ನಕ್ಷೆ ಮತ್ತು ಬಹುಮುಖಘನಾಕೃತಿ

1. ಸಸುಸಸ್ವಾಗತ

2. WÀ£ÁPÀÈwUÀ¼ÀÄ ªÀÄvÀÄÛ
eÁ®UÀ¼ÀÄ
ಗಣಿತ

3. ಪರವಡ
• ಪಪಠಕಕ
• ಬಹಹಭಹಜಜಕಕತಗಳಹ .
• ಬಹಹಮಹಖ ಘನಜಕಕತಗಳಹ
• ನಯಮತ ಬಹಹಮಹಖ ಘನಜಕಕತಗಳಹ
• ಘನಜಕಕತಗಳಗಕ ಆಯಯರನ ಸಸತತ
• ಜಜಲಗಳಹ
• ಪಜರವಜಹಕ ಜಜಲಗಳಹ
• ಜಜಲಗಳಗಕ ಆಯಯರನ ಸಸತತ
• ಜಜಲದ ಸಸಖಜಖಯತ
• ಮಜತಕಕಕಯಸದ ಜಜಲ ರಚಸಹವವದಹ .

4. ಪಪಠಕಕ
• ನಜವವ ದನ ನತಖ ಹಲವಜರಹ ಘನಜಕಕತಗಳನಹನ ನಕಸಪಡಹತತರಹತಕತಪವಕ ಅವವಗಳಲಯ
ಮಹಖಖವಜದಹವವಗಳಹ .
ಇಟಟ್ಟಿಗ
ಜಾಮಿಟಟ್ರಿ ಬಾಕಕ
ಗಿಫಟ್ಟಿ ಬಾಕಕ
ಪಿರಮಿಡ
ಐಸ್ ಕಕಕ್ಯೂಬ ರಸುಬಿಕಕ ಕಕಕ್ಯೂಬ

5. ಬಹಹಭಹಜಜಕಕತಗಳಹ
• ಸರಳ ರಕಪಖಕಗಳಸದ ಆವಕತವಜಗರಹವ ಒಸದಕಪ ಸಮತಲದಲಯರಹವ
ಆಕಕತ.
• ಉದಜ:-
ತಟ್ರಿಭಸುಜ
ಚತಸುರ್ತುಭಸುಜ ಪಪಂಚಭಸುಜ

6. ಬಹಹಮಹಖ ಘನಜಕಕತ
ಮಸರಹ ಆಯಜಮಗಳಹ & ಬಹಹಭಹಜಗಳಸದ ಆವಕತವಜದ
ಘನಜಕಕತಯನಹನ ಬಹಹಮಹಖಘನಜಕಕತ ಎನಹನವರಹ.
ಉದಜ:-

7. ನಯಮತ ಬಹಹಮಹಖ ಘನಜಕಕತಗಳಹ
ಒಸದಹ ಬಹಹಮಹಖ ಘನಜಕಕತಯ ಎಲಜಯ ಮಹಖಗಳಹ ಸವರ ಸಮ ನಯಮತ
ಬಹಹಭಹಜಗಳಜಗದದರಕ ಅದನಹನ ನಯಮತ ಬಹಹಮಹಖ ಘನಜಕಕತಗಳಹ
ಎನಹನವರಹ.
ಉದಜ:-
ಚತಹರಮಹಖ ಘನ
ಷಣಹಣಖ ಘನ
ಆಷಷಮಹಖ ಘನ
ದಜದದಶಮಖ ಘನ
ವಸಶತ ಘನ

8. 1. ಚತಹಮಹರಖ ಘನ (4 ಮಹಖಗಳ ಘನ)
ಘನಜಕಕತ ಜಜಲದ ಚತತ ಪತತಮಹಖದ ಆಕಜರ
(ಸಮಬಜಹಹ ತತಭಹಜ )
1
2
3
4

