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tcolorboxによる装飾表現(TeXユーザの集い2015)

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TeXユーザの集い2015で使用した発表資料です。TeXによる組版結果の取り込みには,TeX2imgを利用しています。

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tcolorboxによる装飾表現(TeXユーザの集い2015)

  1. 1. による装飾表現 佐藤 淳俊 (鉄緑会)
  2. 2. 1. 自己紹介 TeXユーザーの集い2015 2
  3. 3. 佐藤 淳俊 (さとう あつとし) !  鉄緑会物理科 高2/高3担当 3年目 ◦  教材作成のために TeX を学ぶ。 ◦  とはいえまだ3年目であり,普段は鉄緑会独自の パッケージで TeX を使っているので,TeX に関 する一般的な知識はほぼ空っぽ。 !  東京大学医学部医学科 3年 ◦  レポート作成で TeX を使用することもしばしば。 TeXユーザーの集い2015 3
  4. 4. 本講演の目的 !  tcolorbox パッケージを広く普及させ ること。 TeXユーザーの集い2015 4
  5. 5. なぜ tcolorbox か !  高校生向けの教材を作成するにあたっ て,複数種類の枠で囲む環境が必要 だった。 !  ページまたぎもできると尚良い。 !  生徒の書き込み用スペースを作成する ためのレイアウトを実現するのに苦労 していた。 TeXユーザーの集い2015 5
  6. 6. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 6 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体1を熱していきます。 ここで,気体2についてはピストン B があるので, 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン1についてはⅠ⑴が成り 立つので,気体2が定圧である以上,気体1も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが,見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体2に注目します。気体2は, 圧力が一定であるうえ,温度も一定であるため, であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので, 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体1の温度を求めます。気体1については,圧 力がⅡと等しく,体積変化が S0z であるため,状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より, V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので,定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は,Cp の定義より, Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh
  7. 7. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 7 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体1を熱していきます。 ここで,気体2についてはピストン B があるので, 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン1についてはⅠ⑴が成り 立つので,気体2が定圧である以上,気体1も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが,見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体2に注目します。気体2は, 圧力が一定であるうえ,温度も一定であるため, であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので, 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体1の温度を求めます。気体1については,圧 力がⅡと等しく,体積変化が S0z であるため,状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より, V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので,定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は,Cp の定義より, Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh !  左側に装飾付きの線を 引きたい
  8. 8. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 8 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体1を熱していきます。 ここで,気体2についてはピストン B があるので, 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン1についてはⅠ⑴が成り 立つので,気体2が定圧である以上,気体1も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが,見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体2に注目します。気体2は, 圧力が一定であるうえ,温度も一定であるため, であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので, 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体1の温度を求めます。気体1については,圧 力がⅡと等しく,体積変化が S0z であるため,状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より, V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので,定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は,Cp の定義より, Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh !  左側に装飾付きの線を 引きたい !  広い書き込みスペース を作るときに,自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。
