Il documento discute le interazioni tra musica e frattali, enfatizzando le tecniche di composizione musicale come il contrappunto e il canone, con riferimenti a compositori come Palestrina. Viene presentato un software sviluppato in Visual Basic per generare suoni basati su frattali, utilizzando un codice di circa 700 righe e la scheda audio per emulare diversi timbri. Key concepts includono trasformazioni geometriche e la creazione di figure frattali attraverso strumenti come Autodesk e GeoGebra.

1. XIV meeting
«Esperienze a confronto»
Università degli Studi di Perugia
18-20 aprile 2012

2. Introduzioni
teoriche
« La musica
dei frattali »
« I frattali nella
musica »

4. … una corrispondenza biunivoca che associa a
ogni punto del piano uno e un solo punto del
piano stesso.
t : P ( x; y) P’ ( x’; y’)
P’ = t ( P)

5. Un'affinità fa corrispondere al punto P ( x; y) il
punto P’ (x’; y’) secondo la formula:
X’ = ax + by + e
Y’ = cx + dy + f

7. Data la retta r, si
dice simmetria
assiale di asse r la
trasformazione che
associa ad un punto
P il punto P’, nel
semipiano opposto
rispetto a r e tale che
r sia asse del
segmento PP’.

8. Fissato un vettore, traslare una figura significa
spostare ogni suo punto secondo un segmento di
lunghezza, direzione e verso del vettore.
u (3;2)

9. Si chiama omotetia di centro O(0; 0) e rapporto k
(k≠0) la corrispondenza biunivoca che ad ogni punto
P del piano ne associa un altro P’, tale che:
P(x; y) P’ ( kx; ky)
OP’= k OP

10. Etimologia: dal latino
«fractus» (spezzato,
irregolare);
B. Mandelbrot padre
della teoria frattale e di
figure precedentemente
considerate «mostri».

12. Ogni contrazione ammette
un’unica figura fissa, qualunque sia
la figura start F0
T( F*
) = F*
F* = ATTRATTORE

13. Il suonoIl suono

15. Il canto gregoriano
Tenor
Diminuzione Aumentazione
Autosimilarità

16. Il contrappunto
Con l’avvento della
Polifonia nasce una
nuova tecnica di
composizione che
consente a più voci
di esistere
contemporanea-
mente:
Il contrappunto.

18. Giovanni Pierluigi Palestrina

19. Doppio canone
Antecedente (1)
Palestrina - Missa ad fugam - kyrie
Antecedente + conseguente (1)Antecedente + conseguente (2)Antecedente (2)
Canone costituito da due voci principali e le rispettive trasformate

20. Palestrina - Missa ad fugam - kyrie

21. Canone a quattro voci per moto retto e contrario
L. Dallapiccola – Sex Carmina Alcei III .

23. Consente la costruzione
dei frattali IFS attraverso
l’immissione del codice
genetico.
E’ inoltre capace di
emettere suoni sulla base
delle coordinate dei punti
del frattale creato.

24. Informazioni sul software
Creato con il linguaggio di programmazione Visual BasicVisual Basic
(dot) NET(dot) NET;
L’intero sistema conta circa 700 linee di codice VisualVisual
Basic (dot) NETBasic (dot) NET;
Per la riproduzione musicale delle figure frattali utilizza la
scheda audio, sfruttando le Windows APIWindows API ( Application
Programming Interface), tramite le quali è capace di
emulare 127 timbri127 timbri differenti.

25. Diagramma di flusso
Trasformazione
Dichiarazione
punti in uscita
Ciclo: contatore
da primo ad ultimo
punto in entrata
Calcolo di un punto
attraverso i coefficienti
delle trasformazioni
Calcolato
ultimo
punto?
Restituisci
punti in uscita
Inserimento
tra i punti in
uscita
No
Si
Inizio

26. Gerla di Sierpinski Cattedrale di Barnslay
Piramide di Kock
Polvere di Cantor

27.  Autodesk 3D Studio Max 2012;
 Geogebra 4.0;
 Finale 2005;
 Visual Studio 11 Express.

28. R. Nielsen: Le forme
musicali;
M. Belgamini, A. Trifone,
G. Barozzi: Moduli Blu di
Matematica;
 P. Brandi, A. Salvadori :
Progetto Matematica &
Realtà.
 webfract.it;
 mat.unimi.it