王平通过对特殊图形面积的研究，体会了在疫情期间线上学习的挑战与乐趣。研究过程中，他不仅探索了几何的美，还感受到了学习与创作的成就感。整个过程激发了他对数学的热情，感谢老师的引导，使他领悟到了数学的深奥与魅力。

1. 姓名：王平(Peter Wang)
班級：H101
座號：14
指導老師：徐俊男

2. （一）研究動機
因為突如其來的疫情，必須在家上課，學校老師們很快的為我們
預備了線上課程，讓我們可以停課但不停學。這段期間，在家看影片
上課成了我們的日常，不管同步或非同步，老師們都得花更多的心思
來備課，真的很辛苦。我特別注意的是數學老師，儘管在錄製影片的
現場是沒有學生的，但老師還是保持如常的認真和努力，用一貫熱情
親切的聲音，傳授數學知識，讓電腦另一端的我們能夠聽懂，能夠理
解。我不禁揣想，是什麼樣的動力和熱情讓老師能夠保持著這樣的態
度？是老師對數學的喜歡？還是老師對教學的熱情？
學期末，老師跟我們分享了少年吉拉的故事，透過他的故事，帶
我們一窺數學之美。剛好透過這項特別的作業，我也有機會親身走一
遍數學之旅，親身體驗數學之美。一向對幾何有興趣的我，選了計算
特殊圖形面積的研究。期望我能透過這樣的研究，欣賞數學之美，領
略學習數學的熱情，進入數學的堂奧之旅。

3. （二）研究過程
圖形(1)
解題想法：
算出正方形面積、以及
1
4
圓面積× 2，利用相加兩
1
4
圓後
扣掉原本正方形面積就會得到所求塗色面積。
解題過程：
設正方形邊長為 𝑥 ，面積為 𝑥2
。

4. 1
4
圓面積爲：
𝑥2𝜋
4
。
𝑥2
𝜋
4
∗ 2 − 𝑥2
= 𝑥2
(
𝜋
2
− 1)
解答：𝑥2
(
𝜋
2
− 1)
手稿：
圖形(2)

5. 解題想法：
做輔助線：
從此可看出正方形由𝑥 + 4(𝑦 + 𝑧)，再來，算出藍色部分面積，就能得
到𝑦 + 𝑧的面積，進而算出𝑥的面積。
解題過程：
設正方形邊長為𝑎。
正方形面積：𝑎2
= 𝑥 + 4(𝑦 + 𝑧)

6. 藍色部分面積：60°扇形面積 – 正三角形面積
60°扇形面積：𝑎2𝜋 ∗
60
360
=
𝑎2𝜋
6
正三角形面積：
√3
2
𝑎 ∗ 𝑎 ∗
1
2
=
√3
4
𝑎2
藍色部分面積 =
𝑎2𝜋
6
−
√3
4
𝑎2
= 𝑎2
(
𝜋
6
−
√3
4
)
30°扇形面積：𝑎2𝜋 ∗
30
360
=
𝑎2𝜋
12
𝑦 + 𝑧 = 30°扇形面積 – 藍色部分面積
𝑦 + 𝑧 =
𝑎2
𝜋
12
− 𝑎2
(
𝜋
6
−
√3
4
) = 𝑎2
(
𝜋
12
−
𝜋
6
+
√3
4
) = 𝑎2
(−
𝜋
12
+
√3
4
)
= 𝑎2
(
3√3 − 𝜋
12
)
𝑥 =正方形面積 - 4(𝑦 + 𝑧)
𝑥 = 𝑎2
− 4𝑎2
(
3√3 − 𝜋
12
) = 𝑎2
(1 −
3√3 − 𝜋
3
)
解答：𝑎2
(1 −
3√3−𝜋
3
)
手稿：

7. 圖形(3)

8. 解題想法：
因為解正方形時給我的靈感，同樣也做了輔助線來幫助解題。正五邊
形是由五個「綠色部分」所組成，因此只要算出「藍色部分」就能得
到所求解答。
解題過程：
設正方形邊長為𝑎。