  9. 9. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 9 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体1を熱していきます。 ここで,気体2についてはピストン B があるので, 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン1についてはⅠ⑴が成り 立つので,気体2が定圧である以上,気体1も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが,見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体2に注目します。気体2は, 圧力が一定であるうえ,温度も一定であるため, であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので, 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体1の温度を求めます。気体1については,圧 力がⅡと等しく,体積変化が S0z であるため,状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より, V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので,定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は,Cp の定義より, Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh !  左側に装飾付きの線を 引きたい !  広い書き込みスペース を作るときに,自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。 !  任意のスペースを残し て,ページ下端まで高 さを調整したい。
  10. 10. 2. tcolorbox の基本 TeXユーザーの集い2015 10
  11. 11. インストール !  TeX Live には標準でインストールさ れている。 !  内部的に TikZ を呼び出して利用する。 TeXユーザーの集い2015 11
  12. 12. 使用準備 !  pLaTeX + dvipdfmx で利用する場合 の典型的プリアンブル TeXユーザーの集い2015 12 !  ドキュメントクラスオプションに dvipdfmx を付けておくと,dvipdfmx 用設定で graphicx, xcolor, tikz パッ ケージがロードされる。
  13. 13. tcolorbox の作成 !  options で様々な変更が可能。 !  minipage を利用して作成されており, width はデフォルトでは linewidth に なる。 TeXユーザーの集い2015 13 基本的な tcolorbox の作成 begin{tcolorbox}[⟨options⟩] ⟨environment content⟩ end{tcolorbox}
  14. 14. 基本サンプル1 TeXユーザーの集い2015 14
  15. 15. options でできること色々 !  box のサイズ変 更 !  枠のデザイン !  透過性の設定 !  ページまたぎ !  表作成(tabular) !  画像の貼り込み !  box のネストの 調整 !  前後余白の調整 !  インラインでの利 用(tcbox) !  タイトルの独立, 場所変更 !  高さ揃え(後述) !  上下分割の調整 !  影付き box など,あげたらきりがない TeXユーザーの集い2015 15
  16. 16. box のサイズ指定 TeXユーザーの集い2015 16 begin{tcolorbox}[height=3cm, width=5cm,title=My box] box contents end{tcolorbox} My box box contents
  17. 17. 枠のデザイン,色変更 TeXユーザーの集い2015 17
  18. 18. インラインでの利用(tcbox) TeXユーザーの集い2015 18 Testdotfill tcbox[tcbox raise base]{tcbox1}dotfill tcbox{tcbox2} Test . . . . . . . . . . tcbox1 . . . . . . . . . . tcbox2
  19. 19. 表作成(tabular との組み合わせ) TeXユーザーの集い2015 19 tcbox[left=0mm,right=0mm,top=0mm,bottom=0mm, boxsep=0mm,title=My table]{% begin{tabular}{r|c|l} One & Two & Three hline Four & Five & Six end{tabular}} My table One Two Three Four Five Six
  20. 20. 画像の貼り付け(includegraphics との組み合わせ) TeXユーザーの集い2015 20
  21. 21. 画像の貼り込み1 TeXユーザーの集い2015 21 begin{tcolorbox}[enhanced,title=My title,title style image=blueshade.png] upper part tcblower lower part end{tcolorbox} My title upper part lower part
  22. 22. TeXユーザーの集い2015 22 begin{tcolorbox}[enhanced,title=My title,interior style tile={width=2cm}{paper.png}] upper part tcblower lower part end{tcolorbox} My title upper part lower part 画像の貼り込み2
  23. 23. 上下パート分割,影付きの box TeXユーザーの集い2015 23 begin{tcolorbox}[enhanced, colframe=salmon,colback=salmon!20!white, coltitle=black,sharp corners, drop fuzzy shadow,title=My box] upper part tcblower lower part end{tcolorbox} My box upper part lower part
