Kaos nedir? Neden Öklit geometrisi finansal pazarlarda çalışmaz? Fraktaller Nedir? Doğanın fraktal geometrisi

1. Kaos ve Fraktallar
Doç. Dr. Kutlu MERİH

2. Kaos – Fraktal Tekniklerine Giriş
 Kaos nedir?
 Neden Öklit
geometrisi finansal
pazarlarda çalışmaz
 Fraktaller Nedir?
 Pazar uygulamaları
 Fraktal finansal
analiz araçları
 Fraktal analiz ile
Trading

3. Kaos Nedir?
 KAOS’un harika dünyasına hoş geldiniz.
 KAOS Nedir?
 Kaos, şimşek, iklim, deprem ve finansal
pazarlardır.
 Kısacası KAOS, ilginç davranış şemaları veren Non-
lineer dinamik sistemlerin hikayesidir.
 Teknik olarak KAOS, analizi güç non-lineer
dinamiklerin analizi için geliştirilen tekniklerdir.
 KAOS bir anlamda standart EKONOMETRİK
tekniklerin ötesine geçmektir.
 Bununla beraber bu terim bir çok durumda
KOMPLEKSİTE teriminin eşdeğeri gibi kullanılır.

4. KAOS ve KOMPLEKSİTE
 Kompleksite sistemlerin KAOTİK davranış şemalarına
geçerken oluşan yapıdır.
 Sosyoteknik sistemlerde düzen ve kargaşa beraberce
yaşanır ve bu durum bir ölçüde modellenebilir.
 Bütün doğal ve sosyal sistemler özel, kamusal ve finansal
kurumlar da dahil olmak üzere bu modele uygun
davranırlar.
 Pazar dinamiklerinin analizinde bu anlayış giderek önem
kazanıyor.
 Bu kompleks sistemleri tasarımlayan insanlar giderek
bunların kendilerine özgü bir yaşam sürecine sahip
olduklarını görürler.
 Kompleks sistemlerin geri besleme mekanizmaları
öngörülemez davranış şemalarının ortaya çıkmasına neden
olur.
 KAOS kuramı bu anlaşılması güç KOMPLEKS yapılanmanın
davranışlarının analizi için gerekli olan tekniklerin
geliştirilmesidir.

5. KAOS KURAMI
 KAOS KURAMI olarak bilinen çok-disiplinli araştırma alanı,
karmaşık fiziksel olayların davranışının anlaşılmasına
yardımcı olur.
 Aynı zamanda dinamik süreçlerin kavranması için yeni
kavramlar ve teknikler oluşturur.
 Kaos kuramı ile daha önce rasgele olduğu sanılan bazı
olguların arkasında sistemik bir düzen olduğu anlaşılır.
 Kaos bir anlamda arkasında deterministik bir yapı olan
tesadüfiliktir.
 Determinizm ve tesadüfilik birlikte olabilmesi kaotik analizin
de özünü oluşturur.
 Bu teknikler yardımı ile tesadüfi gibi görünen süreçler
arkasındaki mekanistik sistemi keşfetmeye çalışırız.

6. Kaos örnekleri
 Şimşek yıldırım
 Hava – iklim
hareketleri
 Depremler
 Finansal pazarlar
 Sosyal ve doğal
sistemler
 Kamusal ve Finansal
Kurumlar

7. KAOS Göze de hitap eder
 Gerçekte doğal olarak
algıladığımız iklim, deprem
gibi bir çok olayın arkasında
bu tür mekanizmalar
bulunuyor.
 Kaos kuramı bize daha önce
sadece düzensizlik gibi
algıladığımız olaylar içindeki
düzeni kavramamızı sağlar.
 Kaos Non-Lineer matematiğin
alanına ilginç ve estetik bir
şekilde girdi.
 Bilgisayarlar yardımı ile
oluşturulan fraktal imajları
daha önce gözle görünmeyen
ilginçlikleri sergiledi.

