𝑎+2
)+ (x 𝑎+2
)2
(x 𝑎+1
− x 𝑎+2
)2
= x2𝑎+2
− 2x2𝑎+3
+ x2𝑎+4
SEGUNDO
(4m2
− 3n5
)2
= (4m2
)2
− 2(4m2
)(3n5
)+ (3n5
)2
(4m2
− 3n5
)2
= 16𝑚4
− 24𝑚2
𝑛5
+ 9𝑛10
C) Cubo de una suma
PRIMERO
(8𝑥3
+ 27𝑦6
) = (2x + 3y2
)(4𝑥2
− 6𝑥𝑦2
+ 9𝑦4
)
SEGUNDO
(512 + 27𝑥9
) = (8 + 3𝑥3
)(64 − 24𝑥3
+ 9𝑥6

2. D) Cubo de una diferencia
PRIMERO
(273
− 𝑦3
) = (3x − y)(9𝑥2
+ 3𝑥𝑦 + 𝑦2
SEGUNDO
(𝑥3
− 23
) = (x − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 22
)
(𝑥3
− 23
) = (x − 2)(𝑥2
+ 2𝑥 + 4)
E) Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
PRIMERO
(𝑥2
− 2x)(𝑥2
+ 2x) = (𝑥2
)2
− (2𝑥 )2
SEGUNDO
(𝑥2
− 4)(𝑥2
+ 4) = (𝑥2
)2
− 42
COCIENTES NOTABLES
PRIMERO
𝑥2
− 1
𝑥 + 1
=
𝑥2
− 12
𝑥 + 1
= 𝑥 − 1
SEGUNDO
(𝑥 + 1)2
− 4𝑦2
𝑥 + 1 − 2𝑦
=
(𝑥 + 1)2
− (2𝑦)2
( 𝑥 + 1) − 2𝑦
= ( 𝑥 + 1) + 2𝑦
TERCERO
𝑥3
+ 8
𝑥 + 2
=
𝑥3
+ 23
𝑥 + 2
= 𝑥2
− 2𝑥 + 22
= 𝑥2
− 2𝑥 + 4
CUARTO
125 − 64𝑥6
5 − 4𝑥2
=
53
− (4𝑥2
)3
5 − (4𝑥2)
= 25 + 20𝑥2
+ 16𝑥2