  24. 24. タイトルの独立・位置調整 TeXユーザーの集い2015 24 begin{tcolorbox}[enhanced,title=My title, attach boxed title to top center] This is a textbf{tcolorbox}. end{tcolorbox} My title This is a tcolorbox.
  25. 25. 3. tcolorbox の創作 TeXユーザーの集い2015 25
  26. 26. newtcolorbox, newtcbox !  newenvironment / newcommand と同様の振る舞い。 TeXユーザーの集い2015 26 tcolorbox の定義 newtcolorbox[⟨init options⟩] {⟨name⟩}[⟨number⟩][⟨default⟩]{⟨options⟩} tcbox の定義 newtcbox[⟨init options⟩] {⟨name⟩}[⟨number⟩][⟨default⟩]{⟨options⟩}
  27. 27. DeclareTColorBox !  DeclareDocumentEnvironment と 同様の振る舞い。xparse library を読 み込む必要あり(プリアンブルに tcbuselibrary{xparse} )。 !  引数を増やせる,*の有無による挙動 変化を設定できる。 TeXユーザーの集い2015 27 DeclareTColorBox による定義 DeclareTColorBox[⟨init options⟩] {⟨name⟩}{⟨supecification⟩}{⟨options⟩}
  28. 28. skin の変更 ― enhanced !  skin は枠の見た目を決める土台。 !  standard, enhanced, empty など。 !  enhanced skin を用いると,描画に tikz コマンドを利用できる。 !  枠の見た目を劇的に変化させることが 可能(shadow も enhanced skin を 利用)。 !  完全にイチから box を作成する際は, empty skin で全てを空っぽにする。 TeXユーザーの集い2015 28
  29. 29. options の活用 ― underlay !  TikZ コマンドを用いて,box に自由 に描画を上書きできる。 !  各種枠(タイトル部,テキスト背景部 など)の座標を取得することが可能な ので,box の枠などを自由に創作で きる。 TeXユーザーの集い2015 29
  30. 30. 創作box例1 !  シンプルな枠囲み TeXユーザーの集い2015 30
  31. 31. 創作box例2 !  manual にある box-改 TeXユーザーの集い2015 31
  32. 32. 創作box例3 !  これも manual にある box-改 TeXユーザーの集い2015 32
  33. 33. 創作box例4 !  enhanced skin を利用して作成。 TeXユーザーの集い2015 33
  34. 34. 創作box例5 TeXユーザーの集い2015 34
  35. 35. 創作box例6 !  模様の繰り返し回数を指定可能 TeXユーザーの集い2015 35
  36. 36. 創作box例7 !  四隅の正方形の一辺の長さを指定可 TeXユーザーの集い2015 36
  37. 37. 創作box例8 TeXユーザーの集い2015 37
  38. 38. 英語教材における利用例1 TeXユーザーの集い2015 38
  39. 39. 英語教材における利用例2 TeXユーザーの集い2015 39
  40. 40. 物理教材における 利用例1 TeXユーザーの集い2015 40 15 Priority:5 ▶ 位置エネルギー 物体がある位置に存在することによって得る,他の物体に仕事をすることが出来る能力を と定義する。 この定義から,仕事をした分位置エネルギーは減少してしまうため,位置エネルギー ・ の ・ 変 ・ 化 と保存力の間には以下の関係がある。 保存力の為す仕事 W保 を用いて,保存力の位置エネルギー U を以下の通りに定める。 ∆U = −W保 Priority:3 ▶ 重力の位置エネルギー 上記の位置エネルギーの定義と,(1次元の)仕事の定義式:W保 = Fx dx から得られる ∆U = − Fx dx といった式を用いることで,重力や弾性力の位置エネルギーを考えることができる。 【重力の位置エネルギー】 右のように,x 軸を鉛直上向きに取り,物体が位置 x0 から任意の位置 x まで移動した場合を考える。働く重力 は,鉛直下向きで,大きさが mg なので,向きも含める と,−mg と書くことができる(今は鉛直上向きを正方 向としているので,鉛直下向きに働く力は負の方向に働 いているとみなす)。 従って,この移動の際に重力がした仕事は, Wg = x x0 (−mg) dx = −mg(x − x0) と書くことができ,また,(5–1)式を用いることで, ∆Ug = − x x0 (−mg) dx = mg(x − x0) となる。ここで,基準の位置 x0 を 0(すなわち,地面を基準として考える)とすれば, Ug = mgx が得られる。 Column 実は,世の中に存在するあらゆる種類のエネルギーは「運動エネルギー」か「位置エネルギー」のいず れかであることが知られて ・ い ・ た。例えば,「熱エネルギー」は分子が持つ運動エネルギーであるし,「化 学エネルギー」は原子が持つ電子の位置エネルギーと考えられる。 しかし,アインシュタインが発見した E = mc2 という式によって,静止していて,かつ位置エネル ギーを持たないような物体でも「質量エネルギー」を持つことが明らかになった。
  41. 41. 物理教材における 利用例2 TeXユーザーの集い2015 41 22 2 断熱圧縮なので,温度は上昇,∆U > 0 となるは ずです。 ⑶ 続いて θ = 180◦ で加熱するわけですが,この加 熱の間,ピストンに働く力は常につり合うので,定 圧変化をすることが分かります。定圧変化に関して は,必ず以下の点を押さえておきましょう。 【定圧変化の特性】 定圧変化においては, Qin : ∆U : Wout = Cp : Cv : R が成り立つ。特に,単原子分子理想気体の 場合は Qin : ∆U : Wout = 5 : 3 : 2 となる。 今回であれば, Wout = 3 2 p0 · (H3 − H2) が直ぐに求まるので, Qin = Cp R Wout = 3(Cv + R) 2R p0 · (H3 − H2) ∆U = Cv R Wout = 3Cv 2R p0 · (H3 − H2) としてスムーズに計算することが出来ます。熱力学 第一法則から求めるより圧倒的に早いので,この方 法は使えるようにしておくべきです。ということで,     を埋めてから     を埋めることにな りますね。 ここまでの p − V グラフは以下の通りです。 ⑷ 再び断熱変化です。断熱変化に関しては,∆U + Wout = 0 が成り立つことを思い出したいところ です。p − V グラフの面積から Wout を求めるの は困難なので,∆U から間接的に求めることが圧 倒的に多いです。今回も,状態方程式を使って温 度を求めてから ∆U を計算することになりますね。     は猿でも出来ますから,必ず解きましょう。 飛ばしてしまうのはあまりにも勿体無いです。 この変化が断熱膨張であることを踏まえると, p − V グラフは以下の通りです。 ⑸ 最後は再び定圧変化です。やはり Wout = 1 2 p0 · (H1 − H4) が直ぐに求まるので,これを元に考えましょう。 Qin = Cv + R R Wout なので,−Qin を計算しましょう。 これでサイクル1周が終わりました。サイクル全 体の p − V グラフは以下の通りです。
