tema 1 del libro oxford geniox_matematicas_aca_3_eso_unidad_1_val.pdf

1. DESENVOLUPAMENT
DE COMPETÈNCIES
Fraccions i repartiments
Com podem fer un repartiment?
Una fracció pot representar
una part d’una quantitat: d’una
herència, del total de vots
d’una elecció... Podem repartir
a parts iguals amb fraccions
iguals,
1
3
+
1
3
+
1
3
, o podem
repartir en parts de grandàries
diferents utilitzant fraccions
de valor diferent,
1
2
+
1
3
+
1
6
.
Es pot repartir qualsevol
quantitat? Què ha de passar a fi
que el repartiment siga possible?
Nombres racionals
i irracionals
1 Fraccions
2
Operacions amb fraccions
3
Fraccions i nombres
decimals
4 Conjunts numèrics
5
Aproximacions i errors
LLIG I COMPRÉN
Fraccions i aproximacions
MATEMÀTIQUES EN DIGITAL
Investiga els nombres racionals
ACTIVITATS DE SÍNTESI
APRÉN +
Representació gràfica de nombres
reals
CONEIXEMENTS BÀSICS
NOMÉS PER A
CURIOSOS
Taules i regles de càlcul 21mt3s301
UNITAT 1

2. Comunicación oral y escrita
Teletreball desigual
Superada la fase més dura de la pandèmia, la conciliació ha de figurar com a
urgent horitzó de futur
El teletreball ha significat una autèntica revolució domèstica per a adaptar el
món laboral i la seua enorme diversitat de necessitats a les restriccions de la
pandèmia. Hem canviat nombrosos hàbits en múltiples àmbits, però una cosa
que la pandèmia no ha aconseguit canviar han sigut les ràtios de desigualtat
entre homes i dones.
Cap avanç significatiu ha pogut detectar-se en pandèmia al voltant de la
conciliació. Les dades continuen sent contumaces: el 94% de treballadors que
van sol·licitar una reducció de jornada en l’últim trimestre de 2020 van ser
dones, la mateixa proporció que en el primer trimestre de 2019, segons les
dades del Ministeri d’Igualtat. El paral·lelisme es repeteix en les excedències
per a cuidar els fills, que corresponen en un 89% a dones. Lluny d’afavorir
el repartiment de tasques, les enquestes fetes per algunes organitzacions
no fan encoratjar l’esperança sinó la persistència en la denúncia: tornen a
ser majoria àmplia les dones que en pandèmia han viscut una sobrecàrrega
desproporcionada de faena.
El retorn negociat a la presencialitat en les empreses pot ser una oportunitat
perquè els vells problemes per a les dones no es reproduïsquen de manera
mecànica o inercial. El foment de la igualtat de gènere en el món laboral i
familiarés consubstancial a un estat de dret que consagra la igualtat en l’article
14 de la Constitució, i per tant fonamental. Sense aquest foment actiu serà
més difícil abordar un altre escull de la societat espanyola de cara al futur: la
davallada de la natalitat continua avançant a Espanya. [...] Només les mesures
polítiques i la pedagogia militant podran promoure canvis necessaris i corregir
injustícies històriques i indefensables.
Superada la fase més dura de la pandèmia i mentre empreses i treballadors
negocien les condicions del teletreball, la conciliació ha de figurar com a
urgent horitzó de futur. L’aspiració a la igualtat i l’ambició d’una societat més
justa és part del compromís democràtic del Govern, empreses i institucions en
el moment en què s’arbitren els mecanismes de restitució de la presencialitat
combinada amb el teletreball.
Font: elpais.com, 30 d’agost de 2021
Després de llegir…
1
Què significa la paraula
“ràtio” en aquest text?
A què fa referència?
2
En l’editorial es comparen
les dades del primer
trimestre de 2019 amb
l’últim trimestre de
2020. Què va passar en
aquell període i per què
s’esperaven avanços?
3
Com s’intenta aconseguir
la conciliació familiar?
En quina figura recau
més sovint aquesta
responsabilitat? Indiqueu
quines dades del text
ho secunden.
4
Per què creieu que les dones
han patit “una sobrecàrrega
desproporcionada
de faena”?
5
Com se us acut que es
podria intentar evitar que es
reproduïsquen els problemes
de desigualtat de gènere
al voltant de la conciliació?

3. 12 BLOC. NOMBRES
Fraccions
Els jugadors d’un equip de voleibol estan estalviant diners per a comprar
l’equipament d’aquesta temporada. Qui està més prop d’aconseguir-ho?
Per a esbrinar-ho, cadascun tria una estratègia diferent:
 Hug representa en la recta el nombre decimal associat a cada fracció:
Olaia:
6
10
= 0,6
Júlia:
3
5
= 0,6
Hug:
8
12
= 0,666…
 Olaia simplifica fins a obtenir la fracció irreductible:
Olaia:
6
10
: 2
: 2
3
5
Júlia:
3
5
Hug:
8
12
: 4
: 4
2
3

Júlia amplifica per a obtenir les fraccions equivalents amb de­no­mi­na­dor
comú, calculant prèviament l’MCM (10, 5, 12) = 60.
Olaia:
6
10
6
6
36
60
Júlia:
3
5
12
12
36
60
Hug:
8
12
5
5
40
60
Olaia i Júlia han estalviat la mateixa quantitat i Hug és el que està més prop
d’aconseguir l’objectiu.
1
•
•
•
1
0 0,6
1
0 0,6
1
0 0,666...
 Una fracció és un quocient indicat de dos nombres enters,
a
b
, ano­me­
nats numerador, a, i denominador, b, i que sempre b ≠ 0.
 Dues fraccions són equivalents si representen la mateixa quantitat.
 Una fracció és irreductible si no es pot simplificar més. Això passa si el
numerador i el denominador són nombres primers entre si.
Para atenció
−a
b
=
a
−b
= −
a
b
Recorda
Una fracció pot representar:
 una part d’una unitat.
 l’operador d’un nombre.