3. DERIVADAS
A) DERIVADAS DE UNA FUNCION POTENCIAL
PRIMERO
𝑓( 𝑥) = (3𝑥2
+ 2)3
(2𝑥2
+ 3𝑥 + 1)
𝑓( 𝑥) = 3(3𝑥2
+ 2)2
. 6𝑥(2𝑥2
+ 3𝑥 + 1) + (3𝑥2
+ 2)3
(4𝑥 + 3)
𝑓( 𝑥) = 18𝑥(3𝑥2
+ 2)2 (2𝑥2
+ 3𝑥 + 1) + (3𝑥2
+ 2)3
(4𝑥 + 3)
𝑓( 𝑥) = (3𝑥2
+ 2)2[18𝑥(2𝑥2
+ 3𝑥 + 1) + (3𝑥2
+ 2)(4𝑥 + 3)]
𝑓( 𝑥) = (3𝑥2
+ 2)2
(36𝑥3
+ 54𝑥2
+ 18𝑥 + 12𝑥3
+ 9𝑥2
+ 8𝑥 + 6)
𝒇( 𝒙) = (𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟐) 𝟐
(𝟒𝟖𝒙 𝟑
+ 𝟔𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟐𝟔𝒙 + 𝟔)
SEGUNDO
𝑓( 𝑥) = (6𝑥2
+ 𝑥)2
(𝑥5
+ 𝑥6
)4
𝑓(𝑥) = 2(6𝑥2
+ 𝑥)(12𝑥 + 1)(𝑥5
+ 𝑥6
)4
+ (6𝑥2
+ 𝑥)2
4(𝑥5
+ 𝑥6
)3
(5𝑥4
+ 6𝑥5
)
𝑓(𝑥) = 2(6𝑥2
+ 𝑥) (𝑥5
+ 𝑥6
)3[(12𝑥 + 1)( 𝑥5
+ 𝑥6) + 2(6𝑥2
+ 𝑥)(5𝑥4
+ 6𝑥5
)]
𝑓(𝑥) = 2(6𝑥2
+ 𝑥) (𝑥5
+ 𝑥6
)3[12𝑥6
+ 12𝑥7
+ 𝑥5
+ 𝑥6
+ 2(30𝑥6
+ 36𝑥7
+ 5𝑥5
+ 6𝑥6
)]
𝑓(𝑥) = 2(6𝑥2
+ 𝑥) (𝑥5
+ 𝑥6
)3[12𝑥6
+ 12𝑥7
+ 𝑥5
+ 𝑥6
+ 60𝑥6
+ 72𝑥7
+ 10𝑥5
+ 12𝑥6]
𝒇( 𝒙) = 𝟐(𝟔𝒙 𝟐
+ 𝒙) (𝒙 𝟓
+ 𝒙 𝟔
) 𝟑
(𝟖𝟒𝒙 𝟕
+ 𝟖𝟓𝒙 𝟔
+ 𝟏𝟏𝒙 𝟓
)
TERCERO
𝑓( 𝑥) =
(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)2
𝑥2 + 6
=
2(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)(10𝑥 + 7)( 𝑥2
+ 6) − (5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)2
2𝑥
(𝑥2 + 6)2
𝑓( 𝑥) =
2(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)2
𝑥2 + 6
=
2(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)(10𝑥 + 7)( 𝑥2
+ 6) − 2𝑥(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)2
(𝑥2 + 6)2
𝑓( 𝑥) =
2(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)2
𝑥2 + 6
=
[(10𝑥 + 7)( 𝑥2
+ 6) − 𝑥(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)]
(𝑥2 + 6)2
𝑓( 𝑥) =
2(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)2
𝑥2 + 6
=
[10𝑥3
+ 60𝑥 + 7𝑥2
+ 42 − 5𝑥3
− 7𝑥2
− 2𝑥]
(𝑥2 + 6)2
𝑓( 𝑥) =
2(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)2
𝑥2 + 6
=
2(5𝑥2
+ 7𝑥 + 2)2[5𝑥3
+ 58𝑥 + 42]
(𝑥2 + 6)2

4. B) DERIVADAS DE UNA FUNCION LOGARITMICA
PRIMERO
𝑓( 𝑥) = ( 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 5) 𝑙𝑛(5𝑥2
− 7) =
𝑓( 𝑥) = (3𝑥2
+ 2𝑥 + 1) 𝑙𝑛(5𝑥2
− 7) + ( 𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 5).
10𝑥
5𝑥2 − 7
=
𝒇( 𝒙) = ( 𝟑𝒙 𝟐
+ 𝟐𝒙 + 𝟏) 𝒍𝒏( 𝟓𝒙 𝟐
− 𝟕) +
𝟏𝟎𝒙( 𝒙 𝟑
+ 𝒙 𝟐
+ 𝒙 + 𝟓)
𝟓𝒙 𝟐 − 𝟕
SEGUNDO
𝑓( 𝑥) = 𝐿𝑛( 𝑥7
+ 7𝑥3
+ 3𝑥 + 1) 𝑙𝑛(4𝑥2
− 3𝑥 − 1) =
𝑓( 𝑥) = 𝐿𝑛(7𝑥6
+ 21𝑥2
+ 3) 𝑙𝑛(4𝑥2
− 3𝑥 − 1) + ( 𝑥7
+ 7𝑥3
+ 3𝑥 + 1).
8𝑥 − 3
4𝑥2 − 3𝑥 − 1
𝑓( 𝑥) = (7𝑥6
+ 21𝑥2
+ 3)ln(4𝑥2
− 3𝑥 − 1) +
(𝑥7
+ 7𝑥3
+ 3𝑥 + 1)(8𝑥 − 3)
4𝑥2 − 3𝑥 − 1
TERCERO
𝑓( 𝑥) = 𝐿𝑛 (
1
√(1 + 2𝑥 − 5𝑥2)23
) =
𝑓( 𝑥) = 𝐿𝑛 (
1
(1 + 2𝑥 − 5𝑥2)
2
3
) =
𝑓( 𝑥) = 𝐿𝑛 = (1 + 2𝑥 − 5𝑥2
)−
2
3 = −
2
3
ln(1 + 2𝑥 − 5𝑥2
)
𝑓( 𝑥) = −
2
3
.
2 − 10𝑥
1 + 2𝑥 − 5𝑥2
=
−𝟐(𝟐 − 𝟏𝟎𝒙)
𝟑(𝟏 − 𝟐𝒙 − 𝟓𝒙 𝟐)
C) DERIVADAS DE UNA FUNCION EXPONENCIAL
PRIMERO
𝑓( 𝑥) = (4𝑥2
+ 3)5
3(𝑥+2)
𝑓( 𝑥) = 5(4𝑥2
+ 3)4
8𝑥3( 𝑥+2)
+ (4𝑥2
+ 3)5
3( 𝑥+2)
ln(3)
𝑓( 𝑥) = 40𝑥(4𝑥2
+ 3)4
3( 𝑥+2)
+ (4𝑥2
+ 3)5
3( 𝑥+2)
ln(3)
𝑓( 𝑥) = (4𝑥2
+ 3)4 [40𝑥 + (4𝑥2
+ 3) 𝑙𝑛n(3)]3( 𝑥+2)

