Tài liệu trình bày về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình liên quan đến hàm số mũ và logarit, bao gồm kiến thức cơ bản về hàm số, bảng biến thiên và các công thức liên quan. Nó cung cấp các phương pháp giải, như biến đổi thành tích và đặt ẩn phụ, cùng với các định lý giúp xác định số nghiệm của phương trình trong các khoảng nhất định. Tài liệu cũng bao gồm ví dụ minh họa để làm rõ các phương pháp giải và kết quả.

1. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
• y=ax; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞
y +∞ y +∞
1 1
−∞ −∞
• Đồ thị
f(x)=3^x y f(x)=(1/3)^x y
3 3
y=3 x
2 2 x
 1
y=  
1 1  3
x x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
-6 -6
-7 -7
-8 -8
-9 -9
-10 -10
-11 -11
-12 -12
-13 -13
-14 -14
-15 -15
II. Hàm số lgarit
 x> 0
• y=logax, ĐK:  ; D=(0;+∞)
 0< a≠ 1
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x 0 0 +∞ x 0 0 +∞
y +∞ y +∞
1 1
−∞ −∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x)/ln(3) 4 y y=3x f(x)=ln(x)/ln(1/3) 4 y
y=x
3 y = log 1 x
f(x)=3^x f(x)=(1/3)^x
3
f(x)=x f(x)=x 3
2 2
y=log3x x
1 1  1
x y=  x
 3
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-1 -1
y=x
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
-6 -6
-7 -7
-8 -8
-9 -9
-10 -10
-11 -11
-12 -12
-13 -13
-14 -14
-15 -15
III. Các công thức
1. Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
an 1 1
anam =an+m; = a n −m ;( an
=a−m ; a0=1; a−1= );
am a
n
a an m
(an)m =anm ; (ab)n=anbn;   = m ; a n = n am .
b b
2. Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (0<a≠1; b>0)
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 1

2. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có:
x1
x2
loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga = logax1−logax2;
alog a x
=x ; logax =αlogax;
α
1 log b x 1
log aα x =
α
log a x ;(logaax=x); logax= log b a
;(logab= log b a )
logba.logax=logbx; alogbx=xlogba.
IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1. Phương trình mũ−logarit
a. Phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: af(x)=ag(x) (1) ⇔ f(x)=g(x).
b> 0
⇔ 
 f ( x) = log a b
+ 0<a≠1: af(x)=b .
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 ± 3 ), (7 ±4 3 ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta
có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x.
Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)⇔ f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c≠1.
b. Phương trình logarit:
Đưa về cùng cơ số:
0< a≠ 1
 0< a≠ 1 
+logaf(x)=g(x)⇔  +logaf(x)= logag(x)⇔  f ( x ) > 0 [ g ( x ) > 0] .
 f ( x) = a
g ( x)
 f ( x) = g ( x)

Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ:
a> 0 a> 0
⇔   a ≥a ⇔ 
 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0  ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0
f(x) g(x) f(x) g(x)
 a >a ; .
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) ⇔ f(x)>g(x);
af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x) ⇔ f(x)<g(x);
af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit:
0< a ≠ 1 0< a ≠ 1
 
logaf(x)>logag(x)⇔  f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 ; logaf(x)≥logag(x)⇔  f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 .
 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0]  ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]
 
Đặt biệt:
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 2

3. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
 f ( x) > g( x)
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ⇔  ;
 g ( x) > 0
 f ( x) < g( x)
+ Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x) ⇔  .
 f ( x) > 0
*
* *
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH− BẤT PHƯƠNG TRÌNH− HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x
2
+x
−4.2 x
2
−x
−2 2 x +4 =0 ⇔ 2 x ( 2
−x
)
−1 . ( 2 2 x −4 ) =0 .
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:
(2 x 2 −x
)
−1 . ( 2 2 x − 4 ) = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 ( log 9 x )
2
=log 3 x. log 3 ( 2x + −
1 1 ) .
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log 3 x −2 log 3
 ( )
2 x +1 −1 .log 3 x = 0
 .
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 +2( x − 2)3 + x − =
2 5 x
0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:
x
t 2 + ( x − ) t + x − = ⇒ = 1, t = − x
2 2 2 5 0 t − 5 2 . Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình: log ( x + ) +( x − ) log ( x + ) −2 x +6 =0 . Đặt t = log3(x+1), ta có:
1 5 2
1
3 3
t 2
+ x − ) t − x + = ⇒= t = −
( 5 2 6 0 t 2, 3 x ⇒ x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ =v .
u
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có
nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 3

4. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì c ∈; b )
∃ (a
:
F (b ) − F ( a )
F ' (c ) = . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
b −a
c 0 F có nghiệm thuộc (a;b).
∃ ∈a; b ) : F ' ( c ) = ⇔ ' ( x ) =
( 0
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm
thuộc D.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x +2.3 =3 . log 2 x
Hướng dẫn: x + 2.3 = ⇔
3 log 2 x
2.3 = −
3 x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương
log 2 x
trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 x +2 x =5 x +3x . Phương trình tương đương 6 x −5 x =3x −2 x , giả sử phương
trình có nghiêm α. Khi đó: 6 − =3 − .
5 2 α α α α
Xét hàm số f (t ) =t
( +)
1
α
−α
t , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c ∈( 2; 5 )
α−
f ' ( c ) =0 ⇔ ( c +1) −cα−  =0 ⇔ =0, α =1
1 1
sao cho: α 
α , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
 
phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình: . Viết lại phương trình dưới dạng
2
−
−x x
+2 x − =( x − 2
1 2
2 1) 2x − + − = x
1
x 1 2 −x
+ 2 −
x x
, xét hàm số f (t ) = t +
2 t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng:
f ( x − ) =f
1 (x 2
−x ) ⇔ − =x 2 −x ⇔ =
x 1 x 1 .
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 +2 =3x + . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh
2 x x
không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số f ( x ) = + − x − ⇒ '' ( x ) = ln 3 + ln 2 > ⇒ Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra
3 2 3 2 x
f 3x
2 0 x 2 x 2
phương trình không có quá hai nghiệm.
 x y
e = 2007 −
 y2 − 1
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình  có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
e y = 2007 − x
 x2 − 1

x
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f ( x) =ex + − 2007 .
x 2 −1
Nếu x < −1 thì f (x ) <e −2007 < 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
−
1
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
b a
 2 a + 1  ≤  2b + 1 
Ví dụ 6: Cho a ≥ >
b 0
. Chứng minh rằng  ÷  ÷ (ĐH Khối D−2007)
 2a   2b 
1 1
ln  2a + a  ln  2b + b 
1
 ÷  ÷ ln  2 x + x 
 ÷
HD: BĐT 1 1
⇔ b ln  2 a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔
 2 
≤
 2  . Xét hàm số f ( x) =
 2 
 ÷  ÷
 2   2  a b x
với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với ta có f (a) ≤ (b ) (Đpcm).
f a ≥ >
b 0
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình –
bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình log 7 x =log 3 ( x +2) . Đặt t = log7 x ⇒x =7t Khi đó phương trình trở thành:
t t
 7 1
t = log 3 ( 7 t + 2) ⇔ 3t = 7t + 2 ⇔1 =  + 2.  
3 ÷ .
 3 ÷
  
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình log ( x −2 x − =2 log
2) 4
6
2
5 ( x2 − x − )
2 3 .
2
Đặt t = x – 2x – 3 ta có log 6 ( t + ) =log5 t
1 .
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 4

5. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Ví dụ 2: Giải phương trình (
log 2 x + 3log 6 x ) =log 6 x . Đặt t =log 6 x , phương trình tương đương
t
3
6t + 3t = 2t ⇔ 3t +  ÷ = 1 .
2
log b ( x +c )
3. Dạng 3: a =x ( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình 4
log 7 ( x + )
3
=x . Đặt t =log 7 ( x +3 ) ⇒ t
7 =x +3 , phương trình tương
t t
4  1 
đương 4t = 7t − 3 ⇔  ÷ + 3.  ÷ = 1 .
7  7 
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log 3 ( x +5 ) = x +4 . Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2 log3 ( t +1) = t
log 3 ( x + ) log 3 ( x + )
Ví dụ 3: Giải phương trình 4
1
−( x −1) 2
1
−x =0 .
4. Dạng 4: s ax + =c log s
b
( dx +e ) + x +β
α , với d = α
ac + , e =bc +β
Phương pháp: Đặt ay + =
b log s (dx + )
e
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương
trình một ta được: s ax +b
+acx =s ay +b
+acy . Xét f (t ) = s at + +act
b
.
Ví dụ: Giải phương trình 7 x − =6 log 7 (6 x − +
1
5) 1 . Đặt 1 log 7 ( 6 x − )
y− = 5 . Khi đó chuyển thành hệ
7 x −1 = 6 ( y −1) +1
  x −1 = 6 y − 5
7
 ⇔  y −1 ⇒ 7 x −1 + 6 x = 7 y −1 + 6 y . Xét hàm số f (t) =7 t − +6t
1
suy ra x=y, Khi
y −1 = log 7 ( 6 x − 5 )
 7
 = 6 x −5
đó: 7 −6 x +5 =0 . Xét hàm số g (x ) = − x + Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2
x−1 7 6 5 x−
1
nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
8 2x 18
Ví dụ: Giải phương trình x−
+ = x −1
2 1
+1 x
2 +2 2 + 21−x + 2
8 1 18
HD: Viết phương trình dưới dạng +
2 x −1 +1 21−x + 2
= x −1
2 + 21−x + 2
, đặt u = x − + v = 1− + u, v >
2 1 1, 2 x 1. 0 .
8 1 18
 + =
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: u v u + v
u.v = u + v

Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. ( 2 + 3) +( 2 − 3 )
x x
−4 =0
( ) ( )
x x
b. 2− 3 + 2+ 3 =4
c. ( 7 +4 3) −3 ( 2 − 3)
x x
+2 =0
d. (3+ 5) + (3− 5)
x x
16 = 2 x +3
( ) ( )
x x
e. 2 −1 + 2 +1 − 2 2 =0 (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1.
f. 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g. 2 −4.2 −2 +4 = (ĐH_Khối D 2006)
x2 +x
0 x2 −x 2x
ĐS: x=0, x=1.
k. 2x
2
−x
− 2+ −
2 x x
2
=3 (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=−1, x=2.
i. 3.16 x
+2.8 x
=5.32 x
j.
1 1 1
2.4 + 6
x x =9 x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 5

6. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
 4 x + y = 128
 5 x + y = 125

a.  3 x − 2 y −3 b.  2
5
 =1  4( x − y ) −1 = 1

 2 x + 2 y = 12

c. 
x + y = 5

log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )

d.  2 2
(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2)
3x −xy + y = 81

 x −1 + 2 − y =1

e.  (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3
2 3

 1
log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1
f.  4 (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
 x 2 + y 2 = 25

 23 x = 5 y 2 − 4 y
 x
g.  4 + 2 x +1 (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).
 x =y
 2 +2
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
a . ( m −2 ) .2 x +m.2−x +m =0 . b. m.3x + .3− =
m x
8 .
Bài 4: Cho phương trình log 3 x + log 3 x + −2 m − =0
2 2
1 1 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
a. Giải phương trình khi m=2.
1;3 3 
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn   .
ĐS: a. x = 3± 3
, b. 0 ≤ m ≤ 2
Bài 5: Cho bất phương trình 1
( )
4 x − − m. 2 x +1 > 0 a. Giải bất phương trình khi m=
16
9
.
b. Định m để bất phương trình thỏa ∀∈
x R
.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. log5 x =log5 ( x +6 ) −log 5 ( x +2 ) b. log 5 x +log 25 x =log 0,2 3
c. (
log x 2 x 2 −5 x + 4 = 2 ) d. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg
x +3
x −1
=0
e. log2x−1(2x2+x−1)+logx+1(2x−1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4.
f. log 2
2 ( x + ) − log 2
1 6 x + + =
1 2 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.
1
g. log 2 ( 4 x +15.2 x + 27 ) + 2 log 2 =0 (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23.
4.2 x −3
Bài 7: Giải bất phương trình:
2 log 3 (4 x −3) +log 1 ( 2 x +3 ) ≤ 2
a. 3
(ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3.
 x2 + x 
b. log 0,7  log 6
x +4 
÷< 0 (ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8.

c. log 5 (4 x
+144 ) −4 log 5 2 < +log 5
1 (2 x−2
+ )
1 (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.
x 2 − 3x + 2
d. log 1
x
≥0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS:  ) (
2 − 2;1 U 2; 2 + 2 
 .
2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 6