  42. 42. 物理教材における 利用例3 TeXユーザーの集い2015 42 22 6 となること」の2つです。ベクトルの図で整理する と下図の通りです。 これより,求める台の移動は −x 方向に lM = m m + M 2l + h tan θ であることが分かりますね。 Ⅰ 回路を組み立てる問題です。何となく似た回路を 思い浮かべられないと厳しい内容かもしれません。 問題となるのは恐らく可変抵抗の扱いですが,メー トルブリッジの問題を解いたことがあるとイメージ しやすかったかもしれません。 参 考 メートルブリッジとは,未知の抵抗の抵 抗値を測定する以下のような回路です。 検流計が繋がれた導線をメートル部分に 接続する部分を徐々にずらし,検流計に電 流が流れない点を見つけます。このときの メートルブリッジにおいて,l1, l2 を上の 図のように定めると,ブリッジ回路の公式 より R0 : RX = l1 : l2 が成り立つので,RX を求めることが出来 ます。 初見であれば問題自体は解けなくても良いですが, 何となくで良いので答えの形を頭に入れておきたい ですね。 Ⅱ 念のためダイオードの順方向の確認。ダイオード の素子の電圧と電流の順方向は以下の図の通りです。 この V と I の関係が図で与えられています(た だし,I の単位が [mA] であることに注意)。特性 曲線からも分かる通り,ダイオードは順方向のみに 電流を流します。
  43. 43. 物理教材における 利用例4 TeXユーザーの集い2015 43 20 6 く解けます。これは運動方程式を立てる際に ay を 用いているからであり,ay を用いれば 1 2 ayt1 2 = h と立式できます。斜面上での動きを考えるのであれ ば,斜面上で(慣性力を含めて)運動方程式を立て, 斜面方向の加速度を求めてから等加速度運動の公式 を利用しましょう。 ⑺ 台の運動方程式から台の加速度を求め,t1 を使っ て V1 を求めます。この際,運動方程式から求まる b が “加速度” であり,符号付きであることに注意し ましょう。求めるのは台の速さなので, V1 = |bt1| を計算することになります。 ⑻ 運動量保存則とエネルギー保存則を連立させる非 常にオーソドクスな内容です。方針はすぐに立てら れないとマズいですね。また,「運動量保存則とエ ネルギー保存則を連立させる」という計算は非常に よく出るので,大体の計算の流れは頭に入れておく と良いでしょう。 相対運動と重心系から考えるとやはり計 算は楽になります。エネルギー保存則は,相 対速度の大きさ vr を用いて 1 2 µvr 2 = mgh となるので, vr = 2mgh µ = 2(m + M)gh M が直ぐに求まります。 重心系(今回は静止系)から見ると,2物 体の速度の大きさは速度の逆比になるので, v2 = M m + M vr = 2Mgh m + M V2 = m m + M vr = 2m2 gh M(m + M) として答えが求まります。 ⑼ 1 2 MV2 2 − 1 2 MV1 2 を計算すれば良いことは直 ぐに分かると思いますが,計算量がひどいですね…。 ここで先に⑽,⑾の問題を見て先に解いてしまって, 最後に時間と相談しながら⑼を計算するのが良いで しょう。 この問題,重心系から考えるととっても 大変です。重心速度も変化するので危ない 匂いはするのですが,考えなければいけな い「静止系から見た台の運動エネルギーの 変化」は重心速度とも相対速度とも結びつ けにくいからです。どうしても重心で考え たい,という場合であれば無理ではないで すが,非常に難しい考え方になるので実戦 的ではないでしょう。興味がある人のため, 問題の形式で以下に掲載しておきます。 参考問題 ⑴ A が Q を通過する直前の重心速度 vG を求めよ。 ⑵ A が Q を通過した直後の重心速度 vG ′ を求めよ。 ⑶ A が Q を通過する直前と直後の A と 台について,重心から見た速度を始点を そろえてそれぞれ書け。 ⑷ A が通過する直前の相対速度の大きさ vr および通過する直後の相対速度の大き さ vr ′ を用いて,⑶のそれぞれの速度ベ クトルの大きさを表せ。 ⑸ vr と vr ′ の間に成り立つ関係式を,vG を用いて表せ。 ⑹ vr を vG を用いて表せ。 ⑺ 求める台の運動エネルギーの変化 ∆K を,vr, vr ′ を用いて表せ。 ⑻ 以上の結果を用いて,∆K を vG を用 いて表せ。 【解答】 ⑴ 系は水平方向に外力を受けないので,重心速度が y 軸に平行であることに注意して, vG = m m + M vy ⑵ A,台の鉛直方向の速度が共に 0 なので, vG ′ = 0
  44. 44. 東大物理問題集 における利用例1 TeXユーザーの集い2015 44 2013 1 1 解答例 Ⅰ⑴ 小球1に関する力学的エネルギー保存則より,求める速さを v1 として, 1 2 ks2 = 1 2 mv1 2 + 1 2 kd2 v1 = k m (s2 − d2 ) ⑵ 等質量の2物体が弾性衝突するとき2物体の速度が交換されるので,衝突直後の2物体の速さは, 小球1 : 0, 小球2 : v1 = k m (s2 − d2 ) ⑶ 小球1,小球2それぞれの側のばねの縮みの最大値を A1, A2 とすると,力学的エネルギー保存則より, 小球1 : 1 2 kd2 = 1 2 kA1 2 , 小球2 : 1 2 mv1 2 = 1 2 kA2 2 よって, A1 = d, A2 = B s2 − d2 ⑷ s = B 2 d のとき,A1 = A2 = d となる。 衝突後の小球1,小球2の運動はともに振幅 d,周期 T = 2π m k の単振動であり,小球1は端点から,小球2は振動 中心から動き始めるので,それぞれの位置は図のような時間 変化をする。ただし,x 軸は小球1側のばねの自然長の位置を 原点とし,右向きが正である。 これより,2つの小球が再び衝突するまでの時間は, 3 4 T = 3π 2 m k Ⅱ⑴ ばねが s だけ縮んでいるときの小球1のつり合いを考えて,小球1が動き始める条件は, ks > µmg s > µmg k ⑵ 小球1が右向きに動いているときの運動方程式は, m d2 x dt2 = −kx − µ′ mg d2 x dt2 = − k m x + µ′ mg k よって,小球1は,x = − µ′ mg k を振動中心とする単振動をする。