9. 2. ಷಣಹಣಖ ಘನ (6 ಮಹಖಗಳ ಘನ)
• ಘನಜಕಕತ ಜಜಲದ ಚತತ ಪತತಮಹಖದ ಆಕಜರ
( ವಗರ)
1
2 3 4
5
6

10. 3. ಅಷಷಮಹಖ ಘನ (8 ಮಹಖಗಳ ಘನ)
• ಘನಜಕಕತ ಜಜಲದ ಚತತ ಪತತ ಮಹಖದ ಆಕಜರ
(ಸಮಬಜಹಹ ತತಭಹಜ )
1
2
3 4
5 6
7
8

11. 4.ದಜದದಶ ಮಹಖ ಘನ (12 ಮಹಖಗಳ ಘನ)
• ಘನಜಕಕತ ಜಜಲದ ಚತತ ಪತತ ಮಹಖದ ಆಕಜರ
(ನಯಮತ ಪಸಚಭಹಜ)
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
2

12. 5.ವಸಶತ ಘನ (20 ಮಹಖಗಳ ಘನ)
• ಘನಜಕಕತ ಜಜಲದ ಚತತ ಪತತ ಮಹಖದ ಆಕಜರ
(ಸಮಬಜಹಹ ತತಭಹಜ )

13. ಹೆಸರಸು ಘನಾಕಕೃತ ಚಿತ ತ ಜಾಲದ ಚಿತ ತ
ಪಟ್ರಿತ ಮಸುಖದ ಆಕಾರ
ಚತಸುರ್ತುಮಸುಖ
ಘನ
ಸಮಬಾಹಸು ತಟ್ರಿಭಸುಜ
ಷಣಸುಣ್ಮುಖಘನ
ಚೌಕ
ಆಷಟ್ಟಿ ಮಸುಖ
ಘನ
ಸಮಬಾಹಸು ತಟ್ರಿಭಸುಜ
ದಸ್ವಾದಶಮಖ
ಘನ
ನಿಯಮಿತ
ಪಪಂಚಭಸುಜ
ವಪಂಶತ
ಸಮಬಾಹಸು

14. ಆಯಯ ರ
ಲಿಯೋನಾಡರ್ತು ಆಯಯ ರ ಒಬಬ
ಸಸ್ವಾಸ್ ಗಣಿತಜಜ . ಗಣಗಳನಸುನ್ನು
ವಕೃತತಗಳಲ್ಲಿ ಪಟ್ರಿತನಿದಿಸಸುವ ಬಗಗ
ತಳಿಸದ ಮೊದಲ ವಕ್ಯೂ ಕತ. ಆಯಯ ರನಸು
ಬಹಸುಭಸುಜಘನಗಳಿಗ ಹಾಗಸು
ಜಾಲಾಕಕೃತಗಳಿಗ ಸಪಂಬಪಂಧಿಸದಪಂತ
ಸಕತ ತ ತಳಿಸದ.

15. = ಮಹಖಗಳ ಸಸಖಕಖ
= ಶಕಸಗಗಳ ಸಸಖಕಖ
= ಅಸಚಹಗಳ ಸಸಖಕಖ
ಬಹಸುಮಸುಖ ಘನಗಳಿಗ ಆಯಯ ರನ ಸಕತ ತ
F + V = E + 2
F
V
E

16. 32=32301220ವಪಂಶತ ಘನ
32=32302012ದಸ್ವಾದಶಮಖ
ಘನ
14=141268ಆಷಟ್ಟಿ ಮಸುಖ
ಘನ
14=141286ಷಣಸುಣ್ಮುಖ ಘನ
4+4=6+2
8=8
644ಚತಸುರ್ತುಮಸುಖ
ಘನ
F+V=E+
2
Number of Edges
( E )
Vertces
( V)
Number of Faces
( F)
ಘನಾಕಕೃತ ಚಿತ ತ
ಪಯಪ್ಲೇಟಕಪ್ಲೇನಿಕ
ಘನಾಕಕೃತ

17. ಈ ಕಕಳಗನ ಆಕಕತಗಳಗಕ ಆಯಯರನ ಸಸತತ ತಜಳಕನಕಸಪಡ.

