![Definicja i oznaczenia
Skalary z
Macierze A
Położenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej M = [X, Y , Z]T
Położenie punktu na płaszczyźnie obrazu m = [u, v, 1]T
K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 2 / 118](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Recommended
Recommended
More Related Content
Viewers also liked
Viewers also liked (13)
More from Krzysztof Wegner
More from Krzysztof Wegner (10)
Geometria Eppipolarna
- 1. Geometria epipolarna Krzysztof Wegner Politechnika Poznańska Katedra Telekomunikacji Multimedialnej i Mikroelektroniki 15 grudnia 2014 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 1 / 118
- 2. Definicja i oznaczenia Skalary z Macierze A Położenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej M = [X, Y , Z]T Położenie punktu na płaszczyźnie obrazu m = [u, v, 1]T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 2 / 118
- 3. Model kamery otworkowej K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 3 / 118
- 4. Parametry wewnętrzne kamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 4 / 118
- 5. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 5 / 118
- 6. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T u = f Xkamery Zkamery v = f Ykamery Zkamery m = f Xkamery Zkamery , f Ykamery Zkamery , 1 T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 5 / 118
- 7. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T u = f Xkamery Zkamery v = f Ykamery Zkamery m = f Xkamery Zkamery , f Ykamery Zkamery , 1 T / · Zkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 6 / 118
- 8. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T u = f Xkamery Zkamery v = f Ykamery Zkamery Zkamery m = [f Xkamery , f Ykamery , Zkamery ]T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 7 / 118
- 9. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T u = f Xkamery Zkamery v = f Ykamery Zkamery Zkamery m = f 0 0 0 f 0 0 0 1 [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 8 / 118
- 10. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T u = f Xkamery Zkamery v = f Ykamery Zkamery Zkamery m = f 0 0 0 f 0 0 0 1 Xkamery Ykamery Zkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 9 / 118
- 11. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T u = f Xkamery Zkamery v = f Ykamery Zkamery Zkamery m = f 0 0 0 f 0 0 0 1 M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 10 / 118
- 12. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T u = f Xkamery Zkamery v = f Ykamery Zkamery Zkamery m = K M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 11 / 118
- 13. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T K = f 0 0 0 f 0 0 0 1 Zkamery m = K M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 12 / 118
- 14. Parametry wewnętrzne kamery m = [u, v, 1]T M = [Xkamery , Ykamery , Zkamery ]T K = f 0 0 0 f 0 0 0 1 Zkamery m = K M K - macierz parametrów wewnętrznych kamery. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 12 / 118
- 15. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M m = m + o K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 13 / 118
- 16. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M m = m + o/ · Zkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 14 / 118
- 17. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M Zkamery m = Zkamery m + Zkamery o K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 15 / 118
- 18. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M Zkamery m = K M + Zkamery o K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 16 / 118
- 19. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M Zkamery m = K M + 0 0 ou 0 0 ov 0 0 0 Xkamery Ykamery Zkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 17 / 118
- 20. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M Zkamery m = f 0 0 0 f 0 0 0 1 M + 0 0 ou 0 0 ov 0 0 0 M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 18 / 118
- 21. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M Zkamery m = f 0 0 0 f 0 0 0 1 + 0 0 ou 0 0 ov 0 0 0 M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 19 / 118
- 22. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M Zkamery m = f 0 ou 0 f ov 0 0 1 M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 20 / 118
- 23. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M Zkamery m = K M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 21 / 118
- 24. Punkt główny kamery Punkt główny kamery o = [ou, ov , 0]T Rzut punktu M na płaszczyznę obrazu Zkamery m = K M Zkamery m = K M K = f 0 ou 0 f ov 0 0 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 22 / 118
- 25. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 23 / 118
- 26. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 23 / 118
- 27. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 23 / 118
- 28. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv u v 1 = u su v sv 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 23 / 118
- 29. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv u v 1 = 1 su 0 0 0 1 sv 0 0 0 1 u v 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 24 / 118
- 30. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv m = 1 su 0 0 0 1 sv 0 0 0 1 m K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 25 / 118
- 31. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv m = 1 su 0 0 0 1 sv 0 0 0 1 m / · Zkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 26 / 118
- 32. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv Zkamery m = 1 su 0 0 0 1 sv 0 0 0 1 Zkamery m K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 27 / 118