4. Activitats
1 Expressa en forma de fracció la part pintada en
aquestes figures.
a) b)
2 Troba dues parelles de fraccions equivalents.
3
11
15
33
35
65
25
55
14
26
24
36
3 Calcula el valor de x en aquestes fraccions perquè
siguen equivalents.
a)
x
75
=
14
30
c)
28
x
=
12
27
b)
20
52
=
15
x
d)
33
18
=
x
60
4 Ordena de menor a major aquestes fraccions,
reduint-les prèviament a comú denominador.
a)
7
10
11
15
5
6
31
45
23
30
b) −
5
12
−11
18
−7
9
−
19
36
7
−12
c)
−7
12
3
4
−
3
5
13
15
17
20
5 Classifica les fraccions següents segons siguen
més grans, més xicotetes o iguals a 1.
7
10
24
17
75
50
97
97
105
106
7 Calcula la fracció irreductible en cada cas.
a)
105
63
c)
−504
−207
b)
125
−625
d)
−81
729
8 Ordena de major a menor les fraccions següents
sense reduir-les a comú denominador.
a)
−9
11
−
9
7
−9
14
−9
4
−
9
19
b)
5
3
5
7
−5
3
5
5
−
5
9
c)
6
7
16
17
3
4
11
12
23
24
d) −
5
4
−9
8
−
3
2
−19
18
10
−9
9 Calcula les quantitats següents.
a)
5
6
de 240 kg
b)
3
5
de 240 m
c)
8
8
de 240 L
d)
7
15
de 240 €
10 Esbrina quin és el valor total si sabem que:
a)
7
8
són 168 g c)
6
6
són 168 min
b)
8
9
són 168 € d)
2
11
són 168 m2
Exercici resolt
6
Calcula la fracció irreductible de
48
72
.
Solució
Calculem el màxim comú divisor del numerador
i del denominador:
48 = 2
4
⋅3
72 = 2
3
⋅3
2
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
→ m.c.d. (48, 72) = 2
3
⋅3 = 24
→
Simplifiquem la fracció:
48
72
:24
:24
2
3
+ COMPETENTS
11
Esbrina de quantes maneres diferents pots
repartir 12 en dues parts no necessàriament
iguals. Expressa cadascuna de les parts en forma
de fracció i simplifica.
a)
En quins casos es pot simplificar i en quins
casos no?
b)
Hi ha alguna relació entre el 12 i els nombres
que resulten?
1. Nombres racionals i irracionals 13

5. 14 BLOC. NOMBRES
Operacions amb fraccions
Alba, Daniel i Irene han de resoldre aquesta operació combinada:
3
7
−
2
5
⋅
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3
:
5
4
− 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
Cadascun ho ha calculat d’una manera distinta i ha obtingut una resposta
diferent:
156
70
,
78
35
i
39
20
, respectivament.
Revisem les operacions pas a pas:
3
7
2
5
3
2
3
:
5
4
2 =
3
7
2
5
3
2
3
:
5
4
8
4
=
=
3
7
2
5
3
2
3
:
3
4
=
3
7
2
5
3
3
2
3
:
3
4
=
=
3
7
2 27
5 8
:
3
4
=
3
7
27
5 4
:
3
4
=
=
3
7
27
20
:
3
4
=
3
7
27 4
20 3
=
3
7
9
5
=
3
7
+
9
5
=
=
3 5
7 5
+
9 7
5 7
=
15
35
+
63
35
=
78
35
Només Daniel ha arribat al resultat correcte. Alba s’ha oblidat de simplificar i
Irene ha comés algun error en aplicar la jerarquia de les operacions.
2
1. Parèntesis
2. Potències
4. Sumes i restes
3. Multiplicacions i
divisions (d’esquerra
a dreta)
Per a restar, reduïm a comú denominador
i restem els numeradors.
Elevem el numerador i el denominador
a l’exponent de la potència.
Multipliquem els numeradors i els
denominadors, i simplifiquem si és possible.
Dividim multiplicant la primera fracció
per la inversa de la segona, i simplifiquem si és possible.
Per a sumar, reduïm a comú
denominador i sumem els numeradors.
Llenguatge matemàtic
Dues fraccions són inverses si
el seu producte és la unitat.
a
b
i
b
a
són inverses, ja que:
a
b
⋅
b
a
=
a ⋅ b
b ⋅ a
= 1
21mt3s302
Amb la calculadora
L’ordre en el qual resolem operacions combinades amb fraccions
s’anomena jerarquia de les operacions i consisteix a resoldre-les així:
1.
Parèntesis
2.
Potències
3.
Multiplicacions i divisions (d’esquerra a dreta)
4. Sumes i restes

6. 12 Resol les següents sumes i restes de fraccions, i
simplifica el resultat si és possible.
a)
3
4
+
5
18
−
4
3
c) −
3
4
+ 2 +
2
6
−
5
8
b) −
7
9
+
1
3
+
3
5
d)
7
15
−
7
12
+
4
5
−
5
4
13 Calcula i simplifica.
a)
3
4
+
2
3
+
1
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
c)
3
5
−
5
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
−
1
3
−
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
b)
7
12
− 3 −
7
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
d) −1 +
5
7
−
2
3
−
3
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
Para atenció
Sempre que siga possible, és preferible simplificar
abans d’operar.
Exercici resolt
14
Simplifica i opera.
a)
77
132
−
70
84
+
45
72
b)
3
10
⋅
4
9
Solució
a)
77
132
=
7
12
70
84
=
5
6
45
72
=
5
8
7
12
−
5
6
+
5
8
=
14
24
−
20
24
+
15
24
=
9
24
=
3
8
b)
3
10
⋅
4
9
=
3 ⋅ 4
10 ⋅ 9
=
3 ⋅2
2
2 ⋅5 ⋅3
2
=
2
5 ⋅3
=
2
15
15 Opera simplificant prèviament.
a)
40
60
−
50
125
+
35
70
b)
110
132
−
45
60
−
27
18
16 Simplifica i resol aquestes operacions.
a)
9
10
⋅ −
7
9
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
c)
7
20
: (−5)
b) −
12
21
⋅
9
14
d) −
5
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
: −
3
10
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
17 Calcula el resultat d’aquestes multiplicacions i
divisions.
a)
5
6
⋅ −
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⋅
2
5
d)
10
3
: −
1
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⋅ −
6
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
b)
10
3
:
−1
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⋅ −
6
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
e)
−6
5
: −
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
:
2
5
c)
10
3
⋅ −
1
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
: −
6
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
f)
−6
5
:
−2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
:
2
5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
18 Opera i simplifica.
a)
7
4
+
2
5
⋅
1
8
b)
−2
5
+
1
3
:
3
2
:
5
6
c)
3
5
⋅
−7
6
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
−
2
3
:
−4
15
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
d)
2
9
−
5
9
:
7
8
− 1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
19 Esbrina quin error s’ha comés en realitzar
l’operació:
3
5
+
2
5
⋅
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3
:
5
4
− 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
= −
9
2
20 Resol pas a pas tenint en compte la jerarquia de les
operacions.
a)
6
5
⋅
7
6
−
3
4
:
1
2
⋅
3
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
b)
7
10
⋅
6
7
−
5
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
−
7
2
:
2
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
c) −
5
3
+
1
2
+
7
12
:
4
5
: 3 −
5
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
4
+ COMPETENTS
21
Indica si les sumes
1
3
+
1
3
+
1
3
i
1
2
+
1
3
+
1
6
,
plantejades en l’entrada d’aquesta unitat, són
més grans o més xicotetes que 1. Calcula en cada
cas quant sobra o falta per a tenir una unitat
completa.
1. Nombres racionals i irracionals 15
Activitats

7. 16 BLOC. NOMBRES
Fraccions i nombres decimals
Podem expressar qualsevol fracció com un nombre decimal.