19. .ಬಕಸಗಳಸರಹ ಅರಮನಕ
.ವಧಜನ ಸಸಧ
ರಕರಲಹ ನಲಜದಣ
.ಲಜಲಲ ಬಜಗಲ
.ಬಸವನ ಗಹಡ
ಬಿಪಂದಸುಗಳ ಗಣ ಮತಸುತ ಆ ಬಿಪಂದಸುಗಳನಸುನ್ನು ಜಕತಜಕತಯಾಗಿ ಸಪ್ಲೇರಿಸಸುವ
ರಪ್ಲೇಖಾಖಪಂಡಗಳನಸುನ್ನು ಜಾಲಗಳಸು ಎನಸುನ್ನುವರಸು.(GRAPHS )
ಜಾಲಗಳಸು

20. ಜಜಲಗಳ ಪರಕಲಲನಕಗಳಹ
• ಒಸದಹ ಬಸದಹವನಸದ ಕನಷಷ ಒಸದಹರಕಪಖಕಯಜದರಸ ಆರಸಭಗಕಸಸಡದದರಕ ಅಥವ
ತಲಹಪದದರಕ, ಆಬಸದಹವನಹನ ಜಜಲ ಸಸಪಜತ ಬಸದಹ ಎಸದಹ ಕರಕಯಹತಕತಪವಕ . (NODES
)
• ಜಜಲದಲಯನ ಸಸಪಜತ ಬಸದಹಗಳನಹನ ಜಕಸತಕಜಕಸತಕಯಜಗ ಸಕಪರಸಹವ ರಕಪಖಜಖಸಡಗಳನಹನ
ಅದರ ಕಸಸಗಳಕಸದಹ ಕರಕಯಹತಕತಪವಕ . (ARCS )
• ಕಸಸಗಳಸದ ಆವಕತವಜಗರಹವ ಪತದಕಪಶವನಹನ (ಹಕಸರಗನ ಪತದಕಪಶವನಹನ
ಸಕಪರ) ವಲಯ ಎಸದಹ ಕರಕಯಹತಕತಪವಕ . .(REGION)

21. A
C
B
ಸಪಂಪಾತ ಬಿಪಂದಸುಗಳಸು =
ಕಪಂಸಗಳಸು =
ವಲಯಗಳಸು =
3
4
3

22. ಈ ಕಕಳಗನ ಜಜಲದ ಸಸಪಜತ ಬಸದಹಗಳ , ಕಸಸಗಳ
ವಲಯಗಳ ಸಸಖಕಖಯನಹನ ಬರಕಯರ
R
P
SQ

23. ಜಜಲಗಳಗಕ ಆಯಯರನ ಸಸತತ
• N+R = A+2
• N=ಸಸಪಜತ ಬಸದಹಗಳಹ .
• R=ವಲಯಗಳಹ .
• A=ಕಸಸಗಳಹ .

24. ಈ ಕಕಳಗನ ಜಜಲಕಕಕ ಆಯಯರನ ಸಸತತ ತಜಳಕ ನಕಸಪಡಹವವದಹ
R
P
SQ
N=4
R=5
A=7
N+R = A+2
4+5 = 7+2
9 = 9
ಆಯಯ ರನ ಸಕತ ತ
ಸಪಂಪಾತ ಬಿಪಂದಸುಗಳಸು
ವಲಯಗಳಸು.
ಕಪಂಸಗಳಸು.