- 33. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv Zkamery m = 1 su 0 0 0 1 sv 0 0 0 1 K M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 28 / 118
- 34. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv Zkamery m = 1 su 0 0 0 1 sv 0 0 0 1 f 0 ou 0 f ov 0 0 1 M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 29 / 118
- 35. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv Zkamery m = f su 0 ou su 0 f sv ov sv 0 0 1 M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 30 / 118
- 36. Punkty obrazu - pixele Położenie punktu m w obrazie podawane jest jako wielokrotność okresu próbkowania. Okres próbkowania obrazu związany jest z wielkością elementu światłoczułego su × sv Zkamery m = K M K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 31 / 118
- 37. Macierz parametrów wewnętrznych K = f su 0 ou su 0 f sv ov sv 0 0 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
- 38. Macierz parametrów wewnętrznych K = f su 0 ou su 0 f sv ov sv 0 0 1 f su = fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi u K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
- 39. Macierz parametrów wewnętrznych K = f su 0 ou su 0 f sv ov sv 0 0 1 f su = fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi u f sv = fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi v K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
- 40. Macierz parametrów wewnętrznych K = f su 0 ou su 0 f sv ov sv 0 0 1 f su = fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi u f sv = fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi v ou su = ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi u K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
- 41. Macierz parametrów wewnętrznych K = f su 0 ou su 0 f sv ov sv 0 0 1 f su = fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi u f sv = fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi v ou su = ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi u ov sv = ov położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi v K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 32 / 118
- 42. Macierz parametrów wewnętrznych K = fu 0 ou 0 fv ov 0 0 1 f su = fu długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi u f sv = fv długość ogniskowej jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi v ou su = ou położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi u ov sv = ov położenie punktu głównego obrazu jako wielokrotność okresu próbkowania wzdłuż osi v K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 33 / 118
- 43. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 34 / 118
- 44. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 35 / 118
- 45. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 36 / 118
- 46. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 37 / 118
- 47. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 37 / 118
- 48. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 37 / 118
- 49. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 M = T + R−1 Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 37 / 118
- 50. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 M = T + R−1 Mkamery/ − T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 38 / 118
- 51. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 M − T = R−1 Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 39 / 118
- 52. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 M − T = R−1 Mkamery/R· K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 40 / 118
- 53. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 R (M − T) = RR−1 Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 41 / 118
- 54. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 R (M − T) = Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 42 / 118
- 55. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 R I −T M 1 = Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 43 / 118
- 56. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery T = [tx , ty , tz]T R = r11 r12 r13 r21 r22 r23 r31 r32 r33 R −R T M 1 = Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 44 / 118
- 57. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Mkamery Rt = R −R T Rt = r11 r12 r13 tx r21 r22 r23 ty r31 r32 r33 tz Rt M 1 = Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 45 / 118
- 58. Położenie kamery w przestrzeni trójwymiarowej Zkamery m = K Rt M 1 Rt = R −R T Rt = r11 r12 r13 tx r21 r22 r23 ty r31 r32 r33 tz Rt M 1 = Mkamery K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 46 / 118
- 59. Parametry zewnętrzne kamery Zkamery m = K Rt M 1 Rt = R −R T Rt = r11 r12 r13 tx r21 r22 r23 ty r31 r32 r33 tz Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 47 / 118
- 60. Głębia punktu M Zkamery m = K Rt M 1 Odległość Zkamery nazywa się głębią punktu M i oznacza z. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 48 / 118
- 61. Głębia punktu M z m = K Rt M 1 Odległość Zkamery nazywa się głębią punktu M i oznacza z. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 49 / 118
- 62. Głębia punktu M z m = K Rt M 1 Odległość Zkamery nazywa się głębią punktu M i oznacza z. Informacja o głębi punktu M jest bezpowrotnie tracona w wyniku rzutowania. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 49 / 118
- 63. Macierz projekcji Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę z m = K Rt M 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
- 64. Macierz projekcji Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę z m = K Rt M 1 P = K Rt K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