8. Kaos Kuramı Nedir?
 Kaos Kuramı isminin yaptığı tesirin
aksine Non-lineer dinamik
sistemlerin tesadüfi görüntüsü
veren davranışlarını analiz etmeye
yarayan bir tekniktir.
 Burada analiz edilen sistemler bir
tür kendi davranışlarının
sonuçlarından etkilenirler ve
kendilerin özgü bir canlılık özelliği
gösterirler.
 Düzen ve tesadüfilik tahmin ve
analiz edilebilir şekilde bir arada
bulunabilir.

9. Kaos neden çok şaşırtıcıdır?
 Öklit geometrisi
lineer ve simetrik
bir evren varsayar
 Dağlar koni şeklinde
değildir
 Bulutlar küresel
değildir
 Şimşek düz hat
takip etmez
 Pazarlar
dalgalanma gösterir

10. Geometride fraktal devrim
 Benoit Mandelbrot, şimdi bir IBM uzmanı ve Yale matematik
profesörü.
 Akademik matematiğe ve bilimdeki yerleşik düzene meydan
okuyarak özgün buluşlar ortaya koydu.
 Bunu yaparak Einstein tarafından geliştirilen 4. boyut kuramını
sadece ilerletmekle kalmadı, bu boyutlar arasında kesirli
boyutların (fraktal boyutlar) bulunduğunu da önerdi.
 Dördüncü boyut geometrisi olan – fraktal geometri – Mandelbrot
tarafından nerdeyse tek başına yaratıldı.
 Bu geometri şimdi doğanın gerçek geometrisi olarak biliniyor.
 Şimdi artık Öklit geometrisinin ilk üç boyuttaki yapay olgular ile
ilişkili olduğunu biliyoruz.
 Bu boyutlar hayali ve binlerce yıllık bir gelenek neredeyse çöpe
atıldı.
 Bu devrimi gerçekleştiren adam kimdi.

11. Benoit MANDELBROT
 1924 Varşova doğumlu Mandelbrot bir Litvanya yahudi ailesinin
çocuğu idi.
 Ailesi poliitk gelişmelerden tedirgin olarak 1936 da Paris’e göç etti.
 Amcası Paris “Bourbak”i matematik çevresinin seçkin
matematikçilerinden biri idi.
 İlk okulda çok parlak olmayan Mandelbrot matematik alanında özel
bir yetenek sergiledi.
 Geometrik bir aklı vardı ve matematik sorunları çözülebilir resimler
şekline dönüştürebiliyordu. Böylece geleneksel yöntemleri
öğrenmesine ve kullanmasına gerek kalmıyordu.
 Bu yeteneklerini fazla belli etmeden matematik doktoru olmayı
başardı ve amcasının matematik çevresinden ayrılarak ABD ye göç
etti.
 1958 yılında IBM's Research Center Yorktown Heights, New York
biriminde bir araştırma uzmanı idi.
 IBM bu genç dahiye ilgilendiği alanlarda serbestçe araştırma
yapması olanağı tanıdı.
 Sonuçlar bilimde yeni anlayışların doğması ve yeni ufukların
açılması için verimli oldu.

12. Geniş ilgi alanı
 MANDELBROT çok farklı uzmanlık alanlarına yoğun bir ilgi duydu.
 Linguistik, oyun teorisi, aeronotiks,mühendislik, ekonomi,
fizyoloji, coğrafya, astronomi ve fizik.
 Aynı zamanda bilimin tarihinin çoşkulu bir öğrencisi idi.
 Daha önemlisi elinin altında yüksek hızlı bir bilgisayar olan
dünyadaki ender matematikçilerden biri idi.
 Onun izlediği, ilgisiz alanları birleştiren bir bilim anlayışı zamanı
için anlaşılamaz olduğu gibi bağışlanamazdı da.
 Bütün bilimsel çevreler daha dar alanda yoğunlaşan bir
uzmanlaşma stratejisi izliyorlardı
 Onun geniş konulara duyduğu ilgi, kendisini bilimin
kurumsallaşmış çevrelerinde hoş karşılanmayan bir harika çocuk
haline getirdi
 Yine de pırıltılı aklı ve konferanslarında yarattığı etki onun bu
çevrelere karşı IBM deki işinde tutunabilmesine olanak sağladı