25. ಪಜರವಜಹಕ ಜಜಲಗಳಹ
ಒಪಂದಸು ಸಪ್ಲೇಸದ ಕಡಡ್ದಿಯ ತಸುದಿಯನಸುನ್ನು ಕಾಗದದಿಪಂದ ಮಪ್ಲೇಲಕಕಪ್ಲೇತತದೆ ಮತಸುತ
ಒಮಣ್ಮು ಎಳೆದ ಕಪಂಸವನಸುನ್ನು ಮತತ ತದಡ್ದಿ ದೆ ರಚಿಸಬಹಸುದದ ಚಿತ ತಕಕ
ಪಾರವಾಹಕ ಜಾಲ ಎಪಂದಸು ಕರಯಸುತತಪ್ಲೇವ.
ಉದ:-

26. ಸಸಪಜತ ಬಸದಹವನ ಕತಮ
• ಒಸದಹ ಸಸಪಜತ ಬಸದಹವನಸದ ಪಜತರಸಭಗಕಸಳಹಳವ
ಅಥವಜ ಆ ಬಸದಹವನಲಯ ಅಸತಖಗಕಸಳಹಳವ ಕಸಸಗಳ ಸಸಖಕಖಯನಹನ
ಆ ಸಸಪಜತಬಸದಹವನ ಕತಮ ಎಸದಹ ಕರಕಯಹತಕತಪವಕ.
ಉದಜ:-
C
BA
D
ಚಿತ ತದಲ್ಲಿ A ಕ ತಮ = 3
ಚಿತ ತದಲ್ಲಿB ಕ ತಮ =
ಚಿತ ತದಲ್ಲಿC ಕ ತಮ =
2
3
ಚಿತ ತದಲ್ಲಿD ಕ ತಮ = 2

27. ಸಹರಹಳ ಸಸಪಜತ ಬಸದಹವನ ಕತಮ.
• ಒಸದಹ ಬಸದಹವನಸದ ಅದಕಪ ಬಸದಹವಗಕ ಸಕಪರಸಹವ
ಕಸಸವನಹನ ಸಹರಹಳ ಎಸದಹ ಕರಕಯಹತಜತರಕ .
ಚತತದಲಯ A ಸಸಪಜತ ಬಸದಹವನ
ಕತಮ 2
A

28. ಸಮ ಸಸಪಜತ ಬಸದಹಗಳಹ & ಬಕಸ ಸಸಪಜತ ಬಸದಹಗಳಹ
ಚಿತ ತದಲ್ಲಿ A ಕ ತಮ = 4
A
CD
B
ಚಿತ ತದಲ್ಲಿ B ಕ ತಮ = 3
ಚಿತ ತದಲ್ಲಿ C ಕ ತಮ = 4
ಚಿತ ತದಲ್ಲಿ D ಕ ತಮ = 3
(ಸಮ ಸಪಂಪಾತ ಬಿಪಂದಸು )
(ಬೆಸ ಸಪಂಪಾತ ಬಿಪಂದಸು )
(ಸಮ ಸಪಂಪಾತ ಬಿಪಂದಸು )
(ಬೆಸ ಸಪಂಪಾತ ಬಿಪಂದಸು )
ಇದಸು ಪಾರವಾಹಕ ಜಾಲ ಕಾರಣ ಇದಸು ಕಪ್ಲೇವಲ ಎರಡಸು ಬೆಸ ಸಪಂಪಾತ ಬಿಪಂದಸುಗಳನಸುನ್ನು ಹೆಕಪಂದಿದೆ.

29. ಪಜರವಜಹಕತಕಗಕ ಆಯಯರನ ಪರಹಜರ
• ಅದರಲಯ ಸಮಸಸಪಜತ ಬಸದಹಗಳಹ ಮಜತತ ಇರಬಕಪಕಹ .
• ಅದರಲಯ ಕಕಪವಲ ಎರಡಕಪ ಎರಡಹ ಬಕಸ ಸಸಪಜತ ಬಸದಹಗಳಹ
ಇರಬಕಪಕಹ.
• ಒಸದಹ ಜಜಲದಲಯ ಎರಡಕಕಸತ ಹಕಚಹಚ ಬಕಸ ಸಸಪಜತ
ಬಸದಹಗಳದದರಕ, ಅದಹ ಪಜರವಜಹಕ ವಜಗಹವವದಲಯ .