x = −s が振動の左端なので,右端の座 標 x1 は, x1 − s 2 = − µ′ mg k x1 = s − 2µ′ mg k 小球1が小球2に衝突する条件は,x1 >= d より, s >= d + 2µ′ mg k よって求める s の最小値は, s = d + 2µ′ mg k 配点 Ⅰ⑴ 3 点(☆) ⑵ 4 点(☆) ⑶ 3 点(☆) ⑷ 3 点(☆☆) Ⅱ⑴ 3 点(☆) ⑵ 4 点(☆☆) 採点基準 Ⅰ⑴ エネルギー保存則を立式して····························1 点 衝突直前の小球1の速さを求めて····················2 点 ⑵ 衝突後の小球の速さを求めて·······················各 2 点 ⑶ 左側のバネの最大の縮みを求めて····················1 点 右側のバネの最大の縮みを求めて····················2 点 ⑷ 求める時間が周期の 3 4 だと述べて·················1 点 衝突までの時間を求めて····································2 点 Ⅱ⑴ s の条件を求めて·················································3 点
  45. 45. 東大物理問題集 における利用例2 TeXユーザーの集い2015 45 2013 1 指針 Ⅰは,単振動と衝突を組み合わせた2体問題です。エ ネルギー保存則や速度交換の知識があれば,⑶までは迷 うことなく解き進められるはずです。一方で,⑷に関し ては単振動を踏まえた時間の考察を行うことになります。 「単振動の中途半端な時間を考えるときは,円運動を復 元して考える」という定石を踏まえて,グラフを描きな がら整理して考えれば答えに至るのは難しくはないで しょう。 一方でⅡの内容は,Ⅰとは完全に独立したものとなっ ています。解けない設問があっても,全ての問題に目を 通す,という習慣を付けられていれば,Ⅰが解けていな くてもⅡで得点できるはずです。⑴の内容は基本問題で すが,⑵は少々難しいでしょうか。単振動の運動方程式 から振動の範囲を考える方法,エネルギー保存則を使う 方法がありますが,どちらも自然な発想から至ることの できる解法といえるでしょう。 解説 以下では,小球1側のばねの自然長の位置を原点とす る x 軸を右向きに取るものとする。 Ⅰ⑴ 小球1に関する力学的エネルギー保存則より,求 値を v1 として, 1 2 ks2 = 1 2 mv1 2 + 1 2 kd2 が成り立つので,これを解いて v1 = k m (s2 − d2 ) を得る。 注 小球1が x = 0 を振動中心,x = s を右端とする 単振動を行うことから,小球1,2が衝突するため に必要な条件は s > d である。 これは,⑴で求まる v1 が正の実数として存在す る条件と一致する。 ⑵ 等質量の2物体が弾性衝突するとき,衝突前後で2 物体の速度が交換される(速度交換)ので,衝突直後 の2物体の速さは, 小球1 : 0 小球2 : v1 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ として得られる。 別解 衝突直後の小球1,2の速度をそれぞれ v′ 1, v′ 2 と おくと,運動量保存則より, mv1 = mv′ 1 + mv′ 2 が成り立つ。はね返り係数の定義式 v1 v′ 2 − v′ 1 = 1 と連立して, v′ 1 = 0 v′ 2 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ を得る。 別解 系の重心速度は vG = 1 2 v1 であるから,重心系に おける衝突前の小球1,2の速度はそれぞれ v1G = 1 2 v1, v2G = − 1 2 v1 である。衝突により,各小球の速度は −1 倍されるの で,衝突後の重心系における衝突前の小球1,2の速 度はそれぞれ v′ 1G = − 1 2 v1, v′ 2G = 1 2 v1 である。よって,静止系から見た衝突後の各小球の速 度は, v′ 1 = vG + v′ 1G = 0 v′ 2 = vG + v′ 2G = v1 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ として求まる。 参考 一般に,質量がともに m の2物体が一次元的に 完全弾性衝突することを考える。衝突直前および 直後の2物体の速度を v1, v2 および v′ 1, v′ 2 とする と,運動量保存則,およびはね返り係数の定義式 より, mv1 + mv2 = mv′ 1 + mv′ 2 v′ 2 − v′ 1 v1 − v2 = 1 が成り立つ。よって, v′ 1 = v2, v′ 2 = v1 であることが分かる。 これより,等質量の2物体の一次元的な弾性衝突 では,衝突前後で速度が交換されることが示された。 ポイント 別解で示したように,一般に2物体の衝突後の速 度は,運動量保存則とはね返り係数の定義式を連立 することで求まる。完全弾性衝突の際には,はね返 り係数の定義式の代わりにエネルギー保存則を用 いることもできるが,速度についての2次方程式と なってしまうため,はね返り係数の定義式を用いる 方が賢明である。 ⑶ 小球1,小球2それぞれの側のばねの縮みの最大値 を A1, A2 とすると,力学的エネルギー保存則より,
  46. 46. 東大物理問題集 における利用例2 TeXユーザーの集い2015 46 2013 1 指針 Ⅰは,単振動と衝突を組み合わせた2体問題です。エ ネルギー保存則や速度交換の知識があれば,⑶までは迷 うことなく解き進められるはずです。一方で,⑷に関し ては単振動を踏まえた時間の考察を行うことになります。 「単振動の中途半端な時間を考えるときは,円運動を復 元して考える」という定石を踏まえて,グラフを描きな がら整理して考えれば答えに至るのは難しくはないで しょう。 一方でⅡの内容は,Ⅰとは完全に独立したものとなっ ています。解けない設問があっても,全ての問題に目を 通す,という習慣を付けられていれば,Ⅰが解けていな くてもⅡで得点できるはずです。⑴の内容は基本問題で すが,⑵は少々難しいでしょうか。単振動の運動方程式 から振動の範囲を考える方法,エネルギー保存則を使う 方法がありますが,どちらも自然な発想から至ることの できる解法といえるでしょう。 解説 以下では,小球1側のばねの自然長の位置を原点とす る x 軸を右向きに取るものとする。 Ⅰ⑴ 小球1に関する力学的エネルギー保存則より,求 値を v1 として, 1 2 ks2 = 1 2 mv1 2 + 1 2 kd2 が成り立つので,これを解いて v1 = k m (s2 − d2 ) を得る。 注 小球1が x = 0 を振動中心,x = s を右端とする 単振動を行うことから,小球1,2が衝突するため に必要な条件は s > d である。 