Si el numerador és múltiple del denominador, el resultat de dividir-los és un
nombre enter. Per exemple:
36
12
=
3
1
= 3

Si el denominador de la fracció irreductible solament conté els factors
primers 2 o 5, la divisió arriba a tenir residu zero i el resultat de dividir-los és
un nombre decimal exacte. Per exemple:
219
150
=
73
50
=
73
2 5
2
= 1,46

Sieldenominadordelafraccióirreductiblenocontéenlaseuadescomposició
els factors primers 2 i 5, la divisió no acaba i el resultat és un nombre decimal
periòdic pur. Per exemple:
235
165
=
47
33
=
47
3 11
= 1,4242 ... = 1,42

Si el denominador de la fracció irreductible conté en la seua descomposició
altres factors primers a més del 2 o del 5, la divisió tampoc acaba i el resultat
és un nombre decimal periòdic mixt. Per exemple:
245
84
=
35
12
=
35
22
3
= 2,91666... = 2,916
El nombre obtingut de dividir el numerador pel denominador d’una
fracció pot ser un nombre enter o un nombre decimal exacte, periòdic
pur o periòdic mixt.
També podem trobar quina fracció correspon a un nombre decimal.

Si el nombre decimal és exacte, el
multipliquem per la unitat seguida
de tants zeros com decimals hi ha i
aïllem.

Si el nombre decimal és periòdic
pur, el multipliquem per la unitat
seguida de tants zeros com xifres
té el període, li restem el nombre i
aïllem.

Si el nombre decimal és periòdic
mixt, el multipliquem per la unitat
seguida de tants zeros com xifres
té l’anteperíode i el període junts,
li restem el nombre multiplicat per
la unitat seguida de tants zeros com
xifres té l’anteperíode i aïllem.
La fracció irreductible equivalent a un nombre decimal exacte o periòdic
s’anomena fracció generatriu.
3
Llenguatge matemàtic
Per a escriure de manera
abreujada un nombre decimal
periòdic escrivim un arc sobre
les xifres que es repeteixen
indefinidament.
Part
decimal
Període
2,91
⌢
6
Anteperíode
Part entera
n = 1,4242...
100n = 142,42424...
− n = 1,42424...
99n = 141 → n =
141
99
=
47
33
100n = 142,42424...
− n = 1,42424...
99n = 141 → n =
141
99
=
47
33
n = 2,9166...
1000n = 2 916,666...
− 100n = 291,666...
900n = 2625 → n =
2625
900
=
35
12
n = 1,46
100n = 146 n =
146
100
=
73
50
100n = 142,42424...
− n = 1,42424...
99n = 141 → n =
141
99
=
47
33

8. 22 Indica de quin tipus són aquests nombres decimals
i expressa’ls de manera abreujada.
a) 12,225225225... c) −4,37575
b) −3,2272777... d) 5,30123123123...
23 Copia en el quadern aquesta taula i completa-la.
Nombre −8,23 3,0606...
Part entera 2 −15
Part decimal 4555...
Període 6
Anteperíode 31
24 Expressa aquestes fraccions amb nombres
decimals i classifica’ls segons la seua part decimal.
a)
16
12
c) −
80
45
b)
−72
30
d)
35
42
25 Sense efectuar la divisió, identifica el tipus
de nombre decimal que correspon a cadascuna
d’aquestes fraccions irreductibles.
a)
27
8
c)
23
13
b)
−35
6
d)
32
15
26 Sense dividir, indica quina fracció correspon a cada
nombre decimal.
27 Classifica el nombre decimal corresponent a cada
fracció sense resoldre la divisió.
a) −
125
90
b)
135
60
c)
70
63
d)
34
60
28 Determina la fracció generatriu corresponent a
cadascun d’aquests nombres decimals.
a) 3,1 c) −32,5 e) 40,32
b) −2,35 d) −4,023 f) 71,296
29 Quina fracció correspon a cadascun dels següents
nombres decimals?
a) 7,
)
6 d) −4,142857
!
b) −5,
)
5 e) −2,108
º
c) 3,25
)
3,45 f) 3,076923
!
30 Calcula la fracció generatriu que correspon a
cadascun d’aquests nombres decimals.
a) 0,2
)
7 d) −1,2
)
6
b) −5,8
)
3 e) 1,22
)
3
c) 2,0135
º f) −2,045
!
Exercici resolt
31
Expressa els termes d’aquesta operació amb
fraccions, calcula el resultat i mostra-ho amb un
nombre decimal.
0,75 − 0,5 ⋅ 0,8
⌢
3 − 0,
⌢
3
( )
Solució
32 Expressa cada terme amb fraccions i resol aquestes
operacions indicant el resultat amb un nombre
decimal.
a) 0,
)
6 ⋅ 1,5 − 0,75
b) 1,
)
3 ⋅ 0,75 − 0,8
)
3
( )
c) 0,75 ⋅ 1,
)
3 − 2 ⋅ 0,
)
6 − 0,1
)
6
( )
21mt3s303
a)
110
75
I 1,65
b)
99
60
II 1,4666…
c)
98
66
III 1,4848...
+ COMPETENTS
33 Estima el valor de la suma: 0,428571
! + 0,571428
!
Expressa els dos nombres en forma de fracció i
fes la suma. Què observes?
1. Nombres racionals i irracionals 17
Activitats

9. 18 BLOC. NOMBRES
Conjunts numèrics
Tots els nombres que Emili ha estudiat es poden expressar com una fracció.
Tots són nombres racionals.
No obstant això, Emili ha trobat un nombre que no es pot expressar com a
fracció: 0,123456789101112... No és un nombre natural, ni enter, ni decimal
exacte ni decimal periòdic. Es tracta d’un nombre irracional.
Elsnombresqueespodenexpressarcomunafracciósónnombresracionals.
Per contra, els nombres amb expressió decimal il·limitada i no periòdica,
que no es poden expressar com una fracció, són nombres irracionals.
El conjunt de tots els nombres, racionals i irracionals, és el conjunt dels
nombres reals.
Intervals
Emili sap que cada nombre té el seu lloc en la recta numèrica, també els
irracionals. Per exemple, el nombre 4,656656665… es troba entre els que
són més grans que 4 i els que són més xicotets que 5, és a dir, pertany a
l’interval (4, 5).
4 4,656656665… 5
Depenent de si els extrems formen part de l’interval o no, es consideren
diferents tipus d’interval:
4
Un interval és un conjunt numèric que indica els nombres compresos
entre dos valors anomenats extrems.
–3 –2 –1 0 1 0 1 2
–1 3 –4 0
–3 –2 –1 2
0
–2 –1 1
(5, 7)
5 x 7
(−1, +∞)
x −1
(−∞, 4)
x 4
[−1, 2]
−1 ≤ x ≤ 2
Semioberts o semitancats
(a, b]
a x ≤ b
[a, b)
a ≤ x b
[a, +∞)
a ≤ x
(−∞, a]
x ≤ a
(−2, 0]
−2 x ≤ 0
[−1, 3)
−1 ≤ x 3
[−3, +∞)
x ≥ −3
(−∞, 1]
x ≤ 1
4 5 6 7 8 0 1 2
–1
–2 1 2 3 4 5 –2 –1 0 1 2 3
(a, b)
a x b
(a, +∞)
x a
(−∞, a)
x a
[a, b]
a ≤ x ≤ b
Oberts Tancat
Para atenció
La representació gràfica
d’un interval pot ser:

un segment, si està limitat
pels dos costats, és a dir,
si els dos extrems són
nombres.