30. ಕಸನಗಲಗ ಬಗಲರ ಸಕಪತಹವಕ ಸಮಸಕಖ ಬಗಕಹರಸದ ಆಯಯರಲ
. ಜಮರನಯಲಯರಹವ ಕಕಸಪನಗಲಗ ಬಗಲರ ಪಟಷಣದ ಮಸಲಕ ಹರದಹ ಹಕಸಪಗಹವ ಪಕತಗಕಲಲ ನದಗಕ
ಏಳಹ ಸಕಪತಹವಕಗಳದದವವ .ಜನರಹ ಏಳಹ ಸಕಪತಹವಕಗಳನಹನ ಒಸದಕಪ ನಡಗಕಯಲಯ ಯಜವ
ಸಕಪತಹವಕಯನಹನ ಒಸದಕಕಸತ ಹಕಚಹಚ ಸಲ ಹಜದಹಹಕಸಪಗದಕ ದಜಟಲಹ ಪತಯತನಸದರಹ .ಆದರಕ
ಇದಹ ಸಜಧಖವಜಗಲಲಯ. ಈ ಸಮಸಕಖಯನಹನ ಆಯಯರನಹ ಬಗಕಹರಸದನಹ . ನಬಸಧನಕಗಳ
ಚಸಕಟಷನಲಯ ಏಳಹ ಸಕಪತಹವಕಗಳನಹನ ದಜಟಹವವದಹ ಅಸಜಧಖವಕಸದಹ ಕಸಡಹಬಸತಹ

31. ಇವವಗಳಲಯ ಪಜರವಜಹಕ ಜಜಲಗಳಹ ಯಜವವವವ ?
D
A
B
C
QP
S R
D C
BE
A

32. ಜಜಲದ ಸಸಖಜಖಯಹತ
A
B
C
2 22
2 0 2
2 2 0
A
A
B
B
C
C
2 2 2
2 0 2
2 2 0

33. ಮಜತಕಕಕಯಸದ ಜಜಲದ ರಚನಕ
0 2 2
2 0 1
2 1 0
A
A
B
B C
C
A
B
C
0 2 2
2 0 1
2 1 0

34. ಮಸಲಖಮಜಪನ
1. ಚತಹರಮಹಖ ಘನದ ಪತತ ಮಹಖದ ಆಕಜರ
2. ಬಸದಹಗಳ ಗಣ ಮತಹತ ಆ ಬಸದಹಗಳನಹನ ಜಕಸತಕಜಕಸತಕಯಜಗ ಸಕಪರಸಹವ
ರಕಪಖಜಖಸಡಗಳನಹನ ______________ಎನಹನವರಹ.
3. ಚತತದಲಯ A ಸಸಪಜತ ಬಸದಹವನ ಕತಮ __________
4. ಜಜಲಗಳಗಕ ಆಯಯರನ ಸಸತತ __________________.
5. ಚತಹರಮಹಖ ಘನದ ಒಟಹಷ ಮಹಖಗಳ ಸಸಖಕಖ
A
A) ಕರಣ B) ಜಾಲ C) ರಪ್ಲೇಖಾಖಪಂಡ
A) N+R=A+2 B) N+A=R+2 C) A+R=N+2
A) 8 B) 6 C) 4
A) ವಗರ್ತು B) ಆಯತ C) ಸಮಬಾಹಸು ತಟ್ರಿಭಸುಜ
A) 1 B) 2 C) 3

35. ಆಕರಗಳಹ
10 ನಕಪ ತರಗತ ಗಣತ ಪವಸತಕ.
www.google.com
www.math.com
www.3quarks.com
www.wikipedia.com

36. •