これは,⑴で求まる v1 が正の実数として存在す る条件と一致する。 注 小球1が x = 0 単振動を行うこと に必要な条件は s ⑵ 等質量の2物体が弾性衝突するとき,衝突前後で2 物体の速度が交換される(速度交換)ので,衝突直後 の2物体の速さは, 小球1 : 0 小球2 : v1 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ として得られる。 別解 衝突直後の小球1,2の速度をそれぞれ v′ 1, v′ 2 と おくと,運動量保存則より, mv1 = mv′ 1 + mv′ 2 が成り立つ。はね返り係数の定義式 v1 v′ 2 − v′ 1 = 1 と連立して, v′ 1 = 0 v′ 2 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ を得る。 別解 系の重心速度は vG = 1 2 v1 であるから,重心系に おける衝突前の小球1,2の速度はそれぞれ v1G = 1 2 v1, v2G = − 1 2 v1 である。衝突により,各小球の速度は −1 倍されるの で,衝突後の重心系における衝突前の小球1,2の速 度はそれぞれ v′ 1G = − 1 2 v1, v′ 2G = 1 2 v1 である。よって,静止系から見た衝突後の各小球の速 度は, v′ 1 = vG + v′ 1G = 0 v′ 2 = vG + v′ 2G = v1 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ として求まる。 参考 一般に,質量がともに m の2物体が一次元的に 完全弾性衝突することを考える。衝突直前および 直後の2物体の速度を v1, v2 および v′ 1, v′ 2 とする と,運動量保存則,およびはね返り係数の定義式 より, mv1 + mv2 = mv′ 1 + mv′ 2 v′ 2 − v′ 1 v1 − v2 = 1 が成り立つ。よって, v′ 1 = v2, v′ 2 = v1 であることが分かる。 これより,等質量の2物体の一次元的な弾性衝突 では,衝突前後で速度が交換されることが示された。 参考 一般に, 完全弾性衝 直後の2物 ポイント 別解で示したように,一般に2物体の衝突後の速 度は,運動量保存則とはね返り係数の定義式を連立 することで求まる。完全弾性衝突の際には,はね返 り係数の定義式の代わりにエネルギー保存則を用 いることもできるが,速度についての2次方程式と なってしまうため,はね返り係数の定義式を用いる 方が賢明である。 ポイ 別解で示 度は,運動 ⑶ 小球1,小球2それぞれの側のばねの縮みの最大値 を A1, A2 とすると,力学的エネルギー保存則より,
  47. 47. 4. レイアウトへの応用 TeXユーザーの集い2015 47
  48. 48. 物理教材における 利用例1 TeXユーザーの集い2015 48 !  先ほどのスライドです。 !  まだ触れられていない tcolorbox が隠れてい ることにお気づきで しょうか…? 15 Priority:5 ▶ 位置エネルギー 物体がある位置に存在することによって得る,他の物体に仕事をすることが出来る能力を と定義する。 この定義から,仕事をした分位置エネルギーは減少してしまうため,位置エネルギー ・ の ・ 変 ・ 化 と保存力の間には以下の関係がある。 保存力の為す仕事 W保 を用いて,保存力の位置エネルギー U を以下の通りに定める。 ∆U = −W保 Priority:3 ▶ 重力の位置エネルギー 上記の位置エネルギーの定義と,(1次元の)仕事の定義式:W保 = Fx dx から得られる ∆U = − Fx dx といった式を用いることで,重力や弾性力の位置エネルギーを考えることができる。 【重力の位置エネルギー】 右のように,x 軸を鉛直上向きに取り,物体が位置 x0 から任意の位置 x まで移動した場合を考える。働く重力 は,鉛直下向きで,大きさが mg なので,向きも含める と,−mg と書くことができる(今は鉛直上向きを正方 向としているので,鉛直下向きに働く力は負の方向に働 いているとみなす)。 従って,この移動の際に重力がした仕事は, Wg = x x0 (−mg) dx = −mg(x − x0) と書くことができ,また,(5–1)式を用いることで, ∆Ug = − x x0 (−mg) dx = mg(x − x0) となる。ここで,基準の位置 x0 を 0(すなわち,地面を基準として考える)とすれば, Ug = mgx が得られる。 Column 実は,世の中に存在するあらゆる種類のエネルギーは「運動エネルギー」か「位置エネルギー」のいず れかであることが知られて ・ い ・ た。例えば,「熱エネルギー」は分子が持つ運動エネルギーであるし,「化 学エネルギー」は原子が持つ電子の位置エネルギーと考えられる。 しかし,アインシュタインが発見した E = mc2 という式によって,静止していて,かつ位置エネル ギーを持たないような物体でも「質量エネルギー」を持つことが明らかになった。
  49. 49. 物理教材における 利用例1 TeXユーザーの集い2015 49 !  先ほどのスライドです。 !  まだ触れられていない tcolorbox が隠れてい ることにお気づきで しょうか…? 15 Priority:5 ▶ 位置エネルギー 物体がある位置に存在することによって得る,他の物体に仕事をすることが出来る能力を と定義する。 この定義から,仕事をした分位置エネルギーは減少してしまうため,位置エネルギー ・ の ・ 変 ・ 化 と保存力の間には以下の関係がある。 保存力の為す仕事 W保 を用いて,保存力の位置エネルギー U を以下の通りに定める。 ∆U = −W保 Priority:3 ▶ 重力の位置エネルギー 上記の位置エネルギーの定義と,(1次元の)仕事の定義式:W保 = Fx dx から得られる ∆U = − Fx dx といった式を用いることで,重力や弾性力の位置エネルギーを考えることができる。 【重力の位置エネルギー】 右のように,x 軸を鉛直上向きに取り,物体が位置 x0 から任意の位置 x まで移動した場合を考える。働く重力 は,鉛直下向きで,大きさが mg なので,向きも含める と,−mg と書くことができる(今は鉛直上向きを正方 向としているので,鉛直下向きに働く力は負の方向に働 いているとみなす)。 従って,この移動の際に重力がした仕事は, Wg = x x0 (−mg) dx = −mg(x − x0) と書くことができ,また,(5–1)式を用いることで, ∆Ug = − x x0 (−mg) dx = mg(x − x0) となる。ここで,基準の位置 x0 を 0(すなわち,地面を基準として考える)とすれば, Ug = mgx が得られる。 Column 実は,世の中に存在するあらゆる種類のエネルギーは「運動エネルギー」か「位置エネルギー」のいず れかであることが知られて ・ い ・ た。例えば,「熱エネルギー」は分子が持つ運動エネルギーであるし,「化 学エネルギー」は原子が持つ電子の位置エネルギーと考えられる。 しかし,アインシュタインが発見した E = mc2 という式によって,静止していて,かつ位置エネル ギーを持たないような物体でも「質量エネルギー」を持つことが明らかになった。