9. 藍色部分面積：60°扇形 – 正三角形面積
60°扇形面積：𝑎2𝜋 ∗
60
360
=
𝑎2𝜋
6
正三角形面積：𝑎 ∗
√3
2
𝑎 ∗
1
2
=
√3
4
𝑎2
藍色部分面積 =
𝑎2𝜋
6
−
√3
4
𝑎2 = 𝑎2 (
𝜋
6
−
√3
4
)
𝜃 = 108 − 60 = 48
綠色部分面積：48°扇形面積 – 藍色部分面積
48°扇形面積：𝑎2
𝜋 ∗
48
360
=
2𝑎2𝜋
15
綠色部分面積 =
2𝑎2𝜋
15
− 𝑎2 (
𝜋
6
−
√3
4
) = 𝑎2 (
2𝜋
15
−
𝜋
6
+
√3
4
) = 𝑎2 (−
𝜋
30
+
√3
4
) = 𝑎2 (
15√3−2𝜋
60
)
所求灰色部分面積：正五邊形面積 – 5 ∗綠色部分面積
正五邊形面積：將五邊形分成三塊三角形計算
𝐴 = 𝐶
𝐴 = 𝑎 ∗ 𝑎 sin 180° − 108 ° ∗
1
2
=
𝑎2 sin72
2
1
2
3
4

10. 𝐵的算法較為複雜，這是目前遇到較為困難的部分。
首先要算出線段12
̅
̅̅
̅，在算出12
̅
̅̅
̅邊上的高定算出面積。
14
̅
̅̅
̅ = 𝑎 sin 72°
34
̅
̅̅
̅ = 𝑎 cos 72°
12
̅
̅̅
̅ = √14
̅
̅̅
̅2 + (34
̅
̅̅
̅ + 23
̅
̅̅
̅)2
12
̅
̅̅
̅ = √(𝑎 sin 72°)2 + (𝑎 + 𝑎 cos 72°)2
= √𝑎2 sin 72°2 + 𝑎2 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 cos 72° + 𝑎2 cos 722
= √𝑎2(sin 72°2 + 1 + 2 cos 72° + cos 722)
= 𝑎√2 + 2 cos 72°
12
̅
̅̅
̅邊上的高：𝑎√2 + 2 cos 72° ∗ sin36°
𝐵 = (𝑎√2 + 2 cos 72°)
2
∗ sin 36° ∗
1
2
正五邊形面積：2𝐴 + 𝐵 = 𝑎2
sin 72° +
(𝑎√2 + 2 cos 72°)
2
∗ sin 36° ∗
1
2
= 𝑎2(sin 72° + sin 36° + sin 36° ∗ cos 72°)
所求灰色部分面積：正五邊形面積 - 5 ∗綠色部分面積
灰色部分面積 = 𝑎2(sin 72° + sin36° + sin36° ∗ cos 72°) − 5 ∗
𝑎2 (
15√3−2𝜋
60
) = 𝑎2
(sin72° + sin36° + sin 36° ∗ cos 72° −
15√3−2𝜋
12
)
解答：𝑎2(sin 72° + sin 36° + sin36° ∗ cos 72° −
15√3−2𝜋
12
)

11. 手稿：
（三）學習心得

12. 1. 既然是研究幾何，我想先從觀察生活中或大自然的事物開始，看到
社區中庭裡的花草給了我靈感，我想或許可以畫出簡單花卉形狀的特
殊圖形，再嘗試用學過的數學來計算面積。因此，從開始設定研究題
目，設計題目，並解題計算求解答，花了不少思考和求解的時間。以
前學數學，是看到題目就想寫，透過寫題目來理解，但這次是自己想
主題，自己設計題目，自己求解答，我覺得這個思考的過程是自己過
去很少做，但卻是很寶貴的經驗。
2. 在手稿上撰寫了初步的想法和解題過程後，因為沒有解答，擔心自
己想法不周全或計算錯誤，所以我得仔細檢查，反覆計算，確認答
案。接下來，第一次用電腦寫數學報告，沒想到要用 Word 寫出複雜
的數學特殊符號和數學公式，還挺不容易的，花了我不少摸索和上網
研究的時間，也體會到老師平常出考卷的辛苦。但我也因此學到許多
撰寫數學公式的技巧，並完成報告，自己也覺得很開心，很有成就
感。
3. 數學的堂奧博大精深，這趟計算面積之旅，我只是憑著對幾何的興
趣，透過自己學過的數學，小小一窺數學的大千世界。規律的幾何，
特殊的幾何，都是一種美，而當我用數學研究出結果，發現原來這些
經過自己思考所整理出的數字是最美麗的。或許這也是為什麼這麼多
數學家可以堅持在數學領域鑽研精深，或許這也是為什麼數學老師總

13. 是可以保有這樣的認真和熱情，傳達著數學之美。謝謝老師透過這次
的報告讓我經歷這段計算面積之旅，數學之旅，讓我收穫頗豐，也希
望自己未來也能學習這樣的熱情，持續尋找領略「數學之美」
。