5. SEGUNDO
𝑓( 𝑥) = (𝑥5
+ 4𝑥 + 1)3
2(𝑥3
+5)
𝑓( 𝑥) = 3(𝑥5
+4𝑥 + 1)2(5𝑥4
+ 4)2(𝑥3
+5)
+ (𝑥5
+ 4𝑥 + 1)3
2(𝑥3
+5)
3𝑥2
ln(2)
𝑓( 𝑥) = 3(𝑥5
+4𝑥 + 1)2(5𝑥4
+ 4)2(𝑥3
+5)
+ 3𝑥2
(𝑥5
+4𝑥 + 1)3
2(𝑥3
+5)
ln(2)
𝑓( 𝑥) = 3(𝑥5
+4𝑥 + 1)2[(5𝑥4
+ 4)+𝑥2
(𝑥5
+ 4𝑥 + 1)ln(2)]2(𝑥3+5)
TERCERO
𝑓( 𝑥) = (𝑥2
− 𝑥 − 3)2
7(5𝑥−3)
𝑓( 𝑥) = 2( 𝑥2
− 𝑥 − 3)(2𝑥 − 1)7(5𝑥−3)
+ (𝑥2
− 𝑥 − 3)2
7(5𝑥−3)
5ln(7)
𝑓( 𝑥) = 2( 𝑥2
− 𝑥 − 3)(2𝑥 − 1)7(5𝑥−3)
+ 5(𝑥2
− 𝑥 − 3)2
7(5𝑥−3)
ln(7)
𝑓( 𝑥) = ( 𝑥2
− 𝑥 − 3)[2(2𝑥 − 1) + 5(𝑥2
− 𝑥 − 3)ln(7)]7(5𝑥−3)
D) Derivada de la función trigonométrica de Seno
PRIMERO
𝑓( 𝑥) = ( 𝑥2
+ 7𝑥 + 2) 𝑠𝑒𝑛(5𝑥3
+ 𝑥2
+ 2)3
𝑓( 𝑥) = (2𝑥 + 7) 𝑠𝑒𝑛(5𝑥3
+ 𝑥2
+ 2)3
+ ( 𝑥2
+ 7𝑥 + 2)(15𝑥2
+ 2𝑥)3(5𝑥3
+ 𝑥2
+ 23
)
𝑓( 𝑥) = (2𝑥 + 7) 𝑠𝑒𝑛(5𝑥3
+ 𝑥2
+ 2)3
+ 3(𝑥2
+ 7𝑥 + 2)( 15𝑥2
2𝑥) (5𝑥3
+ 𝑥2
+ 2)2
𝑐𝑜𝑠5𝑥3
+ 𝑥2
+ 2)3
SEGUNDO
𝑓( 𝑥) = (3𝑥4
+ 3𝑥2
+ 𝑥 − 2) 𝑠𝑒𝑛(3𝑥2
− 𝑥 + 4)5
𝑓( 𝑥) = (12𝑥3
+ 6𝑥 + 1) 𝑠𝑒𝑛(3𝑥2
− 𝑥 + 4)5
+ (3𝑥4
+ 3𝑥2
+ 𝑥 − 2)5(3𝑥2
− 𝑥
+ 4)4(6𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑠(3𝑥2
− 𝑥 + 4)5
𝑓( 𝑥) = (12𝑥3
+ 6𝑥 + 1) 𝑠𝑒𝑛(3𝑥2
− 𝑥 + 4)5
+ 5(3𝑥4
+ 3𝑥2
+ 𝑥 − 2)(3𝑥2
− 𝑥
+ 4)4(6𝑥 − 1) 𝑐𝑜𝑠(3𝑥2
− 𝑥 + 4)5
LIMITES
PRIMERO
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥3
= (𝑙𝑖𝑚 𝑥)3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥3
= (3)3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥3
= 𝟐