una semirecta, si només
un extrem és numèric
i l’altre costat no està
limitat. Això s’indica amb
el símbol de l’infinit, ∞,
que significa que no té fi.
21mt3s304
Llenguatge matemàtic
Cada conjunt numèric
s’identifica amb una lletra.
Naturals: N Enters: Z
Racionals: Q Irracionals:
Reals: R
Llenguatge matemàtic
Hi ha nombres irracionals
tan importants que, per a
expressar‑los de manera senzilla,
recorrem a lletres com ara:

π = 3,14159265…, que resulta
de calcular la raó entre la
longitud i el diàmetre d’una
circumferència.

e = 2,71828182…, que veurem
al treballar amb logaritmes
i és la base dels logaritmes
neperians.

ϕ (phi), conegut com el
nombre d’or, amb el valor
1 + 5
2
= 1,6180339… i que
descobrirem més avant. S’obté
de calcular la raó entre dos
segments construïts de manera
especial.

10. 34 Indica quins dels nombres que hi ha a continuació
són irracionals.
a) 3,022022022... d) −9,01011111...
b) 0,020220222... e) −3,246810...
c) −12,3545678... f) 4,75
35 Copia en el quadern el diagrama següent i escriu
aquests nombres en el conjunt numèric més adequat
en cada cas.
5 −7 9,5 4,13 −2,32666... 0
25
6
−1,212212221...
8
13
5,21222324...
N
Z
Q
R = Q I
36 Indica el menor conjunt numèric al qual pertany
cadascun d’aquests nombres.
a) −
15
3
d) −7,332332...
b) 3,25
)
e) 4,323323332...
c)
21
6
f)
32
16
37 Determinaunnombreracionaliunaltred’irracional
compresos entre:
a)
7
9
i
8
9
c) 0,2 i 0,20
)
b) 3,09 i 3,1 d) 3,14 i π
38 Determina si les afirmacions següents són
vertaderes o falses.
a) Tots els nombres naturals són enters.
b) Tots els nombres enters són naturals.
c) Un nombre racional no pot ser enter.
39 Representa en una recta els conjunts de nombres
que compleixen les condicions següents i descriu-los
mitjançant un interval.
a) Compresos entre 3 i 5, els dos inclosos.
b) Majors que 3 i menors o iguals que 5.
c) Estrictament menors que 5.
d) Majors o iguals que 3.
e) Compresos entre 3 i 5, sense incloure’ls.
40 Escriu amb intervals aquests conjunts numèrics i
indica de quin tipus són.
a)
0 1
b)
0 1
c)
0 1
d)
0 1
41 Escriu la desigualtat i l’expressió en forma
d’interval que descriu cadascun d’aquests conjunts
numèrics.
a)
0 1
b)
0 1
c)
0 1
d)
0 1
42 Representa els conjunts de nombres que
compleixen aquestes desigualtats en la recta
numèrica, descriu-los com a intervals i indica de quin
tipus són.
a) 6 x 8 d) −7 ≤ x −3
b) −1 x ≤ 5 e) x 2
c) x ≤ 8 f) −2 ≤ x ≤ 0
43 Representa amb intervals les categories dels ous
segons el que pesen. Quin tipus d’interval necessites
utilitzar en cada cas perquè un ou només es puga
trobar en un d’aquests?
1. Nombres racionals i irracionals 19
+ COMPETENTS
44
Si dividim un nombre racional periòdic en parts
iguals, el quocient és racional o irracional? I si
fora un nombre irracional?
Divideix
22
7
i π en dos, tres… parts iguals sense
usarcalculadora i justifica les respostes anteriors.
Activitats

11. 20 BLOC. NOMBRES
Aproximacions i errors
Daniel té un retall de xapa amb forma triangular al seu taller. Per a afegir-
lo a l’inventari, el mesura en mil·límetres. No obstant això, l’aplicació en la
qual emmagatzema les dades només permet introduir nombres amb una xifra
decimal, i per això aproxima les dues mesures.
Aproximació per defecte Valor real Aproximació per excés
5,4 dm 5,43 dm 5,5 dm
2,3 dm 2,37 dm 2,4 dm
Les aproximacions de la base i de l’altura conserven dues xifres significatives,
que donen informació sobre el seu valor.
Aproximar un nombre és substituir-lo per un altre amb les xifres ajustades
a la precisió que es necessite. L’aproximació per defecte és un valor més
xicotet que el valor real i l’aproximació per excés és un valor més gran.
S’anomenen xifres significatives d’un nombre aproximat aquelles de
l’exactitud de les quals tenim constància i que són rellevants pera la mesura.
Errors
Quina de les dues aproximacions hauria de triar? Serà millor la que té menys
diferència amb el nombre real, és a dir, menys error absolut.
5,43 dm:
Ea
= 5,43 5,4 = 0,03 dm
Ea
= 5,5 5,43 = 0,07 dm
Daniel hauria de triar l’aproximació per arredoniment.
Base: 5,43 dm ≈ 5,4 dm Altura: 2,37 dm ≈ 2,4 dm
Les dues aproximacions tenen el mateix error absolut, 0,03 dm, però la base
és més gran que l’altura. Són, llavors, les dues igual de bones? Per a determinar
la magnitud de l’error comés dividim l’error absolut pel valor real i obtenim la
relació entre els dos, l’error relatiu.
Er
=
0,03
5,43
=
3
543
= 0,00552... = 0,552...%
Er
=
0,03
5,43
=
3
543
= 0,00552... = 0,552...%
Er
=
0,03
2,37
=
3
237
= 0,01266... = 1,266...%
Er
=
0,03
2,37
=
3
237
= 0,01266... = 1,266...%
És millor aproximació la de la base, perquè l’error relatiu és menor.