13. MANDELBROT ve FRAKTAL
 Benoit MANDELBROT ve diğer Kaotisyenler sayesinde,
Doğa’nın şimdiye kadar gizli kalmış bazı özelliklerini ve
davranışlarını kavrayabiliyoruz.
 MANDELBROT bilgisayara dayalı yaptığı çalışmalar ile
doğa’nın farklı bir geometri kullandığını ve doğada kesirli
boyutlu şekiller (FRAKTALLAR) da olabileceğini ortaya
koydu.

14. Pamuk fiyatlarında Kaos
 Ekonomiye olan merakı yüzlerce yıl geriye doğru sağlıklı tutulmuş
pamuk fiyatlarının istatistik dalgalanmalarının arkasında standart
bir peryot düzeni olduğunu ortaya koydu
 Fiyatların günlük hareketleri rasgele görünse de bilgisayar analizi
genelde bir şemanın olduğunu ortaya koyuyordu
 Ayrıca ortaya koyduğu şema alışılanın dışında bir gizlilik ve
özgünlük yansıtıyordu
 Mandelbrot günlük rasgele dalgalanmaların uzun dönemde
standart bir peryot şemasına göre tekrarlandığını ortaya koydu
 Uzun dönem dalgalanmalar ile kısa dönem dalgalanmalar arasında
gizli bir simetri gözleniyordu.
 Bu durum hem kendisini hem de ekonomistleri şaşırttı
 Kendisi de bu durumu tam olarak açıklayamıyor idi
 Sonradan ekonomik veriler içinde kendine benzer olarak kendini
tekrarlayan bir “FRACTAL” keşfettiğinin farkına vardı.

15. KAOS Geometrisi
 Mandelbrot’un çok alanla ilgili araştırmaları nihayet basit bir
matematik formül ile gösterilen önemli bir atılıma yol açtı:
Z(n+1) = z(n)^2 + C
 Bu formül artık “Mandelbrot Kümesi (M)” olarak
bilinmektedir.
 Karmaşık sayılı bir fonksiyon olan bu ardışımsal formül x-y
düzleminde oldukça ilginç bir grafiksel görünüm ortaya
koymaktadır.
 Bu formül ve ortaya koyduğu ilginç görünüm bilgisayarlar
olmadan elde edilemezdi.
 Bu nedenle 20. yüzyılın en önemli keşiflerinden sayılan bu
gelişmenin IBM laboratuarlarından gerçekleşmesi tesadüfi
değildir.

17. MANDELBROT Kümesi için iterasyon
 Mandelbrot Kümesi kompleks fonksiyon tipindeki bir ardışımsal
denkleme ait nokraların sıfır başlangıç nokrasından itibaren x-y
düzleminde ardışımsal olarak farklı renklerde noktalanması ile elde
ediliyor.
z -> z^2 + c
 Formülü ile yaratılan kaotik düzen ancak noktaların bilgisayar
hesabı ve grafiklemesi ile görülebilir hale gelebiliyor.
 Bunun dışında bu formül el ile yapılan hesaplar için rasgele ve
anlamsız noktalar üretecektir.
 Görüntünün oluşabilmesi için milyonlarca noktanın hesaplanıp
görüntülenmesi gerekmektedir.
 Bu görüntü oluştuğunda Mandelbrot kümesinin gizli geometrik
düzeni (önceki slayt) ortaya çıkıyor
 Görüntünün düzeni sonsuz bir ölçekte kendini tekrarlayan benzer
ve güzel birimlerden oluşuyor.
 Bu durum sonraki hareketli slaytlarda görülebilir.

