Download to read offline
![2.
[pembilang dan penyebut dibagi x]
• Limit fungsi yang memuat bentuk
Limit fungsi yang memuat bentuk dengan pembilang dan penyebut suatu
polinomial, perlu memperhatikan
• Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar dari penyebut maka tidak
punya limit](https://image.slidesharecdn.com/limitfungsi-250928043949-5f5eeea5/75/Limit-Fungsi-logaritma-tema-barcelona-pptx-30-2048.jpg)
Limit Fungsi logaritma tema barcelona.pptx
- 1. Limit Fungsi Dosen Pengampu: Drs. Darsono, M.Kom Robinson Routa Bobu (2215010028),Roys Murumerey (2215010032)
- 2. Pengertian limit fungsi Misalkandiberikan 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1. Untuk melihat pola yang terjadi perhatikan tabel Tabel 1 berikut. lim (𝑥2 + 1) = 5. 𝑥→2 Perhatikan perilaku f(x) saat x mendekati 2 dari kiri dan
- 3. Definsi contoh : Definisi inisebenarnya sama dengan mengatakan “jika 𝑥 → 𝑐 maka 𝑓(𝑥) → 𝐿”.Selain itu dari definisi tersebut nyata terlihat bahwa kita tidak membicarakan nilai 𝑓(𝑥) di 𝑐 atau nilai 𝑓(𝑐) tetapi nilai 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 disekitar c. Bahkan andaikan 𝑓 tidak terdefinisi di 𝑐 maka 𝐿tetap limit fungsi tersebut. Sebagai contohamati grafik berikut.
- 4. Jelas bahwa fungsi𝑓 tidak terdefinisi di 𝑥 = 0 (𝑓(0) tidak terdefinisi), tetapi nilai limitnya ada yaitu 2 atau ditulis dengan lim √𝑥+1−1 = 2. Sekarang, amati fungsi 𝑔 yang didefinisikan
- 5. Sifat-sifat limit danteorema limit
- 6.
- 7.
- 8. Contoh Untuk menyelesaikan soaldi bawah Menggunakan sifat ketiga
- 9. Limit tak hingga(infinite limits) Pada bagian sebelumnya telah disinggung mengenai ketidakadaan limit suatu fungsi. Selanjutnya amati grafik fungsi ( ) = 𝑓 𝑥 seperti gambar berikut.
- 10. Tetapi untuk mendekati2 dari arah kanan maka 𝑥 f menuju tak hingga positip. Kondisi seperti ini menunjukkan bahwa ( ) tidak punya limit untuk mendekati 𝑓 𝑥 𝑥 2. Jadi tidak ada. Selanjutnya bandingkan dengan fungsi berikut. 𝑔
- 11. Perhatikan tabel berikut Suatulimit fungsi dikatakan sebagai limit tak hingga (infinite limits) jika menuju 𝑓 𝑓 tak hingga positip atau menuju tak hingga negatif. 𝑓
- 15.
- 16.
- 17. Limit di takhingga (limits at infinity) contoh suatu fungsi yang didefinisikan sebagai Selanjutnya kita lihat grafik fungsinya.
- 18. Dengan memperhatikan tabeldi atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa ( ) 𝑓 𝑥 3 → untuk ∞. Apabila dimaknai lebih lanjut, pernyataan menuju tak 𝑥 → 𝑥 hingga ( ∞) mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan positip selalu 𝑥 → 𝑀 ada nilai sehingga > . Demikian pula untuk menuju negatif tak hingga 𝑥 𝑥 𝑀 𝑥 ( −∞) mengandung arti bahwa untuk setiap bilangan negatif selalu ada 𝑥 → 𝑁 nilai sehingga < . Berdasarkan pemaknaan ini maka disusun definisi 𝑥 𝑥 𝑁 formal untuk limit di tak hingga sebagai berikut.
- 19. contoh Definisi diatas dapatdiilustrasikan seperti gambar berikut Terlihat bahwa untuk setiap y= L
- 20.
- 21. contoh a. Tentukan hasildari jawab : fungsi f(x) = dapat digambarkan sebagai berikut. Maka tampak bahwaf(x) menuju 0 untuk tak hingga.jadi dapat disimpulkan bahwa = 0. Bukti bahwa = 0 untuk kegiatan aktivitas.