Arredonir un nombre consisteix a triar l’aproximació amb menys error
absolut.
 L’error absolut és la diferència en valor absolut entre un valor real, x, i la
seua aproximació, a. Es mesura amb les mateixes unitats que el valor real.
Ea
= | x − a |

L’error relatiu és el quocient entre l’error absolut i el valor absolut del
valor real. Se sol expressar amb percentatge.
Er
=
Ea
| x |
5
5,4 5,43
0,03 0,07
5,5
Para atenció
Per a arredonir un nombre
decimal a un ordre
determinat, s’eliminen
les xifres d’ordre inferior
i si la xifra següent és:

major o igual que 5, se
suma una unitat a la xifra
de l’ordre que s’està
arredonint.

menor que 5, la xifra
de l’ordre que s’està
arredonint no varia.
Para atenció

2,3 i 2 300 tenen dues
xifres significatives.

2,03 i 2 030 tenen tres
xifres significatives.
Recorda
Per a truncar un nombre decimal
a un ordre determinat, s’eliminen
les xifres dels ordres inferiors
a aquest.

12. 45 Aproxima el nombre 3,6491 a les centèsimes,
dècimes i unitats per defecte i per excés. Decideix
en cada cas quin nombre es correspon amb
l’aproximació per arredoniment.
46 Copia i completa en el quadern perquè les
aproximacions siguen per arredoniment.
a) 43,2 3 ≈ 43,24
b) −35, 71 ≈ −35,2
c) 12,30 5 ≈ 12,305
d) 9, 75 ≈ 10,0
47 Arredoneix els nombres següents a l’ordre que
s’indica i calcula l’error absolut comés.
a) 25,3648 a les mil·lèsimes
b) −2,7365 a les dècimes
48 Copia i completa aquesta taula arredonint
amb el nombre de xifres significatives que s’indica.
1 xifra 2 xifres 3 xifres
4,527
23,645
61,9381
−5,362
49 Calcula el nombre decimal corresponent al nombre
racional
26
11
i respon.
a)
Aproxima per arredoniment amb dues, tres i
quatre xifres significatives.
b) Calcula l’error relatiu en cada cas.
c)
Què passa quan s’augmenta el nombre de xifres
significatives?
50 Observa el dibuix i respon.
a)
Quin podria ser el cost real del dispositiu?
Contesta amb un interval que continga totes les
possibles solucions.
b)
Copia i completa l’oració indicant les unitats:
L’error absolut comés en arredonir el preu és menor
que…
51 Per a moure’s per la ciutat, Eva s’ha comprat una
bicicleta per 1843 €.
a)
Calcula l’error absolut i l’error relatiu en cada cas.
b) Indica quina és l’aproximació més adequada.
52 Un electricista tira un cable per la diagonal
d’una habitació rectangular de 8 m 3 5 m. Quina
és la longitud mínima que ha de tenir el cable?
Aproximaries per excés o per defecte?
Aproxima en metres i en centímetres:

amb dues xifres significatives.

amb dues xifres decimals.
Determina l’error relatiu en cada cas i analitza els
resultats. Decideix quina és l’aproximació més
precisa i quina la més adequada.
53 Calcula quant mesura la superfície d’aquest
rectangle arredonint el resultat amb dues xifres
decimals. √ 5 m
√ 3 m

Aproximant cadascuna de les longituds amb una
xifra decimal.

Utilitzant les longituds exactes, sense aproximar.
Hi ha alguna diferència? Calcula-la i expressa-la com
a error relatiu.
1. Nombres racionals i irracionals 21
+ COMPETENTS
54
Tres germans es reparteixen 1000€ així:

al primer li correspon la meitat.

al segon, la tercera part.

al tercer, la sisena part.
És possible? Fes el repartiment i arredoneix
els resultats amb el nombre de xifres decimals
imprescindible per a repartir tots els diners i que
els errors relatius siguen inferiors a un 1 %.
Activitats

13. Fraccions i aproximacions
Hi ha una manera millor de
comptar que la de l’1 al 10? Molts
matemàtics creuen que sí
Hi ha un moviment que des de la dècada de
1940 advoca perquè es canvie la base de la
nostra numeració del deu al... 12. [...]
Els promotors de l’anomenat “sistema
duodecimal” són acadèmics convençuts que
usaraquesta base ensfacilitaria la vida atots. [...]
Encara que la idea ens resulte inconcebible,
els seus apòstols assenyalen que el que més es
beneficiariaambelcanvisónlesmatemàtiques
bàsiques, les que usem diàriament.
«En un món duodecimal seria molt més senzill
utilitzar els diners, mesurar qualsevol cosa,
calcular un terç o un quart d’una quantitat...»,
li diu a la BBC Stephen Wood, professor de
Física i promotor del sistema.
«El 12 és un nombre increïble perquè pots
dividir-lo per dos, per tres, per quatre i per
sis, i obtenir nombres enters», afig Wood, i
en destaca l’avantatge més valuós: simplifica
considerablement les fraccions. [...]
Font: BBC.com, 21 d’octubre de 2018
Analitza els textos
55 Llig el text 1 i respon.
a)
Quin sistema de numeració es proposa en
l’article?
b)
Calcula totes les fraccions unitàries d’una
desena, des d’
1
2
de 10 fins a
1
9
de 10.
c)
Fes el mateix per a la dotzena, des d’
1
2
de 12
fins a
1
11
de 12.
d)
Compara els resultats dels apartats anteriors.
Quants resultats són exactes i quants no?
Facilitaria la vida aquesta base? Creus que seria
interessant canviar?
56 Llig el text 2 i contesta.
a) Quivaanomenarπ aquestnombretanrellevant?
b)
Per què es diu que conéixer les xifres de π és
una tasca inacabable?
c)
Quines dates es proposen per a celebrar el dia
de π? Són valors reals o aproximacions? Són
nombres racionals o irracionals?
d)
Anota en una taula les aproximacions de π del
text i l’època a la qual correspon cadascuna.
e)
Usa la calculadora per a calcular l’error absolut
i l’error relatiu que es comet en utilitzar les tres
aproximacions més antigues. Per què es diu que
l’aproximació π = 3 és un error bíblic?
Pi, un nombre amb infinites xifres
decimals i dia prop
Va arribar el Dia Pi: 14 de març, en la datació anglosaxona
3.14. La idea ve dels Estats Units i s’ha estés a la resta del
món. Tot i que hi ha una proposta alternativa, el 22 de juliol:
22/7 = 3,14285…, el nombre d’Arquimedes, una aproximació més
encertada a π que respecta la nostra notació de dates. Per què és
important aquest nombre? On podem trobar-lo i on no? Aquesta
és una bona ocasió per a celebrar i valorar les aportacions de les
matemàtiques. [...]Tot i que a efectes pràctics ens baste aproximar
π amb els valors 3,14 o 3,1416, com que és un nombre irracional, la
seua part decimal té infinites xifres que no segueixen un període
de repetició. A més, se suposa que tampoc segueixen cap pauta.
Així, conéixer aquestes xifres és una tasca inacabable.
La història va començar a Babilònia (1900 aC), amb la primera
aproximació: 3,125. En el papir de Rhind, escrit per l’egipci
Ahmes (1700 aC) es dona el valor 3,16. Diu la Bíblia (Primer
llibre dels Reis 7, 23) que Hiram de Tir (segle X aC) va manar
construiraltemple deJerusalem un depòsit redó de 30 colzades
de perímetre i 10 colzades de diàmetre. Segons això, π = 3… Un
error bíblic. Arquimedes (287-212 aC) [...] va arribar a aquestes
aproximacions:
223
71
π
22
7
[...] El 1647 William Oughtred va donar a aquest nombre el nom
de π, primera lletra de la paraula grega «perifèria». L’ús que en
va fer el gran Leonhard Euler li donà universalitat. [...]
Font: José María Sorando, heraldo.es (14 de març de 2019)
Text 1
Text 2
Llig i comprén
22 BLOC. NOMBRES