  50. 50. 物理教材における 利用例1 TeXユーザーの集い2015 50 !  箱があるようには見え ないけれど,実際には 箱がある。 !  右側のインデントを調 整(tcolorbox の width)。 !  インデントを調整する だけでなく,線も引け て枠のデザインも自由。 15 Priority:5 ▶ 位置エネルギー 物体がある位置に存在することによって得る,他の物体に仕事をすることが出来る能力を と定義する。 この定義から,仕事をした分位置エネルギーは減少してしまうため,位置エネルギー ・ の ・ 変 ・ 化 と保存力の間には以下の関係がある。 保存力の為す仕事 W保 を用いて,保存力の位置エネルギー U を以下の通りに定める。 ∆U = −W保 Priority:3 ▶ 重力の位置エネルギー 上記の位置エネルギーの定義と,(1次元の)仕事の定義式:W保 = Fx dx から得られる ∆U = − Fx dx といった式を用いることで,重力や弾性力の位置エネルギーを考えることができる。 【重力の位置エネルギー】 右のように,x 軸を鉛直上向きに取り,物体が位置 x0 から任意の位置 x まで移動した場合を考える。働く重力 は,鉛直下向きで,大きさが mg なので,向きも含める と,−mg と書くことができる(今は鉛直上向きを正方 向としているので,鉛直下向きに働く力は負の方向に働 いているとみなす)。 従って,この移動の際に重力がした仕事は, Wg = x x0 (−mg) dx = −mg(x − x0) と書くことができ,また,(5–1)式を用いることで, ∆Ug = − x x0 (−mg) dx = mg(x − x0) となる。ここで,基準の位置 x0 を 0(すなわち,地面を基準として考える)とすれば, Ug = mgx が得られる。 Column 実は,世の中に存在するあらゆる種類のエネルギーは「運動エネルギー」か「位置エネルギー」のいず れかであることが知られて ・ い ・ た。例えば,「熱エネルギー」は分子が持つ運動エネルギーであるし,「化 学エネルギー」は原子が持つ電子の位置エネルギーと考えられる。 しかし,アインシュタインが発見した E = mc2 という式によって,静止していて,かつ位置エネル ギーを持たないような物体でも「質量エネルギー」を持つことが明らかになった。
  51. 51. レイアウトへの応用 !  empty skin で box の装飾をなくす。 !  width や height で box のサイズを 調整することで,左右インデントや行 取りが実現できる。 !  後から装飾を加えるのに都合が良い。 TeXユーザーの集い2015 51
  52. 52. レイアウトへの応用 !  empty skin で box の装飾をなくす。 !  width や height で box のサイズを 調整することで,左右インデントや行 取りが実現できる。 !  後から装飾を加えるのに都合が良い。 TeXユーザーの集い2015 52 少し凝ったページのレイアウトを実現 する際に有用。
  53. 53. 書き込み余白も作れるのでは…? TeXユーザーの集い2015 53
  54. 54. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 54 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体1を熱していきます。 ここで,気体2についてはピストン B があるので, 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン1についてはⅠ⑴が成り 立つので,気体2が定圧である以上,気体1も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが,見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体2に注目します。気体2は, 圧力が一定であるうえ,温度も一定であるため, であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので, 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体1の温度を求めます。気体1については,圧 力がⅡと等しく,体積変化が S0z であるため,状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より, V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので,定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は,Cp の定義より, Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh !  左側に線を引きたい !  広い書き込みスペース を作るときに,自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。 !  任意のスペースを残し て,ページ下端まで高 さを調整したい。
  55. 55. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 55 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体1を熱していきます。 ここで,気体2についてはピストン B があるので, 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン1についてはⅠ⑴が成り 立つので,気体2が定圧である以上,気体1も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが,見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体2に注目します。気体2は, 圧力が一定であるうえ,温度も一定であるため, であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので, 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体1の温度を求めます。気体1については,圧 力がⅡと等しく,体積変化が S0z であるため,状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より, V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので,定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は,Cp の定義より, Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh !  左側に線を引きたい → underlay で解決 !  広い書き込みスペース を作るときに,自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。 !  任意のスペースを残し て,ページ下端まで高 さを調整したい。