- 65. Macierz projekcji Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę z m = K Rt M 1 P = K Rt Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
- 66. Macierz projekcji Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę z m = K Rt M 1 P = K Rt Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery. Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
- 67. Macierz projekcji Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę z m = K Rt M 1 P = K Rt Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery. Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery. Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 50 / 118
- 68. Macierz projekcji Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę z m = P M 1 P = K Rt Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery. Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery. Macierz Rt nazywamy macierzą parametrów zewnętrznych kamery. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 51 / 118
- 69. Macierz projekcji Równanie modelujące proces rejestracji obrazu przez kamerę z m = P M 1 P = K R −R T Macierz P nazywamy macierzą projekcji kamery. Macierz K nazywamy macierzą parametrów wewnętrznych kamery. Macierz R i wektor T określa położenie kamery w globalnych układzie współrzędnych. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 52 / 118
- 70. Geometria Epipolarna K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 53 / 118
- 71. Linia Epipolarna K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 54 / 118
- 72. Linia Epipolarna K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 55 / 118
- 73. Linia Epipolarna K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 56 / 118
- 74. Linia Epipolarna K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 57 / 118
- 75. Linia Epipolarna K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 58 / 118
- 76. Linia Epipolarna K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 59 / 118
- 77. Linia Epipolarna K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
- 78. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
- 79. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
- 80. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. z1 m1 = P1 M 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
- 81. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. z1 m1 = P1 M 1 Macierz projekcji P1 nie odwracalna. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
- 82. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. z1 m1 = P1 M 1 Macierz projekcji P1 nie odwracalna. Rozszerzamy macierz projekcji. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 60 / 118
- 83. Macierz projekcji z1 m1 = P1 M 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 61 / 118
- 84. Macierz projekcji z1 m1 1 = P1 ˆwT M 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 62 / 118
- 85. Macierz projekcji z1 m1 1 = P1 ˆwT M 1 ˆw = [0, 0, 0, 1]T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 63 / 118
- 86. Macierz projekcji z1 m1 1 = P1 ˆwT M 1 ˆw = [0, 0, 0, 1]T ˆw = 0T 1 T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 64 / 118
- 87. Macierz projekcji z1 m1 1 = P1 M 1 P1 = P1 ˆwT K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 65 / 118
- 88. Macierz projekcji z1 m1 1 = P1 M 1 P1 = P1 ˆwT P1 = K1 R1 −R1 T1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 66 / 118
- 89. Macierz projekcji z1 m1 1 = P1 M 1 P1 = P1 ˆwT = K1 0 0T 1 R1 −R1 T1 0T 1 P1 = K1 R1 −R1 T1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 67 / 118
- 90. Macierz projekcji z1 m1 1 = P1 M 1 P1 = P1 ˆwT = K1 0 0T 1 R1 −R1 T1 0T 1 = K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 P1 = K1 R1 −R1 T1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 68 / 118
- 91. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. z1 m1 1 = P1 M 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 69 / 118
- 92. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. z1 m1 1 = P1 M 1 /P1 −1 · K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 70 / 118
- 93. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. P1 −1 z1 m1 1 = M 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 71 / 118
- 94. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. P1 −1 z1 m1 1 = M 1 Punkt m2 jest obrazem punktu M na płaszczyźnie obrazu kamery 2. z2 m2 1 = P2 M 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 72 / 118
- 95. Linia Epipolarna Dysponujemy tylko położeniem m1. Chcemy znaleźć potencjalne położenie punktu m2. P1 −1 z1 m1 1 = M 1 Punkt m2 jest obrazem punktu M na płaszczyźnie obrazu kamery 2. z2 m2 1 = P2 P1 −1 z1 m1 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 73 / 118
- 96. Linia Epipolarna z2 m2 1 = P2 P1 −1 z1 m1 1 Parametryczny opis linii epipolarnej l1. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 74 / 118
- 97. Odwrotność macierzy projekcji P1 = K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 P1 −1 = R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 I = P1 P1 −1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 75 / 118
- 98. Odwrotność macierzy projekcji P1 = K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 P1 −1 = R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 I = K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 76 / 118
- 99. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 77 / 118
- 100. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 K1 R1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 78 / 118
- 101. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 K1 R1 −R1 −1 K1 −1 K1 R1 T1 + T1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 79 / 118