14. 1. Nombres racionals i irracionals 23
Matemàtiques en digital
Investiga els nombres racionals
57
Tenen relació les xifres decimals d’un nombre i el denominador de la
fracció irreductible que li correspon? Quantes parts decimals diferents
creus que es poden obtenir per a un mateix denominador?
Atreveix-te a donar una resposta que intente explicar el perquè. Després,
agafa la teua calculadora i confirma o refuta l’afirmació que has donat.
Abans de començar configura la calculadora de manera que:
 no use notació científica: 3: Format nombre → 3: Normal → 2
 mostre el període: 3: Dec periòdic → 1: On

expresse les fraccions més grans que la unitat com a nombres mixtos:
4: Result fracció → 1: ab/c
Ara segueix aquests passos per a trobar la resposta.
1.
Divideix diversos nombres naturals entre 7. Quin tipus de nombres
decimals obtens?
2.
Ordena els resultats completant en el quadern una taula similar a la
següent i afig altres nombres de manera sistemàtica, que t’ajuden a
descobrir alguna relació.
Fracció
Nombre
mixt
Nombre
decimal
Part entera Període
3.
Relaciona el nombre mixt amb les xifres decimals de cada nombre.
Quantes categories diferents pots establir? Descriu-les i enumera-
les ordenadament.
4.
Esbrina amb la calculadora la fracció generatriu d’un nombre decimal
periòdic pur utilitzant un període de la taula. Quin denominador
obtens? Expressa-la com a nombre mixt. Coincideix amb la teua
relació?
5.
Revisa la resposta que has donat a la pregunta inicial i compara-la
amb els resultats que has obtingut. Coincideixen? Quantes parts
decimals diferents s’obtenen en dividir entre 7? Generalitza.
58 El nombre
22
7
, nombre d’Arquimedes, és una aproximació racional de
π. De fet, Arquimedes és el responsable d’aquestes aproximacions per
defecte i per excés de π:
223
71
π
22
7
Utilitza el valor de π que proporciona la calculadora per a determinar
l’errorabsolutil’errorrelatiuencadacas.Quinadelesduesaproximacions
és la millor?
59
Investiga el nombre 142857 amb aquesta seqüència de tecles:
142857 142857
Insereix fracció.
shift →
Insereix nombre mixt.
Expressa un resultat com a
fracció, com a nombre decimal
amb període o com a nombre
decimal aproximat.
shift →
Passa un resultat de fracció
major que 1 a nombre mixt
i viceversa.
alpha →
Escriu el període d’un nombre.
shift →
Utilitza el nombre π.
Utilitza el resultat de l’operació
anterior.

15. Activitats de síntesi
24 BLOC. NOMBRES
Fraccions
60 Classifica aquestes fraccions segons siguen més
grans, més xicotetes o iguals a 1.
37
8
64
64
12
35
59
13
24
25
61 Copia i completa en el quadern amb la quantitat
adequada.
a)
5
7
de 350 són d)
7
10
de són 994
b)
4
3
de 132 són e)
11
9
de són 297
c)
9
4
de són 288 f)
12
25
de 350 són
62 Enric diu que el seu company ha resolt malament
aquests exercicis. Per què sap que no estan bé, si no
ha fet les operacions?
6
5
de 1 200 € = 1 000 €
7
15
de 2 100 € = 1 120 €
63 Quines són fraccions equivalents?
−3
4
6
8
−3
−4
−
−3
4
12
−16
64 Ordena aquestes fraccions de major a menor pel
mètode que consideres més adequat.
a)
11
7
,
11
−6
,
11
15
,
−11
4
,
−11
−13
b) −
3
4
,
7
9
,
−5
3
,
11
6
,
−2
−3
c) −
3
4
,
2
3
,
13
20
,
7
10
,
−7
12
Operacions amb fraccions
65 Efectua aquestes divisions.
I
3
4
:
3
6
i
3
6
:
3
4
II
2
5
:
3
5
i
3
5
:
2
5
a)
És possible decidir quina de les dues fraccions
que intervenen en la divisió és més gran, atenent
el valor del quocient?
b) I si les dues foren negatives?
c) I si tingueren signe diferent?
Estableix una regla per a comparar fraccions atenent
aquesta propietat.
66 Opera i simplifica.
a)
7
15
− 2 −
36
90
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
c)
3
4
⋅2 :
−9
2
b) 1−
12
45
− 1−
8
5
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
d)
24
5
: −
9
7
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
:
−4
15
67 Resol i simplifica.
a)
6
7
+ 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
+
3
4
⋅
2
7
− 3 :
3
2
b) 1 +
3
5
:
2
15
⋅
5
3
− 2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
c) 3 ⋅
5
9
+
1
2
:
−3
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
+ −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3
d)
6
5
: −
1
2
+
3
4
:
6
8
⋅
3
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
3
⋅
7
6
−
7
10
68 Indica el resultat d’aquestes operacions de manera
simplificada.
a)
5
3
:
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
5
6
⋅ −
3
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
b)
5
3
:
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
5
6
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⋅ −
3
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
c)
5
3
:
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
5
6
⋅ −
3
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
d)
5
3
:
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
+
5
6
⋅ −
3
4
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
69 Copia en el quadern l’operació
13
12
−
7
6
⋅
3
5
+
21
20
,
i afig els parèntesis imprescindibles per a obtenir
cadascun dels resultats que s’indiquen.
a) 1
b)
43
30
c) −
11
80
d) −
101
120
e) −
2
3
Fraccions i nombres decimals
70 Classifica aquests nombres racionals segons la
seua expressió com a nombre decimal.
a) −
72
40
b)
30
18
c)
−45
72
d)
70
55

