1. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Hàm số mũ
• y=ax; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞
y +∞ y +∞
1 1
−∞ −∞
• Đồ thị
f(x)=3^x y f(x)=(1/3)^x y
3 3
y=3 x
2 2 x
 1
y=  
1 1  3
x x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-1 -1
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
-6 -6
-7 -7
-8 -8
-9 -9
-10 -10
-11 -11
-12 -12
-13 -13
-14 -14
-15 -15
II. Hàm số lgarit
 x> 0
• y=logax, ĐK:  ; D=(0;+∞)
 0< a≠ 1
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x 0 0 +∞ x 0 0 +∞
y +∞ y +∞
1 1
−∞ −∞
• Đồ thị
f(x)=ln(x)/ln(3) 4 y y=3x f(x)=ln(x)/ln(1/3) 4 y
y=x
3 y = log 1 x
f(x)=3^x f(x)=(1/3)^x
3
f(x)=x f(x)=x 3
2 2
y=log3x x
1 1  1
x y=  x
 3
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-1 -1
y=x
-2 -2
-3 -3
-4 -4
-5 -5
-6 -6
-7 -7
-8 -8
-9 -9
-10 -10
-11 -11
-12 -12
-13 -13
-14 -14
-15 -15
III. Các công thức
1. Công thức lũy thừa:
Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
an 1 1
anam =an+m; = a n −m ;( an
=a−m ; a0=1; a−1= );
am a
n
a an m
(an)m =anm ; (ab)n=anbn;   = m ; a n = n am .
b b
2. Công thức logarit: logab=c⇔ac=b (0<a≠1; b>0)
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 1

2. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1, x2>0; α∈R ta có:
x1
x2
loga(x1x2)=logax1+logax2 ; loga = logax1−logax2;
alog a x
=x ; logax =αlogax;
α
1 log b x 1
log aα x =
α
log a x ;(logaax=x); logax= log b a
;(logab= log b a )
logba.logax=logbx; alogbx=xlogba.
IV. Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1. Phương trình mũ−logarit
a. Phương trình mũ:
Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: af(x)=ag(x) (1) ⇔ f(x)=g(x).
b> 0
⇔ 
 f ( x) = log a b
+ 0<a≠1: af(x)=b .
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2 ± 3 ), (7 ±4 3 ),… Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta
có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=(a/b)x (hoặc t=(b/a)x.
Phương pháp logarit hóa: af(x)=bg(x)⇔ f(x).logca=g(x).logcb,với a,b>0; 0<c≠1.
b. Phương trình logarit:
Đưa về cùng cơ số:
0< a≠ 1
 0< a≠ 1 
+logaf(x)=g(x)⇔  +logaf(x)= logag(x)⇔  f ( x ) > 0 [ g ( x ) > 0] .
 f ( x) = a
g ( x)
 f ( x) = g ( x)

Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ:
a> 0 a> 0
⇔   a ≥a ⇔ 
 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] > 0  ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ] ≥ 0
f(x) g(x) f(x) g(x)
 a >a ; .
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: af(x)>ag(x) ⇔ f(x)>g(x);
af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: af(x)>ag(x) ⇔ f(x)<g(x);
af(x)≥ag(x) ⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit:
0< a ≠ 1 0< a ≠ 1
 
logaf(x)>logag(x)⇔  f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 ; logaf(x)≥logag(x)⇔  f ( x ) > 0, g ( x ) > 0 .
 ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) > 0]  ( a − 1) [ f ( x ) − g ( x ) ≥ 0]
 
Đặt biệt:
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 2

3. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
 f ( x) > g( x)
+ Nếu a>1 thì: logaf(x)>logag(x) ⇔  ;
 g ( x) > 0
 f ( x) < g( x)
+ Nếu 0<a<1 thì: logaf(x)>logag(x) ⇔  .
 f ( x) > 0
*
* *
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH− BẤT PHƯƠNG TRÌNH− HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x
2
+x
−4.2 x
2
−x
−2 2 x +4 =0 ⇔ 2 x ( 2
−x
)
−1 . ( 2 2 x −4 ) =0 .
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:
(2 x 2 −x
)
−1 . ( 2 2 x − 4 ) = 0 . Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 ( log 9 x )
2
=log 3 x. log 3 ( 2x + −
1 1 ) .
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log 3 x −2 log 3
 ( )
2 x +1 −1 .log 3 x = 0
 .
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi
thành tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình: 9 +2( x − 2)3 + x − =
2 5 x
0 . Đặt t = 3x (*), khi đó ta có:
x
t 2 + ( x − ) t + x − = ⇒ = 1, t = − x
2 2 2 5 0 t − 5 2 . Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình: log ( x + ) +( x − ) log ( x + ) −2 x +6 =0 . Đặt t = log3(x+1), ta có:
1 5 2
1
3 3
t 2
+ x − ) t − x + = ⇒= t = −
( 5 2 6 0 t 2, 3 x ⇒ x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một
nghiệm trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ =v .
u
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có
nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 3

4. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì c ∈; b )
∃ (a
:
F (b ) − F ( a )
F ' (c ) = . Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
b −a
c 0 F có nghiệm thuộc (a;b).
∃ ∈a; b ) : F ' ( c ) = ⇔ ' ( x ) =
( 0
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm
thuộc D.
Ví dụ 1: Giải phương trình: x +2.3 =3 . log 2 x
Hướng dẫn: x + 2.3 = ⇔
3 log 2 x
2.3 = −
3 x , vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương
log 2 x
trình có nghiệm duy nhất x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình: 6 x +2 x =5 x +3x . Phương trình tương đương 6 x −5 x =3x −2 x , giả sử phương
trình có nghiêm α. Khi đó: 6 − =3 − .
5 2 α α α α
Xét hàm số f (t ) =t
( +)
1
α
−α
t , với t > 0. Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c ∈( 2; 5 )
α−
f ' ( c ) =0 ⇔ ( c +1) −cα−  =0 ⇔ =0, α =1
1 1
sao cho: α 
α , thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của
 
phương trình.
Ví dụ 3: Giải phương trình: . Viết lại phương trình dưới dạng
2
−
−x x
+2 x − =( x − 2
1 2
2 1) 2x − + − = x
1
x 1 2 −x
+ 2 −
x x
, xét hàm số f (t ) = t +
2 t là hàm đồng biến trên R ( ??? ). Vậy phương trình được viết dưới dạng:
f ( x − ) =f
1 (x 2
−x ) ⇔ − =x 2 −x ⇔ =
x 1 x 1 .
Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 +2 =3x + . Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1. Ta cần chứng minh
2 x x
không còn nghiệm nào khác.
Xét hàm số f ( x ) = + − x − ⇒ '' ( x ) = ln 3 + ln 2 > ⇒ Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra
3 2 3 2 x
f 3x
2 0 x 2 x 2
phương trình không có quá hai nghiệm.
 x y
e = 2007 −
 y2 − 1
Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình  có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.
e y = 2007 − x
 x2 − 1

x
HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số f ( x) =ex + − 2007 .
x 2 −1
Nếu x < −1 thì f (x ) <e −2007 < 0 suy ra hệ phương trình vô nghiệm.
−
1
Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.
b a
 2 a + 1  ≤  2b + 1 
Ví dụ 6: Cho a ≥ >
b 0
. Chứng minh rằng  ÷  ÷ (ĐH Khối D−2007)
 2a   2b 
1 1
ln  2a + a  ln  2b + b 
1
 ÷  ÷ ln  2 x + x 
 ÷
HD: BĐT 1 1
⇔ b ln  2 a + a  ≤ a ln  2b + b  ⇔
 2 
≤
 2  . Xét hàm số f ( x) =
 2 
 ÷  ÷
 2   2  a b x
với x > 0
Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với ta có f (a) ≤ (b ) (Đpcm).
f a ≥ >
b 0
IV. Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta thường phải đưa về phương trình – hệ phương trình –
bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.
1.Dạng 1: Khác cơ số:
Ví dụ: Giải phương trình log 7 x =log 3 ( x +2) . Đặt t = log7 x ⇒x =7t Khi đó phương trình trở thành:
t t
 7 1
t = log 3 ( 7 t + 2) ⇔ 3t = 7t + 2 ⇔1 =  + 2.  
3 ÷ .
 3 ÷
  
2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp
Ví dụ 1: Giải phương trình log ( x −2 x − =2 log
2) 4
6
2
5 ( x2 − x − )
2 3 .
2
Đặt t = x – 2x – 3 ta có log 6 ( t + ) =log5 t
1 .
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 4

5. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
Ví dụ 2: Giải phương trình (
log 2 x + 3log 6 x ) =log 6 x . Đặt t =log 6 x , phương trình tương đương
t
3
6t + 3t = 2t ⇔ 3t +  ÷ = 1 .
2
log b ( x +c )
3. Dạng 3: a =x ( Điều kiện: b = a + c )
Ví dụ 1: Giải phương trình 4
log 7 ( x + )
3
=x . Đặt t =log 7 ( x +3 ) ⇒ t
7 =x +3 , phương trình tương
t t
4  1 
đương 4t = 7t − 3 ⇔  ÷ + 3.  ÷ = 1 .
7  7 
Ví dụ 2: Giải phương trình 2 log 3 ( x +5 ) = x +4 . Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2 log3 ( t +1) = t
log 3 ( x + ) log 3 ( x + )
Ví dụ 3: Giải phương trình 4
1
−( x −1) 2
1
−x =0 .
4. Dạng 4: s ax + =c log s
b
( dx +e ) + x +β
α , với d = α
ac + , e =bc +β
Phương pháp: Đặt ay + =
b log s (dx + )
e
rồi chuyển về hệ hai phương trình, lấy phương trình hai trừ phương
trình một ta được: s ax +b
+acx =s ay +b
+acy . Xét f (t ) = s at + +act
b
.
Ví dụ: Giải phương trình 7 x − =6 log 7 (6 x − +
1
5) 1 . Đặt 1 log 7 ( 6 x − )
y− = 5 . Khi đó chuyển thành hệ
7 x −1 = 6 ( y −1) +1
  x −1 = 6 y − 5
7
 ⇔  y −1 ⇒ 7 x −1 + 6 x = 7 y −1 + 6 y . Xét hàm số f (t) =7 t − +6t
1
suy ra x=y, Khi
y −1 = log 7 ( 6 x − 5 )
 7
 = 6 x −5
đó: 7 −6 x +5 =0 . Xét hàm số g (x ) = − x + Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2
x−1 7 6 5 x−
1
nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.
5. Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.
8 2x 18
Ví dụ: Giải phương trình x−
+ = x −1
2 1
+1 x
2 +2 2 + 21−x + 2
8 1 18
HD: Viết phương trình dưới dạng +
2 x −1 +1 21−x + 2
= x −1
2 + 21−x + 2
, đặt u = x − + v = 1− + u, v >
2 1 1, 2 x 1. 0 .
8 1 18
 + =
Nhận xét: u.v = u + v. Từ đó ta có hệ: u v u + v
u.v = u + v

Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a. ( 2 + 3) +( 2 − 3 )
x x
−4 =0
( ) ( )
x x
b. 2− 3 + 2+ 3 =4
c. ( 7 +4 3) −3 ( 2 − 3)
x x
+2 =0
d. (3+ 5) + (3− 5)
x x
16 = 2 x +3
( ) ( )
x x
e. 2 −1 + 2 +1 − 2 2 =0 (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1.
f. 3.8x+4.12x−18x−2.27x=0. (ĐH_Khối A 2006) ĐS: x=1.
g. 2 −4.2 −2 +4 = (ĐH_Khối D 2006)
x2 +x
0 x2 −x 2x
ĐS: x=0, x=1.
k. 2x
2
−x
− 2+ −
2 x x
2
=3 (ĐH_Khối D 2003) ĐS: x=−1, x=2.
i. 3.16 x
+2.8 x
=5.32 x
j.
1 1 1
2.4 + 6
x x =9 x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 5

6. Chuyên đề: Phương trình− Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit www.VNMATH.com
 4 x + y = 128
 5 x + y = 125

a.  3 x − 2 y −3 b.  2
5
 =1  4( x − y ) −1 = 1

 2 x + 2 y = 12

c. 
x + y = 5

log 2 ( x 2 + y 2 ) = 1 + log 2 ( xy )

d.  2 2
(ĐH_Khối A 2009) ĐS: (2;2), (−2;−2)
3x −xy + y = 81

 x −1 + 2 − y =1

e.  (ĐH_Khối B 2005) ĐS: (1;1), (2;2).
3log 9 ( 9 x ) − log 3 y = 3
2 3

 1
log 1 ( y − x ) − log 4 y = 1
f.  4 (ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)
 x 2 + y 2 = 25

 23 x = 5 y 2 − 4 y
 x
g.  4 + 2 x +1 (ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4).
 x =y
 2 +2
Bài 3: Giải và biện luận phương trình:
a . ( m −2 ) .2 x +m.2−x +m =0 . b. m.3x + .3− =
m x
8 .
Bài 4: Cho phương trình log 3 x + log 3 x + −2 m − =0
2 2
1 1 (m là tham số). (ĐH_Khối A 2002)
a. Giải phương trình khi m=2.
1;3 3 
b. Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn   .
ĐS: a. x = 3± 3
, b. 0 ≤ m ≤ 2
Bài 5: Cho bất phương trình 1
( )
4 x − − m. 2 x +1 > 0 a. Giải bất phương trình khi m=
16
9
.
b. Định m để bất phương trình thỏa ∀∈
x R
.
Bài 6: Giải các phương trình sau:
a. log5 x =log5 ( x +6 ) −log 5 ( x +2 ) b. log 5 x +log 25 x =log 0,2 3
c. (
log x 2 x 2 −5 x + 4 = 2 ) d. lg( x 2 + 2 x − 3) + lg
x +3
x −1
=0
e. log2x−1(2x2+x−1)+logx+1(2x−1)2=4 (ĐH Khối A_2008) ĐS: x=2; x=5/4.
f. log 2
2 ( x + ) − log 2
1 6 x + + =
1 2 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.
1
g. log 2 ( 4 x +15.2 x + 27 ) + 2 log 2 =0 (ĐH_Khối D 2007) ĐS: x=log23.
4.2 x −3
Bài 7: Giải bất phương trình:
2 log 3 (4 x −3) +log 1 ( 2 x +3 ) ≤ 2
a. 3
(ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3.
 x2 + x 
b. log 0,7  log 6
x +4 
÷< 0 (ĐH_Khối B 2008) ĐS: −4< x < −3, x > 8.

c. log 5 (4 x
+144 ) −4 log 5 2 < +log 5
1 (2 x−2
+ )
1 (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.
x 2 − 3x + 2
d. log 1
x
≥0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS:  ) (
2 − 2;1 U 2; 2 + 2 
 .
2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Thái Thanh Tùng www.VNMATH.com 6