- 102. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 K1 R1 −R1 −1 K1 −1 K1 R1 T1 + T1 0T K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 80 / 118
- 103. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 K1 R1 −R1 −1 K1 −1 K1 R1 T1 + T1 0T 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 81 / 118
- 104. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 R1 −1 I R1 −R1 −1 I R1 T1 + T1 0T 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 82 / 118
- 105. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 R1 −1 R1 −R1 −1 R1 T1 + T1 0T 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 83 / 118
- 106. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 I −T1 + T1 0T 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 84 / 118
- 107. Odwrotność macierzy projekcji K1 R1 −K1 R1 T1 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 I 0 0T 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 85 / 118
- 108. Linia epipolarna P1 −1 = R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 P2 = K2 R2 −K2 R2 T2 0T 1 z2 m2 1 = P2 P1 −1 z1 m1 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 86 / 118
- 109. Linia epipolarna P1 −1 = R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 P2 = K2 R2 −K2 R2 T2 0T 1 z2 m2 1 = K2 R2 −K2 R2 T2 0T 1 R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 z1 m1 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 87 / 118
- 110. Linia epipolarna P1 −1 = R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 P2 = K2 R2 −K2 R2 T2 0T 1 z2 m2 1 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 K2 R2 (T1 − T2) 0T 1 z1 m1 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 88 / 118
- 111. Linia epipolarna P1 −1 = R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 P2 = K2 R2 −K2 R2 T2 0T 1 z2 m2 1 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 89 / 118
- 112. Linia epipolarna P1 −1 = R1 −1 K1 −1 T1 0T 1 P2 = K2 R2 −K2 R2 T2 0T 1 z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 90 / 118
- 113. Linia epipolarna z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 91 / 118
- 114. Linia epipolarna z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 91 / 118
- 115. Linia epipolarna z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów. z2 m2 dla z1 = 0 z2 m2 dla z1 = 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 91 / 118
- 116. Linia epipolarna z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów. z2 m2 dla z1 = 0 mamy z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2) z2 m2 dla z1 = 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 92 / 118
- 117. Linia epipolarna z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów. z2 m2 dla z1 = 0 mamy z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2) z2 m2 dla z1 = 1 mamy z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 93 / 118
- 118. Linia epipolarna z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów. z2 m2 dla z1 = 0 mamy z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2) z2 m2 dla z1 = 1 mamy z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) l1 = (z2 m2 ) × (z2 m2 ) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 94 / 118
- 119. Linia epipolarna z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Aby przeprowadzić prostą potrzeba 2 punktów. z2 m2 dla z1 = 0 mamy z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2) z2 m2 dla z1 = 1 mamy z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 95 / 118
- 120. Linia epipolarna l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1 + K2 R2 (T1 − T2)) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 96 / 118
- 121. Linia epipolarna l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1) + (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 (T1 − T2)) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 97 / 118
- 122. Linia epipolarna l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 98 / 118
- 123. Iloczyn wektorowy Macierzą [a]× nazywamy macierz [a]× = 0 −a3 a2 a3 0 −a1 −a2 a1 0 a × b = [a]× b K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 99 / 118
- 124. Linia epipolarna l1 = (K2 R2 (T1 − T2)) × (K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 100 / 118
- 125. Linia epipolarna l1 = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 101 / 118
- 126. Macierz fundametalna l1 = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 102 / 118
- 127. Macierz fundametalna l1 = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 m1 F = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 102 / 118
- 128. Macierz fundametalna l1 = F m1 F = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 103 / 118
- 129. Linia Epipolarna Linia epipolarna punktu m1 l1 = F m1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
- 130. Linia Epipolarna Linia epipolarna punktu m1 l1 = F m1 Dla dowolnego punktu m leżącego na prostej l1 prawdziwe jest K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
- 131. Linia Epipolarna Linia epipolarna punktu m1 l1 = F m1 Dla dowolnego punktu m leżącego na prostej l1 prawdziwe jest mT l1 = 0 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
- 132. Linia Epipolarna Linia epipolarna punktu m1 l1 = F m1 Dla dowolnego punktu m leżącego na prostej l1 prawdziwe jest mT l1 = 0 W szczególności wiec K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
- 133. Linia Epipolarna Linia epipolarna punktu m1 l1 = F m1 Dla dowolnego punktu m leżącego na prostej l1 prawdziwe jest mT l1 = 0 W szczególności wiec m2 T l1 = 0 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