  56. 56. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 56 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体1を熱していきます。 ここで,気体2についてはピストン B があるので, 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン1についてはⅠ⑴が成り 立つので,気体2が定圧である以上,気体1も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが,見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体2に注目します。気体2は, 圧力が一定であるうえ,温度も一定であるため, であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので, 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体1の温度を求めます。気体1については,圧 力がⅡと等しく,体積変化が S0z であるため,状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より, V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので,定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は,Cp の定義より, Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh !  左側に線を引きたい → underlay で解決 !  広い書き込みスペース を作るときに,自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。 → height fill で解決 !  任意のスペースを残し て,ページ下端まで高 さを調整したい。
  57. 57. pdfsavepos の利用 !  拡張プリミティブ pdfsavepos を利 用して版面下端までの残り高さを計算 し,それを box の height として定 めれば良い。 !  残したい高さを任意に指定することが 可能。 TeXユーザーの集い2015 58
  58. 58. 他にも幅広い使い方がありそう。 TeXユーザーの集い2015 59
  59. 59. raster library !  プリアンブルに tcbuselibrary{raster}。 !  複数の box の高さを揃えて一列に並 べられる。 TeXユーザーの集い2015 60
  60. 60. tcbrasterのサンプル TeXユーザーの集い2015 61
  61. 61. 講評における tcbraster の利用例 TeXユーザーの集い2015 63 !  大問ごとに掲載する優 秀者人数が可変。 !  どの大問の掲載者が最 多になるか事前にわか らない。 !  同じ高さの枠で囲みた い。
  62. 62. 講評における tcbraster の利用例 TeXユーザーの集い2015 64 !  大問ごとに掲載する優 秀者人数が可変。 !  どの大問の掲載者が最 多になるか事前にわか らない。 !  同じ高さの枠で囲みた い。 tcbraster が便利
  63. 63. 英単語集「鉄壁」 のレイアウトも TeXユーザーの集い2015 65 !  左側が英語,右側が日 本語。 !  英語は発音記号も含め て必ず2行。 !  日本語は1行以上の任 意の行数。
  64. 64. 英単語集「鉄壁」 のレイアウトも TeXユーザーの集い2015 66 !  左側が英語,右側が日 本語。 !  英語は発音記号も含め て必ず2行。 !  日本語は1行以上の任 意の行数。 見えない形(empty skin) で tcbraster を利用す れば解決。
  65. 65. 鉄壁の簡易版レイアウト !  一見しただけでは tcolorbox の存在は全 く分からない。 TeXユーザーの集い2015 67
  66. 66. 鉄壁の簡易版レイアウト !  実際には box による高さ調整が為されて いる。 TeXユーザーの集い2015 68 1. [発音記号] 日本語での説明 2. [発音記号] 日本語での説明 1 日本語での説明 2 日本語での説明 3
  67. 67. rasterとpdfsavepos の組み合わせ1 TeXユーザーの集い2015 69 !  ページを(2, 2)の領域 に分割する。 !  raster height を版面 下端までの残り高さに 定める。 !  横に並べるボックスの 個数は raster column で指定。 !  縦に並べるボックスの 個数は raster rows で指定。
  68. 68. rasterとpdfsavepos の組み合わせ2 TeXユーザーの集い2015 70 !  ページを(m, n)の領域 に分割する。 !  raster height を版面 下端までの残り高さに 定める。 !  横に並べるボックスの 個数は raster column で指定。 !  縦に並べるボックスの 個数は raster rows で指定。
  69. 69. rasterとpdfsavepos の組み合わせ3 TeXユーザーの集い2015 71 !  foreach を使えば m と n の変更は容易。
  70. 70. 5. 今後の活動 TeXユーザーの集い2015 72
  71. 71. 本日紹介した創作 box !  ウェブサイト上で公開予定。 ◦  http://www.geocities.jp/texmedicine/ !  新たな box ができ次第更新。 TeXユーザーの集い2015 73
  72. 72. その他 tcolorbox について !  tcolorbox の詳細は公式マニュアル (英文400ページ程度)を参照。 !  利用頻度の高い部分を抜粋してまとめ た日本語版簡易マニュアルを作成中 (近日公開予定)。 !  新たな利用法やデザインに関して,発 見などがあれば随時ブログで公開予定。 ◦  http://texmedicine.hatenadiary.jp TeXユーザーの集い2015 74

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