16. 1. Nombres racionals i irracionals 25
71 Raona quin tipus de nombre decimal correspon a
cadascuna de les fraccions següents sense efectuar
la divisió.
a)
63
25
c)
−81
75
b) −
41
33
d)
96
56
72 Copia i completa en el quadern aquestes fraccions
perquè el nombre decimal corresponent siga del
tipus que es demana.
70
45
Exacte
Periòdic
pur
Periòdic
mixt
73 Esbrina quina xifra ocupa la posició 35a en
l’expressió com a nombre decimal de la fracció
5
7
.
74 Determina la fracció generatriu que correspon a
cadascun d’aquests nombres.
a) −2,32 c) −2,3
)
2 e) 0,93
)
b) −2,32
)
d) 1,32
)
6 f) 5,625
75 Expressa aquests nombres decimals com a fracció
irreductible.
0,2 0,4 0,6 0,8
Utilitza aquests resultats per a calcular l’expressió
decimal de les fraccions següents sense fer la divisió.
a)
23
5
c)
56
5
e)
338
5
b)
−9
5
d) −
103
5
f)
−507
5
76 Expressa els nombres decimals com a fraccions i
calcula.
a) 0,5 + 0,3
)
( ): 1,6
)
c) 3,6
)
⋅2,27
)
− 2,7
b) 0,46
)
+ 1,3
)
− 0,6 d) 4,5
)
⋅3,21
)
: 1,2
77 Calcula la fracció generatriu que correspon a
aquests nombres decimals.
3,999... 5,7999... 17,23999...
Fixa’t en els resultats i escriu en el quadern el que
observes.
78 Calcula i expressa com a fracció irreductible. Què
observes?
a) 2,6
)
+ 3,12
)
+ 1,21
)
b) 0,2 ⋅ 2,45
! + 2,54
!
( )
Conjunts numèrics
79 Elabora en el quadern un esquema amb els
diferents conjunts numèrics i la relació que hi ha
entre aquests. Situa cadascun d’aquests nombres
adequadament en l’esquema.
91
−7
−9,343443444...
−(−3) 0
4,12221222...
−3
4
42
21
9,876
80 Escriu un nombre que complisca cadascuna
d’aquestes condicions.
a) Enter no natural i que no siga negatiu.
b) Real que no siga irracional.
c) Racional que no siga enter.
d) Decimal que no siga racional.
81 Escriu quines característiques tenen l’expressió
decimal d’un nombre racional i la d’un nombre
irracional. Ajuda’t d’aquestes característiques per a
escriure dos nombres racionals i dos d’irracionals.
82 Representa aquests conjunts de nombres en la
recta numèrica. Escriu-los després com a intervals i
indica de quin tipus són.
a) Menors o iguals que −2.
b) Majors o iguals que 1 i menors que 6.
c) Compresos entre 0 i 5, aquests exclosos.
d) Estrictament majors que 2.
83 Descriuelsintervalsrepresentatscomadesigualtat
i com a interval. Indica de quin tipus d’intervals es
tracta.
a)
0 1
c)
0 1
b)
0 1
d)
0 1
84 Escriu un nombre racional i un altre d’irracional
compresos en cadascun d’aquests intervals.
a)
7
13
,
8
13
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟ b) (2,19; 2,2)

17. 26 BLOC. NOMBRES
Aproximacions i errors
85 Escriu la millor aproximació d’aquests nombres
per defecte i per excés a l’ordre que s’indica en cada
cas.
a) −3,35
)
a les mil·lèsimes
b)
16
6
a les dècimes
c) 2,527
)
a les deumil·lèsimes
d) −
9
13
a les centèsimes
86 Determina l’aproximació per arredoniment de
2,46
)
a les dècimes i a les centèsimes i calcula l’error
absolut comés en cada cas.
87 Aproxima el que pesa
cada fruita i determina
l’error relatiu comés:
a)
arredonint a les
centèsimes.
b)
arredonint amb dues
xifres significatives.
Problemes amb nombres racionals
88 Un establiment elabora llimonada barrejant 3 parts
d’aigua amb 1 de llima. Si per a una gerra que ompli
6 gots s’han emprat 135 cL d’aigua, quina capacitat
té cada got?
89 Al’inicidelafestad’aniversarid’Andreu,tresquarts
dels convidats són xics i la resta xiques. Una hora
més tard hi ha el doble de xiques que al principi i el
mateix nombre de xics. Quina és la fracció de xics
ara en la festa?
90 En l’equip d’atletisme d’un centre escolar, aquest
curs han passat de 50 inscrits.
Com pots esbrinar quants inscrits passen d’aquesta
xifra?
91 Una cooperativa ha venut
13
15
de l’oli que tenia
emmagatzemat i ja només els queden 78 marraixes
de 5 litres d’oli. Quina quantitat d’oli tenia al principi
de la temporada?
92 Un perfumista ha envasat
3
4
de litre d’essència de
gesmiler en flascons de 5 mL. Quants flascons ha
necessitat?
93 Amb una marraixa de 8 litres d’aigua s’han omplit
17 botelles d’un terç de litre. Quants gots d’un quart
de litre es poden omplir amb el que queda en la
marraixa?
94 Per a reduir la desocupació, una regió dissenya un
innovador pla d’industrialització. En la primera fase,
es dona faena a un terç del total de desocupats, i en
la segona, a un quart. En la tercera es contracten
dos terços dels restants i encara en queden 1725.
Quantes persones van contractar en la primera fase?
95 En un forn han anat traient farina d’un sac al llarg
del dia. Per a la primera fornada han tret un terç del
sac, un quart per a la segona i per a fer els dolços
han utilitzat dos terços del que quedava al sac. Si
encara queden 7,5 kg, quina quantitat de farina es va
utilitzar en la primera fornada?
96 Fixa’tenaquestesaproximacionsperarredoniment.
És possible en algun cas determinar-ne el valor real?
Indica entre quins valors es troba i digues una fita
(valor màxim) de l’error absolut que es pot haver
comés en cada cas.