- 134. Linia Epipolarna Linia epipolarna punktu m1 l1 = F m1 Dla dowolnego punktu m leżącego na prostej l1 prawdziwe jest mT l1 = 0 W szczególności wiec m2 T l1 = 0 m2 T F m1 = 0 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 104 / 118
- 135. Macierz fundametalna m2 T F m1 = 0 F = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 Wyraża związek pomiędzy położeniem obrazu punktu M w obrazie z kamery 1 i 2. Definiuje linie epipolarne dla dowolnego punktu obrazu K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 105 / 118
- 136. Epipole Linia epipolarna punktu m1 z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
- 137. Epipole Linia epipolarna punktu m1 z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Dla z1 = 0 punkt M odpowiada środkowi optycznemu kamery 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
- 138. Epipole Linia epipolarna punktu m1 z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Dla z1 = 0 punkt M odpowiada środkowi optycznemu kamery 1 z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
- 139. Epipole Linia epipolarna punktu m1 z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Dla z1 = 0 punkt M odpowiada środkowi optycznemu kamery 1 z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2) Położenie obrazu środka optycznego kamery 1 na płaszczyźnie obrazu kamery 2 nazywamy epipolem K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
- 140. Epipole Linia epipolarna punktu m1 z2 m2 = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z1 m1 + K2 R2 (T1 − T2) Dla z1 = 0 punkt M odpowiada środkowi optycznemu kamery 1 z2 m2 = K2 R2 (T1 − T2) Położenie obrazu środka optycznego kamery 1 na płaszczyźnie obrazu kamery 2 nazywamy epipolem e2 = K2 R2 (T1 − T2) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 106 / 118
- 141. Epipole Linia epipolarna dowolnego punktu m z m = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z m + K2 R2 (T1 − T2) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 107 / 118
- 142. Epipole Linia epipolarna dowolnego punktu m z m = K2 R2 R1 −1 K1 −1 z m + K2 R2 (T1 − T2) Wszystkie linie epipolarne przecinają się w punkcie epipola. e2 = K2 R2 (T1 − T2) K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 107 / 118
- 143. Macierz fundamentalna Macierz fundamentalna F = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 108 / 118
- 144. Macierz fundamentalna Macierz fundamentalna F = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 Korzystając z położenia epipola e2 = K2 R2 (T1 − T2) F = [e2]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 108 / 118
- 145. Wyznaczanie macierzy projekcji kamer Na podstawie obrazu i podpowiadających sobie par punktów m2 T F m1 = 0 można wyznaczyć macierz fundamentalną algorytmem 8-punktowym. Dysonując macierz fundamentalna F = [K2 R2 (T1 − T2)]× K2 R2 R1 −1 K1 −1 Możemy dokonać jej rozkładu na macierze P1 i P2 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 109 / 118
- 146. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer z1 m1 1 = P1 M 1 z2 m2 1 = P2 M 1 z2 m2 1 = P2 P1 −1 z1 m1 1 Co prowadzi do wyznaczenia macierzy fundamentalnej F m2 T F m1 = 0 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 110 / 118
- 147. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer Przekształćmy przestrzeń za pomocą homografii H w taki sposób aby punkty obrazy punktu M na płszczyźnie obrazu kamer pozostały nie zmienione K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 111 / 118
- 148. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer Przekształćmy przestrzeń za pomocą homografii H w taki sposób aby punkty obrazy punktu M na płszczyźnie obrazu kamer pozostały nie zmienione np. Przeskalujmy cały układ wzdłuż osi Z. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 111 / 118
- 149. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer Przekształćmy przestrzeń za pomocą homografii H w taki sposób aby punkty obrazy punktu M na płszczyźnie obrazu kamer pozostały nie zmienione np. Przeskalujmy cały układ wzdłuż osi Z. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 112 / 118
- 150. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer Przekształćmy przestrzeń za pomocą homografii H w taki sposób aby punkty obrazy punktu M na płszczyźnie obrazu kamer pozostały nie zmienione np. Przeskalujmy cały układ wzdłuż osi Z. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 113 / 118
- 151. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer z1 m1 1 = P1 H−1 H M 1 z2 m2 1 = P2 H−1 H M 1 z2 m2 1 = P2 H−1 H P1 −1 z1 m1 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 114 / 118
- 152. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer z1 m1 1 = P1 H−1 H M 1 z2 m2 1 = P2 H−1 H M 1 z2 m2 1 = P2 P1 −1 z1 m1 1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 115 / 118
- 153. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer z1 m1 1 = P1 H−1 H M 1 z2 m2 1 = P2 H−1 H M 1 z2 m2 1 = P2 P1 −1 z1 m1 1 Co prowadzi do takiej samej macierzy fundamentalnej F i identycznych obrazów rejestrowanych przez kamery. K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 116 / 118
- 154. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer Macierz projekcji P1 jest nie rozróżnialna jedynie na podstawia analizy obrazu od macierzy P1 H−1 K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 117 / 118
- 155. Nieoznaczoność wyznaczania macierzy projekcji kamer Macierz projekcji P1 jest nie rozróżnialna jedynie na podstawia analizy obrazu od macierzy P1 H−1 Macierz projekcji P1 może zostać wyznaczona tylko z dokładnością do homografii K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 117 / 118
- 156. Dziękuje za uwagę K. Wegner (KTMiM) Geometria 3D 15 grudnia 2014 118 / 118