18. Mandelbrot kümeleriyleyle ilgili bazı gerçekler
 Mandelbrot kümesi bir
fraktaldır.
 Mandelbrot kümesinin
alanı bilinmiyor.
 Mandelbrot kümesinin
kenar uzunluğu sonsuzdur.
 Kümenin kenarına yapışan
ve kendisini tekrarlayan
benzer şekiller sonsuz
sayıdadır.
 Mandelbrot kümesi
bağlantılıdır.

19. M-Kümesi nasıl hesaplanır
 Bir kompleks sayı al ve buna c de.
 z^2 + c fonksiyonunda yerine koy
 Şimdi fonksiyonu z=0 için değerlendir. 0^2 + c tekrar c
değerini verir.
 Şimdi bu değeri tekrar yerine koy c^2 + c
 Bundan çıkan değeri tekrar yerine koy (c^2 + c)^2 + c
 Böylece devam et
 Bir kompleks sayılar dizisi oluşacaktır
 Bu kompleks sayılar dizisi ( 0 yörüngesi olarak adlandırılır)
giderek daha büyük değerler alıp orijinden (0 dan)
uzaklaşırsa) bu c değeri M-Kümesi içinde değildir.
 Böyle değilse ve değerler sınırlı kalıyor veya sonlu bir
değerde tekrarlanıyorsa c değeri M-Kümesi içindedir.

20. Mandelbrot Kümesi (set)

21. M-Kümesi testleri
 c = 0 M-Kümesi içinde,
0-yörüngesi x^2 + 0
0 --> 0 --> 0 ...
Buna göre 0 bir sabit nokta.
 c = i M-Kümesi içinde,
0-yörüngesi x^2 + i
0 --> i --> -1+i --> -i --> -1+i --> -i ...., 0
yörüngesi 2 civarında peryodik olur ve sonsuza
kaçmaz.
 c = -i M-Kümesi içinde,
0-yörüngesi x^2 + i
0 --> -1+i --> -i --> -1+i --> -i ...., 0 yörüngesi
2 civarında peryodik olur ve sonsuza kaçmaz.
 c = -2 M-Kümesi içinde
0-yörüngesi x^2 - 2
0 --> -2 --> 2 --> 2 --> ...,
Yörünge 2 ile sabitleşir ve sonsuza kaçmaz
 C = 1 M-Kümesi içinde değil
 C = 2 M-Kümesi içinde değil

22. M-Küme renklendirmesi
 Şimdi M-Kümesini oluşturan c
değerlerini belirli bir kurala göre
boyayabiliriz.
 Eğer c değeriM-Kümesi içinde
kalıyorsa (yani karşı gelen
yörünge sonsuza kaçmıyorsa) bu
noktayı SİYAH boya
 Şayet yörünge sonsuza kaçıyorsa
c değerini farklı bir renge boya
 Renk seçimi zevke bağlıdır fakat
genel olarak aşağıdaki strateji
uygulanır.
KIRMIZI noktalar en hızlı kaçanlardır. Burada x^2+c iterasyonuun
büyük değerler alması için az sayıda adım yeterli olur. Kırmızı noktaları
sırası ile PORTAKAL, SARI,YEŞİL, MAVİ, ÇİVİT, MOR renkler izler.
Bunlar aslında ışık spektrumundaki renk dizilişini yansıtır ve M-
Kümesinde olmayan noktaların mertebesini karakterize eder. Burada
önemli olan KIRMIZI en hızlı kaçan noktayı gösterirken MOR noktalar
merkezden uzaklaşmak için daha fazla iterasyon gerektirir.