18. Aprén +
1. Nombres racionals i irracionals 27
Nombres racionals
Qualsevol nombre racional es pot representar com a fracció. Per això, per a representar-los de manera exacta
sobre la recta, utilitzem el teorema de Tales. Així, per a representar el nombre: 0,666... = 0,6
)
=
2
3
1.
Tracem una recta auxiliar que talla la recta numèrica en el 0 i hi marquem
tantes divisions iguals com indique el denominador: 3
2. Dibuixem una recta que passe per l’última divisió i per 1.
3. Tracem una paral·lela a aquesta per la marca que indique el numerador: 2
4.
El nombre racional se situa en el punt d’intersecció d’aquesta paral·lela amb
la recta numèrica.
Nombres irracionals del tipus n
Totes les arrels quadrades no exactes de nombres naturals són nombres irracionals, no es poden expressar com a
fracció.
Com els representem llavors en la recta numèrica?
Farem ús del teorema de Pitàgores. Així, per a representar el nombre 5 , descomponem el radicand com a suma
de dos quadrats:
5
( )
2
= 5 = 4 + 1 = 2
2
+ 1
2
D’aquesta manera, 5 unitats és la longitud de la hipotenusa d’un triangle
rectangle els catets del qual mesuren 1 i 2 unitats.
1.
Construïm un triangle rectangle amb un catet que mesura 2 unitats sobre la
recta numèrica i un altre, de longitud 1 unitat, sobre una recta perpendicular
a aquesta.
2.
Sabem pel teorema de Pitàgores que la hipotenusa mesura 5 unitats.
3.
Amb l’ajuda del compàs, fent centre en 0, traslladem la mesura de la
hipotenusa sobre la recta.
Representació gràfica de nombres reals
97 Representa gràficament aquests nombres.
a)
4
5
b)
3
7
c)
3
4
d)
4
7
98
Per a representar gràficament
7
4
:
1. Esbrinem entre quins dos nombres enters es troba:
1 =
4
4
7
4
8
4
= 2
2. El descomponem com a sumes:
7
4
= 1 +
3
4
3. Representem
3
4
entre 1 i 2.
Aplica els mateixos passos per a situar
7
3
,
12
7
i
17
5
.
99 Representa gràficament.
a) 2 b) 8 c) 10
100
Quin nombre es
troba representat
en aquest dibuix?
101
Observa la representació de 5 . Com representaries
− 5 ? Situa’l en la recta:
a) − 8 b) − 13 c) − 20
•
•
•
•
0 1 4
3
3
2
•
•
•
•
0 1
1
2
2
3
2
3
•
•
•
√ 5
0 1
1
–1 3
2
• •
•
•
√ 5
0 1
1
–1 3
2

19. Coneixements bàsics
28 BLOC. NOMBRES
Operacions amb fraccions
Calcula:
3
10
−
2
3
⋅
3
5
+
2
5
:
2
3
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
3
10
−
3
4
⋅
3
5
+
2
5
:
2
2
3
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
3
10
−
3
4
⋅
3
5
+
2
5
:
4
9
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
3
10
−
3
4
⋅
3
5
+
9
10
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
=
3
10
−
3
4
⋅
6
10
+
9
10
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
3
10
−
3
4
⋅
15
10
=
3
10
−
9
8
=
12
40
−
45
40
= −
33
40
Fraccions i nombres decimals
Classifica aquests nombres racionals segons la seua expressió decimal i
calcula la fracció generatriu.
a) 3,25 b) 5,3636… c) 2,31818…
Exacte Periòdic pur Periòdic mixt
Conjunts numèrics
Descriu el conjunt en forma d’interval i desigualtat. Escriu un nombre racional
i un nombre irracional que pertanguen a aquest.
[−2, 1] −2 ≤ x ≤ 1
Nombre racional: −1,010101… Nombre irracional: −1,010203…
–2 –1 0 1 2
–3
Aproximacions i errors
Aproxima
24
11
per arredoniment amb dues xifres significatives i determina
l’error absolut i l’error relatiu comés.
24
11
= 2,1818... ≈ 2,2 →
Ea
=
24
11
− 2,2 =
24
11
−
11
5
=
1
55
Er
=
1
55
24
11
=
1
120
= 0,0083
⌢
≈ 0,83%
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪

Les fraccions equivalents
representen la mateixa
quantitat.

Jerarquia de les operacions
1. Parèntesis
2. Potències
3. Multiplicacions i
divisions d’esquerra
a dreta
4. Sumes i restes

Si la descomposició
en factors primers del
denominador d’una fracció
irreductible:

només té els factors
2 o 5, és un decimal
exacte.

no conté ni 2 ni 5, és
un decimal periòdic pur.

conté altres factors a més
de 2 o 5, és un decimal
periòdic mixt.

Si l’expressió decimal
d’un nombre és:

exacta o periòdica, és
racional.

il·limitada i no periòdica,
és irracional.

Error absolut
Ea
= | x − a |

Error relatiu
Er
=
Ea
| x |
n =
2295
990
=
51
22
n =
531
99
=
59
11
100n = 325
Tin en compte…
1000n = 2318,18...
− 10n = 23,18...
990n = 2295
100n = 536,36...
− n = 5,36...
99n = 531
n =
325
100
=
13
4

20. Desenvolupament de competències
Sistemes d’elecció Fraccions i repartiments
Els estats democràtics estan organitzats de manera
que els seus ciutadans participen en prendre decisions
de manera col·lectiva. Aquests ciutadans elegeixen, per
mitjà de plebiscits, qui volen que els represente per a
prendre aquestes decisions.
En els sistemes de participació a través de llistes
electorals, cada ciutadà o ciutadana major d’edat emet
un vot a favor d’una d’aquestes llistes. Tenint en compte
tots els vots, es designen els representants.
No obstant això, aquest repartiment no és tan senzill.
Com es fa? Quins problemes s’han de resoldre?
1
Busca i recopila informació sobre els diferents sistemes electorals.

Quins tipus de representació hi ha? En què es diferencien els uns dels altres? Quins són els més utilitzats?

Què és un sistema de representació proporcional?

Organitza de manera clara tota la informació que trobes.
2
Imagina que en el teu centre es fa una votació entre tres llistes electorals per a elegir, d’aquestes llistes, els seus
representants de manera proporcional.
Després de fer l’escrutini, s’obté el següent repartiment dels vots.
Llista A: 72 Llista B: 48 Llista C: 24
Amb aquestes dades, contesta:
a) Quina fracció dels vots ha rebut cada llista electoral?
b) Si hem de designar 6 representants, quants n’hauríem d’elegir de cada llista?
c)
I si poguérem elegir-ne un més? Fes el repartiment per a 7 representants amb els mateixos vots. Quin és el
problema?
3
Investiga com s’anomena i com funciona el mètode d’assignació de representants, escons, a l’Estat espanyol.
a) Aplica’l per a fer els repartiments de l’activitat anterior, segons si s’elegeixen:

6 representants.

7 representants.
Coincideixen els resultats?
b)
Aplica aquest mateix sistema per a repartir 7 escons entre 5 llistes que han rebut 240, 180, 144, 120 i 36 vots,
respectivament. Estàs d’acord amb el repartiment?
4
Elabora una presentació que mostre:
 els tipus de sistemes electorals i les seues diferències.

els sistemes de representació proporcional i els mètodes més importants.

l
es dificultats que presenta el repartiment proporcional d’escons en aquesta classe de sistemes electorals i els
avantatges de cadascun.

un exemple de votació en què designes tu el nombre de vots per partit.

Assigna els escons segons el nostre sistema electoral i seguint el sistema proporcional.

Compara i comenta les diferències entre els dos.
SITUACIÓ D’APRENENTATGE
1. Nombres racionals i irracionals 29