6. SEGUNDO
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
3𝑥 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
3𝑥
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
3𝑥 = 3(2) = 𝟔
TERCERO
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(6𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(6𝑥 − 1) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(2𝑥 − 3)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(6𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = ( 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
6𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
1)( 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
2𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
3)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(6𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = (6 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
1)(2 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
3)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(6𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = (6(2)+ 1)(2 − 3)
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2
(6𝑥 + 1)(2𝑥 − 3) = (13)(1)= 13
CUARTO
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(4𝑥 − 5)2 = (𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
4𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
5)2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(4𝑥 − 5)2 = (4 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑥 − 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
5)2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(4𝑥 − 5)2
= (4(3) − 5)2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
(4𝑥 − 5)2
= 72
= 𝟒𝟗
QUINTO
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
(𝑥3
− 3𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥3
− 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
3𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
(𝑥3
− 3𝑥 + 2) = ( 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥)3
− 3 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
(𝑥3
− 3𝑥 + 2) = (−1) − 3(−1) + 2 = 𝟒

7. SEXTO
lim
𝑋→3
√𝑥 + 13 = √lim
𝑋→3
( 𝑥 + 13)
lim
𝑋→3
√𝑥 + 13 = lim
𝑋→3
√lim
𝑋→3
𝑥 + lim
𝑋→3
13
lim
𝑋→3
√𝑥 + 13 = √3 + 13 = √16 = 𝟒
SEPTIMO
lim
𝑋→7
√ 𝑥 + 2
2𝑥 − 10
=
lim
𝑋→7
√ 𝑥 + 2
lim
𝑋→7
(2𝑥 − 10)
lim
𝑋→7
√ 𝑥 + 2
2𝑥 − 10
=
√lim
𝑋→7
𝑥 + lim
𝑋→7
2
2 lim
𝑋→7
𝑥 − lim
𝑋→7
10)
lim
𝑋→7
√ 𝑥 + 2
2𝑥 − 10
=
√7 + 2
2(7) − 10
lim
𝑋→7
√ 𝑥 + 2
2𝑥 − 10
=
√9
14 − 10
=
𝟑
𝟒
OCTAVO
lim
𝑋→4
√𝑥2 + 9
𝑥
=
lim
𝑋→4
√𝑥2 + 9
lim
𝑋→4
𝑥
lim
𝑋→4
√𝑥2 + 9
𝑥
=
√lim
𝑋→4
(𝑥2 + 9)
lim
𝑋→4
𝑥
lim
𝑋→4
√𝑥2 + 9
𝑥
=
√lim
𝑋→4
𝑥2 + lim
𝑋→4
9
lim
𝑋→4
𝑥
lim
𝑋→4
√𝑥2 + 9
𝑥
=
√(lim
𝑋→4
𝑥)2 + 9
4
lim
𝑋→4
√𝑥2 + 9
𝑥
=
√ 42 + 9
4
=
𝟓
𝟒

8. NOVENO
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(3𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
3𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(3𝑥 + 2) = 3 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
(3𝑥 + 2) = 3(2) + 2 = 𝟖
DECIMO
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
(𝑥3
− 3𝑥 + 2) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥3
− 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
3𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
(𝑥3
− 3𝑥 + 2) = ( 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥)3
− 3 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
𝑥 + 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
2
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−1
(𝑥3
− 3𝑥 + 2) = (−1)3
− 3(−1)+ 2 = 𝟒