23. Mandelbrot Kümesi
 Mandelbrot set Tanımı: x-> x^2+c eşitliğinde
sonsuz kaçmayan c değerleri bir Mandelbrot
kümesi (M) oluşturur.
 Basit bir hesaplama ile c = 0, -1, -1.1, -1.3,
-1.38, ve I, M içinde iken, c = 1 ve c = 2i
değildir.
 Bu noktada doğal soru: Neden x^2+c
denkleminin 0 yörüngesi önemli olsun? Neden i
yörüngesi veya 2+3i yörüngesi, veya herhangi
diğer bir kompleks sayı değil?
 0 yörüngesini seçmemizin temel bir nedeni var.
Çünkü bu yörünge x^2+c altındaki diğer
yörüngelerin kaderi konusunda da bilgi veriyor.

24. M-Kümesi 2 yarıçaplı daire içinde
 Şimdi iki nokta aydınlatılmalı: Şekil, M
kümesi için sadece bir yaklaşım. Bütün c
sayılarının M kümesine aidiyetini test
edebilmek olası değil. Bunu sadece sonlu
sayıda nokta için yapabiliriz.
 M kümesinin sınırları civarındaki bazı
noktalar çok büyük iterasyon
adımlarından sonra kaçış yapıyor.
 İknci soru: x^2 + c altında 0
yörüngesinin sonsuza kaçtığını nereden
anlıyoruz? Bunun için kolay bir kriterimiz
var.
Kaçış Kriteri: |c| küçük veya eşit 2 olsun. Şayet x^2 + c altındaki 0
yörüngesi orijin merkezli 2 yarıçaplı dairenin dışında kalıyorsa kesin bir
şekilde sonsuza kaçar. Bu sadece belirli bir dairenin içi için geçerli gibi
görünüyorsa da bütün M kümesi bu dairenin içinde kaldığından sadece
buradaki c değerler için hesap yapmak yeterli olmaktadır.

25. 3 Balon peryotları
 Dikkat edilirse Mandelbrot
kümesi birbirine benzeyen bir
çok küçük şekilden oluşur.
 Bunlar gerçekte birbirinden
farklı şekilerdedir.
 Merkezdeki ana kardioide
bağlı olan şekillere ana balon
denir
 Bu balonlara sonsuz yeni
balon ve antenler bağlanmış
gibidir.
 Ana balona bağlayan her
anten üzerinde de balondan
balona değişen şekiller
görülür.

26. Balonların peryotları
 Kolayca görüldüğü gibi M
kümesi ana eksen etrafında
simetriktir. Kuadratik yapıdan
dolayı kompleks eşlenik c
sayıları da küme içindedir.
 Ayrıca ana balonların da bazı
peryodları olduğu gözleniyor.
 Aşağıdaki tablo bize hangi
balonların hangi peryotlarda
yer aldığını gösteriyor.

27. Balon peryot kademeleri
Figure 5. Periods of the primary bulbs in M

28.  Ayrıca daha dikkatli bakılırsa
bazı balonlardan çıkan
antenlerin sayısı ile balonların
peryodu arasında da bir ilişki
olduğu görülüyor.
 Buna göre Mandelbrot kümesi
bir iç mantığa göre gelişen bir
canlı organizma gibi
davranıyor.

29. Neden Fraktal Geometri?
 Peki, FRAKTAL NEDİR??
 Bir düzensiz geometrik şekil, bütün ölçeklerde
kendini tekrarlıyor,
 Peki, Fraktallar neden önemli?
 Doğal varlıklar ve canlılar FRAKTAL YAPILI
 Doğa Öklit geometrisi kullanmıyor
 Kaotik Yörüngeler (strange attractors) fraktal
yapılı
 Bir zaman serisinin (borsa endeksi gibi) fraktal
özelliklerini incelemek ilginç bilgiler sağlıyor.

30. Cantor Tozu
 Bir boyutlu bir doğru
parçası üçe bölünür ve orta
kısım yok sayılır.
 Bu yöntem geri kalan
parçalara da uygulanır.
 Sonsuz uygulama sonunda
 Ortaya toz haline gelmiş
bir olgu çıkar.
 Bunun boyutu artık 1
değildir.
 Bu olguya “Cantor Tozu”
adı verilir.

