Türev Fiyatlamaları Stokastik Süreç olarak bilinen matematik teknikleri gerektirir. Black-Scholes bunun en popüler uygulamasını geliştirdiler Sunum formüllerin Geometrik Brown Hareketi denkeleminden nasıl elde edildiğini gösteriyor.

1. Türev Fiyatlaması ve
Black-Scholes Modeli
Türev Fiyatlamaları Stokastik Süreç olarak bilinen
matematik teknikleri gerektirir. Black-Scholes bunun en
popüler uygulamasını geliştirdiler
Myron Scholes (Matematikçi)
ve Fischer Black (Fizikçi)

2. Black-Scholes Opsiyon
Fiyatlama Entegrali
Doç. Dr. Kutlu MERİH

3. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Teorem (Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama
Modeli)
 S0 senedin şimdiki fiyatı ise ve X opsiyonun strike fiyatı
ise, r risk-nötral bileşik faiz haddi ise, T yıl olarak sözleşme
süresi ise, σ dayanak senedin standart sapması ise, ve
N(d) kumülatif standart normal dağılım ise, Black-Scholes
formülü olarak bilinen bağıntılar aşağıdaki gibi verilir.
Td
T
TrXS
d
T
TrXS
d
),d.Ν-rT) – X.eN(dSc
σ
σ
σ
σ
σ
−=
−+
=
++
=
=
1
)2/2()/ln(
2
)2/2()/ln(
1
(1
0
0
20

4. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
İspat: BSM diferansiyel denkelemi, µ, partametresini
ihtiva etmediğinden, bir risk-neutral ortamda olduğumuzu
varsayabiliriz. Bu nedenle opsiyon fiyatı c;
( )( )( )0,rT
T eXSMaxEc −
−=
Olarak verilir. Burada where ST
termin tarihi T deki fiyatıdır.
Buna göre c fiyatı risk-free oranında iskonto edilmiş beklenen
ödemedir.
( )TTrSNST σσ ,)(ln~ln 2
2
1
0 −+
Buradan, ST
değerinin aşağıda matematik formu verilen bir
lognormal Dağılıma sahip olduğunu daha önce belirlemiştik.
T
TrSS
e
TS
Sf
2
2)2
2
1(
0
lnln
2
1
2
11
)( σ
σ
πσ






















−+−−
=

5. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
( )
( )
( )∫
−+−−












−−=
∫ −−=










 −−=
∞
















∞
x
x
dST
TrSS
e
TS
XSrTe
SdFXSrTe
SdF
rTeXTSMaxEc
2
2)2
2
1(0lnln
2
1
2
11
)(
fonk.dist.lognormal)(
0,
σ
σ
πσ

6. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
y = ln S değişken dönüşümünü yapalım.
Buna göre dy=(1/S)dS;
-
.
∫
∞
−+−−





−−
∫
∞
−+−−





−=
∫
∞
−+−−











 −−=






















































X dyT
TrSy
e
T
rTXe
dyX
T
TrSy
e
T
y
erTe
X dyT
TrSy
e
T
X
y
erTec
ln
2
2)2
2
1(
0
ln
2
1
2
1
ln
2
2)2
2
1(ln
2
1
2
1
ln
2
2)2
2
1(ln
2
1
2
1
0
0
σ
σ
πσ
σ
σ
πσ
σ
σ
πσ

7. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
( )TrSa 2
2
1
0ln σ−+=
Olsun ve a ve b2
c bağıntısında yerine konarak;
Tb 22
σ=
( )
( )
∫
∫
∞
−
−
∞
−
−
−
−






−






=
X
b
ay
rT
X
b
ay
yrT
dye
b
Xe
dye
b
eec
ln
ln
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
π
π
-
( )
dye
b
ee
X
b
ay
yrT
∫
∞
−
−
−






ln
2
2
2
1
2
1
π
( )
dye
b
e
X
b
ay
y
rT
∫
∞
−
−
−






=
ln
2
2
2
1
2
1
π
( )
dye
b
e
X
b
ay
y
rT
∫
∞ 






 −
+−−
−






=
ln
2
2
1
2
2
2
1
π
.
İki enetegralin farkı olur. Şimdi iki entegrali ayrı ayrı değerlendirelim

8. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Şimdi w değerini aşağıdaki gibi tanımlıyalım;
2
2
)(
2
b
ay
yw
−
+−=
2
22
2
2
22
b
aayy
b
yb +−
+
−
=
2
222
22
b
aayyby +−−
=
( )
2
2
2
2
2
2
2
b
a
b
aby
b
y
+
+
−=
.
Kuadratik ifadeyi tamamlayarak; üs ifadesi normal
dağılım üssüne benzetilecektir.
( ) ( )[ ] ab
b
aby
b
a
b
aby
b
y
2
2 2
2
22
2
2
2
2
2
2
+−
+−
=+
+
−
.

9. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Bunu entegralde yerine koyarak;
( )[ ]
dye
b
e
X
ab
b
aby
rT
∫
∞ ++
+−−
−






ln
2
2
1
2
22
2
1
2
1
π
( )[ ]
dye
b
e
X
b
aby
abrT
∫
∞
+−−
++−






=
ln
2
22
2
1
2
2
1
2
1
π
.Eksponansiyel üsleri yeniden düzenleyerek;
b
aby
z
−−
=
2
dy
b
dz
1
=
Entegralin içi b2
+a ortalama
ve b2
varyanslı genel normal
dağılıma dönüştü.
Şimdi rutin işlemler ile bu
standart normal dağılıma
dönüştürülür.
dybdz =
.

10. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Tekrar entegralde yerine koyarak;
dzee
b
abX
zabrT
∫
∞ −++−
+− 





)2(ln
2
2
12
2
1
2
1
π





 ++−
=
++−
b
abX
Ne
abrT
2
ln2
2
1







 −+++−
=
−+++−
T
TrSTX
Ne
TrSTrT
σ
σσσσ )(lnln 2
2
1
0
2
)(ln 2
2
1
0
2
2
1
( ) ( )101
ln
2
2
1
ln 0
0
0
)(ln
dNSdNe
T
Tr
Ne SX
S
S
==







 ++
=
σ
σ
.
Bu ilk entegrali sonuca ulaştırır
Eksponansiyelin üssü kısaltılarak;

11. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Şimdi ikinci entegral ile ilgilenirsek;
( )
∫
∞
−
−
−






X
b
ay
rT
dye
b
Xe
ln
2
2
2
1
2
1
π
.Z değerini aşağıdaki gibi tanımlayalım;
b
ay
z
)( −
=
Buna göre;
dy
b
dz
1
=
bdz = dy .

12. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Bunları entegralde yerine koyarak;
∫
∞ −−
− 





b
aX
bdze
b
Xe
zrT
ln
2
2
1
2
1
π
∫
∞ −−
− 





=
b
aX
bdze
b
Xe
zrT
ln
2
2
1
2
1
π





 −
−= −
b
aX
NXe rT ln







 −−−
−= −
T
TrSX
NXe rT
σ
σ )(lnln 2
2
1
0
( )2
2
2
1
)(ln 0
dNXe
T
Tr
NXe rTX
S
rT −−
=







 −+
=
σ
σ
.
Elde ederiz.

13. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Sonuç olarak;
ve
.
(6) bağıntısı opsiyon fiyatlamada Black-Scholes formülü
olarak bilinir
(6)
Td
T
TrXS
d
T
TrXS
d
)dΝ) – X.eN(dSc 2
-rT
1
σ
σ
σ
σ
σ
−=
−+
=
++
=
=
1
0
1
0
)2/2()/0ln(
2
)2/2()/ln(
(

14. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
Karmaşıklığın Arkasındaki Değişken
Dönüşümü
 Bu oldukça karmaşık gibi görünen matematik işlemler aslında
basit bir entegral alma işlemini yansıtıyor.
 Beklenen değer entegralindeki lognormal dağılımı önce bir
değişken dönüşümü ile normale dönüştürdük ve doğal olarak
sınırları değişti.
 Sonra yine bir değişken dönüşümü ile bunu standart normale
dönüştürdük ve sınırlar yine değişti.
 Çıkan sonuç Blac-Scholes-Merton opsiyon fiyatlama formülü
oldu.
 Buradan aynı mekanizma ile fakat farklı başlangıç dağılım
fonksiyonu kabul ile farklı formülasyonlar elde
edebileceğimizi görüyoruz.

15. DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ
Doç. Dr. Kutlu MERİH
S
C
∂
∂
=δ
Rho ρChanges in the risk-free
borrowing rate
Theta θDecay of time to maturity
Vega νChanges in volatility of
share values
Gamma: γ or ΓChanges in
delta(convexity)
Delta: δ or ∆Changes in the value of
underlying shares
Greek orFormulaRisk Factor
2
S
C
∂
∂
=γ
σν ∂
∂
= C
T
C
∂
∂
=θ
r
C
∂
∂
=ρ