- 22. b. Dengan menggunakansifat limit, tentukan jawab : c. Tentukan jawab :
- 23. a. Limit fungsif(x) untuk x menuju nilai tertentu ( • Substitusi langsung pada fungsinya Misalnya ingin ditentukan hasil tidak menemui hasil “janggal” dalam arti tidak terdefinisi / tidak tentu / tak hingga, maka umumnya nilai limitnya adalah ( ). Cara ini sejatinya sekedar memanfaatkan kekontinuanfungsi di 𝑓 𝑐 titik . Namun cara ini perlu pencermatan lebih lanjut, karena bila fungsinya 𝑐 tidak kontinu maka cara ini tidak bisa digunakan. Jadi perlu kehatihatian, walaupun ( ) ada tetapi belum tentu berlaku 𝑓 𝑐 Contoh :
- 24. 2. 3. ? Tidak boleh dilanjutkandengan cara tersebut karena memuat bentuk tak tentu 4. Diberikan fungsi jelas bahwa walaupun f(3) ada yaitu 0
- 25. • Pada bentukrasional umumnya dapat disederhanakan. Cara ini sesungguhnya sekedar mengubah bentuk rasional menjadi bentuk lain sehingga mempunyai faktor yang sama di pembilang dan penyebut. Faktor yang sama ini selanjutnya dapat digunakan untuk merasionalkan penyebut. Faktor yang sama ini dapat pula hasil dari memfaktorkan pembilang Contoh : Ingat : • Subsititusi memuat bentuk Jika suatu limit dengan substitusi memuat bentuk dengan ≠ 0, umumnya 𝑘 tidak mempunyai limit. Namun demikian, ada banyak kasus pula walaupun memuat bentuk dengan ≠ 0 tetapi limitnya ada. 𝑘
- 26. contoh 1. Tentukan Jawab : Bila= 3 disubstitusikan ke dalam fungsi maka diperoleh yaitu memuat bentuk 𝑥 dengan ≠ 0. oleh karena itu tidak ada.sebagai gambaran untuk memperjelas grafik dari 𝑘 fungsi tersebut adalah Jadi tidak ada
- 27. 2. Perhatikan bahwa limittersebut memuat dengan k yang memuat bentuk dan , meskipun memuat bentuk dan ,namun limitnya yaitu • Substitusi memuat bentuk Jika dengan substitusi memuat bentuk maka nilai limit dapat ditentukan dengan menyederhanakan bentuknya atau menggunakan teorema L’hopital (lihat sifat limit) hanya pada bentuk yang memuat tersebut. Perhatikan bahwa teorema L’hopital dapat digunakan untuk bagian ,tidak perlu mulai dari
- 28. contoh 1. memuat bentukkarena jawab : 2. memuat bentuk hanya pada bagian secara jelasnya bentuk tersebut adalah Perhatikan bagian dari yang memuat bentuk yaitu sehingga hanya bentuk ini yang perlu teorema L’hopital. Jadi,
- 29. 3. b. Limit fungsi( ) untuk menuju tak hingga (limits at infinity) 𝒇 𝒙 𝒙 • Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞. Limit fungsi yang memuat bentuk ∞ − ∞ umumnya diselesaikan melalui cara mengalikan dengan sekawannya Contoh 6.5 :
- 30. 2. [pembilang dan penyebutdibagi x] • Limit fungsi yang memuat bentuk Limit fungsi yang memuat bentuk dengan pembilang dan penyebut suatu polinomial, perlu memperhatikan • Pangkat tertinggi variabel pembilang lebih besar dari penyebut maka tidak punya limit
- 31. Contoh 6.6 • Pangkattertinggi variabel penyebut lebih besar dari pangkat tertinggi variabel pembilang maka nilai limitnya nol Contoh 11 :
- 32. • Pangkat tertinggivariabel pembilang sama dengan pangkat tertinggi variabel penyebut maka nilai limitnya adalah perbandingan koefisien variabel tertinggi dari pembilang dan penyebut Contoh 6.7 : 1. 2. jawab : 3.
- 33.