31. Koch Kartanesi
 Süleyman Yıldızına şekildeki süreci sonsuz kere uygulayalım.
 Ortaya çıkan şekle Koch Kartanesi (Adası) adı verilir.
 Bunun sahili sonsuz uzunluktadır ve boyutu 1 den fazladır.
 Her yarım ada kendisine benzeyen başka yarımadalardan oluşur.
 Bu kendine-benzeyen birimlere FRAKTAL adı veriyoruz.
 Bu kendine-benzeyen ve kendini tekrarlayan birimlere finansal
pazarlarda da rastlanıyor.

32. Pürüzlük Endeksi Olarak Kaos
 Mandlebrot, İngiltere’nin
düzensiz kaotik sahiilerinin
uzunluğunu fraktal ölçme
teknikleri kullanarak
belirledi.
 Koch kartanesi sonsuz
incelikteki fraktallerin
ölçme hassasiyetini nasıl
artırdığını gösteriyor.
 Mandlebrot bu non-lineer
ölçme tekniğini pamuk
fiyatlarındaki değişimlere
de uyguladı.
 Böylece finansal pazarlara
fraktal tekniklerin
uygulanması dönemi
başlamış oldu.

33. Fraktal kendini tekrarlar
 Bir Fractal geometrik bir
şekil olarak yalnızca
düzensiz bir biçim değil
bu düzensiz şekiller
içinde kendini
tekrarlayan gizli bir
düzeni de ortaya
koymaktadır.
 Düzensiz şekiller farklı
ölçeklerde ve
düzeylerde kendilerini
tekrarlamaktadır.
 Şeklin ayrıntı bir parçası
incelendiğinde,
Fraktalın genel
biçiminin bazen benzer
bazen de tam olarak
tekrarlandığı görülüyor.

34. Doğa Öklit Geometrisi kullanmıyor
 Fraktal bu anlamda alındığında, gerçekte doğanın bizim
Öklit geometrimize göre değil de kendi fraktal geometrisine
göre çalıştığını daha bir yakından kavrayabiliyoruz.
 Gerçekte doğanın hangi geometri ile ve hangi boyutlarda
çalıştığının tam olarak bilemediğimizin farkına varıyoruz.
 Yapraklara, çiçeklere, ormana, organlara, dokulara
baktığımızda ise fraktal bir geometri açıkça kendini
göstermektedir.
 Burada görevimiz doğanın düzeni içindeki fraktal oluşum
mantığını daha ayrıntılı bir şekilde gözlemek ve ortaya
koymak olarak belirginleşiyor.

35. Doğada fraktallar
 Kendine benzerlik ve
ardışık şekillerin
ölçeklenmesi Kaos
kanunlarını
kavrayabilmemiz için bize
yardımcı olur.
 Doğaya baktığımızda çeşitli
ölçeklerde bu kendine
benzerlikle karşılaşırız.
 Her kar tanesi, her şimşek,
her ağaç, her dal,
karnabahar, brokkoli,
damarlarımız ve kanımız,
ciğerlerimiz, bize fraktal
örnekleri sunar.

36. İnsan organizmasında fraktallar
 Fractal formlar insan vücudunda da gözlenebiliyor.
 En iyi bilinen örnekler memelilerin kan dolaşımı ve damar
sistemlerinde görülen fraktallar.
 İnsan akciğeri 15 mertebesinde ardışık dallanma gösteriyor
ve bir ciğer için bir futbol sahası genişliğinde doku kendi
üstüne katlanıyor.
 Biyolojik alandaki araştırmalar daha yeni başlıyor.
 Beyin yapısı ve görme korteksi de ilginç fraktal yapılar
sergiliyor.
 Burada hegzagon yapılı fraktallar algılama işlevini
gerçekleştiriyor.
 Sağlıklı kalp atışlarının da kaotik olduğu biliniyor. Şayet
atışlar düzgün peryodik hale gelirse kalp krizi riski var.